高二数学,曲线和方程练习

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习题第29讲曲线与方程--高考数学习题和答案

专题九解析几何第二十九讲曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。

给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，，（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【答案】D【解析】因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．【考点】1．抛物线的定义；2．轨迹方程．2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。

解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。

3.椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。

利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。

故选B。

4.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）【答案】A【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。

点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。

5.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+ y 2-x-2 y -=0B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0【答案】D【解析】由抛物线定义知，此圆心到焦点距离等于到准线距离，因此圆心横坐标为焦点横坐标，代入抛物线方程的圆心纵坐标,1，且半径为1，故选D。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，同时考查了圆的切线问题。

点评：抛物线问题与圆的切线问题有机结合，利用抛物线定义，简化了解答过程。

2022_23学年高中数学第3章圆锥曲线与方程-抛物线的简单几何性质同步练习湘教版选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是( )A.y2=8x或x2=8yB.y2=-8x或x2=-8yC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y2.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+| BF|的值( )A.等于8B.等于7C.等于5D.随A,B两点坐标变化而变化3.(2022北京二中高二月考)抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=12xD.y2=16x4.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是( )A.2B.3C.4D.05.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则(　)A.曲线C的标准方程为x2=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥26.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为 ;水面下降1米后,水面宽米.图1图27.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O 为坐标原点.若△OAB的面积等于4,则抛物线的标准方程为 .8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2).(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n的值.B级关键能力提升练9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是( )A. B. C. D.110.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为( )A.y2=xB.y2=3xC.y2=xD.y2=9x11.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|等于( )A.2B.C.2D.412.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.C的准线方程为x=-1B.线段AB的长度的最小值为4C.M的坐标可能是(3,2)D.存在直线l,使得OA与OB垂直13.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是 .14.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.C级学科素养创新练15.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线y=x+1与E相切.(1)求E的标准方程;(2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点为A,B,求证:PA⊥PB.参考答案3.3.2　抛物线的简单几何性质1.C　当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x;当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.所以所求抛物线的标准方程为y2=±8x.故选C.2.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A.3.B　抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1--=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选B.4.B　因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0.因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,最小值为3.故选B.5.AB　由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y≥0,故C错误;点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB.6.x2=-4y　4　设这条抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由已知抛物线经过点(2,-2),可得8=-2p×(-2),解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.当y=-3时,x2=12,解得x=±2,所以当水面下降1米后,水面宽4米.7.y2=4x　由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则焦点F,0,直线l:x=,|AB| =2p.因为△OAB的面积为S△OAB=×2p=4,所以p=2.所以抛物线的标准方程为y2=4x.8.解(1)由题意可得解得故抛物线C的标准方程是y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得y2-4y+4n=0,Δ=16-16n>0,n<1,则y1+y2=4,y1y2=4n,从而x1x2==n2.因为OA⊥OB,所以=0,即x1x2+y1y2=n2+4n=0,又n≠0,所以n=-4.9.C　如图所示,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=-.过点G向准线m作垂线,垂足为D,过A,B分别向准线m作垂线,垂足为A',B',则|AA'|+|BB'|=| AB|=2.因为弦AB的中点为G,所以|GD|=(|AA'|+|BB'|)=|AB|=1,所以点G的横坐标是1-,故选C.10.B　由抛物线定义,|BF|等于点B到准线的距离,因为|BC|=2|BF|,所以∠BCM=30°.又|AF|=3,所以A.点A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px(p>0),解得p=(负值舍去).故抛物线的标准方程为y2=3x.故选B.11.D　抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设点M,y,∵∠OFM=120°,∴>1,∴|y|=-1,整理得y2-4|y|-4=0.解得|y|=2(负值舍去),∴|FM|==4.故选D.12.ABC　由已知可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,则点F(1,0),准线的方程为x=-1,故A正确;当AB⊥x轴时,AB的长度取最小值,令x=1,代入抛物线方程解得y=±2,所以AB的长度的最小值为4,故B正确;设直线l的方程为x=my+1,A(x A,y A),B(x B,y B),M(x M,y M),将x=my+1代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0,则y A+y B=4m,所以x A+x B=m(y A+y B)+2=4m2+2,x M=2m2+1,当m=1时,可得M(3,2),故C正确;因为y A y B=-4,所以x A x B=1,所以=x A x B+y A y B=1-4=-3,所以≠0,故D错误.故选ABC.13.(1,1)　设抛物线y=x2上一点为A(x0,),点A(x0,)到直线2x-y-4=0的距离d=|(x0-1)2+3|,当x0=1时,抛物线x2=y上一点到直线2x-y-4=0的距离最短,此时点A的坐标为(1,1).14.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+.又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.联立可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,Δ=144(t-1)2-144t2=144(1-2t)>0,t<,则x1+x2=-.从而-,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.联立可得y2-2y+2t=0,Δ=4-8t>0,t<,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=,即A(3,3),B,-1.故|AB|=.15.(1)解依题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),与直线y=x+1联立,可得x2+(2-2p)x+1=0,由Δ=(2-2p)2-4=0,解得p=2(p=0舍去).所以抛物线的标准方程为y2=4x. (2)证明易知过点P的两条切线斜率存在且不为0,设P(-1,m),切线的方程为y-m=k(x+1),与y2=4x联立,可得ky2-4y+4k+4m=0,由Δ=0,即16-16(k+m)k=0,整理得k2+km-1=0,易知方程有两个不相等的实数根,设为k1,k2,所以k1k2=-1,即PA⊥PB.。

2.1曲线方程-人教A版高中数学选修2-1课时练习

高二年级（数学）学科习题卷曲线方程一、选择题：1．已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( ) A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是 ( )A ．两条直线B ．四条直线C ．两个点D ．四个点3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线4．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足||2||AC BC =，则点C 的轨迹方程为 ( )A ．22610x y x +++＝B ．22610x y x +-+＝C ．2210103x y x +-+= D ．2210103x y x +++=5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是 ( )6．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是( ) A ．011()y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥ C ．1)0(y x =≤- D ．0(||1)y x =≥7．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是( )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线二、填空题：8．等腰三角形底边的两个顶点是B (2，1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是______________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足：4OP OA ⋅=，则动点P 的轨迹方程为______________．10．已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2215x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足5NP NM =，则点P 的轨迹方程为______________．三、解答题：11．已知A 、B 分别是直线y x =和y x =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点，求动点P 的轨迹C 的方程．12.已知点P (2，2)，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及POM △的面积．13.两个定点(2,2),(0,2)P Q -，长为2的线段AB 在直线y x =上移动，求直线PA ，QB 的交点M 的轨迹方程。

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

高中数学 2.1.1曲线与方程

曲线与方程(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,假设点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上,那么必有f(x 0,y 0)=0;又当f(x 0,y 0)=0时,点P(x 0,y 0)也必然在方程f(x,y)=0对应的曲线上,应选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )=x 与y=√x =lgx 2与y=2lgxC.y +1x −2=1与lg(y+1)=lg(x-2) +y 2=1与|y|=√1−x 2【解析】选D.要紧考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y ∈R,而y=√x 中y ≥0,B 中y=lgx 2中x ≠0,而y=2lgx 中x>0;C 中y +1x −2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D 正确. 3.(2021·石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )【解析】选C.方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部份.4.(2021·安阳高二检测)曲线y=√1−x 2和y=-x+√2公共点的个数为 ( )B.2 【解析】选C.由{y =√1−x 2,y =−x +√2,得-x+√2=√1−x 2,两边平方并整理得(√2x-1)2=0,因此x=√22,这时y=√22,故公共点只有一个(√22,√22). 【误区警示】解题中易忽略y=√1−x 2中x 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而致使出错.5.如果曲线C 上点的坐标知足方程F(x,y)=0,那么有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选,B 错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不必然在曲线C 上,假设以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上,那么点集{P|P ∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D 错,选C.6.(2021·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是 ( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,{x −y =0,xy =1,因此x=1,y=1或x=-1,y=-1,因此方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,那么a= .【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a=13. 答案:13【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx 2上的点,也是直线x-y=0上的一点,那么m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A 在曲线y=mx 2上,因此2=m ·22,得m=12. 答案:12 8.(2021·重庆高二检测)若是直线l :x+y-b=0与曲线C:y=√1−x 2有公共点,那么b 的取值范围是 .【解题指南】此题考查曲线的交点问题,能够先作出曲线y=√1−x 2的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=√1−x 2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部份(包括(±1,0)),如图,当l 与l 1重合时,b=-1,当l 与l 2重合时,b=√2,因此直线l 与曲线C 有公共点时,-1≤b ≤√2.答案:[-1,√2]9.方程y=√x 2−4x +4所表示的曲线是 .【解析】原方程可化为:y=|x-2|={x −2,x ≥2,−x +2,x <2.因此方程表示的是射线x-y-2=0(x ≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】此题易轻忽方程自身的条件对y 的约束,即y ≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每题10分,共20分)10.方程√1−|x |=√1−y 表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为{1−y =1−|x |,1−|x |≥0,即{y =|x |,|x |≤1, 因此它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x ≤0)和y=x(0≤x ≤1).如图:11.曲线x 2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,假设有一个交点、无交点呢?【解析】由{y =k (x −2)+4,x 2+(y −1)2=4,得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k 2(3-2k)2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4]=48k-20.因此Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点; Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点; Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点. 【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方式曲线与直线交点的个数确实是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判定.此题是判定直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k 的范围.有些题目,在判定交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2通过点A(0,2)和B(1,1),那么a,b 的值别离为 ( )A.12,32B.32,12 32,32 D.12,-32【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax 2+by 2=2上,因此{a ·0+4b =2,a +b =2,解得{a =32,b =12. 2.(2021·临沂高二检测)方程x 2|x |+y 2|y |=1表示的图形是 ( ) A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个极点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x ≠0,y ≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两头点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个极点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,那么点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标别离代入圆C及直线l的方程,均知足.4.(2021·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么a的取值范围是( )>1 <a<1<a<1或a>1 ∈【解题指南】别离作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依照图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,因此方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么要求y=a|x|在y轴右边的斜率足够大,因此a>1.【变式训练】如下图,定圆半径为a,圆心为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由{ax+by+c=0,x−y+1=0,因此{x=−b+ca+b,y=a−ca+b.因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,因此x<0,y<0,因此交点在第三象限,选C.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共极点的射线,易患极点为B(2,-2),与x 轴的交点为O(0,0),A(4,0),因此曲线y=|x-2|-2与x 轴围成的三角形面积为S △AOB = 12|OA|·|y B |=4. 答案:46.(2021·石家庄高二检测)曲线y=-√1−x 2与曲线y+|ax|=0(a ∈R)的交点个数为 .【解析】由{y =−√1−x 2,y +|ax |=0,得-|ax|=-√1−x 2,即a 2x 2=1-x 2,因此(a 2+1)x 2=1,解得x=√1a 2+1和x=-√1a 2+1, 代入y=-|ax|,得y=-√a 21+a 2,因此它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-√1−x 2,得x 2+y 2=1(y ≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.因此由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每题12分,共24分)7.已知点P(x 0,y 0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P 是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,因此P 在曲线f(x,y)=0上,即f(x 0,y 0)=0,P 在曲线g(x,y)=0上,即g(x 0,y 0)=0,因此f(x 0,y 0)+λg(x 0,y 0)=0+λ0=0,故点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技术解答本类问题的关键是正确明白得并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原那么,即假设点的坐标适合方程,那么该点必在方程的曲线上;假设点在曲线上,那么该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依照概念需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+√4−x 2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k 的取值范围.【解析】曲线y=1+√4−x 2是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0,切线PC 的方程为y=k 0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即0√1+k 0=2, 因此k 0=512,直线PA 的斜率k 1=34, 因此实数k 的取值范围是512<k ≤34.。

北京高二数学椭圆练习题

北京高二数学椭圆练习题椭圆是数学中的一种特殊曲线，具有许多重要的性质和应用。

在高二数学学习阶段，学生需要通过解决练习题来巩固对椭圆的理解和应用能力。

以下是一些北京高二数学椭圆练习题，希望能够帮助同学们提高他们的数学能力和解题技巧。

练习题一：曲线方程1. 给定椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a，b为正实数，且a>b。

如果c表示椭圆E的焦点到原点的距离，根据椭圆的性质，求出c与a、b的关系式。

解析：根据椭圆的定义，可以得到c关于a、b的关系式：$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

2. 已知椭圆E的焦点F1(-3, 0)，F2(3, 0)，离心率e=2/3。

求椭圆E的方程。

解析：根据椭圆的性质，可以得到椭圆E的方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a表示焦点到原点的距离，根据离心率的定义，可以得到$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，而焦点到原点的距离为3，因此c=2。

根据焦点与顶点的关系，a和b的关系为：$a^2=b^2+c^2$，代入已知条件，可以得到$a^2=b^2+4$。

综上所述，椭圆E的方程为$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{36} = 1$。

练习题二：参数方程1. 设椭圆E的焦点为F1(-3, 0)，F2(3, 0)，离心率为e。

令椭圆E的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，求a、b与e的关系式。

解析：根据椭圆的性质，焦点到原点的距离为a，而且$\frac{c}{a}=e$。

由于焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，所以a为3。

又因为离心率的定义为$e=\frac{c}{a}$，所以e=1。

2. 已知椭圆E的焦点为F1(-1, 0)，F2(1, 0)，离心率为0.8。

令椭圆E的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，求a、b的值。

人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解

－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8，由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7，由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。

2021年高二数学(人) 专题07 曲线与方程(练习) (学生版)

专题07曲线与方程课时训练【基础巩固】1．（湖南省邵阳一中2019届期中）已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，点Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是()A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝02.（黑龙江省绥化一中2019届模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A B C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是()3．（浙江省嘉兴一中2019届模拟）设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为()A ．y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝24．（湖北省鄂州一中2019届模拟）设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是()A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋322＝1(x ＞0，y ＞0)5.（江苏启东中学2019届模拟）已知点A (－4,4)，B (4,4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的轨迹方程为__________．6．（江苏省常州一中2019届期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB→－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．【能力提升】7.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP = 。