高等数学中罗尔定理教学方法探讨
高等数学中罗尔定理教学方法探讨
惠菊梅
(青海大学基础部,青海西宁810016)
摘要:根据四种命题间的关系,强调了罗尔定理的题设只是结论成立的充分条件而非必要条件,对现行教材内容作了完善和补充。
关键词:罗尔定理;命题;条件
中图分类号:G420 文献标识码:C 文章编号:1006-8996(2003)03-0079-02
罗尔定理是微分学及其应用中许多定理及公式的基础,现用全国高等农业院校教材高等数学中对罗尔定理只直接写出定理,未作证明,也未作适当的引入或必要的铺垫,学生只知结果不知前因,对知识的衔接、理解掌握出现一定的难度。
另外,教材中还指出: 如果定理的三个条件中有一个不满足,则定理的结论就可能不成立 ,这说明罗尔定理的题设只是结论成立的充分条件而非必要条件。
但教材没有在理论上系统地阐述且举例也较含糊,学生不易理解掌握。
针对这两个问题,笔者采用下述方法组织教学,
取得了较好的效果。
1 定理的引入
罗尔定理:如果函数y =f (x )满足下列条件:
[1](1)在闭区间[a ,b ]上连续
(2)在开区间(a ,b )内可导
(3)f (a )=f (b )
则在(a ,b )内至少存在一点 ,使得f ( )=0。
首先采用画图及简述的教学方法给出罗尔定理的基础费马定理: 若函数f (x )在开区间(a ,b )内一点 处可导且取得最大值(或最小值),则必有f ( )=0 。
设f ( )为最大值,则f (x ) f ( ),且f ( +)=f ( -)=f ( )
而f ( -)=lim x -f (x )-f ( )x - 0,f ( +)=lim x +f (x )-f ( )x -
0所以f ( )=0。
其次,讲明罗尔定理的三条题设既具体实用又满足费马定理的题设,所以就有费马定理的结论。
(1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数一定有最大值和最小值。
(2)在开区间(a ,b )内可导,对应 费马定理 的题设在开区间(a ,b )内一点 处可导。
(3)f (a )=f (b )的作用,若f (a ) f (b ),f (a )、f (b )分别是最大值和最小值,则无法在开区间(a ,b )内找到可导的 点,有了f (a )=f (b ),即使端点处取得最值,在开区间(a ,b )内至少还会有取得最大值(或最小值)的点,这样学生对罗尔定理容易理解掌握。
2 罗尔定理的题设是结论成立的充分而非必要条件
例1[2] 研究函数f (x )=x 2
-4x +3在区间[-1,4]上能否找到一个点x = ,使f ( )=0解 f (x )=2x -4,令f (x )=0,则有2x -4=0,解得x =2,即f (2)=0,所以 =2。
后面又收稿日期:2002-11-20作者简介:惠菊梅(1953 ),女,陕西清涧人,讲师。
第21卷 第3期
2003年6月 青海大学学报(自然科学版)
Journal of Qinghai University Vol.21No.3
Jun.2003
有: 显然例1中的函数f (x )=x 2-4x +3在区间[-1,4]上满足罗尔定理的三个条件,而x =2,2 (-1,4)使f (2)=0符合罗尔定理的结论 。
这段话显然不妥,因为f (-1) f (4),即该题不满足罗尔定理题设的第三条,但例题的解法正确。
可这样理解:该例题说明罗尔定理的三个条件不全成立,结论也有成立的可能性。
即罗尔定理的否命题是假命题,根据四种命题间的关系,原命题的逆命题与原命题的否命题是等价命题,从而得出罗尔定理的逆命题是假命题,即罗尔定理的题设是结论成立的充分条件而非必要条件。
例2[2] 研究函数f (x )=x 23在[-1,1]上能否找到一个点x = ,使f ( )=0解 f (x )=23x -13,令f (x )=0,即23
x -13=0,此方程无解,因此,找不到x = ,使f ( )=0。
后面又有: 如果定理的三个条件中有一个不满足,则定理的结论就可能不满足,如例2中f (x )=x 23在[-1,1]上不满足第二个条件,因为f (0)不存在,即曲线在原点的切线垂直于x 轴。
这段话的意思是说三个条件不全成立,结论可能不成立,但容易造成错觉,理解为 题设不成立,结论也不成立 。
可通过逆否命题来解释这一问题, 找不到符合条件的 使f ( )=0,则三个条件一定不全成立, 例2中第二个条件不成立。
根据四种命题间的关系,原命题的逆否命题与原命题是等价的,所以罗尔定理的逆否命题是正确的命题。
参考文献:
[1]吴亲仁,陆秀丽译.数学分析原理(第一卷第一分册)[M].北京:人民教育出版社,1979.186-188.
[2]张嘉林.高等数学[M].北京:中国农业出版社,2000.72-73.
(责任编辑 唐宏伟)
(上接第78页)
灌输关于道德的各种美丽动听的言辞和准则 。
[3]
因此,法律基础课的教学应分为课堂教学与课外实践两个部分,教学方式应更加趋向实证化,重实际,重调查研究。
在课堂教学中,力戒一本书、一支笔、一张嘴、一堂课的传统的 满堂灌 的方法。
多采用对话式教学和引导式教学方法,以学生为主体,以教师为主导,通过案例教学和现代多媒体教学手段的采用,提高教学活动的直观性和生动性,调动学生学习的积极性、主动性、创造性,省时高效,优化教学效果。
与此同时,把课堂教学与课外实践活动紧密结合起来,开展形式多样、丰富多彩、同学们喜闻乐见的教学实践活动,如:通过请进来,走出去的方式带领学生旁听法庭审判,开展法律知识竞赛,进行普遍存在的法律问题的社会调查,开展法律咨询活动,组织 法就在我身边 等的专题讨论会、辩论会,组织模拟法庭等,加大教学实践的力度。
提高教学的现实性和生动性。
最终优化教学内容,提高教学质量,落实教学要求,达到教学目的。
综上所述,法律基础课教学改革是一个环环相扣、紧密相连的系统工程。
它以明确学科性质,把握学科定位为前提,以教材重组和教学内容创新为根本,以教学方式和手段改革为保障。
并需要各级各类教育部门、学校、师生通力合作,通过一系列改革,提高法律基础课的针对性和实效性,进一步发挥法律基础课在培养大学生法治人格上的重要作用,为大学生的自身成长和依法治国的宏伟大业,奠定坚实的基础。
参考文献:
[1]谷春德,陈劳志.法律基础教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.1-7.
[2]潘菽.教育心理学[M].北京:人民教育出版社,1983.156.
[3]列宁.列宁选集(第四卷)[M].北京:人民出版社,1972.355.(责任编辑 陈 军)80 青海大学学报 第21卷。
高数罗尔定理构造辅助函数的方法
高数罗尔定理构造辅助函数的方法《高数罗尔定理构造辅助函数的方法》一、解决方案1.高数罗尔定理高数罗尔定理是数学中一类有用的关系，高数罗尔定理可以用来通过构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题。
具体的内容是：高数罗尔定理指出，若有一组函数，其中E相互独立，则它们可以表示为一个独立的恒等函数的联合。
2.建立模型在利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题之前，必须首先建立一个合理的数学模型，并将数据录入模型中，这样可以使模型能够有效地进行数学求解。
为此，应该在建立模型前充分考虑数学问题的解决思路，确定引入的变量，确定公式的计算过程等。
在建立模型完成后，就可以利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法进行求解了。
二、构造辅助函数1.基本思路利用高数罗尔定理构造辅助函数的基本思路是将数学模型中的函数表示为一个独立的恒等函数的联合，从而实现问题的求解。
用以下公式可以描述这一思路：F(x) = f(x1,x2,…,xn)其中，f(x1，x2，…，xn)表示原模型，F(x)表示新恒等函数2.具体步骤（1）将模型中的变量按某一意义顺序进行排列；（2）将原模型按变量的顺序推导至最小阶段；（3）设置恒等函数，例如F(x1,x2,…,xn)，x1＝F(x2,x3,…,xn)；（4）依然利用原模型，推出另外一个恒等函数，例如G(x2,x3,…,xn)，x2＝G(x3,x4,…,xn)；（5）将A和B抽象为新的恒等函数P(x)，比如P(x)=F(G(x))；（6）根据原函数模型将恒等函数的每一部分的参数定义为求解问题的变量；（7）根据设定的变量，用高数罗尔定理，把P(x)表示为恒等函数的联合，即：P(x)=F(x1,x2,…,xn)=G(x1,x2,…,xn)（8）利用推导至恒等函数的形式进行求解，从而解决数学问题。
三、总结以上针对如何利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题进行了详细阐述。
高数罗尔定理可以一定程度上解决求解复杂的数学问题，但也存在一定的局限性，比如当数学模型中的变量数量较多时，可能就不能满足高数罗尔定理的要求。
同济版高等数学 在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题
同济版高等数学在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题拉格朗日中值定理（LagrangeMeanValueTheorem）是一个重要的数学定理，它可以有效地帮助我们解决微分方程和积分方程等问题，并且在多个领域有广泛的应用，尤其是在计算机科学领域。
在拉格朗日中值定理的证明中，利用罗尔定理（Rolle Theorem）是一种有效的方法。
因此，利用同济版高等数学证明拉格朗日中值定理成为一个重要的研究课题。
首先，我们介绍一下拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理定义了一个函数在某段区间上的行为，它认为：如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{}(c)$，即拉格朗日中值定理成立。
然后，我们介绍一下罗尔定理。
罗尔定理的定义为：如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在区间$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c)=0$。
罗尔定理可以用来证明拉格朗日中值定理。
将罗尔定理和拉格朗日中值定理联系起来，可以得到证明拉格朗日中值定理的结论：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$处可导，那么一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c) =frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，即拉格朗日中值定理成立。
接下来，我们来看看如何利用同济版高等数学进行拉格朗日中值定理的证明。
首先，我们需要用罗尔定理证明函数$f(x)$在$[a,b]$上连续、可导，存在一个点$c$使得$f^{}(c)=0$，即：函数$f(x)$在$[a,c]$上单调递增，在$[c,b]$上单调递减。
在此基础上，我们继续做出下列的假设：设$f^{}(x)$在$[a,b]$上连续可积，当$f^{}(x)$在$[a,c]$上单调递增时，$f(x)$的积分是一单调递增函数，当$f^{}(x)$在$[c,b]$上单调递减时，$f(x)$的积分是一单调递减函数。
关于罗尔定理的进一步讨论
ｌ ｉ ｍｆ（ ｘ）＝ 厂（ ） ６，
十
推 论 ８ 设 函数 厂 ｚ 在 区间 （ 。 ， ｘ） （） 一 。 ＋ｃ 上连 。
续 ， 区 间 （ Ｃ ， 。 ）内 可 导 ， 在 ～ ｘ ＋ 。 。 且
ｌ ，（ ｉ ａ ｒ ）一 ｌ 厂（ ）＝ Ａ ， ｉ ａ ｒ ｚ
推论 ７ 设 函数 厂 ｚ （ ）在 区间 （ 。 “ 上 连续 ， 一。 ， ）
在 区 间 （ ｏ ， ）内 可 导 ， 一 。口 且 ｌ 厂ｚ ｉ （ ）＝ ｌ 厂 ｚ ａ ｒ ｉ （ ）＝ Ａ， ａ ｒ
’ 一 。。
推 论 ２ 设 函数 ｆ ｘ 在 区间［ ，） （） 口 ６ 上连续 ， 区 在
若 厂（ ） 常值 函数 ， 结论显 然成立 ． 面只讨 是 则 下
杨 若 松 （９ ０ 男 ） 魏 成 （ ９０ 男 ） 均 为 ２０ 级 计算 机 １９ 一， ， １０ 一， ， ０９
论 厂（ ）不是 常值 函数 的情形 ． ｚ 在 此情形 下 ， 不妨 设存 在 。∈ （ 。 ， 。 ） 一 。 ＋ 。，
间（ ６ ｎ，）内 可 导 ， 且
ｌ 厂 ｚ）一 ｌ 厂 ｚ）一 Ａ ， ｉ （ ａ ｒ ｉ （ ａ ｒ
十
一
ｌ 厂ｚ ｉ （ ）＝ ｌ ， ）一 Ａ ， ａ ｒ ｉ （ ａ ｒ
其 中 Ａ 为有 限实数 ， 则存 在 ∈ （ ， 。 ） 使得 ａ ＋ 。，
（ ）一 ０ ．
推论 ６ 设 函数 ，（ ） 区间 （ ｃ ，］上连 续 ， ｚ 在 一 ד ３
高 等数 学 研 究
５ ８
ＳＴＵ ＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ ＡＴ Ｈ ＥＭ ＡＴ Ｉ Ｍ ＣＳ
高等数学 中值定理
F ( x )＝3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，可以用罗尔定理证明. 提问 2：设 f ( x ) C [1, 2] , f ( x ) D (1, 2) ,且 f (2) 8 f (1) ， (1, 2) , s .t . 3 f ( ) f ( ) 0 . 3 提示：构造函数 F ( x ) x f ( x ) ， F ( x )＝-3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，
f ( x ) f ( x0 ) [或 f ( x ) f ( x0 ) ], x U ( x0 ) ， O x 若 f ( x ) D ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 0 . 证明：由于 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) 0 , x U ( x0 ) ，那么 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) , x x0 x x0 所以 f ( x0 ) 0 . 2.【罗尔 Rolle 定理】 y C 设 f ( x ) C [a , b ] , y f (x) f ( x ) D( a , b ) ,且 A B f (a ) f (b) ，
2
在区间 [ 1, 3] 上罗尔定理成立. 提示： f ( x ) x 2 x 3 ( x 3)( x 1) C [ 1, 3]
2
f ( x ) 2 x 2 D( 1, 3) ， f ( 1) f (3) 0 满足罗尔定理的条件， 所以 1 ( 1, 3) ，使得 f (1) 0 例 2 不用求出 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数,试判 别方程 f ( x ) 0 有几个实根.以及根所在的范围. 解： 显然 f ( x) 在区间 [1, 2] , [2, 3] 上都连续, f ( x ) 在区间 (1, 2) , (2, 3) 内都可导,且 f (1) f (2) f (3) ,
罗尔定理的几种类型及其应用
罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。
若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。
高等数学：第五讲 罗尔中值定理
解： （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；
1
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
令f (x)=3x2+8x-7=0
解得 x 4 37 3
则 37 4 (1 , 2) 就是要找的点，显然有f (ξ)=0.
3
不求函数 y ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说明方程
2 f ( x) 0 有几个实根，并指出它们所在的区间．
分析： 该类问题主要说明函数满足罗尔定理的条件，
且寻找函数值相等的若干个点．
本题（1） （2）
所以有
，至少两个根； 为一元二次方程，至多两个根．
．
谢谢
罗尔中值定理
问题引入
y
C
f (a) A
Oa
B
可能不唯一
bx
罗尔中值定理
满足: (1) 在区间 (2) 在区间
上连续 内可导
(3)
在 内至少存在一点
y
f (a) A
y f (x) B
O a
bx
使 f ( ) 0.
补充说明
1）罗尔定理的条件是充分非必要条件．
例如,
y
1
结论成立！
O
π
2
f ( π ) 0. 2
πx
但 y f (x) 在[0, π]上不连续； 不满足定理条件（1）和（明
2) 如果定理三个条件不全满足，结论未必成立． 例如,
y
结论均不成y 立！
O 1x
1 O 1 x
y O 1x
启发式教学在高等数学教学中的应用——以罗尔定理教学为例
启发式教学在高等数学教学中的应用——以罗尔定理教学为
例
苏丽丽
【期刊名称】《课程教育研究：外语学法教法研究》
【年(卷),期】2018(000)007
【摘要】本文中作者结合教学实践案例展示了启发式教学在高等数学教学中的应用,并针对目前高等数学教学面临的现状给出了有效的建议.
【总页数】2页(P246-247)
【作者】苏丽丽
【作者单位】武警工程大学基础部,陕西西安710086
【正文语种】中文
【中图分类】G640
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1.启发式教学法在高等数学课程教学中的应用探讨 [J], 刘胜兰;夏赟
2.启发式教学法在高等数学教学中的应用 [J], 张艳霞
3.经管类高等数学课堂教学的优化r——谈启发式教学法和案例式教学法在教学中的应用 [J], 刘庚
4.高等数学教学中启发式教学的认识与应用 [J], 李治飞
5.翻转课堂在高等数学教学中的应用研究——以“罗尔定理”为例 [J], 王学武;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
罗尔定理的线上教法分析
㊀㊀㊀１４１㊀㊀罗尔定理的线上教法分析罗尔定理的线上教法分析Һ罗庆仙㊀龙㊀能㊀（广东茂名幼儿师范专科学校理学院，广东㊀茂名㊀５２５０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ罗尔定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的预备定理，在实际应用和中值定理的证明中有着重要的意义．本文通过对罗尔定理的线上教法的分析，培养学生的分析能力㊁知识迁移能力㊁数形结合的思想以及运用知识解决问题的能力．同时，学生还要掌握构造辅助函数和利用中值证明等式的方法，为后面中值定理的学习打下扎实的理论基础．ʌ关键词ɔ罗尔定理；线上；教法；分析ʌ基金项目ɔ广东茂名幼儿师范专科学校２０２０年度教育科学 十三五 规划课题 新版课程标准和教资国考背景下的‘小学数学课程与教学“的课程设计与教材建设（２０２０ＧＭＹＳＫＴ０２）一㊁引㊀言微分中值定理包括罗尔定理㊁拉格朗日中值定理㊁柯西中值定理和泰勒定理，它们是我们讨论怎样由导数ｆᶄ（ｘ）的已知性质来推断函数ｆ（ｘ）所应具有的性质的有效工具，也是数学分析中的重要内容．这部分内容理论性比较强，特别是定理的应用．因此，它们成为教师的一个教学难点．然而，大专院校的学生按来源基本上分为以下三大类：一是高考，二是３＋证书，三是学业水平考试，所以他们的数学基础比较差㊁理解能力比较弱㊁自学能力也相对比较差，这无疑增加了教学的难度．在中值定理的教学过程中，首先要让学生充分理解罗尔定理，并掌握相应的数学方法，这样才能够以罗尔定理为基础，通过构造满足罗尔定理三个条件的辅助函数，证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理．二㊁温故知新在讲罗尔定理之前，我们先复习极值的概念和费马定理，为接下来证明罗尔定理做铺垫，同时加深学生对这些知识点的理解．（极值的概念）㊀设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ有定义．若ｘ０ɪＩ，且存在ｘ０的某邻域Ｕ（ｘ０）⊂Ｉ，∀ｘɪＵ（ｘ０），有ｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ０）（ｆ（ｘ）ȡｆ（ｘ０）），则称ｘ０是函数ｆ（ｘ）的极大点（极小点），ｆ（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）的极大值（极小值）．注：①极大点和极小点统称极值点，极大值和极小值统称极值；②极值点必属于区间Ｉ的内部；③极值是一个局部概念；④若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ内部某点ｘ０取最值，则ｘ０必为极值点．（费马定理）㊀设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ有定义．若函数ｆ（ｘ）在ｘ０可导，且ｘ０是函数ｆ（ｘ）的极值点，则ｆᶄ（ｘ０）＝０．三㊁定理讲解先简单介绍罗尔定理的条件和结论，再详细分析每一个条件的几何意义，得出结论的几何意义，接着举例子分析缺少一个或三个罗尔定理条件，结论是否仍然成立，最后证明罗尔定理！１．罗尔定理及其几何意义．（罗尔定理）㊀设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上满足下列条件：（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）．则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ｃ，使得ｆᶄ（ｃ）＝０．表１㊀罗尔定理的几何意义罗尔定理的条件及结论罗尔定理的几何意义（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续在闭区间［ａ，ｂ］上有连续曲线（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导曲线上每一点都存在切线（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）曲线两个端点的高度相等则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ｃ，使ｆᶄ（ｃ）＝０则至少存在一条水平切线图１㊀几何意义图像２．罗尔定理的条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个，结论不一定成㊀㊀㊀㊀㊀１４２㊀立，如下列例子：（１）如图２，是函数ｆ（ｘ）＝ｘ，０ɤｘ＜１，０，ｘ＝１{的图像，在［０，１］上满足条件（２）和（３），但是条件（１）不满足，该函数在０，１()上的导数恒为１．图２㊀函数图像（２）如图３，是函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜，ｘɪ［－１，１］的图像，满足条件（１）和（３），但是条件（２）却遭到破坏（ｆ（ｘ）在ｘ＝０处不可导），结论也不成立．图３㊀函数图像（３）如图４，是函数ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［０，１］的图像，满足条件（１）和（２），但是条件（３）却遭到破坏，该函数在０，１()上的导数恒为１．图４㊀函数图像（４）又如ｆ（ｘ）＝０，－２ɤｘɤ－１，ｘ２，｜ｘ｜＜１，１，１ɤｘɤ２，ìîíïïï在［－２，２］上不连续，在（－２，２）内不可导，且ｆ（２）ʂｆ（－２），即三个条件都不满足，但存在一点ξ＝０ɪ（－２，２），使得ｆᶄ（０）＝０．这说明罗尔定理的三个条件是充分条件，而不是必要条件．３．罗尔定理的证明思路：引导学生由函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，可以知道函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上取得最大值Ｍ和最小值ｍ．接着提问学生最大值和最小值有没有可能相等？引导学生分为ｍ＝Ｍ和ｍʂＭ两种情况讨论，对于ｍʂＭ的情况，运用数形结合的方法引导学生知道至少有一个最值在区间内取值，然后再提问学生区间内的最值与极值之间的关系，进而引导学生用费马定理去证明．用费马定理证明时，先把它的条件和结论写出来，对照着写过程．罗尔定理的证明方法是分类讨论，然后利用费马定理来证明的，下面我们来证明罗尔定理．证明㊀（１）若ｍ＝Ｍ，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必为常数，它的导数恒为零，此时可在（ａ，ｂ）内任意取一点ｃ，有ｆᶄ（ｃ）＝０．（２）若ｍʂＭ，则由ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）知，最大值与最小值至少有一个不在端点处取得．如果最大值不在端点处取得，那么存在ｃɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ｃ）＝Ｍ．因为在区间内部取得的最大值一定是极大值，所以由费马定理得ｆᶄ（ｃ）＝０．综上所述，定理得证．四㊁应用举例，深入理解定理用罗尔定理解决方程根的存在性问题，得到了证明方程的根的存在性问题的另一种方法的步骤．要提醒学生注意讨论的是ｆᶄ（ｘ）＝０的根的存在性还是ｆ（ｘ）＝０的根的存在性，而且只能够证明至少有一个根．利用罗尔定理证明含有 中值点 的等式，总结出证明此类型等式的一般方法．例１㊀已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ－２），试判断方程ｆᶄ（ｘ）＝０有几个根，并指出根的所在区间．（用罗尔定理判断）分析㊀依题意可知ｆ（ｘ）＝０是二次方程，有两个不相等的实根，ｆᶄ（ｘ）＝０是一次方程，至多有１个实根．用罗尔定理来证明ｆᶄ（ｘ）＝０有几个根，即要判断ｆ（ｘ）满足罗尔定理的条件，但是题目并没有给出验证罗尔定理的区间，因此需要找出区间．而３个条件中，ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）是找出区间［ａ，ｂ］的突破点，所以令ｆ（ｘ）＝０求得区间是（１，２）．解㊀因为ｆ（１）＝ｆ（２），且ｆ（ｘ）在［１，２］上连续，在（１，２）内可导，由罗尔定理得，至少存在一点ｃɪ（１，２），使得ｆᶄ（ｃ）＝０．又因为ｆᶄ（ｘ）＝０是一次方程，至多有１个实根，故ｆᶄ（ｘ）＝０有１个实根，位于（１，２）内．例２㊀用罗尔定理证明：方程３ａｘ２＋２ｂｘ－（ａ＋ｂ）＝０在（０，１）内有实根．分析㊀依题意令ｆᶄ（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ－（ａ＋ｂ），因此我们需要通过导数公式表来找出ｆ（ｘ）的解析式，然后验证ｆ（ｘ）在（０，１）内满足罗尔定理．证明㊀设辅助函数Ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ，则Ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理知，至少存在一点ｃɪ（０，１），使㊀㊀㊀１４３㊀㊀Ｆᶄ（ｃ）＝０，又因为Ｆᶄ（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ－（ａ＋ｂ），所以有３ａｃ２＋２ｂｃ－（ａ＋ｂ）＝０，即方程３ａｘ２＋２ｂｘ－（ａ＋ｂ）＝０在（０，１）内有实根．例３㊀设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且ｆ（１）＝０，求证存在ξɪ（０，１），使ｆᶄ（ξ）ｓｉｎξ＋ｆ（ξ）ｃｏｓξ＝０．分析㊀由题可知，函数ｆ（ｘ）在［０，１］上满足罗尔定理的条件（１）和（２），需要证明的结论是ｆᶄ（ξ）ｓｉｎξ＋ｆ（ξ）ｃｏｓξ＝０，即要证明某个函数的一阶导数的方程等于零．把ξ改为ｘ，由ｆᶄ（ｘ），ｆ（ｘ），ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ联想到两个函数相乘的导数，从而知道需要构造的函数为Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｓｉｎｘ．证明㊀设辅助函数为Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｓｉｎｘ，则Ｆᶄ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）ｓｉｎｘ＋ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ，显然函数Ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理知，至少存在一点ξɪ（０，１），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）ｓｉｎξ＋ｆ（ξ）ｃｏｓξ＝０．练习：设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且ｆ（１）＝０，证明至少存在一点ξɪ（０，１），使得ｆᶄ（ξ）＝－ｆ（ξ）ξ．分析㊀由题可知，函数ｆ（ｘ）在［０，１］上满足罗尔定理的条件（１）和（２），需要证明的结论是ｆᶄ（ξ）＝－ｆ（ξ）ξ．但是等号右边并不为零，所以需要把式子整理变形，使得等号右边为零，即ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）＝０，把ξ改为ｘ，由ｆᶄ（ｘ），ｆ（ｘ），ｘ和１联想到两个函数相乘的导数，从而知道需要构造的函数为Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）．证明㊀设辅助函数为Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ），则Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ），显然函数Ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理知，至少存在一点ξɪ（０，１），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ），即ｆᶄ（ξ）＝－ｆ（ξ）ξ．小结：１．罗尔定理的三个条件是充分的，不是必要的，缺少一个条件，结论不一定成立．２．罗尔定理的应用及步骤．（１）利用罗尔定理证明方程的根．（ⅰ）判别方程ｆᶄ（ｘ）＝０是否有根．验证ｆ（ｘ）满足罗尔定理的条件，在证明过程中要注意区间的选取，通常是从ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）中寻找区间（如例１）．（ⅱ）应用罗尔定理讨论方程的根．首先要构造一个函数，使得构造后的函数的导数是结论中的函数（如例２）．（２）利用罗尔定理证明含 中值点 的等式．首先改写中值等式，将所有项移到一侧，把等号右边变为零（若等号右边为零则不需要改写）；其次令表达式中的中值为变量ｘ，并构造辅助函数．最后验证辅助函数满足罗尔定理的条件，得出结论．证明形如：ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝０的结论，可构造函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）．拓展练习：考虑到有部分学生需要专升本，因此我们在教学上还需要增加一些拓展的习题，让有兴趣的学生自行完成．１．证明方程ｘ５－５ｘ＋１＝０有且仅有一个小于１的正实根．２．证明：函数ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）在区间（１，３）内至少存在一点ξ，使ｆᵡ（ξ）＝０．３．证明：方程ｘ３－３ｘ＋ｃ＝０在区间（０，１）内没有两个不同的实根（提示：用反证法）．五㊁总㊀结罗尔定理 是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的预备定理，也是数学分析内容中学习难度比较大的一部分．因此，在进行线上教学时，教师要认真备课，提高自己的教学水平，同时对自己的上课方式也要进行适当的调整，比如：教师在教学方式上要以连麦提问的教学形式，鼓励学生积极思考，发挥学生的主体作用；在课堂上让学生把做好的题目写好拍照发到钉钉群里，对于重点㊁难点要板书给学生讲解，做到以讲练结合的方法，调动学生的积极性，使课堂气氛更加活跃；在教学手段上，教师需采用多元化的教学手段，将板书㊁课件相结合；在教学模式上，教师应采取屏幕和摄像头切换的线上教学模式，多让学生独立思考，提高学生的数学思维能力．ʌ参考文献ɔ［１］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９２．［２］华东师范大学数学系．数学分析（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．［３］赵萨日娜．拉格朗日中值定理的教学设计［Ｊ］．文化创新比较研究，２０１７（３１）：６２－６３．［４］赵彦军，姜淑珍．谈数学分析中辅助函数的构造［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０１４（２３）：６９－７０．［５］李双安，陈凤华，赵艳伟．拉格朗日中值定理教法研究［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０１６（０９）：２９，３１．。
罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用
—０没 有 根 。假 设 方 程 ６ ｘ＋口一０有 两 个 根 。 由罗 尔 ｘ ＋２
研
．
１ ９ ． Ｏ
下结论 ：如果方程 厂（ ） ｚ 一０没有 根 ，则方程 ＿ ｚ 一０至 厂 ） （
多 有 一 个 根 。应 用 中结 合 零 点 定 理 ，还 可 以证 明 如 果 方 程
罗 尔定 理
如果 函 数 厂（ ） 足 （ ） 闭 区 间 ［ ，］ ｚ满 １在 。 ６ 上
厂（ ） ｚ 一０没有 根 ， 则方程 ＿ ｚ ＝０只有一 个根 。 厂 ） （
应 用二 根据 多项 式方程 ／ （ ） ｚ 一０的根来 讨论多项
式 方 程 ， ｚ 一０的 根 。由罗 尔定 理 用 反 证 法立 即可 得 出 如 （）
项式方程 ， 称方程 厂（ ） ｚ 一０为方程 ， ｚ 一０的导数方 程 。 （）
本 文 中 方程 的 根 均 是 实 根 ， 是 重 根 ， 个 数 按 一 个 计 算 。 若 其
＋ … ＋ａ 一 — ０ １ ．易 看 出 ０为 方 程
。 ＋ ｎ ｏ １
＋ … ＋ ａ一 － １ 一０的一 个 根 ， ｚ 由题 设 ｚ 也 是 该 ｏ
方 程 的一 个 根 。所 以 由 罗 尔 定 理 知 在 （ ， 。 内 存 在 方 程 ０ｚ ） ａ ０
口 ｏ
十口 （ ｌ 一 １ ）
１９ ． ９ ６
别存在其导数方程 的一个实 根 ，即 厂（ ） ｚ 一０至 少有 三实
罗尔定理关于根的推论
罗尔定理关于根的推论
摘要：
一、罗尔定理简介
二、罗尔定理与根的关系
三、罗尔定理关于根的推论
四、结论
正文：
一、罗尔定理简介
罗尔定理是微积分中一个关于函数的连续性和极限的定理。
它告诉我们，如果一个函数在某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限。
这个点被称为罗尔点。
罗尔定理在微积分中有着广泛的应用，例如用于证明泰勒定理、证明函数的单调性等。
二、罗尔定理与根的关系
在数学中，根是一个重要的概念。
对于一个多项式方程，我们通常会寻找一个数，使得这个数代入方程后，方程的值等于零。
这个数就是该方程的一个根。
在微积分中，我们可能会遇到一些与根相关的问题，例如寻找函数的零点、证明函数有唯一零点等。
这些问题与罗尔定理有着密切的关系。
三、罗尔定理关于根的推论
根据罗尔定理，如果一个函数在某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限。
这个点被称为罗尔点。
对于函数的根而言，我们可以将函数的根看作是函数的零点。
因此，如果一个函数在
某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限，即函数在这个点处取到零。
这个点就是函数的一个根。
四、结论
罗尔定理关于根的推论为我们解决与根相关的问题提供了一个重要的工具。
通过利用罗尔定理，我们可以证明函数存在根、唯一根等结论。
同时，罗尔定理也可以帮助我们更好地理解函数的连续性和极限的概念。