曲线拟合的数值分析方法研究

曲线拟合的数值分析方法研究

李雲

（天津大学化工学院1014207124)

曲线的数据拟合，通常也被称为离散数据的曲线拟合，是求近似函数的又一类数值分析方法，指的是给定函数y=u(t)的一组观察值(t i,y i) (i=0,1,…,m)选定一组简单函数φk(t)(k=0,1,…,n)作为基函数，通过确定拟合模型f(t)=

x1φ1(t)+x2φ2(t)+⋯+x nφn(t)的待定参数x k，使f(t)与观察值(t i,y i)

(i=0,1,…,m)在总体上尽可能接近。它不要求近似拟合函数经过所有的已知点，只要求尽可能的反映出给定数据点的基本走势。在某种意义下与实际问题最逼近。这是用解析表达式逼近离散数据的一种求解方法。在几何上，拟合是指在平面或空间中找到合适的曲线或曲面来最大限度地逼近已知的离散数

据点。

曲线的数据拟合应用非常广泛。人们对某一未知领域的研究，为了探索其内在的规律，建立了相应的数学模型，而模型中往往含有某些待定的参数，要确定这些参数，就要用到数据拟合。因此数据拟合方法的全面研究对科学计算具有积极的现实意义[1]。

1数值磨光方法[2]

针对外形自动设计提出的曲线拟合问题——数值磨光方法，实现的步骤大体上是：首先对原设计型值（离散数据）进行修改得到我们称呼的“盈亏型值”，再将盈亏型值点连成折线，然后对此折线以δ-spline（样条）函数为核进行积分便得到拟合曲线的表达式，这时拟合曲线是一种样条，样条函数的次数k是任意的，但我们主要针对实用上常用的k=2和3的情形讨论。对一般外形设计任务，往往提出三个要求：精确性、光滑性和凹凸性。但是精

确性与凸性的要求，则常常顾此失彼，应该保住凸性，在此基础上再来改进精度，从而满足上述三点要求。

对给定的型值点A i，首先将它们联成折线，利用一次δ-样条函数Ω1(x)，可将此折线统一表达为

f(x)=∑y i

n

j=1Ω1(

x−x i

ℎ

)

磨光后的按段为k+2次的多项式曲线：

f k+1(x,ℎ)=1

ℎ

∫Ωk

∞

−∞

(

t−x

ℎ

)∑y i

n

j=1

Ωt(

t−x j

ℎ

)dt

=1

ℎ

∑y i

n

j=1

∫Ωk

∞

−∞

(

t−x

ℎ

)Ωt(

t−x j

ℎ

)dt

=

1

(k+2)!

∑y i

n

j=1

{∑(−1)μ(

k+1

μ

)

k+1

μ=0

A(x;j,μ)}

2最小二乘法[3]

实际中通过观测所给的数据是有误差的。如果要求近似函数通过全部的离散点，相当于保留了全部的实验误差，这是不合理也是不准确的。解决数据拟合问题的常用方法是最小二乘法。最小二乘问题是：根据实验或观测得到量x与y的一组数据对(x i,y i) (i=0,1,…,n)，其中x i互不相同。从观测数据对(x i,y i) (i=0,1,…,n)中，找到自变量x与因变量y之间的函数关系表达式y=f（x,c）,作为拟合模型，使得求解得到的数据与实际数据之间误差的平方和最小，来逼近实验观测数据。C=(C0,C1,…,C n)代表一些待定系数。若C在近似函数表达式中线性出现时，近似函数表达式f(x,c)称为线性拟合，否则近似函数表

达式为非线性拟合。一般情况下，通过求解线性方程组可以得到线性拟合的结果，通过求解非线性方程组或数值优化法求解非线性拟合。基于最小二乘意义的数据拟合包括多项式拟合，最小二乘拟合。

2.1多项式拟合

对给定的数据组(x i ,y i ) (i=0,1,…,n)，假设有多项式构成的函数类Φ，并且

函数次数均不超过m(m≤n)。求多项式f m (x )=∑a k m k=0x k ∈Φ，使得

I =∑(f m (x i )−y i )2n i=0=∑(∑a k m

k=0

x i k −y i )2n i=0

误差的平方和达到最小，则称f m (x)为多项式拟合函数

多项式拟合方法一般可以归纳为以下几个步骤：

（1）拟合出求解函数的近似曲线或曲面，选用恰当的多项式表达形式。一般可以通过描点观察或经验估计得到。

（2）列表计算

∑x i j n i=0和 ∑x i j

n i=0y i (j =0,1,…,2n ) （3）写出正规的方程组，求出系数a 0,，a 1，…，a n 。

（4）写出拟合多项式f m (x )=∑a k

x k m k=0。 当数据点较多时，只采用一种多项式曲线函数拟合所有数据点难以取得较好的拟合效果。为解决以上问题，一般采用分段曲线拟合，得到了三次曲线拟合表达式[4]为

W t =(3x 0+4x 1−x 2)6+(y 2−2y 1)6t +(−3x 0−2x 1+5x 2)18

t 2+(8y 1−y 2)6

t 3 2.2最小二乘拟合

最小二乘法又称最小平方法，是一种数学优化技术。它的基本思想是通过最小化误差的平方和，寻找数据的最佳函数匹配。这种求拟合函数的方法称为最小二乘拟合法。利用最小二乘法可以简便地求得未知数据，并使得这些求解得到的数据与实际数据误差的平方和最小。最佳的匹配函数称为已知数据的最小二乘拟合函数。最小二乘拟合可分为线性最小二乘拟合和非线性最小二乘拟合。

1.线性最小二乘拟合

设给定的离散数据组(x i,y i) (i=0,1,…,n)，w0(x)，w1(x)，...，w n(x)为已知的一组[a,b]上线性无关的函数，选取近似函数为

W(x)=a0w0(x)+a1w1(x)+a2w2(x)+⋯+a n w n(x)使得：

∑γi[w(x i)−y i]2 n

i=1=∑γi[∑a k w k

m

k=0

(x i)−y i]2

n

i=1

=min∑γi[μ(x i)−y i]2

n

i=1

取得最小。其中γi＞0(i=1,2,..,n)为权系数，μ(x i)为w0(x)，w1(x)，...，w n(x)的线性组合的全体，这就是线性最小二乘拟合方法的一般形式。特别的取w k(x)=x k(k=0,1,…,m)时，这时的最小二乘拟合为多项式拟合。

2.非线性最小二乘拟合

非线性最小二乘拟合是待定系数的非线性函数，其求解过程比较复杂。与线性最小二乘法求解相比，它不能用求多元函数极值的方法来得到参数估计值，而需要采用复杂的优化算法来求解。主要的求解算法有两类，一类是搜索算法，另一类是迭代算法。常用的搜索方法有单纯形搜索法、复合形搜索法、随机搜索法等。常用的迭代算法有牛顿-拉夫森法、高斯迭代算法、麦夸特算法、变尺度法等。