2018考研数学线性代数重要考点：行列式与矩阵
行列式加法和矩阵加法
行列式加法和矩阵加法在线性代数中，行列式加法和矩阵加法是两个重要的概念。
它们在矩阵运算中起着重要的作用，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能为我们提供更深入的数学理解。
本文将从行列式加法和矩阵加法的定义、性质和应用等方面进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、行列式加法行列式是一个与矩阵相关的数值，它是一个方阵的特征值。
行列式加法是指将两个或多个行列式相加得到一个新的行列式。
行列式加法的计算规则如下：1. 如果两个行列式的阶数不同，则它们不能相加。
2. 如果两个行列式的阶数相同，则将它们对应位置的元素相加即可。
行列式加法的应用非常广泛，特别是在线性方程组的求解中。
通过行列式加法，我们可以将线性方程组转化为矩阵的形式，并通过求解行列式来得到方程组的解。
二、矩阵加法矩阵加法是指将两个相同阶数的矩阵对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。
矩阵加法的计算规则如下：1. 如果两个矩阵的阶数不同，则它们不能相加。
2. 如果两个矩阵的阶数相同，则将它们对应位置的元素相加即可。
矩阵加法与行列式加法类似，但它们的应用领域略有不同。
矩阵加法主要用于表示线性变换、矩阵的相似性等问题。
通过矩阵加法，我们可以进行向量的平移、线性方程组的求解等操作。
三、行列式加法与矩阵加法的关系行列式加法和矩阵加法在计算规则上非常相似，它们都是将对应位置的元素相加。
但是，行列式加法和矩阵加法在概念上有一定的差异。
行列式加法是将两个行列式相加得到一个新的行列式，而矩阵加法是将两个矩阵相加得到一个新的矩阵。
行列式加法的结果仍然是一个行列式，而矩阵加法的结果仍然是一个矩阵。
行列式加法和矩阵加法在应用上也存在差异。
行列式加法主要用于线性方程组的求解，而矩阵加法主要用于表示线性变换、矩阵的相似性等问题。
因此，虽然它们的计算规则相似，但在实际应用中有着不同的用途。
四、行列式加法和矩阵加法的性质行列式加法和矩阵加法都满足一些重要的性质，这些性质在矩阵运算中起着重要的作用。
矩阵和行列式知识点
矩阵和行列式复习知识梳理9.1矩阵的概念：矩阵：像 ， ，的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、B 、C…表示三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵； ① 矩阵行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
行向量、列向量单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。
通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。
9.2矩阵的运算 【矩阵加法】不同阶的矩阵不可以相加；记11122122A A A A A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11122122B B B B B =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+2222212112121111B A B A B A B A B A ， 【矩阵乘法】，=11122122A B A B A B A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=22221221212211212212121121121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka == 【矩阵变换】相似变换的变换矩阵特点：k等轴对称变换的变换矩阵： 、 、等旋转变换的变换矩阵：等9.3二阶行列式【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。
行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。
二阶行列式的值a d D ac bd bc==-展开式ac -bd【二元线性方程组】对于二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，通过加减消元法转化为方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩其中111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===方程的解为用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
行列式矩阵
第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=， 则nnn n in i n nn n n in i na a ab b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(,2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij ki ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
线性代数讲义1矩阵与行列式
逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行 阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵， 然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出 逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单 的矩阵的乘积，然后利用 这些简单的矩阵求逆，最 后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变 换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从 而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进 行初等行变换，将其化为行阶梯形矩 阵，然后继续进行行变换，将其化为 上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的 一种常用方法，适用于系数矩阵 为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)， 其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即 矩阵的秩等于其与自身 转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一 的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩 阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值 稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对 于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求
矩阵与行列式的联系与区别
伴随矩阵法 A
A* A
初等变换法 A | I n
I
n
| A 1
只能是行变换
1
A
1
伴随矩阵：A 为 N 阶方阵，伴随矩阵： A A 21
*
A11
A12 A22
（代数余子式）
特殊矩阵的逆矩阵： （对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆） 1、分块矩阵 D
A B O C A2
Байду номын сангаас
则D
1
A 1 O
T T 1
1 1 A k
( A 1 ) T
1
4、两个可逆矩阵 A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的，且 ( AB )
B 1 A 1
1 1
但是两个可逆矩阵 A 与 B 的和 A+B 不一定可逆，即使可逆，但 ( A B ) A B A 为 N 阶方阵，若|A|=0，则称 A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。 5、若 A 可逆，则 A
线性代数复习总结大全
矩阵与行列式的联系与区别： 都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等， 就 相 等 ， 矩 阵 是 一 个 数 表 ， 对 应 元 素 相 等 才 相 等 ； 矩 阵 ( kaij ) n k ( aij ) n ， 行 列 式
kaij k n aij
A1 BC 1 C 1 A2
1
A1 2、 准对角矩阵 A
3、 AA A A A I 5、 A A
* n 1 * *
A3
A11 1 ， 则 A A4
考研数学线性代数每年必考的知识点
考研数学线性代数每年必考的知识点考研数学线性代数每年必考的知识点线性代数是考研数学中比较重要的一部分内容，考生要认真复习，尤其注意对重点知识的理解和应用。
店铺为大家精心准备了考研数学线性代数每年必考的难点，欢迎大家前来阅读。
考研数学线性代数每年必考的重点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。
相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。
复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
考研数学拿高分的技巧1、认真思考数学问题的习惯思考对于数学的学习是最核心的，对做题更甚。
不坚持去思考，不仔细去联想，类比，总结只相当于背书，是学不到数学的本质的，想考高分是不可能的。
举一个例子：中值定理那块的证明题，一开始不会证，我就忍住不去看答案，自己去思考，有时候一晚上都在思考一个题。
这样思考，我会想到很多知识点并加以整合，会慢慢提炼出思路。
以后解这一类题就会顺畅很多。
考研的题肯定是自己没见过的，平常做题时不会就去看答案，考场上可没有现成的答案看啊。
2018九江考研线性代数核心考点行列式在矩阵可逆性判定的应用
2018考研线性代数核心考点:行列式在矩阵可逆性判定的应用
2018考研数学冲刺已经来临，下面给大家分享2018考研线性代数核心考点:行列式在矩阵可逆性判定的应用，帮助大家更好的复习!
考研冲刺复习阶段，带大家来梳理数学各科核心考点，把重要知识点进行巩固，熟练把握相关题型和技巧。
下面是线性代数核心考点：行列式在矩阵可逆性判定的应用。
以上是中公考研为大家准备整理的“2018考研线性代数核心考点:行列式在矩阵可逆性判定的应用”的相关内容。
矩阵与行列式
矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中两个重要的概念，它们在各个领域中都起到了重要的作用。
本文将从基本定义、性质和应用角度综述矩阵与行列式的相关内容。
1. 矩阵的定义和基本性质1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列。
在数学中，一般用大写字母表示矩阵，如A、B等。
矩阵A用小写字母a_ij表示其中第i 行第j列的元素。
例如，A = [a_ij] = [a_11, a_12, ..., a_1n; a_21, a_22, ..., a_2n; ..., a_m1, a_m2, ..., a_mn]。
1.2 矩阵的基本性质- 矩阵加法和减法：两个相同维度的矩阵可以进行加法和减法运算，结果仍为相同维度的矩阵。
- 矩阵乘法：矩阵乘法满足结合律和分配律。
若A为m×n阶矩阵，B为n×p阶矩阵，则它们的乘积C=AB为m×p阶矩阵，其中c_ij 表示矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积。
- 矩阵转置：将矩阵A的行转换为列，列转换为行，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
2. 行列式的定义和基本性质2.1 行列式的定义行列式是一个用于描述线性方程组性质的特征数。
设A = [a_ij]为n阶矩阵，其行列式记作det(A)或|A|，定义为行列式等于n阶排列的代数和。
即，det(A) = Σ(-1)^P(i1,i2,...,in)*a_1i1*a_2i2*...*a_nin，其中P(i1,i2,...,in)表示排列(i1,i2,...,in)的逆序数。
2.2 行列式的基本性质- 行列式的性质一：行列式与转置矩阵的关系。
det(A^T) =det(A)。
- 行列式的性质二：行列式与初等行变换的关系。
若矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，则det(B) = r*det(A)，其中r为初等行变换的乘积常数。
- 行列式的性质三：交换行列式的两行（列）值变号，行列式不变。
即交换矩阵的两行或两列，行列式值不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018考研数学线性代数重要考点：行列
式与矩阵
以下内容是线性代数行列式与矩阵部分的重点解析，希望对考生复习有所帮助。
一、行列式
行列式是线性代数中的基本运算。
该部分单独出题情况不多，很多时候，考试将其与其它知识点(矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等)结合起来考查。
行列式的重点是计算，包括数值型行列式、抽象型行列式和含参数行列式的计算。
结合考试分析，建议考生从行列式自身知识、与其它知识的联系这两方面来把握该部分内容。
具体如下：
1. 行列式自身知识
考生应在理解定义、掌握性质及展开定理的基础上，熟练掌握各种形式的行列式的计算。
行列式计算的基本思路是利用性质化简，利用展开定理降阶。
常见的计算方法有：“三角化”法，直接利用展开定理，利用范德蒙行列式结论，逆向运用展开定理。
2. 行列式与其它知识的联系
行列式与其它知识(线性方程组的克拉默法则、由伴随矩阵求逆矩阵、证明矩阵可逆、判定n个n维向量线性相关(无关)、计算矩阵特征值、判断二次型的正定性)有较多联系。
考生应准确把握这些联系，并灵活运用。
二、矩阵
矩阵是线性代数的核心，也是考研数学的重点考查内容。
考试单独考查本部分以小题为主，平均每年1至2题。
但是矩阵是线性代数的“活动基地”，线性代数的考题绝大部分是以矩阵为载体出题的，因此矩阵复习的成败基本决定了整个线性代数复习的成败。
该部分的常考题型有：矩阵的运算，逆矩阵，初等变换，矩阵方程，矩阵的秩，矩阵的分块。
其中逆矩阵考得最多。
结合考试分析，建议考生从以下方面把握该部分内容：
矩阵运算中矩阵乘法是核心，要特别注意乘法不满足交换律和消去律。
逆矩阵需注意三方面——定义、与伴随矩阵的关系、利用初等变换求逆矩阵。
伴随矩阵是难点，需熟记最基本的公式
，并灵活运用。
对于矩阵的秩，着重理解其定义，及其与行列式及矩阵可逆性的关系。
辛勤的汗水必将浇开梦想之花。
祝福广大考生梦想成真。