高考数学必背公式整理

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一、 集合

1. 元素a 属于(不属于)集合A 记为aWA(a 任A).

2. AU(BnO = (AUB )n (AUC).

3. AD (BUC) = (Ar|B)U(AnC).

4. 若 Vz￡A 有 zfB,贝U 有 AUB (或 BMA).

5. 若AUB, 且贝IJ 有

6. ACB,BWAUA=B.

7. 空集是任何集合的子集,即0UA(A 为任意集合)；空集是任意非空 集合

的真子集.

8. 含有n 个元素的集合有2”个子集，有2" — 1个真子集，有2”一2个 非空真子集.

9. AC\B={X \X EA,且妊 B}. 10. AUB=S|^eA,或了￡B}.

11. Ai>A=A,A\J0=A ;AP\A=A,Ar\0=0.

12. AU B=AOBQA, A A B=A0AUB. 13. CuA = {z|z€U,且 *CA}. 14. & (A 。B) = (CuA) U (&B)； C u (AUB )=(C u A )n (C t ；B).

二、 数列 a 是无理数).

2.对数

(1) 基本性质 ① 负数和零没有对数；

②log…a = l,log…l = 0(a>0,a#l). ,

(2) 常用对数log 10N 记为IgN ；自然对数log,N 冶为InN. (3) 运算性质

设 M>0,N>0,a>0,a^l,则有 ① l og “ (M ? N) = log?M+log?N ；

② l og” 导= logJW —log?N ； ③log a M n = n\og a M (n G R)? (4) 公式

对数恒等式:a'^=N(N>0,a>0,且a 尹1). 换底公式:log/ =髀(a>0,且 a#l,c>0,且 c 夭 1,。>0). 特别地:log…6 = j o ^

(a>0, b>0,且 a 夭1,0尹1).

四、三角函数

1.角度和弧度的换算

1. 数列的通项公式与前n 项和的关系

_ fSi (n=l), "S n — S n -i (〃三 2).

2. 等差数列

(1) 定义:a n+1-a n =cZ(/7eN* M 为常数). (2) 通项公式:七=。1 + (〃一 1)次.

(3) 等差中项..a,A,b 成等差数列e2A=〃+A (或A=牛?). (4) 性质：m-\~n=k + t=>a,n -\~a n =a k ~\~a t (???,n,, ZG N* ). (5) 前 n 项和:S” = &"二"")〃=H-- T ?(72-l)d. 3. 等比数列

1°=佥rad=0. 017 45rad lrad=(半)°=57. 30°=57°18‘

2. 弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1) 弧长公式：l= |a|r;

(2) 扇形面积公式：S=^Zr.

其中,/为孤长,r 为圆的半径,a 为圆心角的弧度数. 3. 同角三角函数的基本关系 平方关系:sin 2a+cos 2a = 1.

⑴定义:芝=q(〃€N*沮为非零常数).

商数关系:tana=或 (罗如+于，蚯Z).

(2) 通项公式?a n =a x q n ~x .

(3) 等比中项：a,G,b 成等比数列^G 2=ab. (4) 性质:m-\-n=k+l^a m a n =a k ai(m,n,k,l￡N*).

na\

(5)前〃项和:S 〃= Ml —q”)

(q=l),

1—g

4.常用求和公式 4.三角函数的诱导公式 sin (为? 360°+a) = sin? cos 以? 360°+a) = cosa tan 以? 360°+a) = tana sin(90°±Q )= cos? cos( 90°±a)=干 sin? tan( 90°±Q )=干 cota

sin(—a) = — sin^

cos(—a) = cos? tan( —a) = — tana sin(180°+a) = =

Fsina cos( 180°士Q ) = — cosa tan( 180°±a) = 士 tana

(1)X> =丞守2；

(2) ￡>2

(3)麗=[弓

三、基本初等函数

1.指数 (1) 根式

缶)” =aS€N*,且 〃>1);涉=(?,

1 \a\

(2) 分数指数幕

3为大于1的奇数), 3为大于0的偶数).

正分数指数赛:厂=Va 7r (a>0,m,/?GN*，且〃>1)；

负分数指数幕:口一吁=*4r = g^(Q>0,m,〃€N*，且 7?>1).

(3)有理数指数藉的运算性质

如=『(Q >0,Q)；

厂，s￡Q)；

(部)「=次歹(。>0,。〉0,厂￡(5).

有理数指数藉的运算性质同样适用于无理数指数幕另(。〉0,

五、三角恒等变换

1.两角和与差的三角函数、倍角公式 (1)两角和与差的三角函数

sin(a 士 B)= sinacosR 士 cosasin^ COS (Q ±0) = cosacosR 干 siruzsin^ tan(a±/?) =

tang 士tang 1 + tanatan/?

(2)倍角公式

sin2a= 2sinacosa COS 2Q = cos 2?—sin 2a= 2 cos 2 a —1 = 1 — 2 sin 2

a tan2a=

2tarkz 1 — tan

a 2.积化和差与和差化积公式

(1) 积化和差公式 2simcos/?= sin(a+6)+sin (Q —0) 2cosasin/?= sin(c+R) — sin(a~/3) 2cos?cos0= COS (Q +0) + COS (Q —g)

2sino ：sin^= cos(。一0)

—cos(a+0)

(2) 和差化积公式

sina+sin/9=2sin 弓前cos 与留 sin?-si 邱=2cos ^-^sin cosa+cos0=2cos ^-^cos cosa —cosg= —2sin ^-^sin 以 / 3. 半角公式

? a 丄 /I — cosa a 丄 /1 + cosa sin T =

土 COS T =士 _a_ __ I /1 — cosa_ 1 — cos 。_ sing

tan 2 —

V 1 + cosa sina 1 + cosa 4. 辅助角公式

Qsin?+bcosa= J a? + 胪 sin(a+p)(沥尹 0)，其中夕满足 tan^)=—.

六、 解三角形

1. 正弦定理

念=金=丘=2R (R 为即c 外接圆的半径).

2. 余弦定理 a 2=b 2-\-c 2 — 2bccosA ； b 2 = c 2 +Q 2 — 2cacosB ； c 2=a 2+62 — 2abcosC.

n A _b 2-\~c 2—a 2 n _c 2 ~\~a 2 ~b 2 r _a 2 -\~b 2 ~c 2 : cosA — 2成 1 COSLJ —

2CQ ，cosC — 2jU.b ,

3. 三角形面积公式

(1)S △海= -^》csinA=3_acsinB = -^~aZ )sinC(A,B,C 是△ABC 的 三

角a,b,c 所对的边).

(2) S A ABC = Vp(p —a)(.p —b')(p —c) (p=。+里*。)? (3) 5山=土发伝+》+/3为三角形内切圆半径).

七、 不等式

1. 不等式的性质

(1)Q >A<=>》V Q ；

( 2) , b^>c=>a^>c ；

(3)a>b=>a+c>6+c ； (4)Q+b>c=>a>c —6； (5)。>们 c>d=>a+c^>b~\~d; ( 6) a^>b, c> 0=>ac^>bc;

(7)a>b>09c>d>0=>ac>bd ； (8)a>b>0=>a n >lf 3€N,疗2)； (9处>&>0。握>

爾(77eN,n^2).

2. 不等式及其解法

(1) 一元二次不等式及其解法

I /(z) | 5｛嵩旗或UMg, |

| >8(了)07"(工)>g(:t)或 /'(了) V —g(z).

③ | *) | > | g(z) 10Lf(z)]2>[g(z )E

④ 形如丨z —a I + I x~b I

3. 重要不等式

Wa z +b 2^2ab.其中a,6eR,当且仅当a=b 时等号成立. (2)基本不等式:啰2 血.

其中a,b>0,当且仅当a = 3时等号成立.

~+~b

其中,a,b>0,当且仅当a=b 时等号成立. (4) 4a6?a+6)2<2(a 2+62).

其中,a,0€ R,当且仅当a=b 时等号成立. (5) a 2 +62 +c 2^-|- (a+"+c)22a6+6c+ca, " 其中,a/,c€R,当且仅当a=b=c 时等号成立.

(6) | 土十个| 22,当且仅当丨a | = ” |时等号成立. 4. 利用基本不等式求最值 已知z,;y>0,则

(1)若x + y = s(和为定值)，则当x = y 时，积xy 取得最大值

(2)若xy=pC.积为定值)，则当x = y 时,和x+y 取得最小值2据 (x~\~y^2

V~xy=2

八、立体几何

△=胪一4ac

△〉0

△=0 △VO

ax 2 +M+c>0 (a>0)的解集 {x 1 zVzi ,或 X^>T2 }

6 VZ2)

3蚌一阳 R Q]2+&+C V0 (Q>0)的解集

{X \X \

Vz2)

' 0

一元高次不等式(了一工1)(X — Z2)"?(Z —Z”)>0(<0)(其中工1 〈互〈…〈了”)可用穿根法求解. (3) 分式不等式的解法

^^>O(VO)0y (z )? gCz)>0(V0); g (z )2o (〈o )0 板妥.g (go?o ). (4) 绝对值不等式的解法

①"<5｛骂常或骂

1 .空间几何体的侧面积公式 (1沁正棱柱侧=京

(3)S 圆柱侧=2兀义 (5)S 圆台侧=7T (厂+/)/ 2. 空间几何体的表面积公式 (1)S 圆柱=2兀厂(7-+ Z) (3) S 圆台=K (r ，2 H-r 2 + // -prZ)

3. 空间几何体的体积公式

⑴V 柱体= S/i

(3) V 台体=*(S+ TS^+S^h

⑸卩圆锥=斗兀泓

⑷s 圆锥侧=口， (2)S 圆锥= 7tz ?(厂+Z) (4)S 球=4紀

(2)V #

(4) V 圆柱=兀，h

(6)V 圆台=-^-7rA(r 2+rr ，+r ，2)

(7)四=号紀

4. 平面的基本性质

公理 1：A€Z,B￡Z,且 A￡a,Be anLUa.

公理2：A,B,Ce a ,A,B,Ce/3,且A,B,C 三点不共线》a 与向重合. 公理 3：F￡a,且 PC 井aPl/?=Z ，且 FEZ. 5. 空间两直线平行的判定

⑴欢国〃。 ⑵出冒必

a. Q ] a//P ]

(3)aU0 ^=>a// b

(4)Qp|y=Q ^=>a//b a[}p=b\ pC\y=b)

6.空间两直线垂直的判定

⑴忠｝。山⑵检｝。

山

(3)三垂线定理及其逆定理

7.空间两直线异面的判定方法

(1)反证法；

(2)平面外一点与平面内一点的连线,与平面内不过该点的直线是异面

直线.

8.直线与平面平行的判定

(DfeCa \^a//a(2)。约〃仪

a//b\ KJ

9.直线与平面平行的性质

a//p

Q U Q

10.平

面与平面平行的判定

aU8，bUB]〃

⑴"〃 *⑵囂} 2⑶ 哥*5 a//a,b//a)

11.平面与平面平行的性质

Q〃B }

a^7=a >=^a//b

卽I V=b)

12.直线与平面垂直的判定

oUa/U。

(i)m=A

l_La,l_Lb

13.直线与平面垂

直的性质

⑴(2)：艺昌仍

14.平面与平面垂直的判定

(1)結;}=>戶丄a (2)-面角的平面角0=90°

15.平面与平面垂直的性质

⑴ABSABJLCD仲仙丄0 气丄所平阡aUa

九、直线、圆与方程

1.直线与方程

(1)直线方程

①点斜式以一)0=奴X—1o)；

②斜截式：y=kj：-\-b;

③两点式：：-_以=X(xi尹血,y\尹丁2);

3^2 3,1 了2 幻

④截距式:―+-^=1;

a b

⑤一般式:Az+By+C=0(A,B不同时为0).

(2)直线的斜率公式

经过两点Pi 3 ,功)，P2 (互见)3尹了2)的直线的斜率公式:k

=41(1"2).

血―zi

(3)两条直线的位置关系

①11(丁=名尤+缶)与l2(y=k2x-\-b2>)平行:k}=k2且缶夭勿；

②Z1 (丁 =加^ +缶)与/23 =人2辺+ 62)垂直：41为2 = — 1；

A

③Zi (Aiz+Bix+G =0)与l2 (A2Z+B23/+C2 = 0)

平行:=

(A2B2C2 铲0);

④Z] (Ai JT+B IJZ+C I =0)与Z2 (A2J7+B23/+C2=0)垂直:A1A2 + B】

B2=O.

(4)距离公式

①两点P](Z1 ,'1),「2(12，丁2)间的距离：

I PiP21 = 11)2+(%一少)\ 特别地，原点0(0,0)与

任意一点PG,少的距离\OP\=

②点P6，V。)到直线Az+Bj；+C=o的距离：

次=I A TO+B J/O+C|

③两平行直线h :Az+By+G =0和12:Ar+By+Q =0间的田巨离: d ,

|C2-C t I

VA2+B2 '

2.圆与方程

(1)圆与方程

①圆的标准方程：(工一a)，+ (了一A)。= / ,圆心为(a, 6),半

径为r.

②圆的一般方程:x z+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F >0,圆心为(一

号，一等),半径"=土JD2+￡2—4F.

(2)直线与圆的位置关系

设直线l：Ax+By+C=0,圆C： G—a)2 + 3-3)2 =己圆心到直线的距

离为d,则舟I叮欧+直：

A/A2+B2

次〉B直线与圆相离；

d=g直线与圆相切；

dVr(习直线与圆相交.

(3)过圆上一点的切线方程

①与圆j；2 + j/2 = r2相切于点(io，Ko)的切线方程：尤0辺+贝

丁= r2.

②与圆(X—a)2 + (y — b')2 = r2相切于点(z。，3/0)的切线方

程：(z()—Q)(Z—。)+ (弘一6) (、一6) =，.

(4)圆与圆的位置关系

设两圆C]:(X—<21 )2 + (j/—Z?i )2=rj ,C2: (j：~a2)2+ Cy~b2)2= ,

圆心距d= J(勿―。1)2 + (缶一缶)2，则

I d I >八+厂2<=>两圆相离；

I d I =厂1+厂2匸>两圆外切；

I n—r2 I V I d I 两圆相交；

I d I = I r x—r2 I 0两圆内切；

I d I V I厂1一a I 0两圆内含.

(5)直线被圆所截弦的问题

设直线与圆相交于两点A3 ),BC Z2必)，则弦AB的长：

①| AB | = \/1+/ | oc\―i2 I =

J(1+&2)[(Z1+血)2—4X1互]以为直线AB的斜率).

②I AB丨=2 为弦心距，厂为圆的半径).

3.空间直角坐标系

(1)空间两点间的距离公式

①空间中的任意一点P(x9y fZ)与原点的距离：

\OP\= /x2+y+z2.

②空间中任意两点P1 6，丁1，为)，「2 (血，丁2，切)间的距

离：

I P1 尸2 I = J(%1一了2)2 + (少—必)2 + 01—±)2 .

(2)空间线段的中点坐标

在空间直角坐标系中，若A3以1 9 Zl) 9 B(x29 y29 Z2) 9则线段

AB的中点坐标是：(十,*，亨)?

十、圆锥曲线与方程

1.椭圆的标准方程及几何性质

标准方程:斧+$ = 1(a>3>0)或g= 1(a>&>0)

焦点：(士c,0)或(0, 士c)

离心率:e= —(0

a

2.双曲线的标准方程及几何性质

- 2 2 2 2

标准方程:?一节' = l(a,b>0)或千一, = l(a,》>0)

焦点：(士c,0)或(0, 士c)

渐近线:尸或y = +-yx

离心率：e= —(e>l,c2=a2+&2)

a

3.抛物线的标准方程及几何性质

标准方程:y2 = 2pj：Cp>0)

焦点：(号，0)

焦半径：|MF| =工。+号

准线方程:工=—号

4.直线截圆锥曲线的弦长

设弦AB的端点坐标为A3価),B6必),直线AB的斜率为加则| AB | =

J(1+财)[(了1 +J；2)2—耳⑥互].

H、平面向量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素:大小、方向.

(2)向量的表示

字母表示:症,a.

坐标表示：G=(e ,丁1)?

(3)向量的模：向量的模即向量的大小，记作|a|.

若。=(心5)，则丨。丨=V^T+^T-

(4)特殊的向量：

①零向量:a=0O | a I =0.

②单位向量:G为单位向量<=> | a I =1.

③相等向量:长度相等且方向相同的向量.

设。=(了1 ,少)，b= (x2 ,了2)，则。=扶习工1 =^2 ,少=y2.

2.向量的运算

(1)向量的加减法

几何运算:三角形法则或平行四边形法则. 坐标运算:设a=(乃5 )，

力=(了2 ,)2),则a+b= (xi ±x2 ,yi ±，2)?

(2)实数与向量的积

定义:Aa是一个向量，满足A>0时,;la与a同向以V0时,Aa与a 反

向以=0 时以a=0. | Aa | = | A | I a | .

坐标运算：祯=义6 5)=(廊1 ,义少).

(3)向量的数量积

定义:。? b= | a | I b I co迅其中。是。与b的夹角坐标运算：G?

b=x l jc2+yiy2-

3.重要公式

⑴平面向量基本定理：口=入1。1+入2。2，。1，。2不共线.

(2)距离公式:设A(Z1 5 ) ,B(Z2以2),则殖=6 —以2 —少)，

I 窟 | =』(互―11)? +(丁2一少)2.

(3)非零向量平行的充要条件:a//b<^a=Xb^j31y2—x2yi=0.

(4)非零向量垂直的充要条件:a_\_b^>a ? &J72+^I3,2=0.

(5)夹角公式:cos<9=

十二、导数及其应用

(2)(]”)'=心”T(〃￡Q,且〃尹0)

(4)(cosx)' = — sinz

(6)(a x)，=a J lna(a>0,且Q尹1)

(7)(1按=手(工>0)

(8)(108"=佥(》

0,<1>0,且 g)

2.导数运算法则

(1)E/(x)±g(x)T=f f (x) ±g z (x)；

(2)E/a)- g&)了 = /Cr)gCz)+rCz)g'Cr)；

⑶[醫]'=0借砰

3.复合函数的导数

若函数"=g(z)在X处可导,义=/(“)在U处可导，则复合函数y= /Eg(z)]

在z 处可导，且y x=y… ? u x.

4.定积分的基本性质

(1)(好&)&=&『/&)&(￡为常数)；

(2) f L/i (x)±/2(^)]dz= f fi (x)dz+ f，2(x)&；

J a J a J a

(3)[ f (j?)dr= f /*(])&+ f /(j?)dz(其中Q V c

J a J a J c

5.微积分基本定理

]》(z)&=F(z) I ￡=F0)-F(a)(其中尸(了)=/(了)).

十三、统计与概率

1.统计

(1)方差与标准差

方差：$2=丄[(了1 —T')2+(.X2—X')2-\ (了,一Z)2]

n

标准差：5 = /)y —[(J71 —立)2 + (了2—立)2+ ??? + (%—z)2]

其中辰=斗6+戏+...+師).

(2)离散型随机变量的均值(或数字期望)与方差

①离散型随机变量的均值：

E(X)=zi />i +血力2 +…+壬化+…+止。”. 性质:ESX+b) =aE(X)

+b(a,b是常数)；若X服从两点分布，则E(X)f 若X服从二项分布,

即X?B(n,p)，则E(X) =np.

②离散型随机变量的方差:D(X)= ￡ 3-E(X))0.

性质:D(aX+6)=/D(X)(a,。是常'数)；

若X服从两点分布，则D(X)=p(l-p)；

若X服从二项分布，则X?B(S),则D(X)=”(1 —P).

2.概率

(1)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则F(AUB)=P(A)+P(B). 若事件A与事

件B为对立事件，则P(A) = 1—P(B).

(2)古典概型的概率公式

事件A包含的基本事件数一m 基本事件总数V-

(3)几何概型的概率公式

p以、一构成事件A的区域长度(面积或体积)

5,一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

(4)条件概率

设A, B为两个事件，则A发生的条件下B发生的概率：

F(B丨A)=罕當.其中F(A)>0. 如果B和C是两个互斥事件，则

P(BUC| A)=P(B\A)+F(CI A).

(5)P(A1A2A3-A…)=P(A1)P(A2)-P(A…).其中事件Ai ,&,???, A”相互独立.

特别地，如果事件A与事件B相互独立,则有F(AB)=P(A)P(B).

(6)①两点分布(0—1 分布)：P(X=0) = l一？；P(X=l)=/>.

②超几何分布：P(X=Q= 臨4。=0,1,2,“?,他).

其中m=min{M9n}，且nWN,MWN,m,M,N￡N*.

③二项分布：P(X=&)=U"(1—》)I,&=0,1,2,???，〃.

十四、常用逻辑用语

P q PN q

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

■l±a(2 舟

a丄a =>b_\_a

VA2+B2

L几种常见函数的导数

(l)c' = 0(c 为常数)

(3)(sirLz)，= cosj：

(5)(打=e，

2