等五校2018届高三第三次五校联考数学(文)试题 含答案

高三数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1.设全集{}{}{}0,1,2,3,4,1,2,1,3U U C A B ===，则AB 等于（ ）A ．{}2B ． {}1,2,3C ． {}0,1,3,4D ．{}0,1,2,3,42.在等比数列{}n a 中，1241,23a a a ==，则5a 等于（ ） A ．43 B ． 63 C ． 83 D ．1633.在ABC ∆中，0,120a A ==，则角B 的大小为（ ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ．90°4.已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥；命题:q 在ABC ∆中，若3A π>，则sin A >．则下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ∧B ． ()p q ∧⌝C ． ()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨5.已知曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）A ．32 B ． 32- C ． 34- D ．436.已知非零向量a b 、满足23,22a b b a b =-=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．23 B ． 34 C ．13 D ．147.若数,x y 满足1030270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ． -3B ．-4C ． 6D ．-6 8.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则cos 2α的值为（ ） A ．45 B ．45- C ． 35 D ．35- 9.已知函数()()sin ,08f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ． 向左平移34π个单位长度 B ．向右平移34π个单位长度 C ．向左平移316π个单位长度 D ．向右平移316π个单位长度10.函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11.如图，在ABC ∆中，,3,1AD AB BC BD AD ⊥==，则AC AD 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()23f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()132f x x '+<，若()()27392f m f m m +--≤+，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， C ． [)1-+∞，D ．[)2-+∞，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上）13.已知函数()3sin ,021log ,06x x f x x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则(f f ⎡⎤=⎣⎦__________．14.设,x y R ∈，向量()()(),2,1,,2,6a x b y c ===-，且,b//c a c ⊥，则a b +=__________．15.设实数,m n满足64m n+=mn 的最小值为 ____________． 16.已知数列{}n a 的通项公式()(),14182,2nn a n a n a n =⎧⎪=⎨+--≥⎪⎩，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）设数列{}n a 满足14n n a a +=+，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n b 为n a 与1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，设角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知向量()()2,,,1m b c a bc n b c =++=+-，且0m n =．（1）求角A 的大小 ；（2）若3a =，求ABC ∆的周长的最大值． 19.（本小题满分12分）已知函数()2cos 22sin 2sin f x x x x =++．（1）将函数()2f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，若,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()g x 的值域；（2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边，且满足()2,2sin b f A b A ==+=，求ABC ∆的面积．20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）设2n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21. (本小题满分12分）设p ：()1f x ax =+，在(]0,2上()0f x ≥恒成立；q ：函数()2ln ag x ax x x=-+在其定义域上存在极值．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知曲线 ()x axf x e=在0x =处的切线方程为y x b =+． （1）求,a b 的值；（2）若对任意()2131,,2263x f x m x x ⎛⎫∈< ⎪+-⎝⎭恒成立，求m 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题 13． 14. ()3,5 三、解答题17．解：（1）由14n n a a +=+可得14n n a a +-=，所以，数列{}n a 是公差为4的等差数列， 又11a =，所以()11443n a n n =+-⨯=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为n b 为n a 与1n a +的等比中项，所以21n n n b a a +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以()()21111111434144341n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 所以()()1211111111111111155991343414559434111144141n n n T a a a a n n n n n n n +⎛⎫=++=++++=-+-++- ⎪⨯⨯⨯-⨯+-+⎝⎭⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭又()0,A π∈，所以23A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）及3a =，得()()()2222222324b c a b c bc b c bc b c b c +⎛⎫=++=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，所以()212b c +≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以3b c a b c +≤++≤+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故ABC ∆的周长的最大值3+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：()2cos 22sin 2sin f x x x x =++()cos 21cos 22sin x x x =+-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分12sin x =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（1）平移可得()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当12x π=时，()min 0g x =；当512x π=时，()max 3g x =．．．．．．．．．．．．．6分 ∴所求值域为[]0,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（22sin b A =2sin sin A B A =，．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴sin B =，∵02B π<<，∴3B π=，由()1f A =得sin A =4A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分由正弦定理得：a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴11sin 222ABC S ab C ∆===．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）因为1220n n a S ++-=，所以，当2n ≥时，1220n n a S -+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=，即111220,2n n n n n a a a a a ++-+==．．．．．．．．．．．．．3分又当1n =时，212122220a S a a +-=+-=，所以211122a a ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以{}n a 是以首项11a =，公比12q =的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，214n n n nb na -==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则22123114444n n n n nT ---=+++++，①3231442444n n n n nT ---=+++++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②—①得321111354444n n n n nT ---=++++-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 11634334n n -+=-⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，数列{}n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）因为10ax +≥对(]0,2x ∈恒成立，所以1a x ≥-，所以max 112a x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，即a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）对于q ，()()222222ln ,a a ax x ag x ax x g x a x x x x ++'=-+=++=，若()()0,0,a g x g x '≥>在定义域单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意； 若0a <，则10a->，由2440a ∆=->，解得10a -<<， 所以，若q 为真命题，则10a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以命题p 与q 一真一假，①p 真q 假时，1201a a a ⎧≥-⎪⎨⎪≥≤-⎩或，解得0a ≥， ②p 假q 真时，1210a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩，解得112a -<<-， 综上所述，a 的取值范围为[)11,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由题意得()()1xa x f x e -'=，因曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y x b =+，所以，得()011af '==，即1a =，又()00f =，从而0b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）由（1）知()2163x x f x e m x x =<+-对任意13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以2630m x x +->，即236m x x >-，对任意13,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立，从而94m ≥-．．．．．．．．．．．．．6分 又不等式整理可得236x e m x x x <+-，令()236x e g x x x x=+-， 所以()()()()2216116x x e x e g x x x x x -⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭，令()0g x '=，得1x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，同理，函数()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()min 13m g x g e <==-，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上所述，实数m 的取值范围是9,34e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。