信号课件167;8.1状态变量及状态方程
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状态变量分析法优秀课件
根据换路定律有x(0+)=x(0-)=பைடு நூலகம்(0)=x0
•
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应； （2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 过阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性
1.过阻尼情况
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始 ，在t= 时终止于坐标原点 。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
初始时刻 t 0 的电感电流i ( t 0 ) 和电容电压uc(t0) ，实际上是反映了初始时刻 t 0 的 储能情况，例如：设在 t 0 期间对电容充电，则在此期间供给电容的能量应为：
W ctt0u(t)i(t)d t1 2c[u2(t)u2(t0)]
当
uc(t0) 0
时，
Wc
1 C u2 (t) 2
电容情况感兴趣，则可以把式子写成：
u c C 1-t 0i(t)d C t1tt0i(t)d u tc(t0 ) C 1tt0i(t)dt
t 0 以前的全部历史情况对未来产生的效果可以由 t 0 时刻的电容电压 uc (t0 ) 来反映，就是说，如果知道uc (t0 ) 和 t 0 开始作用的电流 i(t ) ,就能完全确定t t0
•
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应； （2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 过阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性
1.过阻尼情况
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始 ，在t= 时终止于坐标原点 。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
初始时刻 t 0 的电感电流i ( t 0 ) 和电容电压uc(t0) ，实际上是反映了初始时刻 t 0 的 储能情况，例如：设在 t 0 期间对电容充电，则在此期间供给电容的能量应为：
W ctt0u(t)i(t)d t1 2c[u2(t)u2(t0)]
当
uc(t0) 0
时，
Wc
1 C u2 (t) 2
电容情况感兴趣，则可以把式子写成：
u c C 1-t 0i(t)d C t1tt0i(t)d u tc(t0 ) C 1tt0i(t)dt
t 0 以前的全部历史情况对未来产生的效果可以由 t 0 时刻的电容电压 uc (t0 ) 来反映，就是说，如果知道uc (t0 ) 和 t 0 开始作用的电流 i(t ) ,就能完全确定t t0
第八章 系统的状态空间分析
x 2(k ＋1) y 1(k )
x1 (k + 1) = a1 x1 (k ) + a2 x2 (k ) + f1 (k ) x2 (k + 1) = a4 x2 (k ) + f1 (k ) + f 2 (k )
在系统的输出端得到输出方程： 在系统的输出端得到输出方程： 输出方程
f2(k )
x(t0 )已知
统称为状态空间方程 统称为状态空间方程
8.1 状态空间描述
离散系统： 离散系统：
设 n 阶 LTI 离 散 系 统 ， 它 具 有 p 个 输 入 f1(k), f2(k), … ， fp(k); q 个 输 出 y1(k),y2(k), …, yq(k)。记系统的 个状态变量为 1(k), x2(k)，…，xn(k), 则其状态 个状态变量为x 则其状态 。记系统的n个状态变量为 ， ， 是关于状态变量的一阶差分方程组， 是关于输入、 方程是关于状态变量的一阶差分方程组 输出方程是关于输入 方程是关于状态变量的一阶差分方程组，输出方程是关于输入、输出和状态 变量的代数方程组。 变量的代数方程组。两组方程的标准形式可写为
t
−∞
t0
= x(t0 ) + ∫ m(τ )dτ
t0
t
等号两边对时间t求导： 等号两边对时间 求导： 求导 x(t ) = m(t )
•
x(t0)已知 已知
鉴于记忆元件的“ 出过程， 鉴于记忆元件的 “ 拉 ” 出过程 ， 并没有改变系统内部各部分间的 连接关系， 连接关系 ，因此可以用记忆元件和无记忆部分的输入输出关系来表征 原系统的特性， 原系统的特性，即
8.2 系统状态空间方程的建立
8.2.1 直接由电路列写法
信号与系统概论PPT第六章 系统的状态变量分析 (5)
本章小结
本章小结
离散系统的状态方程也可以由系统差分方程或系 统函数得到其直接型、串联型、并联型或并串型 实现的信号流图，然后依据流图，选取延迟器输 出为状态变量，建立其状态方程。不同的系统实 现会得到不同的状态方程。
本章小结
本章小结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第六节 状态变量的线性变换和系统稳定性分析
1.状态转移矩阵及其性质 Φ n=An
性质1：
Φn m ΦnΦm ΦmΦn
性质2：
Φn1 Φn
推论1：
Φ0 I
本章小结
系统状态是适当选取的一组变量，它在 0 时的值 可提供确定 t 0时系统状态的最必要信息。若给 定系统输入，可以得到 t 0 时的系统响应。这些 变量称为状态变量，状态矢量是元素为状态变量 的矢量。
电网络状态方程的建立：首先选择电容电压和电 感电流作为状态变量或电容电荷和电感磁链为状 态变量，再应用KCL和KVL等电路分析的基本理论 列出适当形式的状态方程。
本章小结
连续系统的状态方程也可以由系统微分方程或系 统函数得到其直接型、串联型、并联型或并串型 实现的信号流图，然后依据流图，选取积分器输 出为状态变量，建立其状态方程。不同的系统实 现会得到不同的状态方程。
信号与系统第五章
信号分配的作用。
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
现代控制理论状态变量及状态空间PPT课件
[解]：
+ _u1
i1 R1
+_u2 i2 R2
1) 选择状态变量
两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态 变量，且两者是独立的。
2）根据基尔霍夫电压定律，
L1 uA L2
列写2个回路的微分方程：
u1
L1
di1 dt
(i1
i2)R1
u2
左回路
+ _u1
i1 R1
(i1
i2)R1
u2
L2
di2 dt
特征值，非零向量 x称为 A的对应于 的特征 向量。
xAx (A)x0 (IA)x0
方阵 的 n次多项式 f()IA为 A的特征
多项式。IA 0为 A的特征方程。
IA 0 的解为特征根。
(IA) x0 的解为特征向量。
例：求
A
1 0
1 1
的特征值和特征向量。
解：
IA1
0
1
10
( 1 )( 1 ) 0 1 1 , 2 1
注:负反馈时为－
D
u
x x
y
B
C
A
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（1）
建立Байду номын сангаас态空间描述的三个途径： 1、由系统框图（方块图）建立 2、由系统机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得
1.3.1 从系统框图出发建立状态空间
将系统每个环节变换成相应的模拟结构图，然后组合 起来，最终得到状态空间。
u2
di2
dt
R1 L2
i1
R1 R2 L2
i2
1 L2
u2
uA i1R1 i2R1 u2 3）状态空间表达式为：
第八章 状态方程
dt
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
第8章状态图和活动图课件
▪ 终止状态只能作为转换的目标，而不能作 为转换的源。
▪ 终止状态在一个状态图中可以有多个。
初态和终态
▪ 一个状态图只能有一个初态，但可以有多 个终态或没有终态
组合状态
Idle 维护
插卡 取消
Maintenance
Active
Validating [继续]
Selecting
entry/ 读卡 exit/弹出卡
➢ 有些对象出现在很多顺序图中，在每个顺序图中都有 很多的箭头（消息）指向它，每条消息都是对该对象 发出的命令，这些命令可以引起对象的变化，即出现 在很多交互中并且是交互的目标的对象应该用状态图 来表示
➢ 例如，剧院的showSheat对象，用于显示剧院的座位 列表，该对象被创建的时机各种各样，如演出被安排 的时候、被客户选中的时候、用户取消座位时等。每 个时机创建该对象的规则都不同。
动作
contact
Tracking
Engaging
8.2.4 转换
警戒条件
➢ 警戒条件是触发转换必须满足的条件，它是一 个布尔表达式。
➢ 从一个状态引出的多个转换可以有同样的触发 器事件，但每个转换必须有不同的警戒条件。
转换组成： ① 源状态 ② 目标状态 ③ 触发事件 ④ 警戒条件 ⑤ 动作 转换种类： ① 外部转换 ② 内部转换 ③ 完成转换 ④ 复合转换
8.5 活动图的基本概念
活动图的组成元素:
① 活动（Activity） ② 动作流（Action Flow） ③ 分支（Branch）与合并（Merge） ④ 分叉（Fork）和汇合（Join） ⑤ 泳道（Swimlane） ⑥ 对象流（Object Flow）
8.1 什么是状态图
状态图主要用于描述一个对象在其生存期 间的动态行为，表现一个对象所经历的状 态序列，引起状态转移的事件，以及因状 态转移而伴随的动作。
▪ 终止状态在一个状态图中可以有多个。
初态和终态
▪ 一个状态图只能有一个初态，但可以有多 个终态或没有终态
组合状态
Idle 维护
插卡 取消
Maintenance
Active
Validating [继续]
Selecting
entry/ 读卡 exit/弹出卡
➢ 有些对象出现在很多顺序图中，在每个顺序图中都有 很多的箭头（消息）指向它，每条消息都是对该对象 发出的命令，这些命令可以引起对象的变化，即出现 在很多交互中并且是交互的目标的对象应该用状态图 来表示
➢ 例如，剧院的showSheat对象，用于显示剧院的座位 列表，该对象被创建的时机各种各样，如演出被安排 的时候、被客户选中的时候、用户取消座位时等。每 个时机创建该对象的规则都不同。
动作
contact
Tracking
Engaging
8.2.4 转换
警戒条件
➢ 警戒条件是触发转换必须满足的条件，它是一 个布尔表达式。
➢ 从一个状态引出的多个转换可以有同样的触发 器事件，但每个转换必须有不同的警戒条件。
转换组成： ① 源状态 ② 目标状态 ③ 触发事件 ④ 警戒条件 ⑤ 动作 转换种类： ① 外部转换 ② 内部转换 ③ 完成转换 ④ 复合转换
8.5 活动图的基本概念
活动图的组成元素:
① 活动（Activity） ② 动作流（Action Flow） ③ 分支（Branch）与合并（Merge） ④ 分叉（Fork）和汇合（Join） ⑤ 泳道（Swimlane） ⑥ 对象流（Object Flow）
8.1 什么是状态图
状态图主要用于描述一个对象在其生存期 间的动态行为，表现一个对象所经历的状 态序列，引起状态转移的事件，以及因状 态转移而伴随的动作。
信号与系统第八章系统的状态变量分析
X(s)
H(s)
Y(s)
看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s).
4、流图中的名词
结点：表示系统中变量或信号的点。 线段（支路）：两个结点之间的定向线段，表示信 号传输的路径。 箭头：表示信号的传输方向；
转移函数： 两个结点之间的增益称为转移函数，标 注在箭头附近。
三状态方程引入??t??????t????1111lldrdtddlll0ietit????????????????????????????????????????????????????????????状态方程?在状态空间分析方法中将状态方程以矢量和矩阵形式表示
第八章 系统的 状态变量分析
本章的主要内容
有二种方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以 -G H （1+G2H2）
1 2
1 G2 H 2
X
H1 H 2 1 G2 H 2
1
X2 X3
-G3
X5 X4 H4 -G 4
1
H3
Y
另一种方法是把输出支路增益除以（1+G2H2）。
这两种方法等同。
H1 H 2
-G1 H 2 -G3
1
X2
X5 X4 H4 -G 4
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 )
1
X
Y
G4H 4 1+G3 H 3
并联环路增益相加。
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 ) -G1 H 2 H 3 H 4 G4 H 4 (1 G2 H 2 ) (1 G2 H 2 )(1 G3 H 3 )
§6-1 状态、状态变量与状态方程
《Signals & Systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§6-1 状态、状态变量与状态方程
三、 状态变量分析法的优点
⑴ 状态方程与输出方程均是规范的形式，且状态方程是一阶方程， 便于利用计算机进行数值求解。 ⑵ 状态变量分析法的描述，适用于多输入多输出的系统。形成的 系统方程不会随系统的复杂而复杂。 ⑶ 状态变量往往是系统内部重要的物理量。通过考察状态变量的 变化，可以反映系统的性能。 ⑷ 与系统状态变量有关的，所谓系统可观性与可控性，是控制理 论中的重要概念。 ⑸ 状态变量分析法也可以用在非线性和时变系统的分析。
----状态方程
y(t ) uC (t )
----输出方程
1 i (t ) 1 L L x(t ) L uC (t ) 0 iL (t ) R dt L duC (t ) 1 dt C
c11 c12 c21 c22 C c L1 cL 2
《Signals & Systems》
d12 d 22 d L2
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§6-1 状态、状态变量与状态方程
于是，状态方程与输出方程的一般展开式为：
d1 (t ) a111 (t ) a12 2 (t ) a1N N (t ) b11 x1 (t ) b1M xM (t ) dt d (t ) 2 a211 (t ) a22 2 (t ) a2 N N (t ) b21 x1 (t ) b2 M xM (t ) dt dN (t ) a N 11 (t ) a N 22 (t ) a NN N (t ) bN 1 x1 (t ) bNM xM (t ) dt
状态方程和输出方程 信号
状态方程和输出方程信号
状态方程和输出方程是系统控制领域中经常使用的工具，用于描
述线性时不变系统的动态特性。
状态方程是一组关于系统状态和输入之间关系的方程式，通常采
用矩阵形式表示。
具体而言，状态方程包括状态向量、输入向量、状
态转移矩阵和控制矩阵。
其中，状态向量包括系统各个状态变量的值，输入向量是系统接受的外部输入信号，状态转移矩阵描述系统状态之
间的关系，控制矩阵表示从输入向量到状态向量的转换。
输出方程是描述系统输出和输入之间的关系的方程式。
具体而言，输出方程包括输出向量、输入向量和输出矩阵。
其中，输出向量包括
系统的输出变量，输入向量是系统的输入信号，输出矩阵定义了输出
向量与输入向量的关系。
在控制系统中，状态方程和输出方程通常用于设计控制器和评估
控制器的性能。
通过分析和解决状态方程和输出方程，可以评估控制
器的稳定性、收敛性和鲁棒性等特性，进而优化系统的性能。
此外，
状态方程和输出方程也可用于分析和设计不同类型的系统，如电气系统、机械系统和流体系统等。
总之，状态方程和输出方程是描述线性时不变系统动态特性的关
键工具，广泛应用于控制系统的设计和分析。
通过深入研究和应用这
些工具，可以更好地理解和控制各种复杂系统，从而提高系统的性能
和可靠性。