衡水中学高二(上)期末数学试卷(理科)
衡水中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀x∈R，x2+2≤02．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．53．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb 的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣79．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣210．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2] 11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为．15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D ﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x 轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀x∈R，x2+2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢P：，故选：B2．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．3．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件【解答】解：当+2kπ时，满足但不一定成立，即充分性不成立，当时，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：C4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：+=（3，1，6），k﹣=（2k﹣1，k，4k﹣2），∵+与k﹣互相垂直，∴3（2k﹣1）+k+6（4k﹣2）=0，解得k=，故选：D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb 的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0∴lga•lgb≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga•lgb的最大值是1故选B．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7【解答】解：由，得a n+1+3=2（a n+3），∵a1+3=4≠0，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．故选：A．9．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．10．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x﹣2y，得z=3，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是3．当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，得，即B（1，2）代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=﹣3∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．故﹣3≤z≤3，故选：B11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为﹣5．【解答】解：由，得log3（3a n）=log3a n+1，∴a n+1=3a n，且a n＞0，∴数列{a n}是公比为3的等比数列，又a2+a4+a6=9，∴=35．∴=．故答案为：﹣5．15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为．【解答】解：若x∈N是的必要条件，则M⊆N，若a=1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．若a＜1，则N=（a，2﹣a），则满足，得，此时a≤﹣，若a＞1，则N=（2﹣a，a），则满足，得，此时a≥，综上，故答案为：16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，），∵=2，∴，且x C﹣c=c，得x C=2c．∴C（2c，），代入椭圆，得，即5c2=a2，解得e=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由，取n=1，得，∵a n＞0，得a1=1，取n=2，得，解得a2=2，取n=3，得，解a3=3；（2）∵+a n，①∴，②②﹣①得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，则a n+1﹣a n=1，∴{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB，∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）又A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosB，…（4分）∴，又B为三角形内角…（5分）∴…（6分）（2）由题意得2b=a+c=6，…（7分）又，∴…（9分）∴ac=9…（10分）∴…（12分）19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，所以a1=1，a4=8，或a1=8，a4=1，由{a n}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，∴，即a n=2n﹣1；（2）由（1）得，所以所以，两式相减，得，得．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，x≠（2）设MN的中点坐标为（x0，y0），联立得（2k2+1）x2+4kx=0，所以，由x0+2y0=0，得k=1，所以直线的方程为：y=x+121．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D ﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF．解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，），=（﹣2a，0，0），设平面BEC的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=，则=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，取y=，得，设二面角E﹣BC﹣A的平面角为θ．则cosθ===﹣，∴二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y 的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x 轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，所以，所以，消去k，得重心G的轨迹方程为；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．。
衡水一中2021年高二数学期末考试真题及答案
衡水一中2021年高二数学期末考试真题及答案一、选择题1. 已知函数 f(x) = 2x² + 3x - 5，那么 f(-1) 的值为多少？A) -12 B) -6 C) 4 D) 102. 以下哪个数是无理数？A) √16 B) √9 C) √5 D) √43. 解方程 3x - 7 = 2(x - 4) + 1，得到的解为？A) 1 B) 5 C) 7 D) 94. 若正方形的面积为 36cm²，则它的周长为多少？A) 12cm B) 18cm C) 24cm D) 36cm5. 已知直角三角形的一条腰长为3，另一腰长为4，则斜边长为多少？A) √7 B) 7 C) 5 D) √25二、计算题1. 求函数 f(x) = -2x² + 5x - 3 的最大值和最小值。
2. 若函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x + 5，求当 x = 2 时的函数值。
3. 计算：(2 - √3)² - (3 + √2)²。
4. 已知直角三角形的一个锐角为30°，斜边长为10，则其他两边的长分别是多少？三、解答题1. 证明：一个正方体的体对角线长等于边长的√3倍。
2. 已知函数 f(x) = 2x³ - x² + 3x + 1，求 f'(2) 的值。
3. 在平面直角坐标系中，顶点为 B(2,5) 和 C(7,2) 的直角三角形ABC，过 BC 边做垂线 AD，求 AD 的方程。
四、解题思路及答案1. 选择题：1) 解：将 x = -1 代入函数 f(x) = 2x² + 3x - 5，得到 f(-1) = 2(-1)² +3(-1) - 5 = -2 - 3 - 5 = -10。
所以答案是 A) -10。
2) 解：√16 = 4，√9 = 3，√5 是无理数，√4 = 2。
所以答案是C) √5。
河北省2020学年高二数学上学期期末考试试题理
第一学期期末考试 高二普通班数学(理科)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 设命题:22012xp x R ∃∈>，，则p ⌝为 A ．,22012x x R ∀∈≤ B. ,22012xx R ∀∈> C. ,22012x x R ∃∈≤ D. ,22012xx R ∃∈<2. 已知,,a b c R ∈,命题“若3a b c ++=,则2223a b c ++≥”的否命题是A.若3a b c ++≠,则2223a b c ++< B.若3a b c ++=,则2223a b c ++< C.若3a b c ++≠,则2223a b c ++≥ D.若2223a b c ++≥,则3a b c ++=3. 用a 、b 、c 表示三条不同的直线, γ表示平面,给出下列命题: ①若//a b ,//b c ,则//a c ;②若a b ⊥,b c ⊥,则a c ⊥;③若//a γ,//b γ,则//a b ;④若a γ⊥,b γ⊥,则//a b ;则其中正确的是A ．①② B.②③ C.①④ D.③④ 4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线的方程是 A ．28y x =- B. 24y x =- C. 28y x = D. 24y x = 5. “0a =”是“函数ln y x a =-为偶函数”的 A ． 充要条件 B ． 充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分又不必要条件6. 设抛物线212y x =的焦点为F ,点P 在此抛物线上且横坐标为5，则PF 等于 A ．4 B. 6 C. 8 D. 107. 椭圆2214xy+=的两个焦点为1F、2F,过1F作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则2PF等于( )72D. 48.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于A．23B．33C．23D．139. 设2:2310p x x-+≤，()()2:2110q x a x a a-+++≤，若p⌝是q⌝的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.10,2⎛⎫⎪⎝⎭C.(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D.()1,0,2⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭10. 若双曲线过点(，且渐近线方程为13y x=±，则该双曲线的方程是A．2219xy-= B.2219yx-= C.2219yx-= D.2219xy-=11. 设12,F F分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得()22123PF PF b ab-=-,则该双曲线的离心率为A412. 设椭圆22221x ya b+=0)a b>>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c-，，点(,)2aN c在椭圆的外部，点M是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F+<恒成立，则椭圆离心率e的取值范围是A．(0 B. 1) C.5)6， D.5(,1)6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13. 设12F F 、分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是1F P 的中点，3OM =,则P 点到椭圆左焦点的距离为________．14. 若f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________．15.如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象,则f (2)+f'(2)= .16.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤). 17.（本小题满分10分)(1)已知函数y ＝f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． (2)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2xf ′(0)，求f ′(0)的值．18.（本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝π2，D 是棱AC的中点，且AB ＝BC ＝BB 1＝2.(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成的角．19.（本小题满分12分）已知R m ∈,命题p ：对任意[]1,1-∈x ，不等式m m x 4122-≥-恒成立；命题q ：存在 []1,1-∈x ，使得m ax ≥成立。
2025届衡水市第二中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
A.由上述分析结合图象，可得 A 不正确
B.设函数 g(x)(x R) 的值域为 G ，函数 f (x)(x (1 ， )) 的值域为 E
g(x) x2 a ，对 x R ， G [a ， ) ． x (1, ) ， E [e ， )
由 g(x) x2 a ，若对 x1 R ， x2 (1, ) ，使得 g(x1) f (x2 ) 成立，
a 到直线的距离为 22 12 3 ，
d
2b a2 b2
3 ，解得 3a2 b2 ， e c a
4a2 2 a
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率、直线和圆的相交弦、点到直线距离等基本知识，考查了运算求解能力
和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.
5、C
【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出 a7 2 ，即可得出结果.
C.120
B. 60 D.150
12．双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程是（） 4
A.y=± 5 x 5
B.y=± 5 x
1 C.y=± x
2
D.y=±2x
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．双曲线 x2 y2 3 的渐近线方程为___________. 22
结合图象可知 k e ，因此 D 不正确
故选：B 3、A 【解析】结合不等式的性质确定正确答案.
【详解】A 选项，若 a b 且 1 1 ，则 a 0 b ，所以 A 选项正确. ab
B 选项，若 a 0 b ，则 a 0 ，所以 B 选项错误. b
C 选项，如 3 0,3 1 0 2 ，但1 2 ，所以 C 选项错误.
【详解】因为数列 an 是等比数列，由 a1a7a13 8 ，得 a73 8 ，
衡水中学高二(上)期末数学试卷(理科)
衡水中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀x∈R，x2+2≤02．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．53．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb 的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣79．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣210．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2] 11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为．15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D ﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x 轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀x∈R，x2+2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢P：，故选：B2．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．3．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件【解答】解：当+2kπ时，满足但不一定成立，即充分性不成立，当时，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：C4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：+=（3，1，6），k﹣=（2k﹣1，k，4k﹣2），∵+与k﹣互相垂直，∴3（2k﹣1）+k+6（4k﹣2）=0，解得k=，故选：D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb 的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0∴lga•lgb≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga•lgb的最大值是1故选B．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7【解答】解：由，得a n+1+3=2（a n+3），∵a1+3=4≠0，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．故选：A．9．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．10．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x﹣2y，得z=3，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是3．当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，得，即B（1，2）代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=﹣3∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．故﹣3≤z≤3，故选：B11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为﹣5．【解答】解：由，得log3（3a n）=log3a n+1，∴a n+1=3a n，且a n＞0，∴数列{a n}是公比为3的等比数列，又a2+a4+a6=9，∴=35．∴=．故答案为：﹣5．15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为．【解答】解：若x∈N是的必要条件，则M⊆N，若a=1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．若a＜1，则N=（a，2﹣a），则满足，得，此时a≤﹣，若a＞1，则N=（2﹣a，a），则满足，得，此时a≥，综上，故答案为：16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，），∵=2，∴，且x C﹣c=c，得x C=2c．∴C（2c，），代入椭圆，得，即5c2=a2，解得e=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由，取n=1，得，∵a n＞0，得a1=1，取n=2，得，解得a2=2，取n=3，得，解a3=3；（2）∵+a n，①∴，②②﹣①得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，则a n+1﹣a n=1，∴{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB，∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）又A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosB，…（4分）∴，又B为三角形内角…（5分）∴…（6分）（2）由题意得2b=a+c=6，…（7分）又，∴…（9分）∴ac=9…（10分）∴…（12分）19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，所以a1=1，a4=8，或a1=8，a4=1，由{a n}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，∴，即a n=2n﹣1；（2）由（1）得，所以所以，两式相减，得，得．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，x≠（2）设MN的中点坐标为（x0，y0），联立得（2k2+1）x2+4kx=0，所以，由x0+2y0=0，得k=1，所以直线的方程为：y=x+121．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D ﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF．解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，），=（﹣2a，0，0），设平面BEC的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=，则=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，取y=，得，设二面角E﹣BC﹣A的平面角为θ．则cosθ===﹣，∴二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y 的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x 轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，所以，所以，消去k，得重心G的轨迹方程为；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．。
河北省衡水中学高二(上)期末数学模拟试卷(理科) (2)
河北省衡水中学高二（上）期末数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知点（3，2）在椭圆+=1上，则（）A．点（﹣3，﹣2）不在椭圆上B．点（3，﹣2）不在椭圆上C．点（﹣3，2）在椭圆上D．无法判断点（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）、（﹣3，2）是否在椭圆上2．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C 上任意一点，则△PF1F2的周长为（）A．9 B．13 C．15 D．183．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知焦点在x轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分7．（5分）把二进制的数11111（2）化成十进制的数为（）A．31 B．15 C．16 D．118．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣210．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点是双曲线C 的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）A．x2﹣y2=1 B．C．D．11．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在极坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为．14．（5分）已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为．15．（5分）过抛物线y2=6x的焦点且与x轴垂直的直线交抛物线M，N，则|MN|=．16．（5分）l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程．18．（12分）求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．19．（12分）已知直线l：，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．20．（12分）在抛物线上找一点P，使P到直线y=4x﹣5的距离最短．21．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsi n2θ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．22．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为．（Ⅰ）求椭圆方程．（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于点A、B，且△F2AB面积为，求直线l的方程．2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知点（3，2）在椭圆+=1上，则（）A．点（﹣3，﹣2）不在椭圆上B．点（3，﹣2）不在椭圆上C．点（﹣3，2）在椭圆上D．无法判断点（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）、（﹣3，2）是否在椭圆上【解答】解：因为点（3，2）在椭圆+=1上，由椭圆的对称性可得点（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，﹣2）均在椭圆+=1上故选C2．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C 上任意一点，则△PF1F2的周长为（）A．9 B．13 C．15 D．18【解答】解：根据题意，椭圆，其中a==5，b==3，则c==4，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF 2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18；故选：D．3．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B4．（5分）已知焦点在x轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，即2a=6，则a=3，又由椭圆的离心率为，即e==，则c=1，则有b2=a2﹣c2=8，又由椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为：+=1，故选：B．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，则双曲线的焦点在x轴上，若其一条渐近线方程为，则有=，即b=a，又由双曲线的焦距为8，即2c=8，则有c2=a2+b2=4a2=16，解可得：a2=4，b2=12，则双曲线的标准方程为﹣=1；故选：C．6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分【解答】解：根据已知条件：，在x=2t（﹣1≤t≤1）时，函数y=2．所以，该函数的图象是平行于x轴的一条线段．故选：C7．（5分）把二进制的数11111（2）化成十进制的数为（）A．31 B．15 C．16 D．11【解答】解：11111（2）=20+21+22+23+24=1+2+4+8+16=31．故选：A．8．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∴双曲线的c=3，a2=9﹣4=5，∴e=．故选：B．9．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【解答】解：由x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线x2=4y的准线方程是y=﹣1，故选A．10．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点是双曲线C 的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）A．x2﹣y2=1 B．C．D．【解答】解：根据题意，点是双曲线C的一个焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=，设其方程为﹣=1，则有a2+b2=2，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，点F到渐近线的距离为1，则有=1，解可得b=1；则a=1，则双曲线的方程为x2﹣y2=1；故选：A．11．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为+=1，其中a==3，b=，则c=，F2|=2，则有|F若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6﹣|PF1|=2，则cos∠F1PF2==﹣；故选：A．12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB 1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在极坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为．【解答】解：∵在极坐标系中，点P的坐标为，∴=1，y=2sin=，∴点P的直角坐标为（1，）．故答案为：（1，）．14．（5分）已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为30．【解答】解：根据题意，椭圆中，a==5，b==3，如图椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则A（﹣5，0），B（0，﹣3），C（5，0），D（0，3），则|AO|=5，|DO|=3，四边形ABCD的面积S=4S△AOD=4××5×3=30；故答案为：30．15．（5分）过抛物线y2=6x的焦点且与x轴垂直的直线交抛物线M，N，则|MN|=6．【解答】解：根据题意，抛物线y2=6x的焦点为（，0）直线MN过抛物线y2=6x的焦点且与x轴垂直，设M的坐标（，b），则N的坐标为（，﹣b），M在抛物线上，则有b2=6×，解可得b=±3，|MN|=2|b|=6；故答案为：6．16．（5分）l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，可设点P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），由两直线的夹角公式可得tan∠APB=||=≤，∴≤，化简可得3c2≤4a2，即c≤a，即有e≤．当且仅当n=±，即P（c，±），离心率取得最大值．故答案为．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程．【解答】解：曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得C1的普通方程是：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程是=1，即x2+y2=1．18．（12分）求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．【解答】解：根据题意，椭圆的焦距为2=2，要求椭圆的焦距也为2，即2c=2，则c=，又由要求椭圆的离心率e=，则a=5，则其中b==20，当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为．19．（12分）已知直线l：，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．即ρ2=2ρsinθ，化为：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．（Ⅱ）⊙C的圆心C（0，1），r=1．圆C与直线l相切，∴=1，解得a=﹣3或1．20．（12分）在抛物线上找一点P，使P到直线y=4x﹣5的距离最短．【解答】解法一：设与y=4x﹣5平行的直线y=4x+b与y=4x2相切，则y=4x+b代入y=4x2，得4x2﹣4x﹣b=0．①△=16+16b=0时b=﹣1，代入①得x=，∴所求点为（，1）．解法二：设该点坐标为A（x0，y0），那么有y0=4x02．设点A到直线y=4x﹣5的距离为d，则d==|﹣4x02+4x0﹣5|=|4x02﹣4x0+5|=|4（x0﹣）2+1|．当且仅当x0=时，d有最小值，将x0=代入y=4x2解得y0=1．故P点坐标为（，1）．点P到直线y=4x﹣5的距离最短．21．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C方程y2=4x．可得（1+t）2=4（1+t），整理得，∵t1•t2=﹣15＜0，∴点P在AB之间，∴|PA|+|PB|=|t 1﹣t2|==4．22．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为．（Ⅰ）求椭圆方程．（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于点A、B，且△F2AB面积为，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：a=，离心率e==，∴c=1，b2=a2﹣c2=1，所以椭圆C的方程为．…5分（Ⅱ）焦点F1（﹣1，0），因为直线l的斜率不为0，所以可设直线方程为x=ky﹣1，将其代入x2+2y2﹣2=0，并化简得：k2y2﹣2ky+1+2y2=2，整理得：（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：，．∴|y 1﹣y2|==，∵×|F1F2|•|y1﹣y2|=，代入解出k2=1．∴直线的方程为x﹣y+1=0或x+y+1=0．。
河北省衡水市深州中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
河北省衡水市深州中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知复数z 满足(i 是虚数单位）,则( )A. B. C. D.2．设,若,则( )A.1B.-2C.3D.-13．已知数列是等比数列,且,,则( )A.3B.6C.3或－3D.6或－6的渐近线方程为( )A. B.C. D.5．已知直线与圆相交于A ,B 两点,且,则实数( )6．在数列中,,,则的前2024项和为( )7．如图，在四棱锥中，底面ABCD ，底面ABCD为正方形，，E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，则异面直线BF 与PE 所成角的正弦值为( )234i z z +=+z =14i-64i-62i-32i-3()f x ax x =+(1)4f '-=a ={}n a 712a =153a =11a =2118x -=y =y x =3y x=±13y x=±340x y a ++=22:(2)9C x y -+=120ACB ︒∠=a =272{}n a 13a =11(1)1nn na a n a ++=≥-{}n a P ABCD -PA ⊥PA BC =8．已知F 是椭圆的左焦点,经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ,Q,则椭圆E 的离心率为( )二、多项选择题9．已知为等差数列的前n 项和,且,,则下列结论正确的是( )A. B.为递减数列 C.D.10．已知函数,则下列结论正确的是( )A.函数存在极小值B.C.当时,D.若函数有且仅有两个零点,则且11．已知抛物线,点F 是抛物线C 的焦点,点P 是抛物线C 上的一点,点,则下列说法正确的是( )A.抛物线C 的准线方程为B.若,则的面积为C.D.的周长的最小值为12．如图,在棱长为2的正方体中,点E 是棱的中点,点P 是底面上的一点,且平面,则下列说法正确的是( )A. B.存在点P ,使得2222:1(0)x y E a b a b+=>>120PFQ =︒n S {}n a 17a =-212S =-29n a n =-{}n a 360a a +=71S a =()e x f x x =()y f x =111543f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x <()0f x <()()g x f x kx =-0k >1k ≠2:12C y x =(4,3)M 3x =-||7PF =PMF △32-|||PF PM -PMF △7+1111ABCD A B C D -11D C ABCD 1//D P 11A C B 11D P DB ⊥1A P BE⊥C.的最大值为6三、填空题13．曲线在点处的切线方程为___________.14．若动点到点的距离和动点M 到直线的距离相等,则点M 的轨迹方程是_________.15．若数列满足,,,则的通项公式是_____________.16．已知椭圆的左、右焦点分别为,,M 为C 上任意一点,N 为圆上任意一点,则四、解答题17．已知等差数列的其前n 项和为,,.（1）求的通项公式;（2）若的前n 项和.18．已知圆的圆心F 是抛物线C 的焦点.（1）求抛物线C 的方程;（2）若直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,且点是弦的中点,求直线l 的方程.19．在数列中,（1）若是等比数列;（2）求数列的前项和.20．如图,在三棱柱中,,,且,为锐角.1D 1PE ⋅()2ln 2y x x x =++()1,2(,)M x y (2,0)F 2x =-{}n a 112a =12(1)n n a a n n +=+≥)n ∈N {}n a 22:143x y C +=1F 2F 2:(5)E x -2(4)1y +-=||MN MF -{}n a n S 26227a a +=540S ={}n a n b =}n b n T 2220x y x ++=(2,1)P --AB {}n a 1a =*1*1,2,,32,21,.3n n n a n k k a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨⎪+=-∈⎪⎩N N 21n n b a -=}n b {}n a 2n 2n S 111ABC A B C -12AA AC ==AB =4BC =11AC B C ⊥1A AC ∠（1）证明：;（2）若二面角与平面所成角的正弦值.21．已知数列的前n 项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.22．已知椭圆.（1）求椭圆C 的方程;（2）若直线与椭圆C 交于A ,B 两点,点P 是y 轴上的一点,过点A 作直线的垂线,垂足为M ,是否存在定点P ,使得为定值?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.1AB AA ⊥1A AB C --1AC 1AB C {}n a 21n n nS a n =+14a ={}n a ()2235n n n a λ--<-*n ∈N λ2222:1(0)x y C a b a b +=>>:1l y kx =+PB PB PM ⋅参考答案1．答案：A解析：设,所以,所以,所以.故选A.2．答案：A解析：,解得.故选：A.3．答案：B解析：设数列的公比为,则,所以.故选B.4．答案：B解析：渐近线方程为.故选：B.5．答案：D解析：因为,所以点C 到直线故选：D.6．答案：C解析：因为,所以,而,所以数列是以4为周期的周期数列,i(,)z a b a b =+∈R 2i 2(i)3i 34i z z a b a b a b +=++-=-=+1,4a b ==-14i z =-2()31,(1)314f x ax f a ''=+-=+=1a ={}n a q 8157a a q =8q =4=41176a q ==y x =120ACB ︒∠=AB ===1113,(1)1nn na a a n a ++==≥-23131(2)2,131(2)a a ++-==-==---4113113⎛⎫+- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭5=1123112+=-51a a ={}n a所以的前2024项和故选：C.7．答案：A解析：如图，底面，底面为正方形，、、所在直线两两垂直，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，异面直线与故选：A.8．答案：C解析:设椭圆右焦点为,连接,,根据椭圆对称性可知四边形因为,可得,,{}n a 202412T a a =++()320241234506a a a a a a ++=+++= PA ⊥ ABCD ABCD ∴AB AD AP ∴AB AD AP 2PA BC ==(2,0,0)B (1,1,1)F (0,0,2)P (1,2,0)E (1,1,1)BF ∴=-(1,2,2)PE =- cos ,||||BF PE BF PE BF PE ⋅<>===⋅∴BF =F 'PF 'QF 'PFF 'QF PF =120PFQ ∠=︒60FPF ∠='42PF PF a ''==1232a由余弦定理可得即故椭圆离心率故选:C.9．答案：ACD解析：设等差数列的公差为d ,因为,,所以,解得,所以,故A 正确;因为,所以为递增数列,故B 错误;由,,有,故C 正确;,故D 正确.故选：ACD.10．答案：ACD解析：,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减,故函数在处取得极小值,也是最小值,没有极大值,A 正确;当时,函数,B 错误：当时,,易知C 正确;由得,若函数有两个零点,只需且,D 正确.故选：ACD.11．答案：ACD解析：抛物线C 的准线方程为,故A 正确;设,所以,所以,所以,解得当时,的面积为时,的面积为()2222(2)2cos 60c PF PF PF PF PF PF '''=+-︒=+222974444c a a a =-=7.16=e ==={}n a 17a =-212S =-22112(7)5a S a =-=---=-2d =1(1)72(1)29n a a n d n n =+-=-+-=-20d =>{}n a 33a =-63a =360a a +=7767(7)272S ⨯=⨯-+⨯=-()(1)e x f x x '=+1x >-()0f x '>()f x 1x <-()0f x '<()f x 1x =-1x >-(f x 14>>111543f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x <e 0x x <()f x kx =()e 0x x k -=()g x 0k >1k ≠3x =-()00,P x y 0||37PF x =+=04x =20y 01248x ==0y =±(4,P PMF △(4,-PMF △错误;的延长线与抛物线C 的交点处时,故C 正确;过点P 作C 的准线的垂线,垂足为,所以的周长,所以当且仅当与的准线垂直时,取得最小值,故D 正确.故选：ACD.12．答案：ACD解析：以D 为坐标原点,,,所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,,,,所以,,,所以,所以平面,又平面,所以.故A 正确;设,所以,所以,即.所以,,,解得,又,故B 错误;,,所以,,所以.故D 正确.故选：ACD.||||||PF PM FM -≤=P 'PMF △||||||L PF PM MF =++=||||PP PM MF '++min 7L =+MP 'C DA DC 1DD (0,0,0)D 1(2,0,2)A (2,2,0)B 1(0,2,2)C 1(2,2,2)B (0,1,2)E 1(2,2,2)DB = 11(2,2,0)AC =- 1(0,2,2)BA =- 111110,0DB A C DB BA ⋅=⋅=1DB ⊥11A C B 1//D P 11A C B 11DB D P ⊥(,,0)(02,02)P x y x y ≤≤≤≤1(,,2)D P x y =-11(,,2)(2,2,2)2240D P DB x y x y ⋅=-⋅=+-=2y x =-(,2,0)(02)(2,1,2)P x x x BE -≤≤⋅=--1(2,2,2)(02)A P x x x =---≤≤1(2,1,2)(2,2,2)0BE A P x x ⋅=--⋅---= 2x =-0≤2x ≤1D P ===2x ≤≤minP= 1(2,2,2)PA x x =--(,1,2)PE x x =--21(2)()(1)(2)4256PA PE x x x x x x ⋅=--+--+=-+02x ≤≤123,68PA PE ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦13．答案：解析：因为,所以曲线在点处的切线方程为,即.14．答案：解析：动点到点的距离与它到直线的距离相等,由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线,该抛物线以为焦点,以为准线,开口向右,所以抛物线方程为.15．答案：解析：因为,所以,,,,所以,又也满足上式,所以.16．答案：解析：由题意知,,,当且仅当M ,N ,E 共线时取等号,所以,20x y -=(21)ln y x x '=++12y x '==∣()2ln 2y x x x =++(1,2)22(1)y x -=-20x y -=28y x=(,)M x y (2,0)F 2x =-(,)M x y (2,0)F 2x =-2y 8x =212n a n n =-+1112,2(1,)n n a a a n n n +==+≥∈N 212a a -=324a a -= 12(1)n n a a n --=-2n ≥()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2(1)12242(1)122122n n n n n -=++++-=+⨯=-+ 2n ≥112a =212n a n n =-+5-2(1,0)F (5,E 124MF MF +=||||1MN ME ≥-()12222||||4||4(||1)45MN MF MN MF MN MF ME MF EF -=--=+-≥-+-≥-当且仅当M,N,E ,共线时取等号,故.17．答案：（1）解析：（1）设等差数列的公差为d ,因为,,所以解得所以;（2）由（1）知,所以.18．答案：（1）（2）解析：（1）圆的方程可化为,故圆心的坐标为,设抛物线C 的方程为,所以,所以,所以抛物线C 的方程为.2F 2EF ==||MN MF -5-31n -{}n a 26227a a +=540S =()261115112253727,54551040,2a a a d a d a d dS a a d ⎧+=+++=+=⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩12,3,a d =⎧⎨=⎩1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-1111(31)(32)33132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭121111111111325573132323264n n T b b b n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ 24y x =-230x y -+=2220x y x ++=22(1)1x y ++=(1,0)F -22(0)y px p =->12p-=-2p =24y x =-（2）设,,则两式相减,得,即,因为点是的中点,所以,所以.所以直线l 的方程为,即.19．答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明：,因为（2）由（1）可知,所以所以20．答案：（1）见解析()11,A x y ()22,B x y 21122244y x y x ⎧=-⎨=-⎩()2212124y y x x -=--()()()1212124y y y y x x +-=--(2,1)P --AB 122y y +=-1242k y y -==+12(2)y x +=+230x y -+=14133n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭12122121111121111333333333n n n n n n b a a a a b ++--⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1113b a =-=n b 1111333n n n b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2113nn a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2123421211332121222333n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=++++++++= ()21321211111122233333333n n a a a n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=++++++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2111331112412211333333313n n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦+++++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-解析：（1）证明：连接,如图所示.因为,所以四边形是菱形,所以,又,,,平面,所以平面,又平面,所以,又,所以.在中,,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以;（2）因为,,所以二面角的大小为,即以A 为坐标原点,,所在的直线分别为x 轴,y 轴,垂直于,所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.所以,,,,所以,,设平面的一个法向量为,所以令,解得,所以平面的一个法向量为,又,设直线与平面所成角为,所以1AC 1AA AC =11AA C C 11A C AC ⊥11AC B C ⊥11A C B C C = 1AC 1B C ⊂11A B C 1AC ⊥11A B C 11A B ⊂11A B C 111AC A B ⊥11//AB A B 1AC AB ⊥ABC △2AC =AB =4=222AC AB BC +=AC AB ⊥1AC AC A = AC 1AC ⊂11AA C C AB ⊥11AA C C 1AA ⊂11AA C C 1AB AA ⊥1AB AA ⊥AC AB ⊥1A AB C --1A AC ∠1A AC ∠=AB AC AB AC (0,0,0)A 1A 1C (0,2,0)C B (0,2,0)AC = 111AB AB BB AB AA =+=+=+= 1AB C (,,)n x y z = 120,0,n AC y n AB y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1x =y =0,2z =-1AB C (1,0,2)n =- 1AC = 1AC 1AB C θsin θ=111cos ,||n AC n AC n AC ⋅===所以直线与平面21．答案：（1）（2）解析：（1）由题意得，①-②得，，符合此式，.（2）对任意恒成立，即恒成立，记，所以当时，，当，即随着的增大，递减，1AC 1AB C ()21n n a n =+378λ<()112121,2n n n n n S a n n S a n n --⎧=⎪+⎪⎨-⎪=≥⎪⎩①②()112121n n n n n n S S a a a n ----=-+()2121n n n n n a a a n n --=-+2=()()12112113222421212n n n n n n a a a n n a a n n a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+≥- 14a =()21n n a n =+()()()()223123512n n n n n n λ--=+-<-+*n ∈N 5λ->∈*N n b =1102=-<2n ≥0n b >==32b >n ≥111151223236n =+<+=<-n n b所以的最大值为.（2）存在点,使得为定值解析：（1）由题意知解得,;（2）设,,,由得,所以所以所以存在点,使得为定值.n b 3b =λ->378<214y +=10,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭PB PM ⋅ 222224431,,c a a bc a b ⎧=⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩26a =2b =214y +=(0,)P t ()11,A x y ()22,B x y 221,641,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()2222223690,363623144720k x kx k k k ++-=∆=++=+>12x x +=12x =()()1122(),,PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA x y t x y t ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅=-⋅- ()()()()()2221212121229111(1)(1)1(1)23x x kx t kx t k x x k t x x t k k t k ⎛⎫=++-+-=++-++-=+-+-⋅ ⎪+⎝⎭226(1)23k t k ⎛⎫-+-= ⎪+⎝⎭==10,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭PB PM ⋅。
河北省衡水中学学年度高二数学上学期期末考试试题理科
河北省衡水中学2021学年度高二数学上学期期末考试试题〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两局部。
共150分。
考试时间120分钟。
考前须知：1.答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
答卷Ⅰ时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答卷Ⅱ前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填在试卷密封线内规定的地方。
答卷Ⅱ时，用蓝、黑色钢笔或圆珠笔填写在试卷规定的地方。
一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分。
以下每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1．a,b,c表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是A．假设∥,a⊥b⊥ ,那么a∥b B．假设∥a∥b∥那么a∥bC．假设a b ,a∥b,那么∥D．假设a⊥b,b⊥c,那么a⊥c2．如图，直角三角形ABC与正三角形ACD所在的两个平面互相垂直，BAC BC，如果公共边AC a，那么异面直线AD和BC间的距离为A.aB.aC.2aD.3aA C2223．点P(x,y)所在的平面区域为图中所示的三角形，且u x2y24x4y8，那么u的取值范围是DA.9,25B.5,25C.9,9D.5,91y22yxy x14．以下四个命题：①假设平面外两点到平面的距离相等，那么过这两点的直线o xy1河北省衡水中学学年度高二数学上学期期末考试试题理科必平行于该平面；②假设一条直线与一个平面的一条斜线的射影垂直，那么这条直线与这条斜线垂直；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④假设两个平面垂直，那么其中一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.其中错误命题的个数为．．．．A．1个B．2个C．3个D．4个5．圆x2y24x4y50上的点到直线3x2y180的最大距离与最小距离的差为A．3B．23C．33D．66.如图，三棱锥A BCD中，AB面BCD，DC BC，A ABBC CD，设AD与面ABC所成角为，AB与面ACD所成的角为，那么以下结论正确的选项是A．B．C．D．大小关系无法确定C B 7．椭圆的长轴是短轴的三倍，长轴和短轴都在坐标轴上，且过点A(3,0)，那么椭圆方程为Dx2y21x2y21或y2x21A．B．999C．x2y21D．x2y21或x2y2198199818．抛物线y22px与直线axy40交于A,B两点，且A点坐标为〔1，2〕，设抛物线的焦点为F，那么FA FB等于C.359．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面,那么不同的安排方法共有A.20种B.30种C.40种D.60种10．半径为 1的球面上有A、B、C三点，且它们之间的球面距离都是，那么球心O到3平面ABC的距离为36C．1D．21A．B．272311．如图，在ABC中，tanA=3，CtanA3,AHHC0,AB(CA CB)0，点H在BC边上，那么过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为H A．1B．2C．3D．4A B12.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴uuur uuur uuur uuur交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，假设BP2PA，且OQ AB1，那么P点的轨迹方程是A.3x23y21(x0,y0)B.3x23y21(x0,y0)22C.3x23y21(x0,y0)D.3x23y21(x0,y0)22二、填空题〔本答题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题纸上〕13．假设双曲线x2y21的渐近线方程为y3x ，那么双曲线的焦点坐标为___________.4m214．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1和AB的中点，那么异面直线A1F和CE所成角的正切值为.15．动圆M与C1:x2(y2)21,C2:x2(y2)24都外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为.16．①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；④有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.其中，假命题的编号是______.．．．．．三、解答题〔本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题纸上〕17．〔本小题总分值10分〕一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线y x上截得弦长为27，求此圆的方程.18．〔本小题总分值12分〕如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3,BC4,AB5,AA14，点D是AB的中点.〔1〕求证：AC BC1；〔2〕求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值；〔3〕求AC1到平面B1DC的距离.19．〔本小题总分值12分〕如图，在平行四边形ABCD中，AB 1,BD2, ABD900，将它们沿对角线 BD 折起，折后的点 C 变为C 1，且A 、C 1间的距离为2．〔1〕求点B 到平面AC 1D 的距离；〔2〕E 为线段AC 1上的一个动点，当线段EC 1的长为多少时,DE 与平面BC 1D 所成的角为300？20．〔本小题总分值12分〕过抛物线x 24y的对称轴上一点P(0,m)(m0)作直线l ，l 与抛物线交于A 、B 两点．〔1〕假设AOB 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围；〔2〕假设P为抛物线的焦点，过点P且与l垂直的直线l与抛物线交于C 、D两点,设AB 、CD 的中点分别为M 、N．求证：直线MN必过定点.21．〔本小题总分值12分〕：三棱柱ABCA 1B 1C 1中，各棱长均为 2，平面ABC ⊥平面AAC 11C ， A 1AC600．〔1〕求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1；〔2〕求二面角 B 1 A 1B C 1的大小；〔3〕O是段A1C的中点，P是ABC内部及界上的一点，使OP//平面A1BC1，指出点P的迹形是什么？明你的理由.22.〔本小分12分〕直y x1与x2y21(a b0)相交于A、B两点，a2b2且OAOB〔其中O坐原点〕．〔1〕假设的离心率3，求的准方程；3P，并求点P的坐；〔2〕求：不a,b如何化，恒第一象限内的一个定点〔3〕假设直l:yax m〔2〕中的定点P，且的离心率e6,16，求原点717到直l距离的取范．答案及评分细那么一、：1-5ADACB6-10BDDAB11-12CD二、填空：13、(7,0)；14、25；15、4y24x21(y0)；16、②③④.515三、解答：17．解：心坐3m,m ，半径3m.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分的方程x3m2y m29m2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2又2m79m2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6分2解得m1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分x3229所以的方程y1或x2y12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..10分3918．解：〔1〕ABC中，由AC3,BC4,AB5得：AC2BC2AB2∴AC BC，且BC1在平面ABC内的射影BC∴AC BC1.⋯⋯⋯4分〔2〕BC1与B1C交点E,DE，DE//AC1，CED异面直AC1与B1C所成的角，在CED1515中，ED AC1，CD AB，2222CE 1CB122，∴cos CED822，2225522AC122∴异面直与B1C所成角的余弦.⋯⋯8分5〔3〕由A、B关于点D称，所求即点B到平面B1CD的距离d在B1CD中，B1C42,CD 5,B1D89. 22cos22SBCD34，又S BCD3 B1CD51由VB1BCD VBB1CD1431d3433解得：d6 34 AC 1到平面B 1DC 1的距离 634⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分171719．解：〔1〕AC 12AC 1 2AB 2 BC 12AB BC 1又ABBDAB平面BC 1DC 1D ABC 1D BDC 1D平面ABD平面ABD平面AC 1D ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 C 1DAB分点B 做BFAD 于F ，BF 即B 到平面AC 1D 的距离，126 6分BF3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3〔2〕E 作EHBC 1于H ，EH//AB ，故EH平面BC 1D ，DH ，EDH 就是DE 与平面BC 1D 所成的角．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分|CE|x ，∵AB 1 ，AC2，故知AC 1B 300，EH1x ，112同理可知，DC 1E 600，在 DC 1E 中，由余弦定理得 DE 21x 2 2xcos600x 2 x1．假设 EDH300，DE2EHx ，故有x 2 x 2 x 1，解得x1，即|C 1E|1，DE 与平面BC 1D 所成的角300．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分20．解：(1)l:ykx m(k 存在)，代入x 24y 化得：x 2 4kx 4m 0Qm016k 2 16m 0恒成立A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1x 24k,x 1x 24m ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分Quuur uuur 0AOB 角，OAOBuuuruuurk2)x1x2m2，OAgOBx1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1km(x1x2)即：(1k2)(4m)km4k m20，即m24m0，又因m0，解得0m4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分〔1〕假设P焦点，P(0,1),l:y kx1,由(1)可知,x M2k,y M2k21,点M的坐(2k,2k21)因直l点P且与l垂直,可得点N的坐22⋯⋯⋯⋯8分(k,k21)2k221,直MN的斜率k2k2k2kk直MN的方程y(2k21)(k1)(x2k),k即y k21x2k22(2k21)k21 x3,k k令x0,得y3,故直MN定点(0,3).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分〔1〕明：取A1C1的中点M，CM、B1M∵三棱柱ABC A1B1C1各棱均相等，A1AC600A1CC1与A1B1C1都是等三角形∴CM AC,BM AC1 11 1 1∵平面ABC⊥平面AACC，1 1∴平面ABC⊥平面AACC1 1 1 1 1∴BM⊥平面AACC，由三垂定理得：BC AC1 1 11 1 1又∵四形BCC1B1是菱形，∴B1C BC1而BC1IAC C111∴B1C平面A1BC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分1〔2〕AB1与A1B交于G点，B1C与BC1交于H点，GH，GH A1C1，2GH 1 AC 2取AC的中点N，BN，A1N，可AC A1B∴GHA1B又∵四形AA1B1B是菱形∴AB1A1B∴B1GH就是所求二面角的平面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分由〔1〕知AC11B1C∴GHB1CA1C12，GH1,B1C CM2B1M26,B1H 1B1C6 22∴tan B1GH B1H6arctan6即所求二面角的大小⋯⋯⋯8分GH22〔3〕取AB的中点F，BC的中点K，OF，OK，AC1必O点，且O AC1的中点，OF//BC1∴OF//平面A1BC1∵OFIFKF∴平面OFK//平面A1BC1在段FK上〔含端点〕任取一点P，OP，OP//平面A1BC1而平面A1BC1外一点O只能作出一个平面与其平行因此，点P的迹就是段FK⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分x2y21消去y,得(a2b2)x22a2x a2(1b2)0 22．解：〔1〕由a2b2y x 1.由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0,整理得a2b21设A(x1,y1),B(x2y2),那么x1x22a22,x1x2a2(1b2) a2b a2b2.y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1.QOAOB,xx yy20,即2xx2(xx)10,1211122a2(1b2)2a210,整理得:a2b22a2b20, a2b2a2b22a2b21a25,b25Qea2.4. 36所以椭圆的标准方程为4x26y2 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分55(2)2(2)2〔2〕由a2b22a2b20,221,不a,b如何化，恒第一象a2b2限内的定点〔2，2〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分22〔3〕将定点坐代入直方程得m2(1a),直线l的方程为ax y2(1a)0. 22|2(1a)|原点到直l的距离d2,a21又112a1，a2b2|2(1a)|2(a1)d22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分a21a21b 2a 2 c 2 a 2a 2e 2,代入上式得:2a 2112,1 ea 2 1(11 12).e[6, 16],6 e 2 16, 1 1e 21,2e7 17 7 17 17771 17, 8 11 18, 4 a2 9,适合条件a 2 b 2 1,1 e 21 e 2由此得2a3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分令f(a)a 1 ,a 2 1Qf(a)a 1a 21 2a1 2a12 ，a 2 1a 2 1a 21a 1a令 1在 ，上单调递增5 10g(a)a, 2a 3,可得g(a),g(a)，2323a5102(a1)10 5 ， d2[f(a),a 2,].551105在原点到直l 距离的取范[10 ,5].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分105。
河北省衡水中学10-11学年高二上学期期末考试(数学理)
2010—2011学年度第一学期期末考试高二年级数学（理科)试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分） 共120分钟一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 1。
在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ）A. －15B. －3 C 。
3 D 。
153. 设1z i =+（i 是虚数单位）,则22z z+= （ ） www 。
k ＠s ＠5@高＃考＃资#源#网 A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i --4。
已知复数),()2(R y x yi x ∈+-的模为3，则xy 的最大值是：( )A 。
23B 。
33C. 21 D 。
35. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002,……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数一次为（ )A ．26, 16, 8B ．25，17,8C ．25,16，9D ．24，17，96.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，用分点b x x x x xa n i i =<<<<<=- 110，把区间],[b a 等分成n 个小区间,在每个小区间],[1i i x x-上任取一点),,2,1(n i i =ξ，作和式∑=∆=n i i n x f S 1)(ξ（其中x ∆为小区间的长度）,那么n S 的大小（ )A 。
与)(x f 和区间],[b a 有关，与分点的个数n 和iξ的取法无关B. 与)(x f 和区间],[b a 和分点的个数n 有关，与iξ的取法无关C 。
河北省衡水中学高二(上)期末数学模拟试卷(理科) (10)
河北省衡水中学高二（上）期末数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！）1．（5分）等差数列{a n}中，a3=4，a7=10，则a6=（）A． B． C． D．2．（5分）在△ABC中，a=18，B=60°，C=75°，则b=（）A．6B．9C．4D．93．（5分）不等式（x+5）（1﹣x）≥8的解集是（）A．{x|x≤1或x≥﹣5}B．{x|x≤﹣3或x≥﹣1} C．{x|﹣5≤x＜1}D．{x|﹣3≤x≤﹣1}4．（5分）已知焦点在y轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）等比数列{a n}中，a1a2a3=3，a10a11a12=24，则a13a14a15=（）A．48 B．72 C．144 D．1926．（5分）在△ABC中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，则角C等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．（5分）已知x＞0，y＞0，且+=2，则x+y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）已知两定点F1（0，﹣5），F2（0，5），平面内动点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=4，S △ABC=2，则BC边等于（）A．2B．2C． D．310．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=（）A．1024 B．1023 C．2048 D．204711．（5分）函数f（x）=2x2﹣4lnx的单调减区间为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[﹣1，0）12．（5分）抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线n的倾斜角是135度，则过点（b，c）且与切线n垂直的直线方程为（）A．x﹣y+3=0 B．x﹣y+7=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y﹣3=0二、填空题（共4个小题，每个小题5分，合计20分，要求：答案书写时规范、标准．）13．（5分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是．14．（5分）函数y=的定义域为R，则k的取值范围．15．（5分）已知点P到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣5的距离小4，若点P的轨迹与直线x﹣4y+2=0的交点为A、B，则线段AB的中点坐标为．16．（5分）函数f（x）=x3﹣x2﹣x+k的图象与x轴刚好有三个交点，则k的取值范围是．三、解答题（共6个小题，第17题10分，第18--22题，每小题10分，合计70分．要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=c（b﹣c），a=4，（1）若b=，求B；（2）若△ABC面积为4，求b与c的值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=2 a（1）求角B的大小．（2）若b=4，sinAcosB+cosAsinB=2sinA，求△ABC的面积．19．（12分）已知等差数列{a n}中，a7=9，S7=42（1）求a15与S20（2）数列{c n}中c n=2n a n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2+5n．（1）证明数列{a n}是等差数列；（2）求数列{}的前n项和T n．21．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若抛物线y2=4x的焦点与椭圆一个焦点重合．（1）求椭圆的标准方程．（2）若直线m椭圆左焦点F1且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+kx2+（2k+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当k＜0时，证明f（x）．2017-2018学年吉林省吉林五十五中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！）1．（5分）等差数列{a n}中，a3=4，a7=10，则a6=（）A． B． C． D．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3=4，a7=10，∴，解得，∴a6=1+5×=．故选：C．2．（5分）在△ABC中，a=18，B=60°，C=75°，则b=（）A．6B．9C．4D．9【解答】解：∵在△ABC中，a=18，B=60°，C=75°，∴A=45°，由正弦定理=得：b===9，故选：C．3．（5分）不等式（x+5）（1﹣x）≥8的解集是（）A．{x|x≤1或x≥﹣5}B．{x|x≤﹣3或x≥﹣1} C．{x|﹣5≤x＜1}D．{x|﹣3≤x≤﹣1}【解答】解：∵（x+5）（1﹣x）≥8，∴（x+3）（x+1）≤0，解得：﹣3≤x≤﹣1，故选：D．4．（5分）已知焦点在y轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，要求椭圆的半短轴长为3，焦距为4，即b=3，2c=4，解可得b=3，c=2；则a==，又由椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的方程为+=1；故选：D．5．（5分）等比数列{a n}中，a1a2a3=3，a10a11a12=24，则a13a14a15=（）A．48 B．72 C．144 D．192【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1a2a3=3，a10a11a12=24，∴（q9）3==8，解得：q9=2．则a13a14a15=q36•a1a2a3=24×3=48，故选：A．6．（5分）在△ABC中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，则角C等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得，a2+b2+ab=c2，由余弦定理可得，cosC===﹣，∴由C∈（0°，180°），可得：C=120°．故选：C．7．（5分）已知x＞0，y＞0，且+=2，则x+y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=2，∴+=1，∴x+y=（x+y）（+）=5++≥5+2 =5+3=8，当且仅当y=3x=6时取等号．故选：C．8．（5分）已知两定点F1（0，﹣5），F2（0，5），平面内动点P 到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，两定点F1（0，﹣5），F2（0，5），则|F1F2|=10，若动点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则有6＜10，则P的轨迹是以F1（0，﹣5），F2（0，5）为焦点的双曲线，其中c=5，a=3，则b==4，则双曲线的方程为：﹣=1；故选：C．9．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=4，S △ABC=2，则BC边等于（）A．2B．2C． D．3【解答】解：∵A=60°，AB=4，S△=2=AB•AC•sinA=，ABC∴AC=2，∴由余弦定理可得：BC===2．故选：B．10．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=（）A．1024 B．1023 C．2048 D．2047【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n ∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故选B．11．（5分）函数f（x）=2x2﹣4lnx的单调减区间为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[﹣1，0）【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=4x﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故选：C．12．（5分）抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线n的倾斜角是135度，则过点（b，c）且与切线n垂直的直线方程为（）A．x﹣y+3=0 B．x﹣y+7=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y﹣3=0【解答】解：令f（x）=x2+bx+c，则f′（x）=2x+b，∴f（x）在（1，2）处的切线斜率为k=f′（1）=2+b，∴2+b=tan135°=﹣1，∴b=﹣3．又f（x）过点（1，2），∴1﹣3+c=2，即c=4．∴过（﹣3，4）且与n垂直的直线方程为：y﹣4=x+3，即x﹣y+7=0．故选B．二、填空题（共4个小题，每个小题5分，合计20分，要求：答案书写时规范、标准．）13．（5分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是﹣6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（3，﹣3），此时z=2×3+4×（﹣3）=﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）函数y=的定义域为R，则k的取值范围[0，2] ．【解答】解：要使函数y=的定义域为R，则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，则，解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．15．（5分）已知点P到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣5的距离小4，若点P的轨迹与直线x﹣4y+2=0的交点为A、B，则线段AB的中点坐标为（，）．【解答】解：∵点P到F（0，1）的距离比它到直线y=﹣5的距离小4，∴点P在直线l的上方，点P到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等∴点M的轨迹C是以F为焦点，y=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为x2=4y，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为（x0，y0）将直线x﹣4y+2=0代入x2=4y，可得x2=x+2，解得x1=2或x2=﹣1，则y1=1或y2=，∴x0=（2﹣1）=，y0=（1+）=，∴AB的中点为（，），故答案为：（，）16．（5分）函数f（x）=x3﹣x2﹣x+k的图象与x轴刚好有三个交点，则k的取值范围是（﹣，1）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2x﹣1，令f′（x）=0得x=﹣或x=1，∴当x＜﹣或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（﹣，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x=﹣时，f（x）取得极大值f（﹣）=+k，当x=1时，f （x）取得极小值f（1）=k﹣1．∵f（x）的图象与x轴刚好有三个交点，∴，解得：﹣＜k＜1．故答案为：（﹣，1）．三、解答题（共6个小题，第17题10分，第18--22题，每小题10分，合计70分．要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=c（b﹣c），a=4，（1）若b=，求B；（2）若△ABC面积为4，求b与c的值．【解答】解：（1）由b2﹣a2=c•（b﹣c）得：a2=b2+c2﹣bc根据余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA得：又：△ABC中，0°＜A＜180°，则A=60，由正弦定理：结合解出：又：△ABC中，0°＜B＜180°﹣60°，则B=45，（2）由a=4，A=60°写出余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2﹣bc=16①再由面积公式：及已知得：bc=16②联立①②，且b＞0，c＞0解得：b=4，c=4．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=2 a（1）求角B的大小．（2）若b=4，sinAcosB+cosAsinB=2sinA，求△ABC的面积．【解答】解：（1）化为：，由正弦定理，得：，又三角形中，sinA＞0，化简，得：即：，又：△ABC中，0°＜B＜180°，得：B=60°；（2）把sinAcosB+cosAsinB=2sinA化为：sin（A+B）=2sinA，由三角形内角和定理A+B+C=180°，得：sin（A+B）=sinC=2sinA，根据正弦定理，得：c=2a，又，结合余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即为48=5a2﹣4a2•，解得：a=4，c=8，由面积公式：=×4×8×，得：．19．（12分）已知等差数列{a n}中，a7=9，S7=42（1）求a15与S20（2）数列{c n}中c n=2n a n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由a7=9，S7=42 联立：，解得：，则数列的通项公式为：a n=n+2∴．（2）由（1）知：，则：①∴②，①﹣②得：，，﹣﹣（n+2）•2n+1，整理得：．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2+5n．（1）证明数列{a n}是等差数列；（2）求数列{}的前n项和T n．【解答】证明：（1）当n=1时，S1=1+5=6=a1当n≥2时，化简，得：a n=2n+4检验，n=1时，代入上式符合．则；解：（2）由题意知：=，=，解得：．21．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若抛物线y2=4x的焦点与椭圆一个焦点重合．（1）求椭圆的标准方程．（2）若直线m椭圆左焦点F1且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|．【解答】解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，焦点距为2c∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴c=1，又离心率，则：再由b2=a2﹣c2得：b2=4；所求椭圆标准方程为：，（2）由（1）知，左焦点为F1（﹣1，0），直线m的方程为：y ﹣0=1（x+1）即y=x+1联立：消去y得：9x2+10x﹣15=0，则，由弦长公式|AB|=•=•=22．（12分）已知函数f（x）=lnx+kx2+（2k+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当k＜0时，证明f（x）．【解答】（1）解：，化为：，由于原函数定义域为（0，+∞）．∴k≥0时，f'（x）＞0恒成立，则原函数在定义域内为单调增函数．当k＜0时，令f'（x）=0有正数解：；∴在区间上时，f'（x）＜0，此时，原函数为减函数．在区间上时，f'（x）＞0，此时，原函数为增函数．综上：k≥0时，原函数为增函数，增区间为（0，+∞），k＜0时，原函数的增区间为：减区间为：．（2）证明：由（1）知，当k＜0时，在时，原函数有极大值，且为最大值．要证明，只需证明：，作差：=，设：，则：，令：ϕ'（t）=0，解得：t=1，且t＞1时，ϕ'（t）＜0，原函数为减函数，t＜1时，ϕ'（t）＞0，原函数为增函数，则：ϕ（1）=ln1﹣1+1=0为函数最大值，∴，即．。
2021-2022学年河北省衡水市部分学校高二上学期期末联考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省衡水市部分学校高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知直线1l与直线2:3100l x +=垂直，则直线1l 的倾斜角为（ ）． A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】D【分析】根据直线间互相垂直直接可得斜率与倾斜角. 【详解】由12l l ⊥，得2l k ==121tan150l l k k ∴=-==︒，故直线l 的倾斜角为150︒． 故选：D ．2．已知集合(){lg 1A x y x ==-，{}21B y y x ==+则A B =（ ）．A ．∅B ．(]1,3C ．[]1,3D ．()1,3【答案】B【分析】分别求出集合A 表示函数的定义域和集合B 表示函数的值域，然后两者求交集即可.【详解】由已知条件得{}13A x x =<≤，{}1B y y =≥， 则A B =(]1,3. 故选：B ．3．若圆221:1C x y +=与圆222:80C x y x m +-+=内切，则实数m =（ ）．A ．9-B ．7C ．9-或7D ．9【答案】A【分析】先根据圆的方程求出两圆的圆心和半径，再由两圆内切的关系，列方程可求出m 的值【详解】圆222:80C x y x m +-+=的方程可配方为()()2241616x y m m -+=-<，由已知得1C 圆心为()0,0，半径11r =，2C 圆心()4,0，半径2r = 由两圆内切，得2112r C r C =-14=，解得9m =-． 故选：A ．4．已知函数()32x f x x =+，则不等式2332f m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为（ ）．A ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】判断函数()32x f x x =+的单调性，又()13f =，所以将不等式转化为()2312f m m f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，利用函数的单调性求解关于m 的一元二次不等式即可.【详解】因为()32x f x x =+在R 上单调递增，()13f =，所以不等式2332f m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价于()2312f m m f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，得2312m m -<，即22320m m --<，解得122m -<<．故选：C ．5．若,m n ∈R ，且0mn ≠，则“21193mn⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由指数函数的单调性可判断得m n >，方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆可得0m n >>，根据充分、必要条件的定义判断即可得出结果.【详解】若21193m n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则221133mn⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则m n >， 若方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则0m n >>，但当n 为负数时，不能推出“方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆”，故“21193mn⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选:B ．6．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则这个新数列各项之和为（ ）． A ．6923 B ．6921 C ．8483 D ．8481【答案】C【分析】依题意数列{}n a 是以2为首项，以15为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，再解不等式求出n 的取值范围，最后根据等差数列前n 项和公式计算可得； 【详解】解：由题意可知数列{}2n a -既是3的倍数，又是5的倍数， 因此数列{}n a 是以2为首项，以15为公差的等差数列， ()21511513n a n n =+-=-，令1513500n -≤，解得1346n ≤，因此这个新数列的最后一项为34497a =， 设新数列的前n 项和为n S ，则()34249784832n S ⨯+==．故选：C ．7．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵111ABC A B C -中，若1AC BC ==，12AA =，点P 为线段1BA 的中点，则点P 到平面11A B C的距离为（ ）． A ．3 B ．1C ．23D ．13【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，以空间向量的方法去求P 到平面11A B C 的距离. 【详解】如图，在堑堵111ABC A B C -中， 由1AC BC ==可知，AC BC ⊥．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()10,1,2B ，()11,0,2A ，11,,122P ⎛⎫⎪⎝⎭，1B C ()0,1,2=--，11B A ()1,1,0=-，1PA 11,,122⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z =，则020x y y z -=⎧⎨--=⎩，取1z =，得()2,2,1n =--，设点P 到平面11A B C 的距离为d ， 则1⋅=PA n d n13==． 故选：D ．8．已知直线l 与曲线1:ln 4C y x =+和曲线()2:ln 1C y x =+都相切，则直线l 在y 轴上的截距为（ ）． A ．1ln2- B ．32ln 2-C ．1ln2-或32ln 2-D ．4【答案】B【分析】分别设出切点坐标，利用导数求切线斜率，根据斜率相等及切点坐标可得直线方程及截距.【详解】设()ln 4f x x =+，()()ln 1g x x =+， 则()1f x x '=，()11g x x '=+． 设()f x 上的切点为()11,x y ，()g x 上的切点为()22,x y ， 则12111k x x ==+，则211x x +=． 又11ln 4y x =+，()221ln 1ln y x x =+=， 所以12124y y k x x -==-， 故1114x k ==，11ln 442ln 24y =+=-． 故1142ln 2132ln 2b y kx =-=--=-． 故选：B ． 二、多选题9．下列求导错误的是（ ）．A ．()33x x e e '=B ．221x x x '⎛⎫= ⎪+⎝⎭C ．()2sin 32cos x x '-=D ．()cos cos sin x x x x x '=-【答案】AB【分析】根据导数的计算公式分别计算. 【详解】()333x x e e '=，A 错误；()()22222122121x x x x x x x '+-⎛⎫=≠ ⎪++⎝⎭，B 错误； ()2sin 32cos x x '-=，C 正确；()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''=+=-，D 正确．故选：AB ．10．已知直线:10l kx y k --+=和圆22:4O x y +=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 恒过定点()1,1- B ．直线l 与圆O 相交C ．当1k =时，直线l 被圆O 截得的弦长为2D ．直线l 被圆O截得的最短弦的长度为【答案】BD【分析】把直线方程10kx y k --+=变形为()11y k x -=-，即可求出直线l 过的定点，从而判断选项A ；根据定点在圆内，可判断选项B ；把1k =代入直线方程，根据直线过圆心，可求出弦长为直径，从而判断选项C ；根据点()1,1P 为弦的中点时，直线l 被圆O 截得的弦最短，从而可判断选项D.【详解】直线:10l kx y k --+=整理得()11y k x -=-，故直线过定点()1,1P ，故A 错误； 由于点()1,1在圆O 内，故直线l 与圆O 相交，B 正确；当1k =时，直线:0l x y -=过圆心O ，故直线l 被圆O 截得的弦为直径，其长为4，C 错误；当点()1,1P 为弦的中点时，直线l 被圆O 截得的弦最短，此时的弦长为D 正确． 故选：BD ．11．已知函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的橫坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则以下结论正确的是（ ）．A ．()12cos 22g x x =--B ．直线4π3x =是()g x 图象的一条对称轴 C ．()g x 的单调递减区间为()4π10π4π,4π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．若()g x 在区间[]0,t 上的最大值为0，最小值为3-，则t 的取值范围为4π8π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】先根据图象变换得到()g x ，判断出A 选项，进而代入检验是否是对称轴，求出单调递减区间，判断BC 选项，D 选项，要根据最值列出关于t 的不等式组，求出t 的取值范围.【详解】易求得()1π2sin 226g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A 错误；当4π3x =时，1ππ262x -=，此时()g x 取得最大值，故直线4π3x =是()g x 图象的一条对称轴，B 正确； 令()π1π3π2π2π2262k x k k +≤-≤+∈Z ，解得()4π10π4π4π33k x k k +≤≤+∈Z ． 故函数()g x 的单调递减区间为()4π10π4π,4π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，故C 正确； 当[]0,x t ∈时，1ππ1π,26626x t ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()g x 在区间[]0,t 上的最大值为0，最小值为3-， 则π1π7π2266t ≤-≤，解得4π8π33t ≤≤，D 正确． 故选：BCD ．12．在数列{}n a 中，记[]n a 为不超过n a 的最大整数，则数列[]{}n a 称为{}n a 的取整数列．设数列{}n a 满足()()12212212,21,331n n n n n a a a a a a b n n ++===+-=++，记数列[]{}n b 的前n 项和为n T ，则下列说法正确的是（ ）． A ．数列{}1n n a a +-是等差数列 B ．13n b n=+C ．[]20223b =D ．25n T n =+【答案】AC【分析】首先根据条件得出211()()2n n n n a a a a +++---=，从而得到{}1n n a a +-是首项为4，公差为2的等差数列，故可判断选项A ；根据{}1n n a a +-为等差数列，从而可求出{}n a 的通项公式，从而可判断选项B ；根据{}n b 的通项公式可求出3n ≥时，[]3n b =，从而判断选项C ；根据3n ≥时，[]3n b =，可求出n T ，从而判断选项D. 【详解】由212(1)n n n a a a ++=+-，得2122n n n a a a +++-=， 所以211()()2n n n n a a a a +++---=，且214a a -=，所以{}1n n a a +-是首项为4，公差为2的等差数列，故A 正确； 所以142(1)2(1)n n a a n n +-=+-=+，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…()24621n n n =++++=+…， 所以22233(1)n n a b n n n=+=++，故B 错误；则122235,3412b b =+==+=，当3n ≥时，201n <<，所以2314n <+<，即34n b <<，所以[]3n b =，所以[]20223b =，故C 正确；[][][]112125,9T b T b b ===+=，当3n ≥时，[][][]1293(2)33n n T b b b n n =+++=+-=+，综上所述，5,133,2n n T n n =⎧=⎨+≥⎩，故D 错误．故选：AC ． 三、填空题13．若平面α的一个法向量为()2,6,s m =-，平面β的一个法向量为()1,,2n t =，且αβ∥，则s t -=______．【答案】7【分析】由αβ∥，得m n ∥，利用向量坐标平行计算公式代入计算. 【详解】由αβ∥，得m n ∥，所以2612st -==，解得3t =-，4s =，∴7s t -=． 故答案为：714．已知函数()f x 同时具有下列性质：①()π2f x f x ⎛=-+⎫ ⎪⎝⎭；②()f x 是奇函数；③()f x 的最大值为3．请写出一个符合函数()f x 条件的解析式()f x =______．【答案】3sin 2x （答案不唯一）【分析】根据题意结合正弦型函数性质求解即可.【详解】解：由()π2f x f x ⎛=-+⎫ ⎪⎝⎭得函数为周期函数，周期为T π=，故考虑正弦型函数，因为()f x 是奇函数，设()sin 2f x A x =，由于()f x 的最大值为3，故3A =，即()3sin 2f x x = 由()()π3sin 2π3sin 22f x x x f x ⎛⎫+=+=-=- ⎪⎝⎭，满足①，由正弦形函数性质知满足②③ 所以函数()3sin 2f x x =符合题意． 故答案为：3sin 2x15．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，F 关于原点的对称点为A ，C 上的动点M 在x 轴上的射影为B ，则2MF MB MA++的最小值为______．【答案】2【分析】根据抛物线的定义可转化2MF MB MA ++为22cos MDMAF MA=∠，再转化为求tan MAF ∠的最大值，利用均值不等式即可求解.【详解】由已知可得()0,2F ，()0,2A -，则点A 在C 的准线:2l y =-上，根据对称性，不妨设(),M x y 在第一象限， 如图所示，过点M 作MD l ⊥于点D ，则点B 在线段MD 上， 且MF MD =，22π2cos 02MF MB MD MAF MAF MA MA ++⎛⎫==∠≤∠< ⎪⎝⎭，当cos MAF ∠取最小值时，tan MAF ∠取最大值，21tan 122288x x MAF x x y x ∠===≤+++， 当42x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，故cos MAF ∠≥，所以2MF MB MA++四、双空题16．一张B 4纸的厚度为0.09mm ，将其对折后厚度变为0.18mm ，第2次对折后厚度变为0.36mm ，…．设10.18a =，第()2n ≥次对折后厚度变为mm n a ，则6a =______；记()()10.090.090.09nn n n a b a a +=--，则数列{}n b的前n 项和n T =______．【答案】 5.7614425 112221n n ++-- 【分析】从实际问题中得到等比数列，利用等比数列的通项公式求出6a ，再利用裂项相消法求和.【详解】因为每对折一次，纸张的厚度增加一倍，所以数列{}n a 是首项为0.18，公比为2的等比数列，所以10.1820.092n n n a -=⨯=⨯，660.092 5.76a =⨯=； ()()()()22110.090.0920.090.090.092121nn n n n n n a b a a ++⨯==----()()1111221212121n n n n n ++=-----=， 所以22311111112121212121n n n T +=-+-++------11112212121n n n +++-=-=--． 故答案为：5.76，112221n n ++-- 五、解答题17．设()sin cos f x x x x =-，证明：曲线()f x 在点ππ,22P f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1． 【答案】证明见解析【分析】先要求得切线方程，再得出三角形面积的解析式，进而证明面积小于1. 【详解】解：∵π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴π,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+=，∴切线斜率ππ22k f ⎛⎫'== ⎪⎝⎭，∴曲线()f x 在点π,12P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为ππ122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2ππ124y x =+-，当0x =时，2π14y =-当0y =时，π22πx =-∴()222π41ππ21242π16πS -=-⋅-=，由3.1 3.2π<<得49.61651.2π<<，25.64 6.3π<-<，2231.3(4)39.7π<-<则()22π40.60.916π-<<，即()22π4116πS -=<故命题得证．18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且)sin cos cos sin b A C aA B C =-．(1)求A ；(2)若ABC 的外接圆半径为2，且2ab c -=，求ABC 的面积． 【答案】(1)π3A =【分析】（1）由正弦定理边角互化得sin cos sin cos B C A C B =-，再由两角和的正弦公式可得()sin B C A +，从而得sin A A =，即tan A =π3A =；（2）由三角形外接圆的半径可计算得边长a ，从而得b c -，由余弦定理代入即可计算出bc ，所以得三角形的面积. (1)由已知及正弦定理得)sin sin cos sin cos sin B A C AA B C =-，又()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴sin cos sin cos B C A C B =-，∴sin cos cos sin B C B C A +=，∴()sin B C A +，即sin A A =，∴tan A =()0,πA ∈， ∴π3A =． (2)∵ABC 的外接圆半径2R =，∴π2sin 4sin3a R A ===∴2ab c -== 由余弦定理得()2222222cos a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=-+， 即123bc =+，则9bc =， ∴ABC的面积11sin 922S bc A ==⨯= 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理；应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围． 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，32n n n a S +=，记1n n b a =+． (1)证明：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式； (2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析，3nn b =(2)()()1113213442n n n n T n ++=-+- 【分析】（1）依题意可得32n n S a n =-，再根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到132n n a a -=+，即可得到()132n n b b n -=≥，从而得到{}n b 是以13b =为首项，公比为3的等比数列，即可得到{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得3nn na n n =⋅-，再利用分组求和法与错位相减法求和即可；(1) 解：由32n n n a S +=，得32n n S a n =-， 当2n ≥时，由32n n S a n =-，可得()11312n n S a n --=--， 上述两式作差得1133122n n n n n a S S a a --=-=--，整理得132n n a a -=+，即()1131n n a a -+=+，所以()132n n b b n -=≥， 当1n =时，111312a S a ==-，所以12a =，1113b a =+=，所以{}n b 是以13b =为首项，公比为3的等比数列，所以1333n nn b -=⨯=．(2)解：由（1）可得131n n n a b =-=-，3nn na n n =⋅-，所以()231323333123n n T n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++，令231323333n n Q n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23131323133n n n Q n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，作差得()2111313233333313n n n n n n Q n n -++⨯--=++++-⨯=-⨯-，()11321344n n Q n +=-+，所以()()1113213442n n n n T n ++=-+-． 20．2021年4月6日，我国发表了《人类减贫的中国实践》白皮书，白皮书提到占世界人口近五分之一的中国全面消除绝对贫困，提前10年实现减贫目标．为帮助村民巩固脱贫成果，某村委会积极引导村民种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售．已知这种袋装中药的质量以某项指标值()40100k k ≤≤为衡量标准，k 值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如下表所示： 质量指标值k[)40,60[)60,80[)80,90[]90,100等级 三有 二级 一级 优级 出厂价（元/袋） 100120150190该药材加工厂为了解生产这种袋装中药的经济效益，从所生产的这种袋装中药中随机抽取了1000袋，测量了每袋中药成品的k 值，得到如图所示的频率分布直方图．(2)现将该种袋装中药放在某药店出售，在某天进店的甲、乙、丙3位顾客中，购买此款袋装中药的概率分別为13，14，12，且三人是否购买互不影响，试求这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率；(3)假定该中药加工厂一年的袋装中药的产量为10万袋，且全部都能销售出去，若每袋袋装中药的成本为90元，工厂的设备投资为200万元，问：该中药加工厂是否有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资？并说明理由． 【答案】(1)71 (2)14(3)该中药加工厂有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式计算可得； （2）根据相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得； （3）首先求出每袋药物的平均利润，即可得到利润总额，即可判断； (1)解：平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故可以估计该中药加工厂生产的袋装中药的质量指标值的平均数为71． (2)解：这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率为 11111111111113423423424P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(3)解：设每袋袋装中药的销售利润为z 元，则样本中每袋的平均利润为100.25300.45600.251000.0536z =⨯+⨯+⨯+⨯=（元/袋） 利用样本平均数估计总体平均数可得该厂一年内生产该袋装中药的盈利约为361000003600000⨯=（元）＝360万元，因为360万元＞200万元，故该中药加工厂有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资．21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，且侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，2AB AC ==，11AA BC ==(1)证明：11A B ⊥平面1AB C ；(2)若点D 为棱11B C 的中点，求平面1AB C 与平面1AA D 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）先由勾股定理，证明111B C A B ⊥，再证明11A B ⊥平面1AB C ，可证明11AC A B ⊥，所以可证11A B ⊥平面1AB C ；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，从而得向量的坐标，求平面1ADA 的法向量为n ，得平面1AB C 的一个法向量为11(2,0,0)A B =，再由向量的夹角公式代入计算. (1)连接1A C ，因为侧面11ACC A 为矩形，所以2221112=+=A C AC AA ，又221118412+=+=B C A B ，所以2221111=+A C B C A B ，即111B C A B ⊥．①因为侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，侧面11ACC A 侧面111ABB A AA =，1AC AA ⊥，AC ⊂面11ACC A ，所以AC ⊥平面11ABB A ，又11A B ⊂平面11ABB A ， 所以11AC A B ⊥，②由①②及1AC B C C ⋂=，得11A B ⊥平面1AB C ． (2)由（1）知：1AC AB ⊥，AC AB ⊥，1AB AB ⊥，以A 为原点，以1,,AB AB AC 的方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，由已知，得111(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(2,2,2)--A B A C ， 由D 为棱11B C 的中点，得(1,2,1)-D ，∴111(1,2,1),(2,2,0),(2,0,0)=-=-=AD AA A B ， 设平面1ADA 的一个法向量为(,,)n x y z =，由12002200x y z n AD x y n AA ⎧-++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩，，得(1,1,1)n =-．由（1）知平面1AB C 的一个法向量为11(2,0,0)A B =，设平面1AB C 与平面1AA D 所成的锐二面角为θ，则1111113cos cos ,3θ⋅===A B n A B n A B n即平面1AB C 与平面1AA D 3 【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为5y =，且过点(15． (1)求C 的标准方程；(2)若C 的左、右顶点分别为A ，B ，过C 的右焦点F 的直线交C 于M ，N 两点，问：直线AM 与直线BN 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】(1)22145x y -=(2)是，定值15-【分析】(1)根据双曲线渐近线方程，得到a,b的比值，再将(代入方程中，联立解得a,b ,可得双曲线方程；(2)根据题意设直线方程，和双曲线方程联立，整理得根与系数的关系式，代入到两直线AM 与直线BN 的斜率之比的表达式中，化简整理可得结果. (1)由题意可得2216151b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎨=⎩，所以C 的标准方程为22145x y -=．(2)易知()3,0F ，()2,0A -，()2,0B ． 当直线l 的斜率为0时，显然不适合题意；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为3x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程223145x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 整理得()225430250m y my -++=，则()222540900425540m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯⨯->⎪⎩，解得m ≠， ∴1223054my y m +=--，1222554y y m =-， 分别记直线AM ，BN 的斜率为1k ，2k ，则1111125y y k x my ==++，2222221y y k x my ==-+， ∴()()121121*********y my k my y y k y my my y y ++==++，又()12122255546m my y y y m ==-+-， ∴()()121121225165556y y y k k y y y -++==--++，即12k k 为定值15-． 即直线AM 与直线BN 的斜率之比为定值15-．。