动态规划之01背包问题及改进

动态规划之-0-１背包问题及改进 ———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期:

ﻩ有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i］，价值是v[ｉ]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。在选择装入背包的物品时,对于每种物品ｉ,只能选择装包或不装包，不能装入多次,也不能部分装入,因此成为０-1背包问题。

形式化描述为：给定n个物品，背包容量Ｃ >0，重量 第i件物品的重量w[i]>０, 价值ｖ[i] >０ , 1≤ｉ≤n.要求找一n元向量(X1，Ｘ2,…，Xｎ,), Xi∈{0,1}, 使得 ∑(ｗ[i] * Xi) ≤C,且∑ ｖ[i] * Xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

数学描述为：

求解最优值: 设最优值m（ｉ，ｊ)为背包容量为j、可选择物品为i，ｉ+１，……,ｎ时的最优值（装入包的最大价值）。所以原问题的解为ｍ（1,C） 将原问题分解为其子结构来求解。要求原问题的解ｍ（１，C)，可从m(ｎ,C)，m(ｎ－1，C),m（n-2,C)...．.来依次求解，即可装包物品分别为（物品ｎ）、（物品n-1,n）、(物品n-2，n-1,ｎ)、……、(物品1，物品2,……物品n-１，物品n)。最后求出的值即为最优值m(1，C)。

若求m（ｉ,j),此时已经求出m(ｉ＋1,j)，即第ｉ+1个物品放入和不放入时这二者的最大值。 对于此时背包剩余容量 j=0,1，２,３……C,分两种情况： (1)当 ｗ[i] > ｊ ,即第i个物品重量大于背包容量j时，m（i，j)=ｍ(ｉ+1,j） （2)当 ｗ［i] <= j ，即第i个物品重量不大于背包容量j时,这时要判断物品i放入和不放入对m的影响。 若不放入物品i,则此时ｍ(i,j)=m(i+１,ｊ) 若放入物品i，此时背包剩余容量为 ｊ－w［i]，在子结构中已求出当容量k＝0,1,２……Ｃ 时的最优值m（i+1，ｋ)。所以此时m(i，ｊ)＝ｍ（i+1，j-w[i］)＋v［i]。 取上述二者的最大值，即m(i,ｊ) ＝ mａx{ m（i+1，j)，m（i+1,j-ｗ[ｉ])＋v[i] }

总结得出状态转移方程为:

该算法的pythｏn代码实现： 1 # ０-1背包问题 2 __aｕthｏr_＿ ＝ 'ice' 3 ４ 5 # 背包容量0~capacity，不是0~cａpaｃity-１ 6 def knａpsａｃk(weigｈt, ｖalue, capaciｔy)： 7 if leｎ（weｉght) != len（ｖａlue): 8 print(＂pａrameter eｒr!") 9 rｅｔurｎ 10 oｂj_nuｍ = ｌen(wｅｉght) １1 resｕlt ＝ [［] for x in ranｇe(obｊ＿num）] 12 divide = min(weight[-1], capaｃiｔy） １3 result[-1] = [０ for ｘ ｉｎ range(diｖidｅ)］ 14 ｒeｓulｔ[-1］.eｘteｎd(value[-1］ ｆoｒ ｘ in rａｎge(ｄivｉde, capacｉｔy + 1)) 15 for i iｎ rｅversｅd(list(range(1, oｂj_nuｍ － １))): 1６ divide = min（weｉｇhｔ[i]， capaｃiｔy） 17 ｆor ｊ iｎ raｎgｅ(ｄivide): 18 resｕｌt[i].ａpｐend(result[i ＋ 1］[j］） 19 fｏr j in ｒangｅ(diｖide, ｃapaciｔy + １)： 20 ｒeｓulｔ[i].appeｎd（max(resuｌt[i + 1][ｊ］, resuｌt[i + １][ｊ - ｗeight[i]] + vａluｅ［i］)) 21 22 reｓult[0] = {capaciｔy: resuｌｔ[1]［capaciｔｙ］} 2３ ｉf wｅight[0］ <= caｐacｉｔy: 24 reｓult[０][ｃａpacity] = mａx(ｒesulｔ[1］[cａpaｃity］, reｓｕlt［1］[capaciｔy - wｅight［0]] ＋ ｖaｌｕe[0]) 25 ２6 vector ＝ [0 ｆoｒ ｘ in rａnge(obj_nuｍ)] 27 capacitｙ_ｔemp = capａciｔy ２8 ｆor i ｉn rangｅ(ｏbj＿nｕm - １）: 2９ iｆ result[ｉ][capacity＿tｅmｐ] != reｓult[i + 1]［caｐａciｔy＿tｅmp]: 30 vｅctoｒ[ｉ] = 1 31 cａpaciｔｙ＿temp -= weｉght［i] 32 3３ ｉf capaciｔy＿tｅmｐ == 0: 3４ vecｔor[-１］ = 0 3５ ｅｌsｅ: 36 vectoｒ[-1］ = １ 37 ３８ return ｛'tｏtal_vaｌue': rｅsult[０][capacity]， ＇seｌｅct＇： ｖector}

但是,该算法有两个明显的缺点:1,基于上述代码,因为数组索引的需要,要求所给物品重量为整数。2，当背包容量Ｃ很大时，算法所需计算时间较多。当C>２＾n时，需要Ω(ｎ*2^n)计算时间。

所以,改进算法如下： 对于函数m(i，j)的值，当i确定，j为自变量时,是单调不减的跳跃式增长,如图所示。而这些跳跃点取决于在（物品ｉ,物品ｉ+1，……物品n)中选择放入哪些物品使得在放入重量小于容量 j （０＜=j<=C)的情况下ｍ取得最大值。对于每一个确定的i值，都有一个对应的跳跃点集Pｉ＝｛ ( ｊ, ｍ（i,j) ），……｝。j始终小于等于Ｃ

(1)开始求解时,先求Pi，初始时Pn+1={(0，0）}，i=n+1,由此按下列步骤计算Pi-１,Pｉ-2……Ｐ１，即Pn,Pn-1,……P1

(2)求Qi，利用Pi求出m(i，j－w[i-1]）+ｖ[i－１]，即Pi当放入物品ｉ－１后的变化后的跳跃点集Qi＝{ （ j+w[i－１], m（i,j)＋ｖ[i－１] )，……},在函数图像上表现为所有跳跃点横轴坐标右移w[i-１],纵轴坐标上移v[i-１]。 (３）求Ｐi－１，即求Pi∪Qi然后再去掉受控跳跃点后的点集。此处有个受控跳跃点的概念:若点(a,b）,(c,ｄ)∈Ｐi∪Qi，且a＜=ｃ,b>d,则(ｃ，d)受控于(a,b）,所以（c,ｄ)∉Pｉ-1。去掉受控跳跃点，是为了求得在物品i－1放入后m较大的点，即 使m取最优值的跳跃点。 由此计算得出Pn,Ｐｎ-1，……,P１。求得P1的最后那个跳跃点即为所求的最优值ｍ（１,C)。

举个例子 ｎ=5，c＝1０，w={２，２，6，５，4},v=｛6，3,5,4，６}。跳跃点的计算过程如下:

初始时p[6]={(0,0)} 因此，ｑ[６]=ｐ[６]⊕(w[5],ｖ[５])=｛(4,６)}

p［5]={(0,0),（4,6)} q[５］=p[5]⊕(w[4],v[4])={(５，4）,（9,１0)}

p[４]={(０,0)，（4，6),（9，10）} p［５]与ｑ[5]的并集p[5］∪ｑ［5]={(0,０),(４,6),(5,４),(9,１0)｝中跳跃点（５,4）受控于跳跃点(4，6)。将受控跳跃点(5,４)清除后,得到ｐ[4] q［4］=p[4］⊕(6,5)={(6,5),(10，11)}

p［3]=｛(0,0)，(４,6),(９，１0)，(10,11)} q[３]＝p[3］⊕（2，３)=｛(2,3),(6，９）}

ｐ[2]={(0，0),（２，3），(4,６)，（6,9），(9，10),(10，１１)｝ q[2]=ｐ［2]⊕(2，6)=｛(２,６）,(4，9),(6，12),（8,１5）}

p［1]＝{(０，0），(2，６),(4,9)，(6,1２)，(８,15)}

ｐ[1］的最后的那个跳跃点（8，15)即为所求的最优值，m（１，C）=1５

最后,pｙthon代码的实现: 1 ｃlass Poinｔ: ２ dｅf ＿_init＿_(self， ｘ, y）: 3 selｆ.x = x 4 selｆ.y = y 5 ６ ７ ＃ ０-1背包问题 改进 8 def knapsacｋ＿imprｏve(ｗeｉghｔ, vaｌuｅ， capacity): 9 ｉf leｎ(wｅｉｇｈt) ！＝ len（ｖaluｅ): 10 prｉnt("parａmeｔer err!") １1 retｕrn 12 ｏbj_ｎｕm ＝ len(ｗeight) 13 jump_ｐoints_p = ［[] foｒ x iｎ ｒaｎgｅ(ｏbｊ＿num)］ 14 jumｐ＿pｏｉｎts＿q = ［[] fｏｒ x in range（obj_nｕm)] 15 juｍp_points＿p．ａpｐenｄ([Poinｔ(0, ０）]) 16 jump_pｏints＿ｑ.ａpｐend([Poｉnｔ（ｗeiｇht［obj_ｎum - 1], vaｌuｅ[obj_nuｍ - 1]）]） 1７ foｒ i in rｅｖｅｒsed(lｉｓt(range(１, ｏbj_ｎｕm）)）: 18 jumｐ_pointｓ_p［i] ＝ ｍｅｒge＿pｏints(jｕmp_poiｎts_ｐ[i + 1]， jump_ｐoiｎtｓ_ｑ[i + 1]） 19 jump＿poiｎts＿q[ｉ] = [Point（poｉnｔ.ｘ + weigｈt[i - 1], poｉnｔ.y + vａlue［i － 1]) fｏr ｐｏiｎt in jump_points_ｐ[i］ ｉｆ ２0 ｐoinｔ．x ＋ weigｈt[i - 1］ <＝ ｃapaｃitｙ] 2１ rｅsult = merge_ｐoiｎts(juｍp_ｐointｓ＿ｐ［1], ｊｕmｐ_poｉｎts_q[1]) ２2 ｒeｔuｒn resulｔ 23 24