2013年二轮复习专题 解析几何 第1讲 圆锥曲线方程与轨迹问题
2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 解析几何(带解析)
解析几何内容主要包括两大知识模块——直线和圆模块以及圆锥曲线模块，复习该部分内容要抓住“两个基本一个结合”：一个基本方法——坐标法，一个基本思想——方程的思想，一个完美结合——数与形的结合．这三个方面是平面解析几何核心内容的体现，也贯穿了该部分知识复习的主线．
坐标法贯穿了该部分复习的第一条主线——方程
(1)直线的点斜式方程是直线方程各种形式推导的源泉，注意直线各种形式方程之间的关系，这几种形式的方程都有各自的约束条件，如截距式方程不能表示与两坐标轴平行的直线、过坐标原点的直线等；
(2)圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，经常结合圆的性质直接确定圆心和半径；
(3)圆锥曲线的定义是推导方程的基础，要熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义，灵活利用定义求解有关动点的轨迹问题．椭圆和双曲线都有两种形式的标准方程，注意这两种曲线中a，b，c的几何意义以及三者之间关系的区别与联系，准确把握抛物线的标准方程的焦点坐标、准线方程等．。
圆锥曲线的方程与轨迹方程(解析版)
专题1圆锥曲线的方程与轨迹方程一、考情分析求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第(1)问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.二、解题秘籍(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式．2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2+By2=1(A·B<0),这样可以简化运算.3.如果已知双曲线的渐近线方程y=±b a x a>0,b>0,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x2 a2-y2 b2=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示x2a2-y2b2=λ(λ≠0)．4.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.【例1】(2023届山西省长治市高三上学期质量检测)已知点P1,3 2在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,且点P到椭圆右顶点M的距离为13 2．(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【解析】(1)点P1,3 2,在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上代入得：1a2+94b2=1,点P到椭圆右顶点M的距离为132,则132=a-12+94,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由题意,直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),M2,0,A x1,y1,B x2,y2．联立y=kx+m3x2+4y2=12得3+4k2x2+8km x+4m2-12=0．Δ=64k2m2-43+4k24m2-12=484k2-m2+3>0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2,∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14,∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ．化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0,∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2-8km 3+4k 2+4m -4=0, 化简得m 2-2km -8k 2=0,解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时,直线AB 方程为y =k x +4 ,过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中,解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时,直线AB 的方程为y =k x -2 ,过定点2,0 ,不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于a ,b 的等式.【例2】(2023届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62,点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PD ⋅PE为常数？若存在,求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62,所以62 2=1+b 2a2,化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1,可得18b 2-16b2=1,解得b 2=2,所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0,由题可知1-2k 2≠0且Δ>0,即k 2<23且k 2≠12,所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ,则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ,所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2,化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数,所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41,解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516,所以,在x 轴上存在点P 134,0 ,使得PD ⋅PE 为常数,该常数为10516.【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出a ,b 的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.【例3】(2023届甘肃省张掖市高三上学期诊断)已知抛物线C :y 2=2px (p >1)上的点P x 0,1 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点E (t ,4)在抛物线C 上,过点D (0,2)的直线l 与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 y 1>0,y 2>0 两点,点H 与点A 关于x 轴对称,直线AH 分别与直线OE ,OB 交于点M ,N (O 为坐标原点),求证：|AM |=|MN |.【解析】(1)由点P x 0,1 在抛物线上可得,12=2px 0,解得x 0=12p.由抛物线的定义可得|PF |=x 0+p 2=12p +p 2=54,整理得2p 2-5p +2=0,解得p =2或p =12(舍去).故抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由E (t ,4)在抛物线C 上可得42=4t ,解得t =4,所以E (4,4),直线OE 的方程为y =x ,因为点A 和点H 关于x 轴对称,所以H x 1,-y 1 ,x 1,x 2均不为0.由题意知直线l 的斜率存在且大于0,设直线l 的方程为y =kx +2(k >0),联立y =kx +2,y 2=4x ,消去y ,得k 2x 2+(4k -4)x +4=0.则Δ=(4k -4)2-16k 2=16-32k >0,得0<k <12,所以x 1+x 2=4-4k k 2,x 1x 2=4k 2.由直线OE 的方程为y =x ,得M x 1,x 1 .易知直线OB 的方程为y =y 2x 2x ,故N x 1,x 1y 2x 2.要证|AM |=|MN |,即证2y M =y 1+y N ,即证x 1y 2x 2+y 1=2x 1,即证x 1y 2+x 2y 1=2x 1x 2,即证(2k -2)x 1x 2+2x 1+x 2 =0,则(2k -2)×4k 2+8-8kk 2=0,此等式显然成立,所以|AM |=|MN |.【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p 的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p 的等式.(二)直接法求曲线轨迹方程1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x ,y 的取值范围．【例4】设动点M 在直线y =0和y =-2上的射影分别为点N 和R ,已知MN ⋅MR =OM 2,其中O 为坐标原点.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过直线x -y -2=0上的一点P 作轨迹E 的两条切线PA 和PB (A ,B 为切点),求证：直线AB 经过定点.【分析】(1)利用直接法求轨迹方程,设M (x ,y ),把MN ⋅MR =OM 2 坐标化,即可得到动点M 的轨迹E 的方程；(2)利用导数的几何意义,求得切线斜率,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得切线PA 、PB 的方程,联立可得切点P的坐标为x 1+x 22，x 1x 22,又点P 在直线x -y -2=0上,代入可得x 1x 2=x 1+x 2-4,再代入到直线AB的方程即可得解.【解析】(1)设M (x ,y ),则N (x ,0),R (x ,-2),所以OM =(x ,y ),MN =(0,-y ),MR=(0,-2-y ),由条件可得-y (-y -2)=x 2+y 2,整理可得点M 的轨方程为x 2=2y ；(2)由(1)知,y =12x 2,求导可得y =x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则切线PA 的方程为y -x 122=x 1(x -x 1),即y =x 1x -x 122①,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -x 222②,联立①②,解得点P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22,因为点P 在直线x -y -2=0上,所以x 1+x 22-x 1x 22-2=0,即x 1x 2=x 1+x 2-4,又直线AB 的斜率k =x 222-x 122x 2-x 1=x 1+x 22,所以直线AB 的方程为：y -x 122=x 1+x 22(x -x 1),即y =(x 1+x 2)x -x 1x 22,又x 1x 2=x 1+x 2-4,代入可得y =(x 1+x 2)(x -1)2+2,所以直线AB 过定点(1,2).【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨迹方程.(三)定义法求曲线轨迹方程1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程．2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．3.平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数：(1)若a >c ,则集合P 为椭圆；(2)若a =c ,则集合P 为线段；(3)若a <c ,则集合P 为空集．4.平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0.(1)当2a <|F 1F 2|时,P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a =|F 1F 2|时,P 点的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时,P 点不存在．5.平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．注意：(1)定直线l 不经过定点F .(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.【例5】(2023届河北省示范性高中高三上学期调研)已知圆A ：x 2+y 2+6x +5=0,直线l (与x 轴不重合)过点B (3,0)交圆A 于C 、D 两点,过点B 作直线AC 的平行线交直线DA 于点E .(1)证明||EB |-|EA ||为定值,并求点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹方程为C 1,直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点,线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P ,是否存在实常数入,使得|MN |=λ|PB |,若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)x 2+y 2+6x +5=0⇒x +3 2+y 2=4,得A (-3,0),当|BD |>|BC |时,如图1所示,因为D ,C 都在圆A 上所以|AD |=|AC |,即∠ADC =∠ACD 又因为BE ∥AC ,所以∠ACD =∠EBD ,所以∠EDB =∠EBD ,∴|ED |=|EB |,所以|EB |-|EA |=|ED |-|EA |=|AD |=2当|BD |<|BC |时,如图2所示,同理可得,|EB |-|EA |=|ED |-|EA |=-|AD |=-2因此|EB |-|EA |=2<|AB |=6,所以点E 的轨迹是以A ,B 为焦点的双曲线,故2a =2,2c =6,即a =1,c =3,所以b 2=c 2-a 2=9-1=8,∴||EB |-|EA ||为定值2,且点E 的轨迹方程为x 2-y 28=1.(2)由题知,直线l 的斜率不为0,设l ：x =my +3,联立x =my +38x 2-y 2=8消去x 得,8m 2-1 y 2+48my +64=0,于是Δ=(48m )2-4×648m 2-1 =256m 2+1 >0,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则有y 1+y 2=-48m 8m 2-1,y 1y 2=648m 2-1,故x 1+x 2=my 1+3+my 2+3=m y 1+y 2 +6=-48m 2+48m 2-68m 2-1=68m 2-1,所以线段MN 的中点为-38m 2-1,-24m8m 2-1,从而线段MN 的中垂线的方程为y +24m 8m 2-1=-m x +38m 2-1 令y =0得,x =-278m 2-1,∴|PB |=3--278m 2-1 =3+278m 2-1=24m 2+1 8m 2-1又|MN |=1+m 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2-48m 8m 2-1 2-4×648m 2-1=16m 2+1 8m 2-1故|MN ||PB |=16m 2+1 8m 2-1×8m 2-1 24m 2+1 =23,于是λ=23即存在λ=23使得|MN |=λ|PB |.【点评】利用双曲线定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之差的绝对值为定值.【例6】已知一定点F (0,1),及一定直线l ：y =-1,以动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设P 在直线l 上,直线PA ,PB 分别与曲线C 相切于A ,B ,N 为线段AB 的中点．求证：|AB |=2|NP |,且直线AB 恒过定点．【解析】(1)动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切,动圆圆心到定点F (0,1)与定直线y =-1的距离相等,∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F (0,1)为焦点,y =-1为准线,∴p2=1⇒p =2,∴动圆圆心轨迹方程为x 2=4y ．(2)依题意可设P x 0,-1 ,A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,又x 2=4y ,∴y =14x 2∴y =12x故切线PA 的斜率为k 1=12x 1,故切线PA :y -14x 21=12x 1x -x 1 ⇒2x 1x -4y -x 21=0同理可得到切线PB :2x 2x -4y -x 22=0又P x 0,-1 ,∴2x 1x 0+4-x 12=0且2x 2x 0+4-x 22=0,故方程x 2-2x 0x -4=0有两根x 1,x 2∴x 1x 2=-4,∴k 1k 2=12x 1×12x 2=14x 1x 2=-1∴PA ⊥PB又N 为线段AB 的中点,∴|AB |=2|NP |又由2x 1x 0+4-x 21=0得到：12x 1x 0+1-x 214=0即12x 1x 0+1-y 1=0同理可得到12x 2x 0+1-y 2=0,故直线AB 方程为：12x 0x -y +1=0,故直线过定点F 0,1 .【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.(四)相关点法求曲线轨迹方程“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ,y ),主动点坐标为(x 1,y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x 1=f x ，y ，y 1=g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．【例7】(2023届广东省揭阳市高三上学期调研)已知F 1､F 2是椭圆C ：x 24+y 23=1的左､右焦点,点P m ,n n ≠0 是椭圆上的动点．(1)求△PF1F 2的重心G 的轨迹方程；(2)设点Q s ,t 是△PF 1F 2的内切圆圆心,求证：m =2s ．【解析】(1)连接PO ,由三角形重心性质知G 在PO 的三等分点处(靠近原点)设G (x ,y ),则有m =3x ,n =3y又m 24+n 23=1,所以9x 24+9y 23=1,即9x 24+3y 2=1△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为9x24+3y 2=1(y ≠0)；(2)根据对称性,不妨设点P 在第一象限内,易知圆Q 的半径为等于t ,利用等面积法有：S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅t +12|PF 2|⋅t +12|F 1F 2|⋅t =12|F 1F 2|⋅n结合椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=4,|F 1F 2|=2有12⋅4⋅t +12⋅2⋅t =12⋅2⋅n ,解得t =n 3由P (m ,n )､F 1(-1,0)两点的坐标可知直线PF 1的方程为nx -(m +1)y +n =0根据圆心Q 到直线PF 1的距离等于半径,有ns -(m +1)n3+n n 2+(m +1)2=n3∴3s -m +2 n 2+(m +1)2=1,∴9s 2-6sm +12s -6m +3-n 2=0∴3s 2-2sm +4s -2m +1-n 23=0,又m 24+n 23=1化简得12s 2-8sm +16s -8m +m 2=0,即12s 2-8sm +m 2 +16s -8m =0∴2s -m 6s -m +82s -m =0,即2s -m 6s -m +8 =0由已知得-2<m <2,-1<s <1,则6s -m +8>0所以2s -m =0,即m =2s ．(五)交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.【例8】(2022届重庆市第八中学高三上学期月考)已知抛物线C :y =x 2,过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点,以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32,求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【分析】(1)联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k 即可；(2)写出圆的切线方程,根据P 是交点可得x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,由(1)中x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2代入化简即可求出.【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在,故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2，可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3,解得k =1,故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0),对于抛物线y =x 2,y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1),点P 在该切线上,故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1),即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2,于是x 0=k2，y 0=k -2,消k 得y 0=2x 0-2,于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0,点P 的轨迹是一条直线.【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法三、跟踪检测1.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月阶段测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部,半径为63．P ,Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点,且P ,Q 两点的最小距离为1-63．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ,B 是椭圆C 上不同的两点,且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,由圆的性质,|PQ |≥|PO |-63当点P 在椭圆上运动时,当P 处于上下顶点时|PO |最小,故|PQ |≥|PO |-63≥b -63,即b -63=1-63依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c 2,解得a =2b =1c =1,所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上,所以直线AB 与圆O 相切.(i )当直线AB 垂直于x 轴时,不妨设A 63,63 ,B 63,-63,此时OA ⋅OB=0,所以OA ⊥OB ,故以AB 为直径的圆过点O .(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .因为AB 与圆O 相切,所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1=63,即3m 2-2k 2-2=0.由y =kx +m ,x 22+y 2=1,得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0,所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1,OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,=1+k 22m 2-22k 2+1 +km -4km 2k 2+1+m 2,=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2+1 2k 2+1,=3m 2-2k 2-22k 2+1=0,所以OA ⊥OB ,故以AB 为直径的圆过点O .综上,以AB 为直径的圆过点O .2.(2023届山西省忻州市高三上学期联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率是5,点F 是双曲线C 的一个焦点,且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设点M 在直线x =14上,过点M 作两条直线l 1,l 2,直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点,直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点.若直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,证明：MA MD =MEMB.【解析】(1)根据双曲线的对称性,不妨设F c ,0 ,其渐近线方程为bx ±ay =0,因为焦点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.所以2=bcb 2+a 2,因为双曲线C 的离心率是5,所以,c a =52=bc b 2+a 2c 2=a 2+b 2,解得a =1,b =2.所以,双曲线C 的标准方程为x 2-y 24=1.(2)证明：由题意可知直线l 1的斜率存在,设M 14,t ,直线l 1:y =k x -14+t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立y =k x -14 +tx 2-y 24=1整理得k 2-4 x 2+2kt -12k 2 x +116k 2-12kt +t 2+4=0,所以,x 1+x 2=-2kt -12k 2k 2-4,x 1x 2=116k 2-12kt +t 2+4k 2-4.故MA ⋅MB =k 2+1 x 1-14 x 2-14 =k 2+1 x 1x 2-14x 1+x 2 +116 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4.设直线l 2的斜率为k,同理可得MD ⋅ME =k2+1 4t 2+154k 2-4.因为直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,所以k =-k ,所以k 2=k 2,则k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 ,即MA ⋅MB =MD ⋅ME ,所以MA MD =MEMB.3.(2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考)如图,平面直角坐标系xOy 中,点Q 为x 轴上的一个动点,动点P 满足PO =PQ =32,又点E 满足PE =12EQ .(1)求动点E 的轨迹Γ的方程；(2)过曲线Γ上的点A x 0,y 0 (x 0y 0≠0)的直线l 与x ,y 轴的交点分别为M 和N ,且NA =2AM,过原点O 的直线与l 平行,且与曲线Γ交于B 、D 两点,求△ABD 面积的最大值.【解析】(1)法一：由题意,设E x ,y ,P 12x ,y ,由PO =PQ =32得Q x ,0 ,且x 24+y 2=94,由PE =12EQ 得E 23x ,23y ,则x =23x y =23y ,得x =32x y=32y,代入x 24+y 2=94整理得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.法二：设∠POQ =α,P 32cos α,32sin α ,Q 3cos α,0 ,设E x ,y ,则由PE =12EQ 得x =23×3cos α=2cos αy =23×32sin α=sin α,消去α得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)如图,设A x 0,y 0 (x 0y 0≠0),又直线l 的斜率存在且k ≠0,∴设直线l 为：y -y 0=k x -x 0 ,可得：M x 0-y 0k,0 ,N0,y 0-kx 0 ,由NA =2AM ,则x 0,kx 0 =2-y 0k ,-y 0 ,故x 0=-2y 0k,kx 0=-2y 0,联立x 204+y 20=1x 0=-2y 0k,可得：y 20=k 21+k 2,即y 0 =k 1+k 2,又BD ⎳l ,故直线BD 的方程为y =kx ,联立x 24+y 2=1y =kx,得：x 2=41+4k 2,即B 、D 的横坐标为±21+4k 2,∴BD =1+k 2x B -x D =41+k 21+4k 2,∵点A 到直线BD 的距离d =kx 0-y 0 1+k 2=3y 01+k 2=3k 1+k 2,∴S △ABD =12BD ⋅d =6k 1+4k 21+k 2=61+k 2 1+4k 2k2=64k 2+1k2+5≤624k 2×1k2+5=2,当且仅当4k 2=1k2,即k =±22时等号成立,∴△ABD 面积的最大值为2.4.(2023届湖南省永州市高三上学期适应性考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P ),k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率,满足k 1k 2=32,求证：直线AB 恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72,解出,a =2,b =3,所以,双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时,则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ,代入x 24-y 23=1,得y 02=34n 2-3,则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32,即9n 2-48n +48=0,解得n =43或n =4,当n =4时,y 0=±3,A ,B 其中一个与点P 4,3 重合,不合题意；当n =43时,直线AB 的方程为x =43,它与双曲线C 不相交,故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1,整理得,3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2,由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2,所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以,2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0,即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0,即3m +4k +3 m +4k -3 =0,所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0,若3m +4k +3=0,则m =-4k +33,直线AB 化为y =k x -43 -1,过定点43,-1 ；若m +4k -3=0,则m =-4k +3,直线AB 化为y =k x -4 +3,它过点P 4,3 ,舍去综上,直线AB 恒过定点43,-1 5.(2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系xOy 中, 设点P -13,0 ,Q 13,0 ,点G 与P ,Q 两点的距离之和为43,N 为一动点, 点N 满足向量关系式：GN +GP +GQ =0 ．(1)求点N 的轨迹方程C ；(2)设C 与x 轴交于点A ,B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点(且不与A ,B 重合)．设直线AM ,x 轴与直线x =4分别交于点R ,S ,取E (1,0),连接ER ,证明：ER 为∠MES 的角平分线．【解析】(1)设点N (x ,y ),G (x ,y ),则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为43>|PQ |=23,可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x 2+3y 2=1,由GN +GP +GQ =0 ,可得x =x 3，y =y 3,代入点G 的轨迹方程,可得：94x 3 2+3y 32=1,所以点N 的轨迹方程C ：x 24+y 23=1；(2)设点M (x 0，y 0),则ME :y =y 0x 0-1(x -1),即y 0x -(x 0-1)y -y 0=0,MA :y =y 0x 0+2(x +2),令x =4,得y =6y 0x 0+2,∴R 4，6y 0x 0+2,则点R 到直线ME 的距离为：d =4y 0-6y 0(x 0-1)x 0+2-y 0y 20+(x 0-1)2=|3y 0(4-x 0)|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2=(12-3x 0)|y 0|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2,要证ER 为∠MES 的角平分线,只需证d =|RS |,又|RS |=|y R |=6|y 0|x 0+2,∵y 0≠0,所以d =|RS |,当且仅当4-x 0y 20+(x 0-1)2=2,即(4-x 0)2=4[y 20+(x 0-1)2]时,又(x 0，y 0)在C 上,则x 204+y 203=1,即4y 20=12-3x 20,代入上式可得16-8x 0+x 20=12-3x 20+4x 20-8x 0+4恒成立,∴ER 为∠MES 的角平分线．6.(2023届云南省大理市辖区高三统一检测)已知F 1,F 2为椭圆C 的左、右焦点,点M 1,32为其上一点,且MF 1 +MF 2 =4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于坐标原点O 的对称点R ,试问△PQR 的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,1a 2+94b2=1,解之得：{a 2=4,b 2=3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)如图所示,设直线l :x =my -1,则{x =my -1,3x 2+4y 2=12,消去x 整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,△PQR 的面积为S ,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4又Δ=36m 2+363m 2+4 =36×4m 2+1 >0,则S =2S △POQ =2×12×OF 1 ×y 1-y 2 =y 1-y 2 =(y 1+y 2)2-4y 1y 2=36×4m 2+13m 2+4=12m 2+13m 2+4,令m 2+1=t (t ≥1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ≥1),又设f (t )=3t +1t ,则f (t )=3-1t2>0,∴f (t )在[1,+∞)上为增函数,f (t )min =f (1)=4,∴S max =3,所以,存在当m =0时,即直线l 的方程为x =-1,△PQR 的面积有最大值,其最大值为37.(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ =9QF,求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ,准线方程为x =-p2,由题意,该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2,所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ,则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ,所以P 10x 0-9,10y 0 ,由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ,即x 0=25y 20+910,据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925,所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9,当y 0=0时,k OQ =0；当y 0≠0时,k OQ =1025y 0+9y 0,当y 0>0时,因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30,此时0<k OQ ≤13,当且仅当25y 0=9y 0,即y 0=35时,等号成立；当y 0<0时,k OQ <0；综上,直线OQ 的斜率的最大值为13.8.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0),O 是坐标原点,F 是C 的焦点,M 是C 上一点,|FM |=4,∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点Q x 0,2 在C 上,过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ,分别交C 于A ,B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°,可得M p2+2,±23 ,代入C :12=2p p2+2=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍),所以抛物线的方程为：y 2=4x ．(2)由题意可得Q (1,2),直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +n ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y 2=4x x =my +n ,得y 2-4my -4n =0,从而Δ=16m 2+16n >0,则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n ．所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ,x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2,∵QA ⊥QB ,∴QA ⋅QB=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0,故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0,整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2,从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1),即n =2m +5或n =-2m +1．若n =-2m +1,则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1,过定点(1,2),与Q 点重合,不符合；若n =2m +5,则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5,过定点(5,-2)．综上,直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．9.(2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期9月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,椭圆上一动点P 与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左､右顶点分别为A ,B ,直线PQ 交椭圆C 于P ,Q 两点,记直线AP 的斜率为k 1,直线BQ 的斜率为k 2,已知k 1=3k 2.①求证：直线PQ 恒过定点；②设△APQ 和△BPQ 的面积分别为S 1,S 2,求S 1-S 2 的最大值.【解析】(1)由题意c a =32bc =3a 2=b 2+c2 ,解得a 2=4b 2=1 ,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)①依题意A (-2,0),B (2,0),设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,若直线PQ 的斜率为0则P ,Q 关于y 轴对称,必有k AP =-k BQ ,不合题意．所以直线PQ 斜率必不为0,设其方程为x =ty +n (n ≠±2),与椭圆C 联立x 2+4y 2=4x =ty +n,整理得：t 2+4 y 2+2tny +n 2-4=0,所以Δ=16t 2+4-n 2 >0,且y 1+y 2=-2tn t 2+4,y 1y 2=n 2-4t 2+4.因为P x 1,y 1 是椭圆上一点,即x 214+y 21=1,所以k AP ⋅k BP =y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=1-x 214x 21-4=-14,则k AP =-14k BP =3k BQ ,即12k BP ⋅k BQ =-1因为12k BP ⋅k BQ =12y 1y 2x 1-2 x 2-2 =12y 1y 2ty 1+n -2 ty 2+n -2=12y 1y 2t 2y 1y 2+t (n -2)y 1+y 2 +(n -2)2=12n 2-4t 2+4t 2n 2-4 t 2+4-2t 2n (n -2)t 2+4+(n -2)2=12(n +2)t 2(n +2)-2t 2n +(n -2)t 2+4 =3(n +2)n -2=-1,所以n =-1,此时Δ=16t 2+4-n 2 =16t 2+3 >0,故直线PQ 恒过x 轴上一定点D -1,0 ．②由①得：y 1+y 2=2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4,所以S 1-S 2 =12⋅y 1-y 2 ⋅2--1 -12⋅y 1-y 2 ⋅-2--1 =y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=4t 2+3t 2+4=4t 2+4 -1t 2+4 2=41t 2+4-1t 2+42=4-1t 2+4-12 2+14,而1t 2+4∈0,14 ,当1t 2+4=14时S 1-S 2 的最大值为3．10.(2022届云南省红河州高三检测)在平面直角坐标系xOy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为b a >b >0 的圆与线段OM 交于点N ,作MD ⊥x 轴于点D ,作NQ ⊥MD 于点Q .(1)令∠MOD =α,若a =4,b =1,α=π3,求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；(3)设(2)中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点B 1,B 2,若点E ､F 分别满足AE =-3OE ,4AF =3OB 2,证明直线B 1E 和B 2F 的交点K 在曲线C 上.【解析】(1)设Q x ,y ,则由题知x =x M =4cos π3=2y =y D =sin π3=32,因此Q 2,32 ；(2)设∠MOD =α及Q x ,y ,则由题知x =a cos αy =b sin α ,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：x2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ；(3)设K x ,y ,由知,B 10,b ,E a 4,0 ,B 20,-b ,F a ,-34b ,l B 1E :xa 4+y b =1,即4bx +ay =ab ,l B 2F :y +b -34b +b=x a ,即bx -4ay =4ab ,联列上述直线方程,解得x =817ay =-1517bx 2a 2+y 2b 2=82172+152172=1,因此交点K 在椭圆C 上.11.(2022届广东省六校高三上学期联考)在平面直角坐标系xoy 中,已知圆A ：x +2 2+y 2=8,B 2,0 ,动圆P 经过点B 且与圆A 相外切,记动圆的圆点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)试问,在x 轴上是否存在点M ,使得过点M 的动直线l 交C 于E ,F 两点时,恒有∠EAM =∠FAM ？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设动圆P 的半径长为r ,则PB =r ,PA =r +22,∴PB -PA =2 2.因此,圆心P 的轨迹为以A -2,0 、B 2,0 为焦点,实轴长为22的双曲线的右支,设C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(x >0),则根据双曲线定义a =2,c =2,∴b 2=c 2-a 2=2,因此C 的方程为x 22-y 22=1(x >0).(说明：没写x 的范围扣1分)(2)不存在满足条件的点M ,理由如下：假设存在满足条件的点M ,设点M 的坐标为m ,0 ,直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k x -m ,由y =k x -m ,x 22-y 22=1,消去y 并整理,得k 2-1 x 2-2mk 2x +k 2m 2+2=0,设E x 1,y 1 、F x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2mk 2k 2-1,x 1x 2=k 2m 2+2k 2-1,(*)由∠EAM =∠FAM ,得k AE +k AF =0,即y 1x 1+2+y 2x 1+2=0,将y 1=k x 1-m ,y 2=k x 2-m 代入上式并化简,得2x 1x 2+2-m x 1+x 2 -4m =0.将(*)式代入上式,有2⋅k 2m 2+2k 2-1+2-m ⋅2mk 2k 2-1-4m =0,解得m =-1.而当直线l 交C 于E ,F 两点时,必须有x 1+x 2>0且x 1x 2>0.当m =-1时,x 1+x 2=-2k 2k 2-1,x 1x 2=k 2+2k 2-1,由-2k 2k 2-1>0,k 2+2k 2-1>0,⇒k 2<1,k 2>1, k 无解,则当m =-1时,不符合条件.因此,不存在满足条件的点M .12.(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x +1)2+y 2=16的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,点G 在线段AP 上,且满足GP =GB .(1)求点G 的轨迹E 的方程；(2)不过原点的直线l 与(1)中轨迹E 交于M ,N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=4x 上,求直线l 的斜率k 的取值范围.【解析】(1)易知A -1,0 ，∵点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,∴B 1,0 ,依题意GA +GB =AP =4>2=AB ,所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A ,B ,长轴长为4,设该椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,2c =2,∴a =2,c =1,∴b 2=a 2-c 2=3,故点G 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知直线1的斜率存在,设直线1：y =kx +t t ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,Q x 0,y 0 ,由y =kx +t 3x 2+4y 2=12得：4k 2+3 x 2+8ktx +4t 2-12=0,∵Δ=(8kt )2-43+4k 2 4t 2-12 >0,即4k 2-t 2+3>0①又x 1+x2=-8kt 4k 2+3,x 1⋅x 2=4t 2-124k 2+3故Q -4kt 4k 2+3,3t 4k 2+3 ,将Q -4kt 4k 2+3,3t4k 2+3,代λy 2=4x ,得t =-16k 4k 2+39②,k ≠0 ,将②代入①,得：162k 24k 2+3 <81,4×162k 4+3×162k 2-81<0,即k 4+34k 2-932 2<0,即k 2-332 k 2+2732 <0,即k 2-332<0,∴-68<k <68且k ≠0,即k 的取值范围为:-68<k <0或0<k <68.。
2013高考数学二轮复习专题演练4.3_解析几何--直线与圆锥曲线的位置关系
2013高考数学二轮复习专题演练 4.3 解析几何--直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ( ) A ．3 2 B ．2 6 C ．27 D ．4 2 解析：设椭圆方程为x 2a 2y 2a 2－4＝1，将x ＝－3y －4代入整理得：4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0， 由Δ＝0可求a ＝7，则2a ＝27. 答案：C2．(2009·山东)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4， 令x ＝0得：y ＝－a 2.∴12×|a |4·|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.答案：B3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0) 设A (x 0，y 0), 过A 点向准线作垂线AB ，则B (－2，y 0)． ∵|AK |＝2|AF |，又AF ＝AB ＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由BK 2＝AK 2－AB 2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得A (2，±4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：BA ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：由e ＝ca＝1－b 2a 2＝32得a ＝2b ，a ＝23c ，b ＝c 3.由⎩⎪⎨⎪⎧34x 2＋3y 2＝c 2y ＝k (x －c )，得(3＋12k 2)y 2＋6cky －k 2c 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2ck 1＋4k 2①y 1y 2＝－k 2c 23＋12k2②由AF →＝3FB →得y 1＝－3y 2③ 联立①②③得k ＝ 2. 答案：B5．(2010·安徽蚌埠)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－153<k <－1.故选D. 答案：D二、填空题6．(2009·海南)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解：设抛物线C 的方程为y 2＝ax ，直线y ＝x 与抛物线C 两交点的坐标为A (x 1，y 2)， B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝ax 1， ①y 22＝ax 2 ②①－②整理得y 1－y 2x 1－x 2×y 1＋y 22＝a2，∴a ＝4. 所求抛物线方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x7．(2009·福建)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为y ＝x －p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．把y ＝x －p 2代入y 2＝2px 整理得⎝⎛⎭⎫x －p 22＝2pxx 2－3px ＋p24＝0.则x 1＋x 2＝3p ，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p . 由已知条件4p ＝8，p ＝2. 答案：2解析：由⎝⎛x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋y －1＝0，消去y 得：(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2， y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝0， ∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， ∴2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b2＋1＝0，∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，又∵a >b >0，∴1a 2＋1b 2 2.答案：2答案：2 三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向 量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k2x 2＋22kx ＋1＝0①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22③ 而A (2,0),B (0,1)，AB →＝(－2，1)．所以OP →+OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入上式，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .②当k ≠0时，可设l 的方程y ＝kx ＋m (k ≠0)，联立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1， 消去y ，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0. 直线l 和椭圆C 有两个不同的交点．则Δ＝36k 2m 2－12(1＋3k 2)(m 2－1)>0，即1＋3k 2－m 2>0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－1)1＋3k 2.则PQ 中点N (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋3k2，即N ⎝⎛⎭⎫－3km 1＋3k 2，m 1＋3k 2. 又∵|AP →|＝|AQ →|，∴AN →⊥PQ →，∴k ·k AN ＝－1， 即k ·m1＋3k 2＋1－3km1＋3k2＝－1，∴m ＝1＋3k 22，代入1＋3k 2－m 2>0，得1＋3k 2－⎝⎛⎭⎫1＋3k 222>0(k ≠0)，∴k 2<1，∴k ∈(－1,0)∪(0,1)．综合①②，得k 的取值范围是(－1,1)．(1)若|k |≤26，求离心率e 的取值范围；(2)若|k |＝26，并且弦AB 的中点到右准线的距离为20033，求椭圆的方程．解：(1)直线l 的方程为y ＝k (x －c )，则点M (0，－ck )． ∵点B 分MF →的比λ＝2， ∴x B ＝23c ，y B ＝－kc 3.∴4c 29a 2＋c 2k 29b2＝1， ∴k 2＝9b 2c 2⎝⎛⎭⎫1－4c 29a 2＝9(a 2－c 2)c 2－4(a 2－c 2)a 2＝4e 2＋9e2－13.∵k 2≤24，∴4e 4－37e 2＋9≤0. 解之14≤e 2≤1，也即12≤e <1.(2)∵k ＝26，∴e ＝12.∴a ＝2c ，b ＝3c .∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.将直线y ＝26(x －c )代入椭圆方程得33x 2－64cx ＋28c 2＝0.由韦达定理得x 1＋x 2＝64c33，又右准线为x ＝4c ，∴弦AB 中点到右准线距离为4c －x 1＋x 22，故4c －3233c ＝20033， 解得c ＝2，从而a ＝4，b ＝2 3. ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。
第二轮数学专题直线与圆锥曲线轨迹与方程
第二轮数学专题直线与圆锥曲线轨迹与方程集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]高考攻略黄冈第二轮复习新思维数学专题七直线与圆锥曲线的轨迹与方程命题人；董德松易赏双曲线抛物线两条直线圆的轨迹是动点，则为直角顶点作等腰直角为直角边、点为坐标原点，以上，在直线设动点轨迹方程是的的中点两点，则线段、分别交抛物与作两条互相垂直的直线的顶点过抛物线迹方程是中点的轨在圆上运动时，，当内接与圆，且，点已知圆是的轨迹方程，则点所成的比为分，点上任意一点，定点是抛物线设动点抛物线双曲线椭圆圆点的轨迹为，则垂足为的外角平分线引垂线，顶点一焦点向是椭圆上任一点，从任是椭圆的两个焦点，、的轨迹方程为，则交于与的垂直平分线为圆周上一动点，线段是圆内一定点，的圆心为设圆的右支的左支轨迹方程是的则动点且满足条件为定点，、为动点，中，迹方程为的轨为原点，则点，其中轴上，且不在），动点，（），，（已知两点一、选择题....1.882.82.82.82.4.7)41(41.)21(21.41.21.60)0,1(,1.6316.13.313.316.2)1,0(12.5.....41214254.1214254.1254214.1254214.)0,1(,25)1(.3)0(131616.)0(131616.)0(131616.)0(131616.,sin 21sin sin )0,2(),0,2(.2)0(1)1.()0(4)2.()0(1)1.()0(4)2.(0102.12222222222222222222221212222222222222222222222222222222222D C B A Q OPQ O OP O x P y D x y C x y B x y A P AB B A O x y x y x D x y x C y x B y x A BC BC BAC ABC A y x x y D x y C x y B x y A M M A x y P D C B A P P M MF F M F F y x D y x C y x B y x A M M CQ AQ Q A C y x y a y a y D y a y a x C x a x a y B y a y a x A A A B C a C a B C B A ABC y y x D y y x C y y x B y y x A P O BPO APO x P B A ∆=+-=+=-=--==<=+<=+=+=+︒=∠∆=+-=--=+=-=+=∆=+=-=+=-=++≠=-≠=-≠=-≠=-=--∆≠=+-≠=+-≠=++≠=++∠=∠-||02||.00)0(1.16214)0,02.151222.144.131916.12)1(0101.11)0(04.)0(04.)0(0.)0(0.21.10....|,1243|)2()1(5),(.92221121222222222212221222≠=⋅=->>=+∆=-<<-=+=∆=-±≠=--=++≠=+≠=+≠=≠=++==++=-+-TF TF PT Q F T Q F P a Q F Q c F c F b a b y a x ABC m l B A P y x l m M m M AB B A y x P M AB O OB OA O x y G P F F y x F F P a ay x y ax x y x D x y x C y x B x y A F c x ax y ac D C B A P y x y x y x P ，上，并且满足在线段与该椭圆的交点，点是线段，点是椭圆外的动点，满足），（）、，（的左、右焦点分别是已知的重心的轨迹方程变化时，求）当（的方程）求直线（两点、于而与双曲线的渐近线交，有唯一的交点与双曲线的直线（过点，在直角坐标系中，通设三、解答题的轨迹方程是的中点两点，则、交于）为圆心的圆与椭圆，（设以程是的轨迹方上的射影在，则抛物线顶点、作相互垂直的弦的顶点过抛物线的轨迹方程是的重心上运动，则为焦点的双曲线、在以点的交点的轨迹方程是和两条直线二、填空题的轨迹方程的焦点，则抛物线若椭圆双曲线抛物线两条相交直线点的轨迹是则满足已知动点程平分的弦所在直线的方）且被，（）求过点（方程被截得的弦的中点轨迹与椭圆相交，求）的直线，（）过（程的平行弦的中点轨迹方求斜率为已知明理由切值；若不存在，请说的正若存在，求的面积，使上，是否存在点的轨迹）试问：在点（的轨迹方程求点的横坐标，证明为点设P P l l A y x MF F b S MF F M C T T x ac a P F P x 212131222)1(12.17,3)2(||)1(22212211=+∆=∆+=专题七 直线与圆锥曲线的轨迹与方程一、二、)(042.14)0(04.131169.120.11222222椭圆内的部分=-+≠=-+=-=+-+y x xy x x y x y x y x y x三、⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+==+=+∴==∆=⊥=⋅≠≠-=+=>+-≥+-≥+=-++=++=≠<=-<<=----=><=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+==+=-+-+-----=-=--=--±=-±==∆=+-+-=--=②①的充要条件是使上存在点的方程是的轨迹综上所述，点中，的中点，在为线段所以，又，得时，由且的轨迹上，和点时当作的坐标为设点所以知则在椭圆上，得：由点的坐标为设点解：且程为综上所述，所求轨迹方时，同理可得当得消去由重心公式联立，得和时，分别与：所以，有因为中，有代入不垂直，设其方程为与显然，解：202202020022222212122222122222221222222222222222222222||221),()3(,||21|||,|||00||0||)0,()0,(,0||),,()2(||,0,,)()()(||),,()1(.16)00(916)0,0(916)(42)0,0(9163443383),422,422(),422,422()(42)2()(42420,0)4(2)1(4).()1(.15b y c a y x b S y x M C a y x C T a y x a Q F OT F QF Q F T PF PQ TF PT TF PT TF a a y x T x ac a P F a c x a c a a x x a c a x ab bc x y c x F P y x P y x y x y x y x m x m y y x y x m m my y y m x x x m m m m B mmm m A x y x y m x m y m x m y l m k m k x mk x k y x m x k y x l B A B A342,21)()(,0))((2))((1,1)3()(02220222,0212,21)()(0)()(2,0)(4)(2,2,2,0))((2))((,12,12),,(),,(),,()2()3232(025,952,922,329432,94928,0)22(94)8(),,(),,(02289122.22)1(.172|1|tan ,90,2||,,,;,0))((,||212121212121212122222121212121212121212121212222212122112121212222112222212121212100201222222242202021=-+-=--=-++-+=+=+=--+∴=--+=--⋅+--=--=--⋅+∴=-+-∴=+=+=-++-+=+=+<<-=+∴=+=-=+<-<--=⨯-=+>-⨯-=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+-=∠∴︒<∠<-==+==≥〈=≥≥+-=-==y x x x y y y y y y x x x x y y x x y x y x y x y x x y y x x y x x y y y x y y y x y y y x x x y y y x x x y y y y x x x x y x y x y x y x y x l x y x b y y y b x x b b b x x b b y x y x b bx x y x b x y b x y k k k k MF F MF F a F F cx y k k c x y k k c b a M c b a b S M c b a c b a c b a cb a xc b y MF c M F 故所求的直线方程为得代入将夹在椭圆内的部分所求轨迹方程为化简得代入①得由题意知①又整理得两式相减并则弦的中点为与椭圆的焦点为设为所求轨迹方程即则点坐标为，设平行弦的端得由的直线的方程为设斜率为解：知由设时当点时，不存在满足条件的当，使时存在点于是，当将上式代入①得：由②得。
高考数学二轮复习 专题六 解析几何 2.6.2 圆锥曲线的方程与性质课件 理
⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，
过点M作MM1⊥l交l于点M1，则
|MM1|＝
|AA1|＋|BB1| 2
.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦
点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，
|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，选D.
1．(2018·江西九江模拟)F1，F2是椭圆
x2 9
＋
y2 7
＝1的左、右焦
点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为
()
A．7 B.74 C.72 D.725
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[解析] 由题意可得，a＝3，b＝ 7，c＝ 2，|AF1|＋|AF2|＝ 6.
p 2
×
3 p＝4
3 ，解得p＝4(p＝
－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.
[答案] B
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4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线
x2 4
－
y2 2
＝1右焦点为
F，P为双曲线左支上一点，点A(0， 2 )，则△APF周长的最小
值为( )
A．4＋ 2
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[解析] 如图所示，设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于
M、N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，|AF1|
＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|，2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－
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人教A版高考数学二轮复习讲义及题型归纳(中档)：圆锥曲线第一章 轨迹方程
高考数学二轮复习（理）讲义及题型归纳（中档）圆锥曲线第一章轨迹方程动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标,x y 所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.第一节:直译法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.【例1】在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-，求动点P 的轨迹方程.解析：因为点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，所以点B 的坐标为()1,1-，设点(),P x y ，由题意得111113y y x x -+=-+-，化简得()22341x y x +=≠± ，故动点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠± 【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1,A B -点在直线3y =-上，M 点满足,MB OA MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ，求C 的方程。
解析 设(),M x y ，因为()0,1A -，M 点满足//MB OA ，所以()()()(),3,,1,0,3,,2B x MA x y MB y AB x -=---=--=-，由题意可知()0MA MB AB +⋅=，即0)2,()24,(=-⋅---x y x ，即2412-=x y 。
【例3】已知动点(),M x y 到直线: 4l x =的距离是它到点()1,0N 的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点()0,3P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 【解】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x .所以，动点M 的轨迹为 椭圆，方程为13422=+y x (Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。
2013年高考解析几何大题亮点之求轨迹方程
2013年高考解析几何大题亮点之求轨迹方程
郝安军
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2013(000)012
【摘要】求轨迹方程一直是解析几何的重点，2013年许多高考大题对其作了考查，下面列举2013年高考解析几何大题中出现的几类求轨迹方程的方法．
【总页数】3页(P38-40)
【作者】郝安军
【作者单位】陕西安康市江北高级中学,725000
【正文语种】中文
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华
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高考数学二轮复习 圆锥曲线 课时考点13 轨迹问题
课时考点13 轨迹问题考纲透析考试大纲：在理解曲线与方程意义的基础上，能较好地掌握求轨迹的几种基本方法. 高考热点：1.直接法、定义法、转移法求曲线的轨迹方程.2.数形结合的思想，等价转化的思想能起到事半功倍的作用.新题型分类例析热点题型1：直接法求轨迹方程 （05江苏•19）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程解：以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0）， 由已知PN 2PM =，得22PN PM =因为两圆的半径均为1，所以1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ，即33)6(22=+-y x ， 所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）[变式新题型1]：设双曲线13222=-x ay 的焦点分别为1F 、2F ，离心率为2.（1）求此双曲线的渐近线`1l 、2l 的方程；（2）若A 、B 分别为`1l 、2l 上的动点，且2|AB |=5|1F 2F |，求线段AB 的中 点M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.热点题型2：定义法和转移法求轨迹方程 （05辽宁•理21）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由。
2013高考试题《圆锥曲线》《导数》《解析几何》解析分类汇编
2013高考试题解析分类汇编：圆锥曲线一、选择题错误！未指定书签。
．1（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45C ．255D ．4552214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式错误！未指定书签。
0022Ax Bx C d A B++=+2222551(2)±=+±．2（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A ．22145x y -=B ．22145x y -= C．22125x y -=D ．22125x y -==． B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．错误！未指定书签。
3．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±已知双曲线C ：的离心率为，故有=，所以=，解得=．故C 的渐近线方程为，故选C ．本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。
双曲线1C 中，2222cos ,sin a b θθ==，所以21c =，离心率为221c o s e θ=。
2C 中，22222s i n ,s i n t a n a b θθθ==，所以22222s i n s i nt a nt a n c θθθθ=+=。
离心率为2222tan 1sin cos e θθθ==，所以两个双曲线有相同的离心率，选D.错误！未指定书签。
广东省届高考数学文二轮专题复习解析几何 圆锥曲线与方程精品PPT课件
变式2(2010广州二模)已知双曲线C：ax22 by22 1ab0
和圆O：x2 y2 b2(其中原点O为圆心)，过双曲线C上一 点P(x0，y0)引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若双曲线 C上存在点P，使得APB90，求双曲线离心率e的取值 范围．
解 析 因 为 a b 0， 所 以 b 1. a
2 Q F1 Q F2
2(
4b2 Q F1 Q F2
)2
1
b2 2 a2
1
1， 3
2
所
以
cos
F1Q
F
的
2
最
小
值
为
1 3
.
(当 且 仅 当 Q F1 Q F2 时 ， 即 Q 取 椭 圆 的 上 、 下 顶 点 时 ，
c o s F1Q F 2 取 得 最 小 值 ．)
2
设
直
线
A2Q的
斜
率
e c a
a2 b2
b2
a2 1 a2
1 (b )2 a
2.
由APB 90及圆的性质可知四边形PAOB为正方形， 所以 OP 2b.
因为 OP a，即 2b a，所以 b 2 ， a2
所以e 1 b2 1 1 6 ，
a
22
所以双曲线离心率e的取值范围为[ 6 ，2)． 2
分 别 为 a、 b、 c，
则 有 a 2 3， b 2 ， c 2 2，| F1 F 2 | 2 c 4 2 .
由 椭 圆 的 定 义 ， 有 Q F1 Q F2 2 a 4 3 .
co s F1Q F2
Q F1 2 Q F2 2 F1F2 2 2 Q F1 Q F2
Q F1 Q F 2 2 F1 F 2 2 2 Q F1 Q F 2
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2．圆锥曲线的标准方程是圆锥曲线中的一个基本问 题，也是研究其几何性质的重要前提．求解圆锥曲线的标 准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，是 指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标 轴是 x 轴还是 y 轴，抛物线的焦点是在 x 轴的正半轴、负 半轴，还是 y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准 方程的形式；“计算”就是指利用待定系数法求出方程中 的 a2、b2、p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线 的标准方程．
x2 y2 例 2 (1)[2012· 课程标准卷]设 F1，F2 是椭圆 E： 2＋ 2＝1 a b 3a (a>b>0)的左，右焦点，P 为直线 x＝ 上一点，△F2PF1 是底 2 角为 30° 的等腰三角形，则 E 的离心率为( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 x2 y2 (2)[2012· 浙江卷]如图，F1，F2 分别是双曲线 C： 2－ 2＝1 a b (a，b>0)的左，右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两 条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M. 若|MF2|＝|F1F2|，则 C 的离心率是 ( ) 2 3 6 A. B. 3 2 C. 2 D. 3
三、直线与圆锥曲线的位置关系
例 3 [2012· 安徽卷] 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该 抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( ) 2 3 2 A. B. 2 C. D．2 2 2 2
[思考流程] (分析)欲求三角形面积需知三角形的结构 ⇨ (推理)根据|AF|＝3 和抛物线的定义可确定点 A 的坐标，进而 可确定直线 AB 方程或者点 B 坐标 ⇨ (结论)求出解三角形面 积需要的量即可．
9．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦 所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于 x1＋x2，x1－x2， y1＋y2，y1－y2 的关系式． ③应用斜率公式及中点坐标公式求解．
3 2 x2 y2 (2)函数 y＝ 3－ x 可变为 ＋ ＝1(y≥0)， (1,0)为椭圆的 4 4 3 右焦点， 上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为 3 和 1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最 小，末项最大即可，所以公比最大值为 3，要使等比数列公比 3 最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为 . 3
3．椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和 双曲线开口大小的一个量，其取值范围分别是 0<e<1 和 e>1.离心率的求解问题是本部分内容的一个重点，也是高 考的热点． 在求解有关离心率的问题时， 一般并不是直接 求出 c 和 a 的值， 而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几 何特征，建立关于参数 c、a、b 的方程或不等式，通过解 方程或不等式求得离心率的值或范围．
5．已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线 于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质： (1)通径的长为 2p. (2)焦点弦公式：|AB|＝x1＋x2＋p 或|AB|＝ 线 AB 的倾斜角)， p2 (3) x1x2＝ ，y1y2＝－p2. 4 (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切． 2p (α 为直 sin2α
10．求曲线方程的基本方法有： (1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以 省略)，此法适用于较简单的问题； (2)定义法： 如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的 定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程； (3)相关点法(坐标代换法)： 若动点 P(x， y)依赖于另一 动点 Q(x1，y1)，而 Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先 写出关于 x1，y1 的方程，再根据 x1，y1 与 x，y 的关系求 出 P(x，y)的轨迹方程；
[思考流程](分析)欲求双曲线方程需确定系数 a，b ⇨ (推理) 焦距确定一个 a，b 的方程，点 P 在渐近线上确定一个 a，b 的方 程 ⇨ (结论)解方程组得之．
[答案] A
[解析] 由已知可得双曲线的焦距 2c＝10， 2＋b2＝52＝25， a b b 排除 C，D，又由一条渐近线方程为 y＝ax，得 1＝a×2，解得 a2＝20，b2＝5，所以选 A.
[点评] 确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知 条件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值．注 意在椭圆中c2＝a2－b2，在双曲线中c2＝a2＋b2.圆锥曲线基 本问题的考查的另一个重点是定义的应用，看下面变式．
x2 y2 y2 变式题 (1)设椭圆 ＋m＝1 和双曲线 －x2＝1 的公共焦 2 3 点分别为 F1，F2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF1|· 2| |PF 的值等于( ) A．3 B．2 3 C．3 2 D．2 6 (2)设 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上 → → → → → → 三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( ) A．9 B．6 C．4 D．3
[答案] (1)A (2)B
[解析] (1)焦点坐标为(0，± 2)，由此得 m－2＝4，故 m＝6. 根据椭圆与双曲线的定义可得 |PF1|＋|PF2|＝2 6，||PF1|－|PF2||＝2 3， 两式平方相减得 4|PF1|· 2|＝4×3， |PF 所以|PF1|· 2|＝3. |PF (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1. 由已知得 x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0， 而|FA|＝x1－(－1)＝x1＋1， |FB|＝x2－(－1)＝x2＋1， |FC|＝x3－(－1)＝x3＋1， ∴|FA|＋|FB|＋|FC| ＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝(x1＋x2＋x3)＋3＝3＋3＝6.
二、圆锥曲线的几何性质及应用
[思考流程] (1)(分析)欲确定椭圆离心率需确定 a， 关系 ⇨ c (推理)画出图形，确定图形中角的大小以及图形反映的数量关 系得方程确定之 ⇨ (结论)根据离心率定义求得结果； (2)(分析)欲求双曲线的离心率需确定 a， 的关系 ⇨ (推理) c 写出 F1B 的方程和双曲线渐近线方程可得 P，Q 坐标，进而可 得 PQ 的中垂线方程和 PQ 的中点坐标，将中点坐标代入中垂 线方程即可确定 a，c 关系 ⇨ (结论)按照离心率定义求之．
[点评] 求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于 a，b，c 的方程，根据已知条件和椭圆、双曲线中 a，b，c 的 关系，求出所求的椭圆、双曲线中 a，c 之间的比例关系，根 据离心率定义求解．如果是求解离心率的范围，则需要建立关 于 a，c 的不等式(下面的变式(1))． x2 y2 变式题 (1)若双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)与直线 y＝ 3x a b 无交点，则离心率 e 的取值范围为( ) A．(1,2) B．(1,2] C．(1， 5) D．(1， 5] 3 2 (2)函数 y＝ 3－ x 的图象上至少存在不同的三点到(1,0) 4 的距离构成等比数列，则公比的取值范围是________．
[答案](1)B
(2) 3 ， 3 3
b [解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为 y＝± x，要使直线 a y＝ 3x Байду номын сангаас双曲线无交点， 则直线 y＝ 3x， 应在两渐近线之间， b 所以有 a≤ 3，即 b≤ 3a，所以 b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即 c2≤4a2，e2≤4，所以 1<e≤2，选 B.
二轮复习专题 解析几何
第1讲 圆锥曲线方程与 轨迹问题
1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d. 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题 中有广泛的应用，在理解时要特别注意定义中对常数的 范围的要求．
8． 若直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1， 1)， 2(x2， 2)， y P y 且直线 P1P2 的斜率为 k，则弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1 1＋ 2|y1－y2|(k≠0)．|x1－x2|，|y1－y2|的求法，通常使 k 用 根 与 系 数 的 关 系 ， 需 要 作 下 列 变 形 ： |x1 － x2| ＝ x1＋x22－4x1x2，|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2.
b (2)依题意得直线 F1B 的方程为 y＝c x＋b，那么可知线段 c PQ 的垂直平分线的方程为 y＝－b(x－3c)， b y＝c x＋b， ac bc 由 联立解得点 P 的坐标为－a＋c，a＋c， y＝－bx a b y＝c x＋b， ac bc 由 联立解得点 Q 的坐标为c－a，c－a， b y＝ x a a2c c2 c 2 ， ，代入 y＝－ (x 那么可得线段 PQ 的中点坐标为 b b b c 3 6 2 2 －3c)并整理可得 2c ＝3a ，可得 e＝a＝ ＝ ，故应选 B. 2 2
(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线 等)，可用待定系数法； (5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题， 可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作 差； (6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点， 然后消去其中的参数即得轨迹方程.
一、圆锥曲线的定义及标准方程
x2 y2 6．若 P(x0，y0)是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)上一点，F1， a b F2 是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ， 则△F1PF2 的面积 θ 2 为 c|y0|＝b tan ； 2 x2 y2 若 P(x0，y0)是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)上一点， a b F1，F2 是双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2 b2 的面积为 c|y0|＝ θ. tan 2