精选2017_2018学年高中数学第三章不等式课时作业19不等式的实际应用新人教B版必修5
2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4_520180
二 一般形式的柯西不等式[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知x 2＋y 2＋z 2＝1，则x ＋2y ＋2z 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由柯西不等式得(x ＋2y ＋2z )2≤(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)＝9， 所以－3≤x ＋2y ＋2z ≤3. 当且仅当x ＝y 2＝z2时，等号成立．所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3. 答案：C2．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1 B ．n C ．n 2D ．1n解析：设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n≥⎝⎛⎭⎪⎫x 1×1x 1＋x 2×1x 2＋…＋x n ×1x n 2＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号． 答案：C3．设a 、b 、c 为正数，则(a ＋b ＋c )·(4a ＋9b ＋36c)的最小值为( )A ．11B ．121C ．49D ．7 解析：(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c≥⎝⎛ a ·4a＋b ·⎭⎪⎫9b＋c ·36c 2＝121.答案：B4．设a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝9，则4a ＋9b ＋16c的最小值为( )A ．81B ．9C ．7D ．49解析：考虑以下两组向量：u ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a，3b ，4c ，v ＝(a ，b ，c )． 由(u ·v )2≤|u |2·|v |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ·a ＋3b ·b ＋4c ·c 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋16c (a ＋b ＋c )， 当且仅当a 24＝b 29＝c 216，即a ＝2，b ＝3，c ＝4时取等号， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋16c ·9≥(2＋3＋4)2＝81，所以4a ＋9b ＋16c ≥819＝9.答案：B5．设非负实数α1，α2，…，αn 满足α1＋α2＋…＋αn ＝1， 则y ＝22－α1＋22－α2＋…＋22－αn－n 的最小值为( ) A.n 2n －1B ．n2n ＋1C.n ＋12n －1D ．2n 22n －1解析：为了利用柯西不等式，注意到(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn )＝2n －(α1＋α2＋…＋αn )＝2n －1， 所以(2n －1)⎝⎛⎭⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn )]·⎝⎛⎭⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－α1·12－α1＋2－α2·12－α2＋…＋2－αn ·12－αn 2＝n 2， 所以y ＋n ≥2n 22n －1，y ≥2n 22n －1－n ＝n2n －1.等号当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝1n 时成立，从而y 有最小值n2n －1.答案：A6．同时满足2x ＋3y ＋z ＝13,4x 2＋9y 2＋z 2－2x ＋15y ＋3z ＝82的实数x 、y 、z 的值分别为______，______，________.解析：可令x 1＝2x ，x 2＝3y ＋3，x 3＝z ＋2， 则x 1＋x 2＋x 3＝18且x 21＋x 22＋x 23＝108，由此及柯西不等式得182＝(x 1＋x 2＋x 3)2≤(x 21＋x 22＋x 23)(12＋12＋12)＝108×3， 上式等号成立的充要条件是x 11＝x 21＝x 31⇒x 1＝x 2＝x 3＝6⇒x ＝3，y ＝1，z ＝4.所以3,1,4是所求实数x ，y ，z 的值． 答案：3 1 47．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________．解析：4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥(a ＋b ＋c ＋d )2， 即4(16－e 2)≥(8－e )2，即64－4e 2≥64－16e ＋e 2. ∴5e 2－16e ≥0，故0≤e ≤165.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1658．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.解析：由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，当且仅当a x ＝b y ＝c z＝k 时取等号． 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56.所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.答案：569．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解析：由柯西不等式，得[x ＋(－2)y ＋(－3)z ]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y －3z )2≤14(x 2＋y 2＋z 2)， 即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)．所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x ＝y －2＝z －3，即当x ＝27，y ＝－47，z ＝－67时，x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.10．在△ABC 中，设其各边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ， 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2 A ＋1sin 2 B ＋1sin 2 C ≥36R 2.证明：由正弦定理知asin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2 A ＋1sin 2 B ＋1sin 2 C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.[B 组 能力提升]1．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B ．13 C.23D ．2解析：根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1×x ＋1×y ＋1×z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13. 答案：B2．若2a >b >0，则a ＋4a －bb的最小值为( )A ．1B ．3C ．8D ．12解析：∵2a >b >0，∴2a －b >0. ∴a ＋4a －bb ＝12[(2a －b )＋b ＋8a －bb]≥12·3 3a －b b ·8a －bb＝3.当且仅当2a －b ＝b ＝8a －b b，即a ＝b ＝2时等号成立． ∴当a ＝b ＝2时，a ＋4a －bb有最小值3.答案：B3．若a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 的最小值为________． 解析：由柯西不等式可知，(a b ＋b c ＋c a )·(b a ＋c b ＋a c ) ≥(a b ·b a＋b c ·c b ＋c a ·a c)2 ＝32＝9. 答案：94．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式．由于(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x＋y ·2y＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．∴1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：365．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解析：1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12(1× zx ＋y ＋z ＋1×xx ＋y ＋z ＋1×yx ＋y ＋z)≤12[(12＋12＋12)(z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z )]12＝32， 故λ的取值范围是[32，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解析：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，。
2018版高中数学第3章不等式3.4不等式的实际应用课件新人教B版必修5
【答案】 (1)C (2)乙
比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量 表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.
[再练一题] 1.如图 342(2)，一圆柱的底面半径为 5 dm，高为 5 dm，BC 是底面直径， 求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线.小明设计了两条路 线：试说明哪条路线最短？ 路线 1：侧面展开图中的线段 AC.如图(1)所示： 路线 2：高线 AB＋底面直径 BC.如图(2)所示：
[小组合作型]
比较法在实际问题中的应用
(1)某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电 降价，有四种降价方案： 方案(1)先降价 a%，再降价 b%； 方案(2)先降价 b%，再降价 a%；
a＋b a＋b 方案(3)先降价 2 %，再降价 2 %； 方案(4)一次性降价(a＋b)%. 其中 a＞0，b＞0，a≠b，上述四种方案中，降价幅度最小的是( A.方案(1) C.方案(3) B.方案(2) D.方案(4) )
择路线 2 较短.
一元二次不等式的实际应用 XXX
某农贸公司按每担 200 元收购某农产品， 并按每 100 元纳税 10 元(又 称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购 这种农产品，决定将征税率降低 x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分 点. (1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后， 不少于原计划税收的 83.2%， 试确定 x 的取 值范围.
【精彩点拨】 不等式解决问题.
认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或
【自主解答】
(1)降低税率后为(10－x)%，农产品的收购量为 a(1＋2x%)
高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用精选测试新人教B版必修5(2021年整理)
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同步精选测试不等式的实际应用(建议用时：45分钟）[基础测试]一、选择题1。
某出版社，如果以每本2。
50元的价格发行一种图书，可发行80 000本。
如果一本书的定价每升高0。
1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( ）A。
2 B。
3 C。
4 D.5【解析】设这种书的最高定价应当为x元,由题意得：80 000－错误!×2 000×x≥200 000，解得错误!≤x≤4，所以最高定价为4元。
【答案】C2。
某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y （单位：10万元)与营运年数x（x∈N＋)为二次函数关系(如图3。
4。
3所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大( ）图3.4。
3A.3 B。
4C.5D.6【解析】设y＝a(x－6）2＋11，将(4，7)代入求得a＝－1,∴平均利润为：错误!＝错误!＝－x－错误!＋12≤－2×5＋12＝2，当x＝错误!，即x＝5时，等号成立。
【答案】C3。
某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤20,t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g（t)＝－t＋35（0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的时间t满足（)A.15≤t≤20B.10≤t≤15C。
(新课标)高中数学 第3章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时 不等式性质的应用课时作业 新
时不等式性质的应用课时作业新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学第3章不等式3.1 不等关系与不等式第2课时不等式性质的应用课时作业新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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式性质的应用课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．(2016·福建莆田一中月考)已知m>1，a＝错误!－错误!，b＝错误!－错误!，则以下结论正确的是错误!( C ）A．a>b B．a＝bC．a<b D．a，b的大小无法确定［解析］a＝m＋1－m＝错误!，b＝错误!－错误!＝错误!,因为错误!＋错误!>错误!＋错误!>0，所以a〈b.2．已知a2＋a＜0,那么a，a2,－a，－a2的大小关系是错误!（ B ）A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2[解析]∵a2＋a〈0，∴0〈a2〈－a，∴0>－a2>a，∴a<－a2〈a2〈－a，故选B．[点评] 可取特值检验，∵a2＋a<0，即a（a＋1)〈0，令a＝－12，则a2＝错误!,－a2＝－错误!，－a＝12，∴错误!>错误!〉－错误!>－错误!，即－a〉a2〉－a2〉a，排除A、C、D，选B．3．若a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，则错误!（ C ）A．a〈b<c B．c<b〈aC．c〈a〈b D．b〈a〈c［解析]错误!＝错误!＝错误!＝log89〉1,∵a>0，∴b〉a。
2017-2018学年高中数学人教B版必修5课时作业：第三章
11．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？当长、宽分别为多少m时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形一边的长为xm，则另一边的长为(50－x) m,0<x<50.由题意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0.解得20<x<30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
D．(－∞，－1)∪
解析：B＝{x|(2x－1)(x＋1)>0}＝ ，
所以A∩B＝ ，即 .
答案：B
3．不等式 ≥0的解集是()
A．[－1，＋∞)
B．(－1,1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：原不等式等价于(x＋1)(x－1)≥0，且x－1≠0，解得x>1或x≤－1.
课时作业(十八)一元二次不等式及其解法
A组
(限时：10分钟)
1．不等式－x2－5x＋6≤0的解集为()
A．{x|x≥6或x≤－1}
B．{x|－1≤x≤6}
C．{x|－6≤x≤1}
D．{x|x≤－6或x≥1}
解析：由－x2－5x＋6≤0得x2＋5x－6≥0，即(x＋6)(x－1)≥0，
∴x≥1或x≤－6.
解析：∵函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝
∴原不等式等价于 或
由此可解得x>5或－5<x<0.
故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
9．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4_520180
一 二维形式的柯西不等式[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ] C ．[－10，10 ] D ．(－5， 5 ]解析：∵a 2＋b 2＝10，∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2， 即20≥(a ＋b )2，∴－2 5 ≤a ＋b ≤2 5. 答案：A2．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是( ) A ．3 B ．32 C. 3D ．4解析：y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2×2－x ＋2× x －322≤[22＋(2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝6×12＝3，当且仅当2x －32＝2·2－x ，即x ＝53时等号成立．∴y 的最大值为 3. 答案：C3．如果实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为常数，那么mx ＋ny 的最大值为( ) A.a ＋b2B ．ab C.a 2＋b 22D ．a 2＋b 22解析：由柯西不等式，得(mx ＋ny )2≤(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)＝ab ，当m ＝n ＝a2，x ＝y ＝b2时，(mx ＋ny )max ＝ab .答案：B4．若a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．2 C.252D ．72解析：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋2＋1a2＋b 2＋2＋1b2.∵a ＋b ＝1，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12·(a ＋b )2＝12， 又1a 2＋1b 2≥2ab≥8a ＋b2＝8，以上两个不等式都是当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2 ≥12＋2＋2＋8＝252， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，取到最小值252.答案：C5．若长方形ABCD 是半径为R 的圆的内接长方形，则长方形ABCD 周长的最大值为( ) A ．2R B ．22R C ．4RD ．42R解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是ABCD的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1×x ＋1×4R 2－x 2)． 由柯西不等式得l ≤2[x 2＋(4R 2－x )2]12(12＋12)12＝2×2R ×2＝42R . 当且仅当x ·1＝4R 2－x 2·1， 即x ＝2R 时等号成立． 此时4R 2－x 2＝ 4R 2－2R2＝2R ，即四边形ABCD 为正方形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为42R . 答案：D6．若存在实数x 使3x ＋6＋14－x >a 成立，常数a 的取值范围为________． 解析：3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)·(x ＋2＋14－x )＝64， 所以3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”， 于是，常数a 的取值范围是(－∞，8)． 答案：(－∞，8)7．设xy >0，则(x 2＋4y 2)·(y 2＋1x2)的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y·y 2＝9. 答案：98．设实数x ， y 满足3x 2＋2y 2＝6，则2x ＋y 的最大值为________．解析：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤232＋122[(3x )2＋(2y )2]≥(2x ＋y )2， ∴|2x ＋y |≤ 116x 2＋2y 2＝11，当且仅当23×2y ＝12×3x ，即3x ＝4y 且3x 2＋2y 2＝6时，等号成立，而此方程组有解． ∴2x ＋y 的最大值为11. 答案：119．已知θ为锐角，a ，b >0，求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2 θ＋b 2sin 2 θ.证明：设m ＝⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝|acos θ·cos θ＋bsin θ·sin θ|＝|m ·n |≤|m ||n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2·1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2 θ＋b 2sin 2θ. 10．设a ，b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b的最小值．解析：∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4. ∴2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，即⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥2. 当且仅当a ·1b＝b ·1a，即a ＝b 时取等号，∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b的最小值为2.[B 组 能力提升]1．设a 1、a 2、b 1、b 2∈R ，则下列不等式中，柯西不等式用错的是( ) A ．(a 21＋b 21)·(a 22＋b 22)≥(a 1a 2＋b 1b 2)2B ．(a 21＋b 21)·(a 22＋b 22)≥(a 1b 2＋b 1a 2)2C ．(a 21＋b 21)·(a 22＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2D ．(a 21＋a 22)·(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2答案：C2．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝[x 2＋(2y )2][(1x )2＋y 2]≥(x ·1x ＋2y·y )2＝9.答案：93．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是________．解析：(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤( 12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×|4×1＋2|＝12. 答案：124．已知a ，b ，c 为正数，且满足a cos 2θ＋b sin 2θ<c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c . 解析：由柯西不等式，得a cos 2θ＋b sin 2θ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2]12·(cos 2θ＋sin 2θ) 12＝(a cos 2θ＋b sin 2θ)12<c .5．若x 2＋4y 2＝5.求x ＋y 的最大值及最大值点． 解析：由柯西不等式得 [x 2＋(2y )2][12＋(12)2]≥(x ＋y )2即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12，(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，最大值点为(2，12)．。
2018版高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案 新人教A版必
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
3.4《不等式的实际应用》课时作业(人教B版必修5)
3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45， 故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立． 【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】 设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15， 解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】 日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号． 【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】 设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设池底长x m ，则宽4xm ， 总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760， 当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立． 【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____． 【解析】 由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】 设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？ 【解析】 第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)， 当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】 设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ， 定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ， 当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号， 即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)， 最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)． 故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。
2018版高中数学第三章不等式3.4基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案新人教A版必修5
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业：第三章
所以a＝3.故选C.
答案：C
2．(广东深圳三校联考一模)已知f(x)＝ (x∈N*)，则f(x)在定义域上的最小值为()
A. B.
C. D．2
解析：f(x)＝ ＝x＋ ，
∵x∈N*>0，
∴x＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当x＝ 时取等号．但x∈N*，故x＝5或x＝6时，f(x)取最值，
(2)问捕捞几年后的平均利润最大？最大是多少？
解析：(1)设捕捞n年后的总盈利为y万元，则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98
＝－2(n－10)2＋102，
所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为 ＝－2
≤－2 ＝12，
当且仅当n＝ ，即n＝7时上式取等号．
所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．
∵x>0，y>0，∴ ＋ ＝(x＋3y) ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当x＝3y＝ 时取等号．所以 ＋ 的最小值为4.故选C.
答案：C
5．(河南平顶山一模)若对于任意的x>0，不等式 ≤a恒成立，则实数a的取值范围是()
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
解析：由x>0，得 ＝ ≤ ＝ ，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥ ，故选A.
即x＝2( －1)，
y＝2(3－ )时取“＝”号．
又x＋y＝4，所以 ＋ ≥1＋ .
故 ＋ 的最小值为1＋ .
10．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内，每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？
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(1)问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获得的利润最大？
(2)销售价定为多少元时，才能保证每天所获得的利润在300元以上？
解：(1)设每件提高x元(0≤x≤10)，每天获得的总利润为y元，则每件获得的利润为(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，由题意得y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200.
课时作业(十九)不等式的实际应用
A组
(限时：10分钟)
1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了()
A．3年B．4年
C．5年D．6年
解析：由题图可得，营运总利润y＝－(x－6)2＋11，
解析：设长为xm，宽为ym.
则6x＋10y≤100，即3x＋5y≤50且x≥y.∵xy＝ ·3x·5y≤ · 2，当且仅当3x＝5y＝25时取等号，此时x＝ ，y＝5.
∴面积的最大值为xy＝ ×5＝ m2.
答案： m2
10．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少销售量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．
(2)这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人次数最多？并求出每日最多的营运人次数．
解：(1)根据题意设y＝kx＋b(k≠0)，则 解得
∴y＝－2x＋24(0＜x＜12，x∈N＋)．
(2)设该列火车满载时每日的营运人次数为w，则w＝x·2y×110＝220×2x(12－x)≤440× 2＝15 840(人次)，当且仅当x＝12－x即x＝6时，等号成立．
A．5公里处B．4公里处
C．3公里处D．2公里处
解析：设仓库与车站间的距离为d公里，则y1＝ ，y2＝k2d，其中k1，k2为不为零的正实数，由题意，知2＝ ，8＝10k2，
所以k1＝20，k2＝0.8.
所以y1＋y2＝ ＋0.8d≥2 ＝8，当且仅当 ＝0.8d，即d＝5时，等号成立．所以选A.
答案：A
则营运的平均利润 ＝－x－ ＋12，∵x∈N＋，∴ ≤－2 ＋12＝2，当且仅当x＝ ，即x＝5时取“＝”．
∴x＝5时营运的年平均利润最大．
答案：C
2．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少 t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t的取值范围是()
A．100台B．120台
C．150台D．180台
解析：设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000，令f(x)≥0，则x≥150，或x≤－200(舍去)，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．
答案：C
2．某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又因为x＞0，所以0＜x≤50.
(2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3 x万元，从事蔬菜种植的农民的年总收入为3(100－x)(1＋2x%)万元，根据题意得，3 x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋ 恒成立．
又x＞0，所以a≤ ＋ ＋1恒成立，而 ＋ ＋1≥5(当且仅当x＝50时取得等号)．
11．为了缓解交通压力，某省在两个城市之间修了一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车．如果该列火车每次拖4节车厢，则每日能来回16趟；如果每次拖7节车厢，则每日能来回10趟．火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数，每节车厢满载时能载客110人．
(1)求出y关于x的函数关系式；
A．[1,3] B．[3,5]
C．[5,7] D．[7,9]
解析：由题意列不等式，24 000× ×t%≥9 000，即 ≥9，所以t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5，故当耕地占用税的税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元．
答案：B
3．如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为acm，bcm，铝合金窗的透光部分的面积为Scm2.
(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值．
解：(1)由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，
解析：设正方形的周长为x，则边长为 ，圆的周长为1－x，圆的半径R＝ ，故面积之和S＝ 2＋πR2＝ x2－ ＋ ，∴当x＝ 时，S最小．
答案：
9．用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长和宽应选用的金属材料价格每1 m分别为3元和5元，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是__________．
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
解析：由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，解得x＝ －1.
∵ ≥ ，即 ＋1≥ ，
∴ ≥ －1，即 ≥x.故选B.
答案：B
3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为()
A．每个95元B．每个100元
C．每个105元D．每个110元
解析：设每个涨价x元，销售利润为y元，则y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000.
∴当x＝ ＝5时，y取最大值．
∴每个涨价5元，即每个售价定为95元时，获得利润最大．故选A.
答案：A
4．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过()
(1)试用a，b表示S；
(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
解：(1)∵铝合金窗宽为acm，高为bcm，a＞0，b＞0，
∴ab＝28 800，①
又设上栏框内高度为hcm，则下栏框内高度为2hcm，则3h＋18＝b，
∴h＝ ，
∴透光部分的面积S＝(a－18)× ＋(a－12)× ＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2·(9a＋8b)．
答案：B
7．现有含盐7%的食盐水200g，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水xg，则x的取值范围是__________．
解析：由条件得：5%＜ ＜6%，
即5＜ ＜6.
解得：100＜x＜400.
所以x的取值范围是(100,400)．
答案：(100,400)
8．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形和圆的面积之和最小，则正方形的周长应为__________．
A．70平方米B．80平方米
C．90平方米D．100平方米
解析：根据使用面积李明家应该缴纳的费用为60×4＝240元．
设李明家的建筑面积为x平方米，则根据题意得3x＜240，
∴x＜80，∴建筑面积不超过80平方米时，满足题意．
答案：B
5．某公司租地建仓库的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()
∵0≤x≤10，∴x＝4时，y取得最大值360.
∴当售价定为14元时，每天所获得的利润最大，为360元．
(2)要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200＞300，即x2－8x＋10＜0，解得4－ ＜x＜4＋ .
故每件定价在(4－ )元到(4＋ )元之间时，能确保每天的利润在300元以上．
(2)∵9a＋8b≥2 ＝2 ＝2 880，
当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝ a，代入①式得a＝160，从而b＝180，
即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．
B组
(限时：30分钟)
1．设产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()
故这列火车满载时每次应拖挂6节车厢才能使每日营运人次数最多，最多营运人次数为15 840.
12．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3 (a＞0)万元．
6．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定厢宽2 m，则车厢的最大容积是()
A．(38－3 ) m3B．16 m3
C．4 m3D．14 m3
解析：设车厢长bm，高am．其中a＞0，b＞0，
由已知得2b＋2ab＋4a＝32⇒b＝ ，
∴车厢的容积V＝a· ·2＝2· .
设a＋1＝t(t＞1)，则V＝2· ≤2· ＝16，当且仅当2t＝ ，即t＝3时，等号成立．故选B.