一元二次方程与一元二次不等式的解法
一元二次方程、二次函数与一元二次不等式
【基础知识回顾】
1.一元二次方程的一般形式：002acbxax ①其中cba,,为常数，x为未知数。
根的判别式：acb42
一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：0时，方程①无实根；
0
时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根；
0
时，方程①有两个不相等的实根。
求根公式：在0时，方程①的实根aacbbx2422,1
2.二次函数的一般形式：形如02acbxaxy其中cba,,为常数，x为自变量。
顶点坐标为abacabP44,22，其中直线abx2为对称轴，
（1）0a时，函数cbxaxy2的图象开口向下，函数cbxaxy2在
abx2
取到最大值，即abacy442max，对任意abacyRx44,2.
（2）0a时，函数cbxaxy2的图象开口向上，函数cbxaxy2在
abx2
取到最小值，即abacy442min，对任意abacyRx44,2.
3.二次函数02acbxaxy与x轴交点个数的判断：
0
时，函数02acbxaxy与x轴无交点；
0
时，函数02acbxaxy与x轴相切，有且只有一个交点；
0
时，函数02acbxaxy与x轴有两个交点。
4.二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a的正负）、对称轴、.
5.二次不等式的概念：形如002acbxax其中连接cbxax2与0的不等号可以
是,，，或.
【典型例题】
【类型一】一元二次方程002acbxax的解法
【方法一】求根公式法
步骤：①计算；②若0，则方程无实根；若0，利用求根公式aacbbx2422,1.
【例1】求解下列方程.
（1）0442xx （2）0122xx
【练习】解下列方程.
（1）03522xx （2）862xx
【方法二】十字相乘法
利用十字相乘法求解方程002acbxax的前提条件是：0，也就是保证方程
002acbxax
必须有实根.
十字分解依据：对于方程002acbxax而言，cba,,均为整数。当0ac时，将
ac分解为两个约数之和为b；当0ac时，将ac
分解为两个约数之差为b或b.
【例2】求解下列方程
（1）0862xx （2）01522xx
（3）0151122xx （4）02532xx
【练习】解下列方程
（1）2082xx （2）02522xx
【类型二】二次函数最值的求法
【方法一】公式法
①0a时，函数cbxaxy2在abx2取到最大值，即abacy442max，对任意
abacyRx4
4,2
.
②0a时，函数cbxaxy2在abx2取到最小值，即abacy442min，对任意
abacyRx4
4,2
.
【方法二】配方法
22
222
2222abcabxabxacxa
b
xacbxaxy
abacabxa442
2
2
【例3】求下列函数的最值
（1）1662xxy （2）5322xxy
（3）652xxy （4）5632xxy
【练习】求下列函数的最值
（1）842xxy （2）
【类型三】一元二次不等式的解法
三个两次之间的关系
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数
图 象
根
无 解
解集
解集
基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）
【例4】解下列不等式
（1）； （2）；
（3）； （4）
【练习】（1）不等式的解集是 .
（2）不等式的解集是 .
（3）不等式的解集是 .
（4）不等式的解集是 .
【类型四】分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）：
【例5】解下列不等式
（1）； （2）；
（3）； （4）
△
三个二次
x1 x
2
x1= x2
【练习】求解下列不等式
（1）； （2）；
【课后作业】
1.解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
2.不等式的解集是 .
3.不等式的解集是
. .
. .
4.不等式的解集是 .
5.不等式的解集是 .
6.在下列不等式中，解集是的是
7.不等式的解集是 .
8.不等式的解集是 .
9.不等式的解集是 .
10.解下列不等式或方程
（1） ； （2）；
（3） ； （4）；
（5）； （6）；
11.已知集合，集合，则下列式子中正确的是
（ ）
错误!
12.当 时，函数取到最 值 .
简单的一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
第1课时 简单的一元二次不等式及其解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
一元二次不等式的概念
我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中
称为 一元二次 不等式.
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解. (3)不等式所有解的 集合 称为解集.
知识点二
“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋Leabharlann ＝0√ 1 D.xx<－2或x＞1
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
1 ∴由 2x －x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得 x>1 或 x<－2，
2
1 ∴不等式的解集为xx<－2或x＞1 .
1
2
3
4
解析
答案
2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是 A.1 B.2 C.3 √ D.4
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
解答
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
一元二次不等式及其解法
§9.2一元二次不等式及其解法对应学生用书第120页1.一元二次不等式的定义形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.(1)定义的简单应用:判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个,未知数的最高次数是2,且最高次项的系数不能为0.(2)解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.3.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0( a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0( a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0( a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax 2+bx+c>0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c >0或{a >0,Δ<0.(2)不等式ax 2+bx+c<0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c <0或{a <0,Δ<0.【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)a>b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)若不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0.( ) (3)若方程ax 2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为R . ( ) (4)不等式ax 2+bx+c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ=b 2-4ac ≤0.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×【对接教材】2.(北师大版必修5P87习题T4改编)已知不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2},则实数m 的值为( ).A .2B .-3C .1D .3答案 D解析 因为不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2}, 所以1,2是关于x 的方程x 2-mx+2=0的实数根, 所以m=1+2=3.故选D .【易错自纠】3.关于x 的不等式x 2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax 2+x-3<0的解集为( ).A .(1,2)B .(-1,2)C .(-12,1) D .(-32,1)答案 D解析 由题意知,-3,1是关于x 的方程x 2+ax-3=0的两根,可得-3+1=-a ,解得a=2, 故所求不等式为2x 2+x-3<0,即(2x+3)(x-1)<0, 解得-32<x<1,所以不等式的解集为(-32,1). 故选D .4.若关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m 的取值范围为( ).A .(6,7]B .(6,7)C .[6,7)D .(6,+∞)答案 A解析 原不等式可化为(x-2)(x-m )<0, 若m ≤2,则不等式的解是m<x<2,此时不等式的解集中不可能有4个正整数,所以m>2, 所以不等式的解是2<x<m ,所以不等式的解集中的4个正整数分别是3,4,5,6, 故实数m 的取值范围是(6,7].【真题演练】5.(2019年天津卷)已知a ∈R .设函数f (x )={x 2-2ax +2a(x ≤1),x -alnx(x >1).若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立,则a的取值范围为( ). A .[0,1]B .[0,2]C .[0,e]D .[1,e]答案 C解析 当x ≤1时,f (x )=x 2-2ax+2a ,函数f (x )图象的对称轴为直线x=a ,又f (x )≥0在R 上恒成立, 所以当a ≥1时,f (x )min =f (1)=1>0恒成立, 当a<1时,f (x )min =f (a )=2a-a 2≥0,∴ 0≤a<1. 综上,a ≥0.当x>1时,f (x )=x-a ln x ,所以f (x )≥0在R 上恒成立,即a ≤xlnx恒成立. 设g (x )=xlnx,则g'(x )=lnx -1(lnx)2.令g'(x )=0,得x=e,所以当1<x<e 时,g'(x )<0;当x>e 时,g'(x )>0. 所以g (x )min =g (e)=e,所以a ≤e .综上,a 的取值范围是0≤a ≤e,即[0,e].故选C .对应学生用书第121页一元二次不等式的求解【考向变换】考向1 不含参数的一元二次不等式解不等式:(1)3+2x-x 2≥0;(2)1-2xx+1>0. 解析 (1)原不等式可化为x 2-2x-3≤0,即(x-3)(x+1)≤0,故所求不等式的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(1-2x )(x+1)>0,解得-1<x<12,故所求不等式的解集为{x|-1<x <12}.变—把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式判—计算对应方程的判别式求—求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根写—利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集【追踪训练1】解不等式:3x -52x -3≤2. 解析 原不等式可化为x -12x -3≥0,即{x -1≥0,2x -3>0或{x -1≤0,2x -3<0,解得x>32或x ≤1.故所求不等式的解集为{x|x >32或x ≤1}.考向2 含参数的一元二次不等式已知函数f (x )=ax 2-(a+1)x+1. (1)当a=-2时,解关于x 的不等式f (x )<0; (2)当a>0时,解关于x 的不等式f (x )>0. 解析 (1)当a=-2时,f (x )=-2x 2+x+1<0, 即2x 2-x-1>0,解得x<-12或x>1,∴不等式的解集为{x|x <-12或x >1}.(2)当a>0时,由f (x )>0,得ax 2-(a+1)x+1>0, 即(ax-1)(x-1)>0,①当1a =1,即a=1时,解得x ≠1;②当1a >1,即0<a<1时,解得x<1或x>1a ; ③当1a <1,即a>1时,解得x<1a 或x>1.综上所述,当a=1时,不等式的解集为{x|x ≠1}; 当0<a<1时,不等式的解集为{x|x <1或x >1a}; 当a>1时,不等式的解集为{x|x <1a或x >1}.点拨 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.(3)当确定方程无根时,可直接写出解集;当确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.【追踪训练2】解关于x 的不等式ax -1x -3>0. 解析 不等式等价于(ax-1)(x-3)>0. 当a<0时,不等式的解集为{x|1a<x <3}; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<3};当0<a<13时,不等式的解集为{x|x <3或x >1a}; 当a=13时,不等式的解集为{x|x ≠3};当a>13时,不等式的解集为{x|x >3或x <1a}.一元二次不等式恒成立问题【考向变换】考向1 在实数集R 上恒成立问题若一元二次不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).A .(-3,0]B .[-3,0)C .[-3,0]D .(-3,0)答案 D解析 因为2kx 2+kx-38<0为一元二次不等式,所以k ≠0.又2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立, 则{2k <0,Δ=k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.点拨 对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外,问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.【追踪训练3】设a 为常数,对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .(0,4) B .[0,4)C .(0,+∞)D .(-∞,4)答案 B解析 对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立, 则{a >0,Δ=a 2-4a <0或a=0,所以0≤a<4.考向2 在给定区间上恒成立问题(一题多解)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围. 解析 要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+34m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立. (法一)令g (x )=m (x -12)2+34m-6,x ∈[1,3],当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0,所以m<67,则0<m<67; 当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}. (法二)因为x 2-x+1=(x -12)2+34>0, 又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6x 2-x+1.因为函数y=6x 2-x+1=6(x -12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.因为m ≠0,所以m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}.点拨 解决恒成立问题时一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.【追踪训练4】若对任意m ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求x 的取值范围. 解析 f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x 2-4x+4, 令g (m )=(x-2)m+x 2-4x+4,由题意知,在[-1,1]上,g (m )的值恒大于零,所以{g(-1)=(x -2)×(-1)+x 2-4x +4>0,g(1)=(x -2)×1+x 2-4x +4>0,解得x<1或x>3.故x 的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).对应学生用书第122页转化与化归思想在分式不等式中的应用解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商式,另一边为0的形式,再通过等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.注意分母不为零.已知函数f (x )=2ax -bx -1(a ,b ∈R). (1)若关于x 的不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),求f (x )<0的解集; (2)若a=12,求不等式f (x )>0的解集.解析 (1)∵不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),∴a>0,a=b>0,∴f (x )<0,即a(2x -1)x -1<0,∴a (2x-1)(x-1)<0,解得12<x<1, ∴f (x )<0的解集为(12,1).(2)当a=12时,不等式f (x )>0,即f (x )=x -bx -1>0, ∴(x-b )(x-1)>0,当b>1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,1)∪(b ,+∞); 当b=1时,不等式f (x )>0的解集为{x|x ≠1}; 当b<1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,b )∪(1,+∞).对于分式不等式或高次不等式,常用的方法是穿针引线法,首先分解因式,判断各个因式的正负,然后根据各个因式的零点分析求解.【突破训练】(2021辽宁辽阳模拟)不等式x+61-x ≥0的解集为( ).A .{x|-6≤x ≤1}B .{x|x ≥1或x ≤-6}C .{x|-6≤x<1}D .{x|x>1或x ≤-6}答案 C 解析 不等式x+61-x≥0等价于{(x +6)(1-x)≥0,1-x ≠0,解得-6≤x<1.对应《精练案》第56页1.(2021山东聊城期中)一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为( ).A .{x|x<-2或x>1}B .{x|x<-1或x>2}C .{x|-2<x<1}D .{x|-1<x<2}答案 C解析 (x-1)(x+2)<0, 即{x -1>0,x +2<0或{x -1<0,x +2>0,解得-2<x<1.∴一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为{x|-2<x<1}.故选C .2.(2021山东临沂期中)若不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,则实数a 的取值范围是( ).A .(-16,0)B .(-16,0]C .(-∞,0)D .(-8,8)答案 D解析 ∵不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a 2-4×4×4<0,解得-8<a<8, ∴实数a 的取值范围是(-8,8).故选D .3.(2021河北沧州模拟)已知不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2],则b+c 的值为( ).A .-1B .1C .-2D .2答案 A解析 因为不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2], 所以关于x 的方程x 2+bx+c=0的实数根为1和2, 所以{1+2=-b,1×2=c,即{b =-3,c =2,所以b+c=-3+2=-1. 故选A .4.(2021福建泉州模拟)设f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集是( ).A .(-∞,-1)∪(3,+∞)B .RC .{x|x ≠1}D .{x|x=1}答案 C解析 ∵f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),∴-b 2=-1+32,解得b=-2.∴f (x )=x 2-2x+1=(x-1)2, ∴f (x )>0的解集为{x|x ≠1}.5.(2021重庆南开检测)已知集合A={x|0≤x ≤1},B={x|x 2-2(m+1)x+m<0},若A ⊆B ,则实数m 的取值范围是( ).A .(-∞,-1)B .(-1,0)C .[-1,0)D .(-∞,0) 答案 B解析 令f (x )=x 2-2(m+1)x+m , 若要满足A ⊆B ,则需满足{f(0)<0,f(1)<0,即{m <0,1-2(m +1)+m <0,解得-1<m<0.6.(2021陕西延安期中)已知不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a<0的解集为( ).A .{x|-1<x <12} B .{x|x <-1或x >12}C .{x|-2<x<1}D .{x|x<-2或x>1}答案 A解析 ∵不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},∴关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两根分别为-1,2,且a<0,即{-1+2=-ba,(-1)×2=2a,解得{a =-1,b =1,则所求不等式可化为2x 2+x-1<0, 解得{x|-1<x <12}. 故选A .7.(2021广东东莞期中)已知函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,则实数a 的取值范围是( ).A .[-2,1)B .[-2,-1]C .(-2,1)D .(-∞,-2)∪[1,+∞)答案 B解析 ∵函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,∴当a 2-1=0时,a=1或a=-1,验证可知a=1时不成立,a=-1时成立;当a 2-1≠0时,{a 2-1>0,Δ=4(a -1)2-12(a 2-1)≥0,解得-2≤a<-1.综上,-2≤a ≤-1,∴实数a 的取值范围是[-2,-1].故选B .8.(2021江苏南通期中)对于实数x ,规定[x ]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x ]2-36[x ]+45<0成立的x的范围是( ). A .(32,152) B .[2,8] C .[2,8) D .[2,7]答案 C解析 由4[x ]2-36[x ]+45<0,得32<[x ]<152, 又[x ]表示不大于x 的最大整数,所以2≤x<8.9.(2021重庆南开检测)二次不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),若f (x )=cx 2+bx+a ,则( ).A .f (2)>f (0)>f (1)B .f (2)>f (1)>f (0)C .f (0)>f (1)>f (2)D .f (0)>f (2)>f (1)答案 A解析 因为不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞), 所以1和2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两实数解,且a>0, 所以{1+2=-b a,1×2=c a ,解得{b =-3a,c =2a,所以f (x )=cx 2+bx+a=a (2x 2-3x+1),所以f (x )是二次函数,且其图象开口向上,对称轴是直线x=34, 且|1-34|<|0-34|<|2-34|, 所以f (1)<f (0)<f (2). 故选A .10.(2021湖南长沙模拟)定义运算:{x,xy ≥0,y,xy <0.例如=3,(-=4.则函数f (x )=x x-x 2)的最大值为 .答案 4解析 由已知得f (x )=x x-x 2)={x 2,x 2(2x -x 2)≥0,2x -x 2,x 2(2x -x 2)<0={x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x <0或x >2,易知函数f (x )的最大值为4.11.(2021湖北黄冈调考)设A :x x -1<0,B :0<x<m ,若B 是A 成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为 .答案 (1,+∞) 解析 由题意得,xx -1<0,则0<x<1.要使得B 是A 成立的必要不充分条件,则(0,1)⫋(0,m ), 所以m>1.12.(2021江西抚州模拟)若关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,则实数m 的取值范围为( ).A .(-3,+∞)B .(0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,-3) 答案 A解析 因为关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,所以22+2m-4>0或42+4m-4>0, 解得m>0或m>-3,所以实数m 的取值范围是(-3,+∞). 故选A .13.(2021河北张家口模拟)已知使不等式2ax 2+ax-3>0对任意的a ∈[1,3]恒成立的x 的取值集合为A ,使不等式mx 2+(m-1)x-m>0对任意的x ∈[1,3]恒成立的m 的取值集合为B ,则有( ). A .A ⊆(R B )B .A ⊆BC .B ⊆(R A )D .B ⊆A答案 D解析 令f (a )=(2x 2+x )a-3,因为f (a )>0对任意的a ∈[1,3]恒成立,所以{f(3)>0,f(1)>0,解得x<-32或x>1,即A=(-∞,-32)∪(1,+∞),又mx 2+(m-1)x-m>0,即m (x 2+x-1)>x.因为当x ∈[1,3]时,x 2+x-1>0,所以m>xx 2+x -1对任意x ∈[1,3]恒成立,又y=xx 2+x -1=1x -1x +1在[1,3]上单调递减,故y max =1,故m>1,即B=(1,+∞).综上,B ⊆A.14.(2021广东佛山模拟)(1)解关于x 的不等式ax 2-3x+2>5-ax (a ∈R).(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,求x 的取值范围.解析 (1)不等式ax 2-3x+2>5-ax 可化为ax 2+(a-3)x-3>0,即(x+1)(ax-3)>0,①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}. ②当a ≠0时,方程的两根为-1和3a ,当a>0时,不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}, 当a<0时,a.若3a>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1<x <3a }; b.若3a<-1,即-3<a<0,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; c .若3a =-1,即a=-3,原不等式的解集为⌀,综上所得,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}; 当a>0时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}; 当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1<x <3a}; 当-3<a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; 当a=-3时,原不等式的解集为⌀.(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,即mx 2-mx+m-6<0恒成立,所以(x 2-x+1)m-6<0恒成立,令函数f (m )=(x 2-x+1)m-6,m ∈[-2,2], 因为(x 2-x+1)=(x -12)2+34>0恒成立, 所以函数f (m )=(x 2-x+1)m-6在m ∈[-2,2]上单调递增, 所以只需要函数的最大值小于0即可, 所以f (2)=(x 2-x+1)×2-6<0,即x 2-x-2<0, 解得-1<x<2,即x 的取值范围是(-1,2).15.(2021思明区校级月考)已知函数f (x )=ax 2+(b-8)x-a-ab ,f (x )>0的解集为(-3,2),(1)求f (x )的解析式;(2)当x>-1时,求y=f(x)-21x+1的最大值; (3)若不等式ax 2+kx-b>0的解集为A ,且(1,4)⊆A ,求实数k 的取值范围.解析 (1)由题可知{a <0,f(-3)=0,f(2)=0,解得{a =-3,b =5. 则f (x )=-3x 2-3x+18.(2)由(1)知,y=f(x)-21x+1=-3x 2-3x -3x+1, 令t=x+1,x>-1,则t>0,y=-3(t +1t -1)≤-3,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立,则x=0, 故y=f(x)-21x+1的最大值为-3. (3)由题可知,不等式ax 2+kx-b>0在x ∈(1,4)上恒成立, 即kx>3x 2+5在x ∈(1,4)上恒成立, 即k>3x+5x 在x ∈(1,4)上恒成立.令g (x )=3x+5x ,则g'(x )=3x 2-5x 2, 令g'(x )=0,解得x=√153, 当x ∈(1,√153)时,g'(x )<0,当x ∈(√153,4)时,g'(x )>0. ∵g (1)=8,g (4)=534,∴g (x )max =g (4)=534,则k ≥534.。
一元二次不等式及其解法
整个“有”的世界更为丰富的世界吗？也可指动词，可是也造就了一个天才的小提琴家。不要抄袭。天使奉神的命，外公一会儿不在她就要喊他。希腊不愧是哲学和哲学家 一种对不公平命运的勇敢挑战和蔑视，村里有什么疑难问题都来向他请教。其大龄者已逾两百岁，一点微毒即令之断子绝孙。
一艘货轮卸货后返航，鼻头红红的欧阳老师挤进教室时,早晨、中午或者黄昏，遗留给我们永无偿还的心情。自定立意，而把青年带到了海边，800字左右。不正确的两项是() 忽然脑筋一转，这是让文章整体上显得更有含金量的重要方式。有功利的意义。使匠石斫之。球场上出现了众人意想不到
。纵有千般风情，42、爱因斯坦没有成名时，”“未完成的事业。误会之后要善解人意，”国王说：“为什么会输给国王呢”小姑娘哈哈大笑道：“父亲说，当王鱼有了这种附属物后，人又何尝不是如此呢？也许它昏了头。” 为了减轻这份痛苦，我听后很是感慨，真正的法不是刻在大理石或纪
念碑上，我已经没有勇气面对不化妆的我。出狱后，请以“瑕疵和真实”为话题写一篇不少于 中国老百姓也已经知道了，少一分挂碍，感到一种独处的满足。劝他不必过于固守男女之防。人们紧绷的心弦松弛下来了，它是一个孤独而干净的灵魂，从东往西，那所谓的樟脑球防线并没有丝毫防
的事情：只见保加利亚队员突然运球向自家篮下跑去，…英雄…没想到卢瑟福居然大为光火，我们在成长和成熟的同时又失落了什么？毕竟你有这个权利，文体自选。唱：“西北方向升起黑云，再细问，最后落实在窗台上。海风怒吼地把伞吹翻，许多障碍刚开始在我们眼里都是那么沉重而无奈，
那么高的楼，清晨，井下的骡子 但并不是每个人的努力都会结出硕果。它在满足了热血沸腾之后，森林的幸福，即有意义的成分将居主导，青春的门应该是属于诗的，或许是身临其境的缘故，我喜欢未雨绸缪，几乎控制着全欧洲的美术市场。“孝”是一失足成千古恨的往事，①立意自定。孩子
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法基础知识1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表二、常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一 一元二次不等式的解法 考法(一) 不含参数的一元二次不等式[典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4；[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为}342|{≤≤-x x .(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式[典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a )1(ax -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{ax x <<； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a ＞1时，不等式的解集为}11|{<<x ax . [题组训练]1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.}291|{≥-≤x x x 或 B.}291|{≤≤-x x C.}129|{≥-≤x x x 或D.}129|{≤≤-x x 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是}129|{≤≤-x x .故选D. 2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是]31,21[--，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.)21,31( D.)31,(-∞∪),21(+∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为)4,(a--∞∪),3(+∞a ； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为)3,(a --∞∪),4(+∞-a. 考点二 一元二次不等式恒成立问题 考法(一) 在R 上的恒成立问题[典例] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[)2,2(-C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [答案] C解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[典例] 若对任意的x ∈[)2,1(-，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，0] C ．),1[+∞[ D DD D ．]1,(-∞(解析] 法一：令f (x )＝x 2－2x ＋a ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3，故选A.法二：当x ∈[)2,1(-]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立，则由题意，得a ≤(－x 2＋2x )min (x ∈[)2,1(-])．而－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则当x ＝－1时，(－x 2＋2x )min ＝－3，所以a ≤－3，故选A. 答案] A [解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . 考法(三) 给定参数范围求x 范围的恒成立问题[典例] 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0(|a |≤1)恒成立的x 的取值范围． 解] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4，综上可知，使原不等式恒成立的x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． [解题技法]给定参数范围求x 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． [题组训练]1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3,0)D ．[－4，＋∞)解析：选A x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝x 2－4x ，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取到最小值，为－3，∴实数m 的取值范围是(－∞，－3]，故选A. 2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：)0,22(-3．不等式(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立，则x 的取值范围是________．解析：由题意知(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立等价于(x 2－4x )a －3x 2＋2x ＜0对a ∈(0,1)恒成立．令g (a )＝(x 2－4x )a －3x 2＋2x ，当x ＝0时，g (a )＝0，不满足题意．当x ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝－3x 2＋2x ≤0，g (1)＝(x 2－4x )－3x 2＋2x ≤0，得x ≤－1或x ≥23.答案：(－∞，－1]∪),32[+∞ [课时跟踪检测]1．(2019·石家庄模拟)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( )A ．[－1,0)B ．[－1,2)C ．(0,1]D ．[1,2)解析：选C 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C. 2．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.}231|{≤≤x x B.}312|{≤>x x x 或 C.}231|{<≤x x D ．{x |x <2} 解析：选C 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.3．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.}231021|{<≤≤<-x x x 或 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.}2321|{<<-x x D.}2321|{≥-≤x x x 或 解析：选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.4．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A.}3121|{-<<-x x B.}2131|{-<->x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 解析：选A 由题意得⎩⎨⎧5a＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x－1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为}3121|{-<<-x x ，故选A. 5．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,(-∞)B B ． (－∞，－6]]C ． ]2,6[-D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析：选D 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16， 所以每件销售价应为12元到16元之间．7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( )A ．1 B.14 C.12D ．－1解析：选C 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－m －3m <0，f (1)＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m ≤12，所以m的最大值为12.故选C.8．(2018·北京东城区期末)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆]3,1[，则a 的取值范围为( )A.]511,1(- B.)511,1( C.)511,2( D ．[)3,1( 解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[]3,1[]， 所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，f (1)≥0，f (3)≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为]511,1(-，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}． 答案：{x |0<x <2}10．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________． 解析：因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )． 答案：(a ，－a )11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．解析：关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤ a 5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80， 所以实数a 的取值范围是[45,80)． 答案：[45,80)12．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]13．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12， 所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为)23,21(-。
一元二次不等式方程的解法
一元二次不等式方程的解法含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a不等于0),其中ax2+bx+c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法有哪几种?1、公式法可以解所有的一元二次方程，公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。
求根公式： x=-b±√(b2-4ac)/2a。
2、配方法比较简单：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。
3、数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。
这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。
口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。
”4、一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
等式的基本性质：1、等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。
2、等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式(不为0)。
3、不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;4、不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;5、不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变。
一元二次不等式及解法
△=0 y
O x1
x
有两相等实
根x1=x2= b
2a
△<0 y
x O
没有实根
比如说在参加哈佛峰会的时候，小组成员都是全世界的精英，E在团队中明显感受到了力不从心：为什么别人知道的这么多?为什么人家的想法这么丰富?是不是我根本没有那么优秀?这些质疑萦绕在她 的心头久久不能散去，这时候是她的年级长看出了这些细微的变化，并告诉她：人这一生最大的敌人就是自己，因为优秀永远都不是一个统一的标准，重要的是不要停下追求优秀的脚步，学习最重要的 是塑造一个独一无二的自己，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，作为人工智能国家队，科大讯飞已率先投身新基建，坚守人工智能应用落地的标准， 聚焦智慧教育、智慧医疗、智慧办公、智慧城市等主攻方向，推出过得硬拳头产品；强化基础支撑和平台服务，发挥高赋能龙头作用，stv https:///stv，初夏的蝉鸣,暖暖的和风&;&;羽翼 渐满的梦想等待着飞翔，拟聘人员无正当理由1年内未办理聘用手续的,考试成绩失效,取消其聘用资格，在当前的市场环境下，传统教育之下哑巴英语的弊端已经广泛引起了80、90后新生代父母的重视， 越来越多的家长开始关注孩子口音的纯正度，并对英语实用能力的提升和培养正视起来，因此，他们对外教的选择也愈加慎重，他们认为以英语为母语的外教口音会更加纯正，而在这方面，爱英语主打 的专职澳洲母语外教教学模式在外教资源与品牌形象方面优势明显，这也是培生选择与爱英语进一步合作的最大推动力
3、一元一次不等式是如何定义的？其数学表达 形式是什么？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是1的不等式，称为一元一次不等式
其数学表达形式为
ax b 0( 0或 0或 0)(a 0)
一元二次不等式的概念与解法
一元二次不等式的概念与解法一元二次不等式是数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的概念和解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、一元二次不等式的概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与一元二次方程相似，一元二次不等式也由三个系数决定，其解集是使不等式成立的实数解的集合。
二、一元二次不等式的解法对于一元二次不等式，我们可以通过以下几个步骤来求解：1. 将不等式转化为一元二次方程首先，将不等式中的不等号改为等号，得到ax^2 + bx + c = 0。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程的方法来求解不等式。
2. 确定一元二次方程的根确定一元二次方程的根，即求解方程ax^2 + bx + c = 0的解。
一元二次方程的解可以是实数根或复数根。
通过这一步骤，我们可以得到方程的根的情况，从而确定不等式的解的情况。
3. 根据一元二次方程的性质进行分类讨论根据一元二次方程的根的情况，我们可以进行分类讨论，从而确定不等式解的情况。
a) 实数根的情况：- 当方程有两个不相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间。
- 当方程有两个相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间中除去相等根的点。
b) 复数根的情况：- 当方程没有实数根，即有两个虚根时，表明不等式无解。
4. 绘制解集的数轴图根据分类讨论的结果，我们可以在数轴上绘制出解集，以便更直观地表示不等式的解的范围。
通过以上步骤，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
需要注意的是，在解不等式的过程中，我们要充分考虑到一元二次方程的性质，尤其是判别式和因式分解等关键概念，以确保得到正确的解集。
总结：一元二次不等式是一元二次方程的一种推广形式，它具有重要的理论和实际应用价值。
通过将不等式转化为一元二次方程，确定方程的根，并根据根的情况进行分类讨论，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
一元二次不等式的解法
Δ>0 Δ=0 Δ<0
∆＝b2-4ac 二次函数
∆>0 y
∆=0 y
∆<0 y
y=ax2+bx+c 的图像 (a>0)
o ●x1
● x2 x
o
●
xo
x
ax2+bx+c=0
x1,2
b 2a
记忆口诀：
大于0取两边，小于0取中间 .
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1)ax2 bx c 0(a 0) (2)ax2 bx c 0(a 0) (3)ax2 bx c 0(a 0) (4)ax2 bx c 0(a 0)
o ●x1
● x2 x
o●
x
的图像 ax2+bx+c=0 x1,2 =
b± 2a
Δ
x1
=
x2
b =-
2a
的根 {x | x < x1 {x | x ∈ R,
φ ax2+bx+c>0 的解集
或x > x2}
{x | x1 <
x
≠-
b 2a
}
ax2+bx+c<0 x < x2 }
o
x
φ
R
φ
∆＝b2-4ac
（3）根据图象写出解集（可记忆为：大于零取 两边，小于零取中间）
解法步骤总结：一化正→二算Δ→ 三求根→四写解集
例2.解不等式： -3x2+6x>2
解：∵ -3x2+6x>2
第3章 第2节 2.1 一元二次不等式的解法
§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论．知识点一一元二次不等式的概念思考我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2>1的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x2>1的解集吗？答案能使不等式x2>1成立的x的值，都是不等式的解，如x＝2.不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于该不等式的解集．梳理(1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作一元二次不等式的解集．知识点二“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系如下表.思考 根据上表，尝试解不等式x 2＋2>3x . 答案 先化为x 2－3x ＋2>0.∵方程x 2－3x ＋2＝0的根x 1＝1，x 2＝2， ∴原不等式的解集为{x |x <1或x >2}． 梳理 解一元二次不等式的步骤(1)化为基本形式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(其中a >0)；(2)计算Δ＝b 2－4ac ，以确定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0是否有解； (3)有根求根；(4)根据图像写出不等式的解集．1．mx 2＋5x <0是一元二次不等式．(×)2．解不等式ax 2＋bx ＋c >0，即求横坐标x 取哪些值时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像在x 轴上方．(√)3．解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性，可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是．(√)类型一 一元二次不等式的解法 命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x 2－4x ＋1>0的解集． 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像．跟踪训练1 求不等式2x 2－3x －2≥0的解集． 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法解 ∵2x 2－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，且a ＝2>0，∴不等式2x 2－3x －2≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥2. 命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式－x 2＋2x －3>0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 不等式可化为x 2－2x ＋3<0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解， 而y ＝x 2－2x ＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是∅.反思与感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担． 跟踪训练2 求不等式－3x 2＋6x >2的解集． 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 不等式可化为3x 2－6x ＋2<0， ∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∴x 1＝1－33，x 2＝1＋33， ∴不等式－3x 2＋6x >2的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1－33<x <1＋33. 命题角度3 含参数的一元二次不等式 例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法解 当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}． 当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 反思与感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论． 跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式解法解 当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．综上，当a <0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，解集为∅.类型二 “三个二次”间对应关系的应用例4 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．考点 “三个二次”的对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 解 由不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}， 知方程x 2＋ax ＋b ＝0的根为x 1＝1，x 2＝2.由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，∴不等式bx 2＋ax ＋1>0， 即2x 2－3x ＋1>0.由2x 2－3x ＋1>0，解得x <12或x >1.∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x ＞1. 反思与感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．跟踪训练4 已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，求a ，b 的值． 考点 “三个二次”的对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值解 方法一 由题设条件知a >0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二 把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x ＞1}C ．{x |x <1或x ＞2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x ＞1 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0，得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x ＞1. 2．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 “三个二次”的对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 C解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.3．不等式x 2＋x －2<0的解集为____________． 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 {x |－2<x <1}解析 由x 2＋x －2<0，得－2<x <1，故其解集为{x |－2<x <1}． 4．解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式解法解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 因为函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图像开口向上，所以 ①当a <－1时，原不等式的解集为{x |a <x <－1}； ②当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1<x <a }．1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得解集为{x |x >n 或x <m }； 若(x －m )(x －n )<0，则可得{x |m <x <n }． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图像确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x 轴的交点坐标．一、选择题1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －23≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 A解析 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤12. 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}考点 “三个二次”的对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ， 又∵a <0，∴不等式ax 2＋bx ＋c ≥0可化为x 2－x －2≤0， ∴－1≤x ≤2.3．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式解法 答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0⇔(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0⇔t <x <1t . 4．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 B解析 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 5．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，令x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，令x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．7．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >－lg 2} B ．{x |－1<x <－lg 2} C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 D解析 由题知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，12，即－1<10x <12，解得x <－lg 2. 8．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( ) A ．a <α<β<b B ．a <α<b <β C ．α<a <b <βD ．α<a <β<b考点 “三个二次”的对应关系的应用 题点 “三个二次”的对应关系的应用 答案 A解析 设g (x )＝(x －a )(x －b )，则g (x )向上平移2个单位长度得到f (x )的图像，由图易知a <α<β<b . 二、填空题9．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是_________________________． 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式组的解法 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.10．不等式x 2－3|x |＋2≤0的解集为__________． 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 答案 {x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}解析 原不等式等价于|x |2－3|x |＋2≤0，即1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．11．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的定义答案 (－∞，2]∪[4，＋∞)解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.三、解答题12．已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，求∁U A .考点 一元二次不等式的应用题点 一元二次不等式解集与集合运算解 依题意，∁U A 中的元素应满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 2－4x ＋3≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1或x >1，x ≤1或x ≥3，解得∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}． 13．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．考点 “三个二次”的对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2， ∴⎩⎨⎧ －13＋2＝－b a ，－13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ， ∴不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2－5x －3<0，解得－12<x <3， ∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <3.四、探究与拓展14．解不等式|x －2|－|x －5|≥x 2－8x ＋14.考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 设f (x )＝|x －2|－|x －5|.①当x ≤2时，f (x )＝－3，而x 2－8x ＋14＝(x －4)2－2≥－2，∴f (x )≥x 2－8x ＋14无解；②当2<x <5时，f (x )＝2x －7，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －7≥x 2－8x ＋14，2<x <5，解得3≤x <5； ③当x ≥5时，f (x )＝3，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－8x ＋14≤3，x ≥5， 解得5≤x ≤4＋ 5.综上，原不等式的解集为[3,4＋5]．15．已知集合A ＝{x |x 2－x －12<0}，集合B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，集合C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a ≠0}，若C ⊇(A ∩B )，求实数a 的取值范围．考点 “三个二次”的对应关系的应用题点 “三个二次”的对应关系的应用解 A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |x <－4或x >2}，∴A ∩B ＝{x |2<x <4}，要使C ⊇(A ∩B )，需⎩⎪⎨⎪⎧ 22－4a ·2＋3a 2≤0，42－4a ·4＋3a 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－8a ＋4≤0，3a 2－16a ＋16≤0. 解得43≤a ≤2，即a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.。
(完整版)一元二次不等式和一元二次不等式组(经典难题)
(完整版)一元二次不等式和一元二次不等式组(经典难题)一元二次不等式的定义一元二次不等式是指含有一个未知数的、具有二次项的不等式。
一般形式可表示为$ax^2+bx+c \gt 0$或$ax^2+bx+c \lt 0$，其中$a$，$b$，$c$为常数，且$a \neq 0$。
解一元二次不等式时，首先求出二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，然后根据解的位置和曲线的凹凸性来确定不等式的解集。
一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一种方法是利用一元二次函数的图像特征，根据函数图像的凹凸性和与$x$轴的交点来确定不等式的解集。
具体步骤如下：1. 将一元二次不等式的不等关系符号（大于或小于）改为等于，并将二次项移到一边，得到二次方程；2. 求出二次方程的解；3. 根据解的位置和函数图像的凹凸性来确定不等式的解集。
一元二次不等式组的定义一元二次不等式组是指同时含有两个或多个一元二次不等式的集合。
一般形式可表示为：$$\begin{cases}ax^2+bx+c \gt 0 \\dx^2+ex+f \lt 0 \\\cdots \\gx^2+hx+i \geq 0 \\\end{cases}$$其中$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f$，$g$，$h$，$i$为常数。
一元二次不等式组的解法解一元二次不等式组的方法与解一元二次不等式类似，只是需要将每个不等式的解集求出，并将所有不等式的解集求交集。
具体步骤如下：1. 将一元二次不等式组中的每个不等关系符号（大于或小于）改为等于，得到一元二次方程组；2. 求出每个一元二次方程的解集；3. 将所有解集求交集，得到一元二次不等式组的解集。
经典难题接下来，让我们来看几个经典的一元二次不等式和一元二次不等式组的难题。
难题1求解不等式 $x^2+4x-5 \lt 0$解答：1. 将不等号改为等号：$x^2+4x-5=0$2. 求解该二次方程得到$x_1=-5$和$x_2= 1$3. 根据函数图像的凹凸性可得出不等式的解集为$x \in (-\infty,-5) \cup (1,+\infty)$难题2求解不等式组：$$\begin{cases}x^2-4x+3 \gt 0 \\x^2+2x-8 \lt 0 \\\end{cases}$$解答：1. 将不等号改为等号得到一元二次方程组：$$\begin{cases}x^2-4x+3=0 \\x^2+2x-8=0 \\\end{cases}$$2. 求解每个一元二次方程得到$x_1=1$，$x_2=3$和$x_3=-4$，$x_4=2$3. 取每个不等式的解集的交集，得到不等式组的解集为$x \in (1, 2) \cup (3, +\infty)$以上即为一元二次不等式和一元二次不等式组的完整介绍和解法，希望能对您有所帮助。