高二数学上学期期末考试试题 理 (9)

云天化中学2016—2017学年上学期期末考试试卷高 二 数学(理)说明: 1．时间：120分钟； 分值：150分；2. 本卷分Ⅰ、Ⅱ卷，请将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1. 高二某班共有学生56人，座号分别为1,2,3,…,56,现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（ ） A ．30 B ．31 C ．32 D ．332. 设,,R y x ∈则“x ≥1且y ≥1”是“22y x +≥2”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3432=++a a a ，则5S 为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．114. 在区间[]1,0上随机取两个数y x ,，则事件“y x +≤32”的概率是（ ） A ．21 B ．32 C ．94 D ． 925．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．22B ．46C ．94D ．1906．如上图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（ ）A ．568B ．569 C ．14 D ．5717．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝（ ）A ．3B ．6C ．33D ．238．直线30x y -+=被圆064422=+-++y x y x 截得的弦长等于（ ）A ． 23B ．6 C. 3 D ．629．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-041034y x x y x ，则y x -的取值范围是（ ）A ．]56,2[- B ．]0,2[- C. ]56,0[ D ．]1-,2[- 10. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A. 8B. 4C.24D. 3411．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线0:=++a y x l 与点)20(，A ，若直线l 上存在点M 满足1022=+MO MA （O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ） A.()15,15--- B. ]15,15[--- C. ()122,122--- D. ]122,122[---12. 若以)0,3()03(21F F ，，-为焦点的双曲线与直线1-=x y 有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（ ）A ．26 B.553 C. 23 D. 3 第Ⅱ卷 客观题（共90分）二、填空题（每小题5分，4小题共20分）13.在ABC ∆中， 75=A ， 60=C ，1=c ，则边b 的长为 ．14.已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点)3,2(，且双曲线的一个焦点为)07(，-F ，则双曲线的方程为 ．15.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如右图所示），则分数在[70，80）内的人数是 ．16.椭圆15222=+y a x (a 为定值，且5>a )的左焦点为F ，直线m x =与椭圆交于B A ,两点，FAB ∆的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率为_____．三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤） 17.已知命题p ：2450x x --≤，命题q ：22210x x m -+-≤（0m >）． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5m =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围．18.某产品的三个质量指标分别为,,x y z ,用综合指标s x y z =++评价该产品的等级，若4s ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 1A2A3A4A5A质量指标 (,,x y z ) (1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)产品编号 6A 7A8A9A10A质量指标 (,,x y z )(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”．求事件B 发生的概率．19. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点，交椭圆于,A B 两点，求||AB ．20.设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边长分别是,,,a b c 且2cos (cos cos )C a B b A c +=． （1）求角C ；（2）若7c =ABC ∆33，求ABC ∆的周长．21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(1)2(2*N n a n S n n ∈-+=. (1) 求1a 的值，并用1-n a 表示n a ； (2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 设25342311111+++++=n n n a a a a a a a a T ，求证：35<n T .22．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为=+与y轴交于点P，与椭圆E交于、:l y kx mA B两个相异点，且=.APλPB(1) 求椭圆E的方程；(2)是否存在m，使4+λ？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.=云天化中学2016—2017学年上学期期末考试试卷高 二 数学（理）（参考答案）一、选择题(每题5分，共60分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBADCDABACDB二、填空题（每题5分，共20分）13．36 14．13422=-y x 15．30 16． 32三、解答题（其中第17题10分，其余每题12分，共70分） 17．（1）对于p ：[]1,5A =-，对于q ：[]1,1B m m =-+， 由已知，A B ⊆，∴11,15m m -≤-⎧⎨+≥⎩，∴[4,)m ∈+∞．…………5分（2）若p 真：15x -≤≤，若q 真：46x -≤≤．…………6分 由已知，p 、q 一真一假． ①若p 真q 假，则15,46,x x x -≤≤⎧⎨<->⎩或无解；…………8分②若p 假q 真，则15,46,x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或∴[4,1)(5,6]x ∈--．…………10分18. 解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：产品编号A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10S4463454535其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6.从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2) ①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}, 共6种．所以P (B )＝615＝25.19.解：（1）椭圆C 的方程为1422=+y x ．…………6分 （2）58|AB |= 20.解：（1）()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C⋅+=，∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，，∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵()0πC ∈，，∴π3C =…………6分（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅，221722a b ab =+-⋅，()237a b ab +-= 1333sin 2S ab C ab =⋅==，∴6ab =，∴()2187a b +-=，5a b += ∴ABC △周长为57a b c ++=+…………12分21.(1)由11121)21(2a a S =-+=，得11=a ………………1分 当2≥n 时，21)1(21)2(11-+--+=-=--n n n n n a n a n S S a1(1)n n na n a -⇒=+ (2≥n )，即11n n n a a n-+= (2n ≥).………………5分 (2) 由(Ⅰ)，得2132a a =，3243a a =，4354a a =，11n n n a a n-+=， 将以上(1)n -个式子相乘，得112n n a a +=.而11=a ，故12n n a +=. ………………8分 (3) ∵214(1)(3)n n a a n n +=++ 112()13n n =-++ ………………9分)]3111()6141()5131()4121[(2+-+++-+-+-=n n T n 11112()2323n n =+--++.………11分52253233n n =--<++ ………12分 22. 解：(Ⅰ)根据已知设椭圆E 的方程为()222210y x a b a b +=>>，焦距为2c ，由已知得32c a =，∴22223,4a cb ac ==-=.…………………………3分 ∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为52,1a b ====.∴椭圆E 的方程为2214y x +=.…………5分 (Ⅱ)根据已知得()0,P m ，由AP PB λ=，得()OP OA OB OP λ-=-.∴()1OA OB OP λλ+=+.∵4OA OB OP λ+=,∴()14=OP OP λ+，若0m =，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=.…………………………7分 ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立. 若0m ≠，则14λ+=，解得3λ=.设()()1122,,,A x kx m B x kx m ++，由22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()2224240k x mkx m +++-=，由已知得()()222244440m k k m∆=-+->，即2240k m -+>.且212122224,44km m x x x x k k --+==++.…10分由3AP PB =得123x x -=，即123x x =-.∴()21212340x x x x ++=, ∴()()2222224412044m k m k k -+=++，即222240m k m k +--=.当21m =时，222240m k m k +--=不成立.∴22241m k m -=-,∵2240k m -+>,∴2224401m m m --+>-,即()222401m mm ->-.∴214m <<,解得21m -<<-或12m <<.综上述，当21m -<<-或0m =或12m <<时，4OA OB OP λ+=.…………12分。