江苏省启东中学2017届高三数学二轮复习(微专题)：第4讲 在函数导数压轴题中用洛必达法则来判定
江苏省启东中学2017届高三(创新班)数学复习试题：专题八(圆锥曲线)
专题八 圆锥曲线（一）一、前尘往事二、守旧与创新例1．⑴在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点B . 设原点到直线BF 的距离为1d ，F 点到l 的距离为2d ．若21d ，则椭圆C 的离心率为 ．⑵在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ．【我行我数】⑴过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =u u r u u u r，则直线AB 的斜率为 ．⑵在平面直角坐标系xoy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>且右焦点F 到左准线l 的距离为3． ⑴求椭圆的标准方程；⑵过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．]【我行我数】已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点． (1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．例3．已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK ＝KQ ，连结AQ 并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．【我行我数】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF2的周长为42．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足OA→＋OB→＝tOP→(O为坐标原点)，当|PA→－PB→|<253时，求实数t的取值范围．三、名题赏析例4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率线l的方程为2x=，上顶点为A，圆D：222x y a+=．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AE交椭圆于E，过点A垂直于AE的直线交圆D于M、N．①求△OMN 的面积的最大值1S ； ②求△MNE 的面积的最大值2S ．。
江苏省启东中学2017届高三数学二轮复习(微专题)：第2讲 解析法在三角形最值问题的应用(B级)
第2讲(微专题) 解析法在三角形最值问题的应用（B 级） 主备人：黄群力
一．释疑∙拓展
例题1. 在ABC ∆中，已知2AB =，226AC BC -=,则tan C 的最大值是 .
[变式1]在ABC ∆中，已知2BC =，AB ,则ABC S ∆的最大值是 .
例题2. 在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
222,73B C a b c ∠=∠++ABC S ∆ 的最大值是 .
[变式2]在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22(),8S a b c b c =--+=， 则ABC S ∆ 的最大值是 .
例题3. 已知甲船由A 岛出发向东北方向以/小时作匀速直线航行，同一时间乙船
从A 岛正南方向40海里的B 岛出发，朝北偏东(sin θθ=的方向以小时作匀速直线航行，当两船出发 小时后距离最近.
二．反馈∙提炼
1.在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222,2a c b b +==，则ABC S ∆ 的最大值是 .
2．在ABC ∆中，090,3,4,ACB BC AC P ∠===是AB 上的点，则点P 到,AC BC 的距离乘积的最大值是 .
3. 在ABC ∆中，已知AB B AC 边上的中线BD =，则sin A = .。
江苏省启东中学高考数学押题卷(四)及答案
江苏省启东中学高考数学押题卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．若集合A ={x |x ＞2}，B ={x |x ≤3}，则A ∩B = ▲ ． 2．函数yx +cos2x 的最小正周期是 ▲ ．3．已知(a +i)2=2i ，其中i 是虚数单位，那么实数 a = ▲ ．4．已知向量a 与b 的夹角为60º，且|a |=1，|b |=2，那么2()+a b 的值为 ▲ ． 5．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2．6．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为，则实数k 的值是 ▲ ．7．若实数x ，y 满足10,0,0,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则z =x +2y 的最大值是 ▲ ．8．对于定义在R 上的函数f (x )，给出三个命题： ①若(2)(2)f f -=，则f (x )为偶函数； ②若(2)(2)f f -≠，则f (x )不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则f (x )一定不是奇函数． 其中正确命题的序号为 ▲ ．请注意以下问题：既是奇函数又是偶函数的函数是否唯一？9．图中是一个算法流程图，则输出的n = ▲ ． 10．已知三数x +log 272，x +log 92，x +log 32成等比数列，则公比为 ▲ ．11．已知5×5数字方阵：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中，1ij j i a ⎧=⎨(是的整数倍)，(不是的整数倍)．则5434j i a a +∑∑= ▲ ．12．已知函数f(x)=2cosx x-，x∈ππ[]22-，，则满足f(x0)＞f(3π)的x0的取值范围为▲．13．甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7∶50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9∶00，10∶00，11∶00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11∶00时，小袁距乙地还有▲公里．14．定义在[1,)+∞上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)=1-|x-3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c= ▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中．(1)若BB 1=BC ，B 1C ⊥A 1B ，证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1； (2)设D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求11A EEC 的值．17．(本题满分14分)在△ABC 中，a 2+c 2=2b 2，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长． (1)求证：B ≤3π； (2)若4B π=，且A 为钝角，求A ．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，其焦点在圆x 2+y 2=1上．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=+ ． (i)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(ii)求OA 2+OB 2．19．(本题满分16分)已知数列{a n }满足：a 1=a 2=a 3=2，a n +1=a 1a 2…a n -1(n ≥3)，记22221212n n n b a a a a a a -=+++- (n ≥3)．(1)求证数列{b n }为等差数列，并求其通项公式； (2)设221111n n n c b b +=++，数列{}的前n 项和为S n ，求证：n <S n <n +1．设函数f (x )=ax 3-(a +b )x 2+bx +c ，其中a ＞0，b ，c ∈R． (1)若1()3f '=0，求函数f (x )的单调增区间；(2)求证：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．(注：max{a ，b }表示a ，b 中的最大值)数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知圆C ：221x y +=在矩阵0=(0,0)0a a b b ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为椭圆22194x y +=，求a ，b 的值．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π) 的圆的极坐标方程．D ．选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z ≥++++．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=+++≥，其中a ＞0． (1)若()f x 在x =1处取得极值，求a 的值； (2)若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．过抛物线y 2=4x 上一点A (1，2)作抛物线的切线，分别交x 轴于点B ，交y 轴于点D ，点C (异于点A )在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE =λ1EC；点F 在线段BC 上，满足BF =λ2FC，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于点P ．(1)设DP PC λ=，求λ；(2)当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．江苏省启东中学高考数学押题卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．若集合A ={x |x ＞2}，B ={x |x ≤3}，则A ∩B = ▲ ． 答案：(2,3] 解析：A ∩B= (2,3]2．函数yx +cos2x 的最小正周期是 ▲ ． 答案：π解析：yx +cos2x=2 sin(2 x+60º) T=2π/2= π 3．已知(a +i)2=2i ，其中i 是虚数单位，那么实数 a = ▲ ． 答案：1解析：(a +i)2= a 2+2 a i+ i 2= a 2-1+2 a i=2i a =14．已知向量a 与b 的夹角为60º，且|a |=1，|b |=2，那么2()+a b 的值为 ▲ ． 答案：7解析：2()+a b =a 2+ b 2+2ab = a 2+ b 2+2|a||b| cos60º=12+22+2x1x2=7 5．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2．答案：解析：如图所示，正三棱锥-S ABC ，O 为顶点S 在底面BCD 内的射影，则O 为正BCD ∆的垂心，过C 作CH AB ⊥于H ，连接SH 。
江苏省启东中学2017高考数学押题卷5 含答案 精品
卷5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 复数2+i i在复平面上对应的点在第 象限．2． 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ． 3． 已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命 题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．4． 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =1，BC =2，AC =5，AA 1=3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为 ．（第4题）．5． 集合2{3,log },{,},A a B a b ==若{2},A B = 则A B = ． 6． 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．7． 向量(cos10,sin10),(cos70,sin 70)== a b ，-a 8． 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根．9． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 ．10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 ．11．若函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ．12．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．13．已知实数,x y 满足x y -=-，则x y +的最大值为 ．14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅,设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S = ．答案1. 四2. 63.5a < 8. 2 9.[]12,42-12m ≥ 12.(⋃ 13. 4 14.423n +二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-.（1）求sin C ；（2）当2c a =，且b =a . 解：（1）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =. ……………… 2分因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. ………………………………4分（2）因为2c a =，所以1sin sin 2A C ==. ………………………………6分因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos C =，cos A =. ………………8分 所以s i n s i nB AC =+s i n c o s A C A =+214==分由正弦定理可得：sin aA=，所以a =. …………………………………………14分说明:用余弦定理也同样给分. 16．（本题满分14分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；（2）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为DE BD D ⋂=………………4分 从而AC ⊥平面BDE . ……………………6分（2）当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM ∥平面BEF ． …………7分 取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连结MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ， 因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ，故四边形AMNF 是平行四边形． ……………………………………10分 所以AM ∥FN ，因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ， …………………………………………12分 所以AM ∥平面BEF ． …………………………………………14分 17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =．⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,求证:线段ON 的长为定值．解：⑴∵椭圆C 的短轴长为2，椭圆C 的一条准线为l ：2x =，∴不妨设椭圆C 的方程为2221x y a +=．（2分）∴2212a c c c+==，（ 4分）即1c =．（5分）∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（6分） ⑵ F （1，0），右准线为l ：2x =， 设00(,)N x y ， 则直线FN 的斜率为001FN y k x =-，直线ON 的斜率为00ON y k x =，（8分）∵FN ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-，（9分） ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --．（11分） ∴直线MN 的斜率为00002(1)2MN x y y k x -+=-．（12分）∵MN ⊥ON ，∴1MN ON k k ⋅=-， ∴0000002(1)12x y y yx x -+⋅=--，∴200002(1)(2)0y x x x +-+-=，即22002x y +=．（13分）∴ON =（14分）说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P ，准线l 与x 轴交于Q ，则有2ON OP OM =g ，又2OP OM OF OQ ==g g，所以ON =为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90 ，AB ＝1，BC．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落在边BC上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值．解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．（2分）在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ= ， （4分） ∴2111cos 22sin MA x ===-θθ． （5分）∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴4590<θ< ．（7分） （2）在△AMN 中，∠ANM ＝120θ︒-,（8分）sin sin(120)AN MA =θ-θ ,（9分） 21sin 2sin sin(120)AN θ⋅θ=-θ ＝12sin sin(120)θ-θ ．（10分）令12sin sin(120)2sin (sin )2t =θ-θ=θθ+θ ＝2sin cos θ+θθ＝1112cos 2sin(230)222θ-θ=+θ- ．（13分） ∵4590<θ< ， ∴60230150<θ-< ． （14分） 当且仅当23090θ-= ，60θ= 时，有最大值32，（15分） ∴60θ= 时，A N '有最小值23．（16分） 19．（本题满分16分）已知k R ∈,函数()(01,01)x x f x m k n m n =+⋅<≠<≠.(1) 如果实数,m n 满足1,1m mn >=,函数()f x 是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k 值；如果没有，说明为什么?(2) 如果10,m n >>>判断函数()f x 的单调性； (3) 如果2m =，12n =，且0k ≠，求函数()y f x =的对称轴或对称中心. 解：（1）如果()f x 为偶函数，则()(),f x f x -=x x x x m k n m k n --+⋅=+⋅恒成立，（1分）即：,x x x x n k m m k n +⋅=+⋅()()0,x x x x n m k m n -+-= ()(1)0x x n m k --=（2分） 由0x x n m -=不恒成立，得 1.k =（3分）如果()f x 为奇函数，则()(),f x f x -=-x x x x m k n m k n --+⋅=--⋅恒成立，（4分） 即：,x x x x n k m m k n +⋅=--⋅()()0,x x x x n m k m n +++=（5分）()(1)0,x x n m k ++=由0x x n m +≠恒成立，得 1.k =-（6分）（2）10,m n >>> 1mn>， ∴ 当0k ≤时,显然()x x f x m k n =+⋅在R 上为增函数；（8分）当0k >时，()ln ln [()ln ln )]0x x x x mf x m m kn n m k n n n'=+=+=，由0,x n >得()ln ln 0,x m m k n n +=得ln ()log ,ln x m m nk k n n m =-=-得log (log )m m nx k n =-.（9分）∴当(,log (log )]m m nx k n ∈-∞-时, ()0f x '<,()f x 为减函数; （10分）当[log (log ),)m m nx k n ∈-+∞时, ()0f x '>,()f x 为增函数. （11分）(3) 当12,2m n ==时，()22,x x f x k -=+⋅ 如果0,k <22log ()log ()()222()222222k k x x x x x x x x f x k k ------=+⋅=--⋅=-⋅=-，（13分） 则2(log ())(),f k x f x --=-∴函数()y f x =有对称中心21(log (),0).2k -（14分）如果0,k >22log log ()2222222,k k x x x x x x f x k ---=+⋅=+⋅=+（15分） 则2(log )(),f k x f x -= ∴函数()y f x =有对称轴21log 2x k =.（16分）20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c ，2S n ＝a n a n ＋1＋r ． （1）若r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？若能，求c 满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设32111234212n n n n a a a P a a a a a a --=+++--- ，2242345221n n n n a a a Q a a a a a a +=+++--- ， 若r ＞c ＞4，求证：对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立． 解：（1）n ＝1时，2a 1＝a 1a 2＋r ，∵a 1＝c ≠0，∴2c ＝ca 2＋r ，22ra c=-． （1分） n ≥2时，2S n ＝a n a n ＋1＋r ，① 2S n －1＝a n －1a n ＋r ，②①－②，得2a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝2． （ 3分）则a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，… 成公差为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)．a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，… 成公差为2的等差数列， a 2n ＝a 2＋2(n －1)．要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2－a 1＝1．即21r c c--=．r ＝c －c 2． （ 4分）∵r ＝－6，∴c 2－c －6＝0，c ＝－2或3． ∵当c ＝－2，30a =，不合题意，舍去.∴当且仅当3c =时，数列{}n a 为等差数列 （5分） （2）212n n a a --＝[a 1＋2(n －1)]－[a 2＋2(n －1)]＝a 1－a 2＝rc c +－2．221n n a a +-＝[a 2＋2(n －1)]－（a 1＋2n ）＝a 2－a 1－2＝－(rc c+)． （8分） ∴n P 11(1)1[2](1)222n n na n n c r r c c c c -=+⨯=+-+-+- （9分） 21(1)1[2](1)2n n n rQ na n n r r c c c c c-=-+⨯=-+-++． （10分）11(1)(1)2n n rP Q n n c n n r r c c c c c-=+-++-+-+＝2111122r c c n n r r r r c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（11分）∵r ＞c ＞4，∴r c c +≥＞4，∴2rc c +-＞2．∴0＜111132442r r c c c c +<+=+-+＜1． （13分）且1111122rc c c c r r r r c c c c c c c c---++=+-+-++-+＞－1． （14分） 又∵r ＞c ＞4，∴1r c >，则0＜12r c c c -<+-．01r c c c<+<+．∴12c r c c -+-＜1．11c r c c +<+．∴1112c c r r c c c c-++-+-+＜1．（15分）∴对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立．（16分）附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．证明：因AE =AC ，AB 为直径，故∠OAC =∠OAE ． ……………………………………………………………3分所以∠POC =∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ． 又∠EAC =∠PDE ，所以，∠PDE =∠POC ．…………………………………………………………10分B ．选修4—2 矩阵与变换 已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-， （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量. 解：（1）由221a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=40-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2分） ∴2243a a -=-⇒=. （3分） （2）由（1）知M 2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵M 的特征多项式为223()(2)(1)63421f λλλλλλλ--==---=---- （5分）令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4. （6分） 当1-=λ时， (2)3002(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; （8分）当4λ=时， (2)302302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （10分） C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围.【解】由题设得004cos ,3sin x y ì=ïïíï=ïîq q （q 为参数，Îq R ）.…………………………5分于是0028cos 3sin )x y θθθϕ-=-=+，所以002x y -. ………………………10分 D ．选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z ≥++++． 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． …………………3分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥．………10分 22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线过点(4,0)M . （1）若点F（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）解：（1）由已知，4x =不合题意.设直线的方程为(4)y k x =-，由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， …………………1分因为点F=， (2)分解得k =. …………………4分（2）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -， 直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-，…………………5分联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=， …………………7分所以012044y y y x +=-， …………………8分因为N 为AB 中点，所以1202y y y +=，即00024y y x =-， …………………9分所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………10分 23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知n n x x f )1()(+=，（1）若20112011012011()f x a a x a x =+++ ，求2011200931a a a a ++++ 的值；（3分） （2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数；（3分）（3）证明：1121(1)1232m m m m m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦．（4分）解：（1）因为n n x x f )1()(+=,所以20112011()(1)f x x =+,又20112011012011()f x a a x a x =+++ ,所以20112011012011(1)2f a a a =+++= （1）20110120102011(1)0f a a a a -=-++-= （2）（1）-（2）得：201113200920112()2a a a a ++++=所以：201013200920112011(1)2a a a a f ++++== …………………3分（2）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++ )(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +⨯+= …………………6分（Ⅲ）设11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++++ (1) 则函数()h x 中含m x 项的系数为112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ …………………7分12(1)()(1)2(1)(1)m m m n x h x x x n x ++++=++++++ (2)(1)-(2)得121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+(1)[1(1)]()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x ++-+-=-+-+ 2()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x ++=+-+++()h x 中含m x 项的系数，即是等式左边含2m x +项的系数，等式右边含2m x +项的系数为21()!()!(2)!(2)!(1)!(1)!m m m n m n m n n m n C nC m n m n ++++++-+=-++-+-1(1)(2)()!(1)12(1)!(1)12m m n n n m m n m n C m m n m ++--+++++=⨯=++-+ 所以112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ 1(1)12m m n m n C m ++++=+ …………………10分。
2017年高考导数压轴题终极解答
四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用1. （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）已知函数()()0≠++=x b xax x f ，其中R b a ∈,. ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处切线方程为13+=x y ,求函数()x f 的解析式； ⑵讨论函数()x f 的单调性；⑶若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围.解：⑴2()1af x x'=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-．由切点(2,(2))P f 在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =．所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x=-+．⑵2()1af x x'=-．当0a ≤时，显然()0f x '>(0x ≠),这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数． 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =±． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x (,)a -∞- a - (,0)a - (0,)a a (),a +∞ ()f x ' ＋ 0 － － 0 ＋ ()f x ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴()f x 在(,)a -∞-，(),a +∞内是增函数，在(,0)a -，(0,)+∞内是减函数．⑶由⑵知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1[,2]2a ∈，不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，即39449a b ab ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩，对任意的1[,2]2a ∈成立．从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞．恒成立之分离常数2. （分离常数）已知函数()ln 1,.af x x a R x=+-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+，求函数()y f x =的单调区间；(2) 若0a >，且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.7654321-1-2-3-4-5-8-6-4-224681012A解: (1) ()ln 1,.af x x a R x =+-∈)(x f 定义域为),0(+∞,直线1y x =-+的斜率为1-, x x a x f 1)('2+-=,11)1('-=+-=a f ,2=∴a .所以22212)('xx x x x f -=+-=由20)('>>x x f 得; 由200)('<<<x x f 得所以函数()y f x =的单调增区间为)2(∞+，,减区间为(0,2). (2) 0a >，且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立ln 10(0,2]ax x e x+->∈在恒成立,即(ln 1)a x x >-. 设]2,0(,ln )ln 1()(e x x x x x x x g ∈-=-=.]2,0(,ln 1ln 1)('e x x x x g ∈-=--=当10<<x 时, 0)('>x g ,为增函数)(x g 当e x 20≤<时, 0)('<x g ,为减函数)(x g .所以当1=x 时,函数)(x g 在]2,0(e x ∈上取到最大值,且11ln 1)1(=-=g 所以1)(≤x g ,所以1<a 所以实数a 的取值范围为),1(+∞. （法二）讨论法2()x af x x-'=，()f x 在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数. 当a ≤2e 时，()f x ≥()1ln 10f a a =+->，解得1a >，∴1a <≤2e .当2a e >时，()(2)ln(2)102af x f e e e>=+->，解得2ln 2a e >，∴2a e >. 综上1a >.3. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）已知函数12)(2---=ax x e x f x,（其中∈a R ,e 为自然对数的底数）.(1)当0=a 时,求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程；(2)当x ≥1时,若关于x 的不等式)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围. （改x ≥0时，)(x f ≥0恒成立.a ≤1）解：（1）当0=a 时，12)(2--=x e x f x,x e x f x -=∴)(',1)0(',0)0(==∴f f ,∴切线方程为x y =．（2）[方法一]x ≥1,≥≤,设,则, 设12)1()(2+--=x e x x xϕ,则0)1()('>-=x e x x ϕ,)(x ϕ∴在),1[+∞上为增函数,)(x ϕ∴≥021)1(>=ϕ,012)1()('22>+--=∴x x e x x g x ,x x e x g x12)(2--=∴在),1[+∞上为增函数, )(x g ∴≥23)1(-=e g ,a ∴≤23-e ．[方法二]12)(2---=ax x e x f x,a x e x f x --=∴)(', 设a x e x h x --=)(,1)('-=x e x h ,x ≥0,1)('-=∴x e x h ≥0,a x e x h x --=∴)(在),1[+∞上为增函数, )(x h ∴≥a e h --=1)1(.又12)(2---=ax x e x f x ≥0恒成立,23)1(--=∴a e f ≥0,a ∴≤23-e , )(x h ∴≥01)1(>--=a e h ,0)('>--=∴a x e x f x ,12)(2---=ax x e x f x在),1[+∞上为增函数, 此时)(x f ≥23)1(--=a e f ≥0恒成立, a ∴≤23-e ．（改x ≥0时，)(x f ≥0恒成立.a ≤1）解：先证明()g x 在(0,)+∞上是增函数，再由洛比达法则20012lim lim 11xx x x x e e x x →→---==，∴1 2) ( 2- - - = ∴ ax xe xf x a ⇔ 0 xx e x1 2 2 - - 2 2 1 2 ) 1 ( ) ( ' x x e x x g x + - - = xx e x g x 1 2 ) ( 2 - - =()1g x >，∴a ≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上2()12x af x e x x =---，分两种情况讨论可得a ≤1）4. （两边取对数的技巧）设函数1()(1(1)ln(1)f x x x x =>-++且0x ≠） （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的取值范围；（3）已知112(1)m x x +>+对任意(1,0)x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。
江苏省南通市启东中学导数及其应用多选题试题含答案
江苏省南通市启东中学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ，由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x x aae ef x a -+=⋅，()2xx aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.4．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1e e xx xx e ex e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误.故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．7．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10nna a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.8．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值 极小值极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x -=当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值2 (2)4eg=，()y g x=图像综上可得，22424<<eae或2a e>，a的取值范围是222e e,(,)e82⎛⎫+∞⎪⎝⎭，D不正确.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。
江苏省启东中学高三数学二轮复习 第4讲 在函数导数压轴题中用洛必达法则来判定Word版
第4讲（微专题） 在函数导数压轴题中用洛必达法则来判定 主备人：龚凯宏一．释疑·拓展“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，在函数导数压轴题的解答中尽管不能体现在试卷上，但是我们可用它来进行结论判断，并为分类讨论提供依据，为快速准确地解题提供帮助。
洛必达法则简述：lim ()0x a f x →=，lim ()0x ag x →=，当(),()f x g x 可导，且()0g x '≠ 时()lim ()x a f x A g x →'=' 则()lim ()x a f x A g x →=。
例1.设函数()ln f x ax x =，且曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为20x y b --=.（1） 求实数,a b 的值。
（2） 若[)1,x ∀∈+∞，不等式2()(1)0f x m x --≤，恒成立，求实数m 的取值范围。
自主探究已知函数()sin f x mx x =-，()cos 2sin (0)g x ax x x a =->(1)若函数y ＝f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，求实数m 的最小值；(2)若m ＝1，且对于任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，都有不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．二．反馈·提炼1（2017南通二模）已知函数1()xf x e = ，()lng x x =，其中e 为自然对数的底数。
（1） 若存在1212,()x x x x ≠ ，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ> ；（2） 若对任意的(]0,1x ∈，不等式()()(1)f x g x a x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围。
2. 设函数()e ||x f x x a =--，其中a 是实数．（1．）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，求实数 k 的取值范围。
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习第二层次专题
专题4：导数及其应用班级 姓名一、前测训练1． (1)曲线x x y ln =在点(1，0)的切线方程为 ．(2)曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 过点(0，0)的切线方程为 ． 答案：(1) 1-=x y ． (2)y ＝2x 或y ＝－14x ．2．（1）函数f (x )＝2x 2－ln x 的减区间为 ． （2）函数321()4(3,)3f x x ax =--+∞在上是增函数，则实数a 的取值范围为 ． 答案：(1)(0,12)．(2)a ≤32． 3．求下列函数极值(或最值)：(1) f (x )＝x ln x (2)f (x )＝sin x －12x ，x ∈[－π2，π2] 答案：(1)当x ＝1e 时，f (x )取极小值－1e ．(2) 当x ＝－π3时，f (x )取最小值π6－32．当x ＝π3时，f (x )取最大值32－π6． 4．已知函数f (x )＝ax 2－ln x －1(a ∈R )，求f (x )在[1，e ]上的最小值． 答案：当a ≤12e 2时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (e)＝a e 2－2． 当12e 2＜a ＜12时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (12a )＝12(ln2a －1)．当a ≥12时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (1)＝a －1．5．若不等式ax 2＞ln x ＋1对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：a ＞e26．已知f (x )＝ax 2，g (x )＝ln x ＋1，若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有两个交点，求实数a 的取值范围． 答案：(0, e2)二、方法联想1．切线方程涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则另设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．注意 (1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．(2)用导数求解切线问题：①切点处的导数等于切线斜率；②切点既在切线上；③切点也在曲线上． 变式1函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，求,a b 的值答案：a ＝2，b ＝1（已知切线方程求参数） 变式2题目：在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y 和)0(3>=x x y 均相切， 切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则21x x 的值是 答案 43．解析：由题设函数y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为：y ＝2x 1 x －x 12， 函数y ＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3 x 22 x －2x 23．所以⎩⎨⎧2x 1＝3x 22x 12＝2x 23，解之得：x 1＝3227，x 2＝89． 所以 x 1x 2＝43．（已知两曲线的公共切线，求切点） 变式3 曲线)0(1<-=x xy 与曲线x y ln =公切线（切线相同）的条数为 . 答案：1（求两曲线的公切线条数） 变式4已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围答案：()3,1t ∈--解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得：()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-所以问题等价于方程3200463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点，则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切 （已知公切线条数，研究参数的范围） 2．函数单调性(1)如果在某个区间上f ′(x )＞0，那么f (x )为该区间上的增函数； 如果在某个区间上f ′(x )＜0，那么f (x )为该区间上的减函数．(2)如果f (x )在某个区间为增函数，那么在该区间f ′(x )≥0；(f ′(x )不恒为0) 如果f (x )在某个区间为减函数，那么在该区间f ′(x )≤0．(f ′(x )不恒为0) 注意 求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”． 变式1、已知f (x )＝2ax －1x－(2＋a )ln x (a ≥0)．当a ＞0时，讨论f (x )的单调性．答案：f ′(x )＝2a ＋1x 2－(2＋a )1x ＝2ax 2－(2＋a )x ＋1x 2＝(2x －1)(ax －1)x 2.①当0＜a ＜2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1a 上是减函数；②当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；③当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，12上是减函数．（已知导数等于0的两个根，求单调性） 变式2、若函数()21ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围_______________答案：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭（不单调，求参数的范围）变式3、定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ．),0(+∞(确定函数单调性)3．函数极值(或最值)求解步骤：①求函数的定义域；②求f ′(x )＝0在区间内的根；③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．变式1、已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是_____． 答案：(－1,0)解答：因为f (x )在x ＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f ′(x )的一个零点，且在x ＝a 的左边f ′(x )＞0，右边f ′(x )＜0，所以导函数f ′(x )的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)． （已知极大（小）值点，求参数范围）变式2、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是______． 答案 (3，2)解答：由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a2－4×3×1>0，－1<－2a 6<1，f －1＝3－2a ＋1>0，f ＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2.（已知极值点范围求参数范围）变式3、 已知函数23221)(,ln )(2-+-==x x x g x a x f ，对任意的[)+∞∈,1x ,都有)()(x g x f ≥恒成立,则实数a 的最小值是______．答案：1(要注意到)1()1(g f =)4．极值(或最值)的分类讨论（1）分类讨论根据f ′(x )＝0解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍(或合并)；（2）注意数形结合．变式1、设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x －3（a ∈R ）．求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调增区间。
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第4讲（微专题） 在函数导数压轴题中用洛必达法则来判定 主备人：龚凯宏
一．释疑·拓展
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，在函数导数压轴题的解答中尽管不能体现在试卷上，但是我们可用它来进行结论判断，并为分类讨论提供依据，为快速准确地解题提供帮助。
洛必达法则简述：lim ()0x a f x →=，lim ()0x a
g x →=，当(),()f x g x 可导，且()0g x '≠ 时()lim ()x a f x A g x →'=' 则()lim ()
x a f x A g x →=。
例1.设函数()ln f x ax x =，且曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为20x y b --=.
（1） 求实数,a b 的值。
（2） 若[)1,x ∀∈+∞，不等式2
()(1)0f x m x --≤，恒成立，求实数m 的取值范围。
自主探究
已知函数()sin f x mx x =-，()cos 2sin (0)g x ax x x a =->
(1)若函数y ＝f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，求实数m 的最小值；
(2)若m ＝1，且对于任意x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2，都有不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．
二．反馈·提炼
1（2017南通二模）已知函数1()x
f x e = ，()ln
g x x =，其中e 为自然对数的底数。
（1） 若存在1212,()x x x x ≠ ，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常
数，求证：e λ> ；
（2） 若对任意的(]0,1x ∈，不等式()()(1)f x g x a x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围。
2. 设函数()e ||x f x x a =--，其中a 是实数．
（1．）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，求实数
k 的取值范围。