3.2简单的三角恒等变换(二)
高中数学 3.2简单的三角恒等变换（二）
简单的三角恒等变换(二)（45分钟 100分）一、选择题(每题6分，共30分)15°+cos15°sin15°的值为 ( ) B.2 2.(2021·济宁高一检测)f(x)=cos 2x −sin 2x 2的一条对称轴为 ( )=π2=π4 =π3 =π6 3.已知tan α2=3，那么cos α= ( )A.45 45 35 D.35 4.(2021·湖北高考)将函数y=√3cosx+sinx(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 5.假设cos 2θ+cos θ=0，那么sin 2θ+sin θ的值等于 ( )B.±√3 或√3或√3或-√3 二、填空题(每题8分，共24分)6.设α为第四象限角，且sin3αsinα=135，那么tan 2α= .7.(2021·梅州高一检测)函数f(x)=sin 2x+√3sinxcosx 在区间[π4,π2]上的最大值是 .8.已知cos 2x=13，x ∈(π2,π)，那么sin 4x= . 三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.化简：(1+sinx +cosx )(sin x 2−cos x 2)√2+2cosx (180°<x<360°).10.如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称，邻边相互垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形面积表示为θ的函数.(2)当tanθ取何值时，十字形的面积S最大？最大面积是多少？11.(能力挑战题)已知函数f(x)=4cosxsin(x+π6)-1.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.答案解析1.【解析】选C.原式=sin15°cos15°+cos15°sin15° =sin 215°+cos 215°sin15°cos15° =1sin15°cos15°=22sin15°cos15°=2sin30°=4.2.【解析】选(x)=cos 2x −sin 2x 2=12cos 2x ，其对称轴为x=kπ2，k ∈Z ，当k=1时，即为x=π2. 3.【解析】选α2=3，故tan 2α2=sin 2α2cos 2α2=9，因此1−cosα1+cosα=9，cos α=-45. 4.【解析】选=2(√32cosx +12sinx )=2sin (x +π3)， 当m=π6时，y=2sin (x +π2)=2cosx ，符合题意.5.【解析】选D.由cos 2θ+cos θ=0得2cos 2θ-1+cos θ=0，因此cos θ=-1或12.当cos θ=-1时，有sin θ=0；当cos θ=12时，有sin θ=±√32.于是sin 2θ+sin θ=sin θ(2cos θ+1)=0或√3或-√3.【误区警示】此题要紧考查三角函数的大体运算、同角三角函数关系式和倍角公式.解题关键是熟练把握公式，并注意不能显现丢解错误.6.【解析】sin3αsinα=sin (2α+α)sinα=(1−2sin 2α)sinα+2cos 2αsinαsinα =2cos 2α+1=135，因此cos 2α=45，又α是第四象限角，因此sin 2α=-35，tan 2α=-34. 答案：-34 7.【解题指南】利用倍角公式降幂，转化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式，由x ∈[π4,π2]，确信出2x-π6的范围，进而求最值.【解析】f(x)=1−cos2x 2+√32sin 2x =12+sin (2x −π6)，当x ∈[π4,π2]时，2x-π6∈[π3,5π6]， sin (2x −π6)∈[12,1]，故f(x)的最大值为32. 答案：328.【解析】因为x ∈(π2,π)， 那么2x ∈(π，2π)，又cos 2x=13，因此sin 2x=-2√23，sin 4x=2sin 2xcos 2x=2×(−2√23)×13=-4√29. 答案：-4√299.【解析】原式=(1+2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2−1)(sin x 2−cos x 2)√2+2(2cos 2x 2−1) =(2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2)(sin x 2−cos x 2)√4cos 2x 2=2cos x2(sin x 2+cos x 2)(sin x 2−cos x 2)2|cos x 2| =cos x 2(sin 2x 2−cos 2x 2)|cos x 2| =−cos x 2cosx |cos x 2|，因为180°<x<360°，cos x2<0， 因此原式=−cos x 2cosx−cos x2=cosx.10.【解析】(1)由题意，x=cos θ，y=sin θ，面积S=2xy-x 2=2sin θcos θ-cos 2θ，θ∈(π4,π2). (2)由(1)知，S=2sin θcos θ-cos 2θ=2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ =2tanθ−1tan 2θ+1，设2tan θ-1=t ，θ∈(π4,π2)，那么S=4t t 2+2t +5=4t +2+5t ≤42√5+2=√5−12，t=√5 即tan θ=√5+12时，面积S 取最大值√5−12.【变式备选】有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，从那个扇形中切割下一个内接矩形，如图，求那个内接矩形的最大面积.【解析】设∠FOA=θ，那么FG=Rsin θ，OG=Rcos θ，在△EOH 中，tan 60°=EH OH ， 又EH=FG ，因此OH=√3，HG=Rcos θ-√3，又设矩形EFGH 的面积为S ，那么S=HG ·FG=(Rcosθ√3)·Rsin θ =2√3(√3sin θcos θ-sin 2θ) =2√3sin (2θ+30°)−12]， 又因为0°<θ<60°，故当θ=30°时，S 取得最大值√36R 2.11.【解析】(1)f(x)=4cosxsin (x +π6)-1 =4cosx ·(√32sinx +12cosx )-1=√3sin 2x+2cos 2x-1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6)，因此f(x)的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4，因此-π6≤2x+π6≤2π3， 因此当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)有最大值2， 当2x+π6=-π6，即x=-π6时，f(x)有最小值-1.【拓展提升】三角函数求值域的方式(1)利用单调性，结合函数图象求值域，如转化为y=Asin(ωx+φ)+b 型的值域问题.(2)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方式求值域，如转化为y=asin 2x+bsinx+c 型的值域问题.(3)利用sinx ，c osx 的有界性求值域，通常在概念域为R 的情形下应用.有时在隐含条件中产生一些限制条件，阻碍值域.(4)分离常数法，经常使用于分式形式的函数.(5)换元法，显现sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 时，常令t=sinx+cosx ，转化为二次函数值域的问题.换元前后要注意等价.(6)数形结合法，利用斜率公式等构造图形求最值.。
3.2.2简单的三角恒等变换②
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
[题后感悟] 除了本题中的思路，“1”化为 sin2θ ＋cos2θ 后也常与 2sinθcosθ 凑成完全平方式，或 π 者化为 tan 的形式利用正切公式进行变形化简． 4
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
1.化简 2 1－sin 8＋ 2＋2cos 8.
π π 3sin2x－6 ＋2sin2x－12
(x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
[策略点睛]
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
[解题过程]
(1)∵f(x)＝
2cos
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
3 3．函数 y＝ 3sin x· x＋3cos x－ 的最小值为 cos 2 ________．
2
31＋cos x 3 3 解析： y＝ sin 2x＋ － 2 2 2 1 3 ＝ 3 sin 2x＋ cos 2x 2 2 π ＝ 3sin2x＋3 ymin＝－ 3.
3．2
简单的三角恒等变换(二)
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
1.巩固三角恒等 变换的基本技 能. 2.掌握三角恒等 变换在三角函 数图象与性质 中的应用.
1.灵活运用三角公式，特别是 倍角公式进行三角恒等变 换．(重点) 2.利用半角公式时的符号．(易 混点) 3.利用三角恒等变换解决实际 问题．(难点)
π 3sin2x－6 ＋1－
高中数学 3.2 简单的三角恒等变换素材2 新人教A版必修4
3． 2 简单的三角恒等变换重点：各种公式的正用、逆用、变形用.难点：各种公式的内在联系.一、三角函数式的化简问题对于三角函数式的化简有下面的要求：（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数尽量少.（3）使三角函数式中的项数尽量少.（4）尽量使分母不含有三角函数.（5）尽量使被开方数不含有三角函数.例1. 化简2cos2α－12tan(π4－α)sin2(π4＋α) 【分析】解答本题可先将tan(π4－α) 化为cos(π4＋α)sin(π4＋α)再化简. 【解】 由tan(π4－α)＝sin(π4－α)cos(π4－α) ＝sin[π2－(π4＋α)]cos[π2－(π4＋α)]＝cos(π4＋α)sin(π4＋α)，得 2cos2α－12tan(π4－α)sin2(π4＋α)＝cos2α2cos(π4＋α)sin(π4＋α)sin2(π4＋α) ＝cos2αsin(π2＋2α)＝cos2αcos2α＝1.【点评】化简的基本原则是“化异为同”：化异名为同名，化异角为同角，化异次为同次，本题是由切化弦入手的.二、 三角函数求值问题化简是求值的第一步工作，在求值过程中可以得到具体实数值为结果，包括：（1）已知角求值问题.（2）已知值求值问题.（3）已知值求角问题.例2. 已知cos α＝33，α为第四象限角，求tan α2的值． [解析] 解法一：(用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理)∵α为第四象限角；∴α2是第二或第四象限角．∴tan α2<0. ∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33＝－2－ 3 ＝－128－43＝－12(6－2)2＝2－62. 解法二：(用tan α2＝1－cos αsin α来处理) ∵α为第四象限的角，∴sin α<0.∴sin α＝－1－cos2α＝－1－13＝－63. ∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62. 解法三：(用tan α2＝sin α1＋cos α来处理) ∵α为第四象限的角，∴sin α<0.∴sin α＝－1－cos2α＝－1－13＝－63. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.【思维总结】解求值问题的一般步骤：（1）观察结论中的角与条件中的角或者与特殊角之间的联系，向条件中的角或者特殊角靠拢，将非特殊角消去；（2）根据已知条件判定所给角的范围，正确选择三角函数值的符号，注意三角函数表达式的形式，灵活地进行变形，以便于正用或逆用公式，其间还要注意拆角、凑角等技巧的应用.三、三角恒等式的证明问题恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.（1）无条件的恒等式证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简,左右归一，变更论证等.（2）有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证.例2. 求证tan 3x 2－tan x 2＝2sinx cosx ＋cos2x. [分析] 可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x ＝3x 2－x 2，2x ＝3x 2＋x 2，从消除等式两边角的差异入手考虑． [证明] 证法一：tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sinx cos 3x 2cos x 2＝2sinx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2sinx cosx ＋cos2x . 证法二：2sinx cosx ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝tan 3x 2－tan x 2.规律总结：(1)在恒等式的证明中，“化繁为简”是化简一个三角函数式的一般原则，由复杂的一边化到简单的一边，按照目标确定化简思路．如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法．(2)化简与证明的常用方法：①“切”化“弦”；②积化和差，和差化积；③平方降次；④异角化同角，异次化同次，异名化同名．四、三角恒等变换的综合应用对于含有三角函数问题，利用公式进行恒等变换，进一步研究其它的性质或者将一般代数问题进行三角代换.命题方向3 化简三角函数解析式例3. (1)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<π2，求函数f(x)的最大值． (2)设函数f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3，求ω的值． [分析] 在题目给出的函数表达式中，既有切函数，又有弦函数，函数表达式都不符合形如f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B 或f(x)＝Acos(ωx ＋φ)＋B 的形式，因此需对给出的函数表达式进行化简转化，借助辅助角以及给出的条件来求最值或未知量．[解析] (1)因为f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx ＝2cos(x －π3)，又0≤x<π2， 所以当x ＝π3时，函数取得最大值2. (2)f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋sin2ωx ＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32. 【思维总结】研究函数的性质，正确化简是关键问题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教
的三角函数表达式化简为基本的三角函数形式。
学生自我评价报告
1 2
知识掌握程度
大部分学生表示能够理解和掌握本节课所学的三 角恒等变换公式，并能够运用它们解决一些实际 问题。
学习方法
学生认为通过推导公式、举例验证以及大量练习 的方式，有助于加深对知识点的理解和记忆。
3
学习态度
学生表示在学习过程中保持积极的学习态度，认 真听讲、思考并积极参与课堂讨论。
02
实例2
证明$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$。该恒等式可通过三角函
数的定义和商数关系式进行证明，也可通过几何意义进行解释。
03
实例3
证明$sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta$。
该恒等式是三角函数和差化积公式的基础，可通过向量的数量积或复数
方法三
利用三角恒等式。通过已知的三角恒等式，如正弦、余弦定理等，推导出三角形内角和定 理。
三角形外角定理证明
方法一
利用平行线的性质。通过延长三角形的一条边，并在延长线上取一点，连接该点与三角形的另外两个顶点，形成新的 三角形。根据平行线的性质，可以证明原三角形的外角等于新三角形的两个内角之和。
方法二
分析法
从已知条件出发，逐步推导出结论 ，证明过程中需注意逻辑严密性。
综合法
将归纳法和分析法相结合，既考虑 特殊情况，又考虑一般情况，从而 证明恒等式的正确性。
实例分析与讨论
01
实例1
证明$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$。该恒等式是三角函数的基本
恒等式之一，可通过勾股定理或三角函数定义进行证明。
2014年人教A版必修四课件 3.2 简单的三角恒等变换
(三) 构造变换 补充例1. 已知 sina sin b 1 , cosa cos b 1 , 3 2 求 cos(a b) 的值.
解: 将已知两式分别平方得 sin 2 a sin 2 b 2sina sin b 1 , 9 cos2 a cos2 b 2cosa cos b 1 , 4 将两式相加得 , 22(sina sinbcosa cosb) 13 36 即 22cos(a b) 13 ,
于是可以根据第 (1) 题求证.
(二) 和差角公式的变换使用 例2. 求证: (1) sina cos b 1 [sin(a b ) sin(a b )]; 2 (2) sin sin 2sin cos . 2 2 a , b, (2) 证明: 令 2 2 则 a b , a b , 2sin cos 2sina cos b 2 2 sin(a b ) sin(a b ) ( (1)结论 ) sin s知 sina sin b 1 , cosa cos b 1 , 3 2 求 cos(a b) 的值. 分析: ∵cos(a b) sina sinbcosa cosb, 考虑需要的sina sinb 和cosa cosb从哪里来, 将已知中的两式分别平方就有了.
. 得 cos (a b) 59 72
36
(构造和 (差) 角形式)
(三) 构造变换 补充例2. 求证: cos 2a 1 tana . 1 sin2a 1 tana 分析: 等式的左边是二倍角, 右边是单角, 思想: 用二倍角公式化为单角,
问题: cos2a 化成哪一个? 不妨把右边切化弦观察, 1 sina 右边 cosa cosa sina , 1 sina cosa sina cosa 若分子乘以cosa sina 就得cos2a sin2a,
简单的三角恒等变换
tan a = ±
1 - cos 2a 1 + cos 2a
问题提出
5.和差化积公式是什么？ q+ j q- j sin q + sin j = 2 sin cos 2 2 q+ j q- j sin q - sin j = 2 cos sin 2 2 q+ j q- j cos q + cos j = 2 cos cos 2 2
范例剖析:“化一”的应用
例4 如图,已知OPQ是半径为1,圆心角 为600的扇形,C是扇形弧上的动 点,ABCD是扇形的 Q 内 接 矩 形 , 记 ∠COP=α,求当角 α取何值时,矩形 D C ABCD 的 面 积 最 大 ？ 并求出这个最大 面积. O A BP
课堂小结
1.“化一”是转化思想的特殊运用即 将三角函数化为一个名、一个角、一 次方的形式,也就是:异角化同角,异 名化同名,升次与降次. 2.“化一”主要应用在三角函数以下 几 种 题 型 中 :(1) 求 值 域 ;(2) 求 周 期;(3)求单调区间;(4)求图象.
cos2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1 ＝1-2sin2α；
2 tan tan 2 2 1 tan
问题提出
3.降次公式是什么？
1 - cos 2a sin a = 2
2
1 + cos 2a cos a = 2
2
问题提出
4.半角公式是什么？
sin a = ±
1 - cos 2a 2
4
) sin( x
4
)
(1)求函数 f ( x)的最小正周期和图 象的对称轴方程. (2)求函数 f ( x)在区间 值域.
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
3.2 简单的三角恒等变换(二)
常见的三角变形技巧有 ① 切割化弦； ② “1”的变用； ③ 统一角度，统一函数， 统一形式等等．
温馨提示：为更好地满足您的学习和使用需求，课件在下载后可以自由编辑，请您根据实际情况进行调整！Thank you for
3.2 简单的三角恒等变换（二）
结
合
右
图
体
会
公
式
的
推
导
过
程
2 tan tan 2= 1 tan2
你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗?
(1) 3 sin 1 cos ;
2
2
cos sin sin cos sin( ).
6
6
6
(2)sin cos ;
2( 2 sin 2 cos )
62
6
S最大 =
1 3
3 6
3. 6
因此,当= 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 3 .
6
6
1.函数f (x) cos2 x 2 3 sin x cos x sin2 x的最小正周期是（ B）.
A. B. 2
C.2 D.4
解：f (x) 3 sin 2x cos 2x 2sin(2x ). 6
解：在RtOBC中，OB cos , BC sin .
在RtOAD中，DA tan 60 3.
OA
所以OA 3 DA 3 BC 3 sin ,
3
3
3
所以AB OB OA cos 3 sin . 设矩形ABCD的面积为S,则 3
S AB BC (cos 3 sin )sin 3
高中数学人教必修43.2简单的三角恒等变换教案4
§3.2 简单的三角恒等变换（二）学习目标：⒈了解三角恒等变换在数学中的一些应用．⒉体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学重点：三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学难点：形如sin cos y a x b x =+的函数的变换．教学方法：讲练结合．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：上节课，我们通过两个具体的实例，了解了三角恒等变换的特点和变换方法．本节课我们通过两个具体的例子来了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题：例3求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值以及它的单调递增区间．分析：这个函数我们并没有专门进行过研究，但是我们可以通过三角恒等变换先把函数式化简，然后再对它的性质进行研究．解：略．师：这个例子先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后再讨论有关性质的问题．例4如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大，可分二步进行：⑴找出S 与α之间的函数关系；⑵有的处的函数关系，求出S 的最大值．解：略．师：由例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如sin cos y a x b x=+转化为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归的思想．（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习 ⒋（Ⅳ）课时小结:通过三角恒等变换将形如sin cos y a x b x =+的函数转换为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，这是求三角函数式最值及周期的常用方法．（Ⅴ）课后作业：课本156P 习题3.2 A 组 ⒌ B 组 ⒍ 板书设计：教学后记:。
简单的三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
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方法技巧 1.化简的方法: (1)弦切互化 ， 异名化同名 ， 异角化同角 . (2)降幂或升幂 . 2.进行恒等变形时 ， 既要注意分析角之间的 差异 ， 寻求角的变换方法 ， 还要观察三角函 数的结构特征 ， 寻求化同名(化弦或化切)的 方法 ， 明确变形的目的 .
cos (α- β) ＝cosαcosβ+ s inαs inβ;
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第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
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想一想
第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
典题例证技法归纳
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第三章 三角恒等变换
新知初探思维启动
1.和 、差角公式及倍角公式
(1)s in (α+β)＝s inαcosβ+ cosαs inβ
; s in (α- β) ＝s inαcosβ- cosαs inβ;
(2)s in2α= 2s inαcosα
;
(3)cos (α+β)＝＝ccosαcosβ- s inαs inβ ;
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变式训练
第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
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备选例题
第三章 三角恒等变换
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2.在△ABC中 , 已知tanA, tanB是方程3x2＋8x
- 1 ＝0的两个根 , 则tanC=
.
第三章 三角恒等变换
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3.2简单的三角恒等变换(二)
、教学目标
1、通过三角恒等变形，形如asi nx -bcosx的函数转化为y = As in (x •「)的函数;
2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
、教学重点与难点
重点：三角恒等变形的应用。
难点：三角恒等变形。
三、教学过程
(一)复习：二倍角公式。
(二)典型例题分析
2
4. (1)求sir7 sin2的值；(2)求tanc -空)的值.
例1:已知0
,sin
解：(“由 0 —2*
2 2
sin ： sin 2二 sin ： 2sin ^cos 二
2 — 2 =20.
(2) tan ： sin :
cos ： = 4
,tan(「主厂回U 3 4 1 ta n ： 7 例2.利用三角公式化简 sin50( 1 x 3 tan10 ).
1 . 3
石sin10。
2(—coslO "匚 s in 10°) 解： 原式 =sin50(1 ------ )= sin 50 2 2
cos10 sin 30 cos10 cos30 sin10 = 2si n50 cos10°
sin80 cos10 .
二 -------- = ---------- =1 cos10 cos10
=2cos40 si n40 cos10 例 3 .已知函数 f (x)二 cos 4 x —2 sin xcosx —sin 4x
n
(1) 求f(x)的最小正周期，(2)当x ・［0, —］时，求f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合.
2
3
y =Asin :的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.
例4.若函数f (X)八一 3sin 2x - 2cos 2
x - m 在区间［0, — ］上的最大值为6,求常数m 的值及此函
数当x • R 时的最小值及取得最小值时 x 的集合。
5
cos 二】cos2二 4
（三）练习：教材P142面第4题。
（四）小结：⑴二倍角公式：
sin 2： =2sin ： cos ,
cos2： = cos2< -sin2： = 2cos < -1 =1 - sin2：, 2ta n ot tan2 —.
1 —ta n a
（2）二倍角变式：
2 2
2cos -1 2cos2_：i,2si n =1-cos2：
（3）三角变形技巧和代数变形技巧
常见的三角变形技巧有
①切割化弦；
②“ 1”的变用；
③统一角度，统一函数，统一形式等等.
（五）作业：《习案》作业三十四。