2018-2019学年最新高中数学第一章立体几何初步1.7简单几何体的再认识学案北师大版必修2
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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必修二
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
高中数学第一章立体几何初步章末小结与测评课件北师大版
2．平行关系
(1)判定线线平行的方法： ①利用利用平行公理4； ③利用线面平行性质定理； ④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)； ⑤利用面面平行的性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)； ⑥利用平行四边形的性质，三角形、梯形中位线，线段对应成比例等．
[对点训练] 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC； (2)BC⊥平面PEB； (3)平面PBC⊥平面ADMN.
第一章 立体几何初步
1．空间几何体的结构及其三视图和直观图
空间几何体是研究空间线、面、体的几何载体，正确理解几何体的概念，掌握几何体的特征是解题成功的关键．对三视图的考查，高考中不可能去画三视图或画几何体，但观察三视图，想象几何体是可能的，这类题目只要把握三视图和几何体之间的关系是不难解决的．
[借题发挥] 在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而不受制于规律．
[对点训练] 2．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.
对于规则几何体的表面积和体积问题，可以直接利用公式进行求解．在求解时首先判断几何体的形状及其结构特征，确定几何体的基本量，然后合理选择公式求解．常考查的几何体有长方体、直四棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等，多与几何体的三视图相结合，需要利用三视图确定几何体的形状和基本量．
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.7.1 简单几何体的再认识课件 北师大版必修
(2)若一个圆台的主视图和左视图都是一个上底长为4,下底长为
10,高等于4的等腰梯形,则该圆台的侧面积等于
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
分析:(1)由轴截面为等边三角形得到圆锥的底面半径和母线长, 求出侧面积和底面积相加即得表面积;(2)由三视图获知该圆台的 上、下底面半径和高,求出母线长然后套用公式可求侧面积.
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,其底面边长为2,
侧棱长为4,因此其侧面积S1=3×2×4=24,其两个底面的面积
S2=2×
3 4
×22=2
3 ,于是其表面积S=S1+S2=24+2
3 ,故选C.
(2)如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成
Rt△POE.
的侧面积为π(r+3r)×3=84π,解得r=7.
答案:A
12345
4.长方体的对角线长为 2 14,长、宽、高的比为 3∶2∶1,那么它的
表面积为
.
解析:设长,宽,高分别为 3x,2x,x,则对角线长为 9������2 + 4������2 + ������2 =
14x=2 14,∴x=2.
∴表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.
A.4
B.4 5
22 + 12 = 5,
C.4( 5+1) D.8 1 2×2× 5
4.几何体的表面积 几何体的表面积是指几何体的所有面的面积的和,即该几何体的侧 面积与其底面的面积之和,也称为全面积.
做一做3 一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积
高中数学：第一章(立体几何初步)学案(新人教版B版必修2) 学案
数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B 版必修2）第一章《立体几何初步》单元小结导航知识链接点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。
（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
名师导航1.学习方法指导 （1） 空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。
由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3hV s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。
（2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。
2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。
主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。
3.综合例题分析例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。
高中高中数学北师大版必修2课件第一章立体几何初步 1.7.1精选ppt课件
解:如图所示,设圆柱和圆锥的底面半径分别为 r,R,圆锥的母线
长为 l,则有������������ = ���������-���������,即 R=2r,l= 2R.
∴������圆柱表
������圆锥表
=
2π������2+2π������2 π������· 2������+π������2
-
(������-������)2 4
=
���������+���������������.
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知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 组合体的表面积
【例3】 如图所示,在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线 为轴,将三角形绕轴旋转一周形成一个旋转体,求此旋转体的表面 积.
由 AC=3,BC=4,AB=5,
知 AC2+BC2=AB2,则 AC⊥BC. 由 AC·BC=AB·CD,解得 CD=152. 则△ABC 以 AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两 个同底的圆锥,且底面半径 r=152,母线长分别是 AC=3,BC=4,所以 S 表面积=πr·(AC+BC)=π×152×(3+4)=845π, 故所求旋转体的表面积是845π.
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题型二 简单多面体的侧面积
【例2】 一正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角 为30°,求该正四棱锥的侧面积.
分析:审题时要画出正四棱锥的高、斜高、底面正方形的边心距 组成的直角三角形,在此三角形中计算正四棱锥的相关量.
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱 锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
高中数学第一章立体几何初步章末总结归纳课件bb高一数学课件
4．如图，将一个正三棱柱 ABC－A1B1C1 容器中装一定量的 水，液面高为 6(如图 1)，将平面 ABB1A1 放到一个水平面上，液 面恰好过 AC，BC，A1C1，B1C1 的中点(如图 2)，则 AA1＝________.
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解析：由题可知 S△CEH＝14S△ABC，∴SEHBA＝34S△ABC， ∴VABHE－A1B1GF＝34VABC－A1B1C1， 即 VA2B2C2－ABC＝34VA1B1C1－ABC，∴A2A＝34A1A. ∵A2A＝6，∴A1A＝8. 答案：8
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2．考查几何体的表面积与体积，解决此类问题时要善于将 几何体分割转化成柱、锥、台、球，另外要善于把空间图形转 化为平面图形，特别注意应用柱、锥、台体的侧面展开图．
3．考查三视图与体积、面积的综合问题．解题的关键是把 三视图还原成几何体再进行求解．
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某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所 示．墩的上半部分是正四棱锥 P－EFGH，下半部分是长方体 ABCD－EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的主视图和俯视图．
连接 OB.因为 AB＝BC＝ 22AC，所以△ABC 为等腰直角三 角形，且 OB⊥AC，OB＝12AC＝2.
由 OP2＋OB2＝PB2 知，OP⊥OB. 由 OP⊥OB，OP⊥AC 且 OB∩AC＝O 知 PO⊥平面 ABC.
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(2)作 CH⊥OM，垂足为 H.又由(1)可得 OP⊥CH，所以 CH ⊥平面 POM.
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专题 3 平面图形的翻折问题
将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为
轴的一个旋转．要用动态的眼光看问题．
2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 简单多面体 北师大版必修2
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体至少四个面．
(√ )
(2)多面体的面都是平的，多面体没有曲面．
(√ )
知识点二 棱柱的结构特征
定义
图形及表示
相关概念
分类
两个面互相
平行，其余各面
都是 四边形 ，
并且每相邻两
个四边形的公 共边都互相
平行 ，这些 面围成的几何 体叫作棱柱.
互动 探究
题型三 多面体的表面展开图问题
【探究1】 画出如图所示的几何体的表面展开图．
解 表面展开图如图所示：
【探究2】 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图 的示意图如图所示．请将字母F，G，H标记在正方体相应 的顶点处(不需说明理由)．
解 点F，G，H的位置如图所示．
【探究3】 如图所示，已知三棱锥P－ABC的底面是正三角 形且三条侧棱两两成30°角，侧棱长为18 cm，从点A引一 条丝带绕侧面一周回到A点，设D，E分别为丝带经过PC， PB时的交点，则△ADE周长的最小值为多少？
【探究4】 长方体中，a，b，c为棱长，且a>b>c，求沿长 方体表面从P到Q的最小距离(其中P，Q是长方体对角线 的两个端点)． 解 将长方体展开，有三种情况(如图)．
d1＝ a2＋b＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2bc， d2＝ c2＋a＋b2＝ a2＋b2＋c2＋2ab， d3＝ b2＋a＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2ac， 因为 a>b>c，故 dmin＝d1＝ a2＋b＋c2.
知识点三 棱锥的结构特征
定义
图形及表示
相关概念
分类
有一个面是
底面： 多边形 面．
按底面多
多边形 ，
全国通用高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积练习新人教B版必修
（全国通用版）2018-2019高中数学第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.7 柱、锥、台和球的体积练习新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019高中数学第一章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积练习新人教B 版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1.7 柱、锥、台和球的体积1若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为（)A。
1∶3∶4 B.1∶3∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶2解析:设球的半径为R,则V圆锥=πR2（2R)=πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,V球=πR3.所以V锥∶V柱∶V球=∶2∶=1∶3∶2.答案：B2正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是（)A.216 B。
72 C。
108 D。
648解析：设内切球半径为R,则πR3=36π,解得R=3。
于是正方体棱长为6,表面积为6×62=216.答案：A3在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2，则三棱锥A1—ABC,B—A1B1C，C-A1B1C1的体积之比为()A。
1∶1∶1 B.1∶1∶2C。
1∶2∶4 D。
1∶4∶4解析：由棱锥的体积公式即可推知选项C正确。
答案：C4一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（)A.2π+2B。
2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1
1 2 34 5
解析 答案
2.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条
数为
A.3
B.4
√C.5
D.6
解析 如图，用列举法知符合要求的棱为：BC，CD，C1D1，BB1，AA1， 故选C.
1 2 34 5
解析 答案
3.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的是
A.AB C.DD1
B.BB1
√D.B1C1
解析 由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1.
1 2 34 5
解析 答案
4.线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是_直__线__A_B_⊂__α_. 解析 由基本性质1知直线AB在平面α内.
1 2 34 5
解析 答案
5.如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两 点 ， 若 直 线 AB 与 平 面 α 的 交 点 是 P ， 则 点 P 与 直 线 DE 的 位 置 关 系 是 _P_∈__直__线__D__E_.
上的所有点都在这 面内的依据
个平面内(即直线
在平面内 或_平__面__
经过直线)
图形
经过不在同一条直线上 基本 的 三点，有且只有一个 确定平面及两个平 性质2 平面(即不共线的三点确 面重合的依据
定一个平面)
基本 性质3
如果不重合的两个平面 有 一个 公共点，那么它 们有且只有一条过这个 点的公共直线
答案 不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内，点A就在α内， 这与点A在α外矛盾.由图知，直线l与直线AB没有公共点，所以它们不相 交，直线l与直线AB不可能平行，否则它们就会同在平面α内，所以直线 l与直线AB既不相交也不平行.
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第1课时 柱、锥、台的侧面展开与面积
[核心必知]
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
其中r 12
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
其中c ′，c [问题思考]
1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？
提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．
2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：
那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？
提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c ′＝c ，可以得到柱体的侧面积公式，令c ′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：
S 柱侧＝ch ′c ＝c ′,S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′――→c ′＝0S 锥侧＝12
ch ′. 3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？。