一元二次方程与不等式综合
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（一）一元二次方程与不等式综合
1. 已知关于m 的一元二次方程0122
=-+mx x 。
（1）判定方程的实数根的情况；
（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于2
3，当方
程的两个根均为有理数时，求m 的值。
2. 已知关于x 的一元二次方程01)3(2
=++++m x m x。
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数。
3. 已知关于x 的方程0222
=+--b a ax x ，其中b a 、为
实数。
（1）若此方程有一个根为)0(2<a a ，判断a 与b 的大小关系并说明理由；
（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围。
4. 已
知
：
关
于
x
的一元二次方程
022)23(2=+++-m x m mx ，)0(>m 。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为21x x ，（其中21
x x <）。
若
y 是关于m 的函数，且122x x y -=，求这个函数的解析式； （3）在（2）的条件下，结合函数的图像回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，m y 2≤。
5. 已
知
关
于
x
的
一
元
二
次
方
程
03)14(22=+++-m m x m x 。
（1）求证：无论m 取何实数，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围。
6. 已
知
：
关
于
x
的一元二次方程
032)1(32=-+--m x m mx ，（m 为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根； （3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值。
（二）一元二次方程与二次函数综合
1. 已知关于x 的方程03)13(2
=+++x m mx。
（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根； （2）若抛物线
3)13(2+++=x m mx y 与x 轴交于两个不
同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式； （3）若点
),(11y x P 与),(11y n x Q +在（2）中抛物线上
（Q P 、不重合），求代数式8
165124212
1++++n n n x x 的值。
2. 已知抛物线
1)12(22-+-+=m x m x y ，（m 为常数）。
（1）若抛物线
1)12(22-+-+=m x m x y 与x 轴交于两
个不同的整数点，求m 的整数值；
（2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；
（3）若点),(11y x M 与点),(11y k x N +在（2）中抛物线上，（N M 、不重合），求代数式k x k x -+++⋅
561
16
12
1
的值。
3. 已知关于x 的一元二次方程0)4(22
=+++a x a x。
（1）求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）抛物线:1C a x a x y +++=)4(22与x 轴的一个交点
的横坐标为
2a ，其中0≠a ，将抛物线1C 向右平移41
个单位，再向上平移8
1
个单位，得到抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；
（3）点
),(n m A 和),(m n B 都在（2）中抛物线2C 上，且
B A 、两点不重合，求代数式33222n mn m +-的值。
4. 已知关于x 的一元二次方程022
=++c bx ax ，（0>a ）
①。
（1）若方程①有一个正实根c ，且02<+b ac ，求b 的取值范围； （2）当
1
=a 时，方程①与关于
x
的方程
0442
=++c b x x ②有一个相同的非零实根，求c
b c
b +-2288的
值。
5. 已
知
关
于
x
的方程
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04
5
2)1(222=-
+++-k k x k x ①。
（1）求证：对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根；
（
2
）
若
a
是
关
于
y 的方程
04
1
))(()21(2112=+--+---k x k x y k x y ②的根，
其中
21x x 、为方程①的两个实数根，且21x x <，求代数式
)1(1
4
)111(2-⋅+÷+-a a a a 的值。
（三）一元二次方程与函数结合
1. 已知关于x 的方程022)23(2
=+++-m x m mx。
（1）求证：对于任意实数m ，方程恒有实数根； （2）若关于x 的二次函数
2
2)23(2+++-=m x m mx y 的图像与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式。
2. （2012丰台二模）已知关于
x
的一元二次方程
0)1(242=-+-k x x 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围； （2）若抛物线
)1(242-+-=k x x y 与x 轴的两个交点的
横坐标为整数，求正整数k 的值； （3）直线
x y =与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点
C ，
点P 是射线OC 上的一个动点（点P 不与点O 、点C 重合），过点P 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于点M ，点Q 在直线PC 上，距离点P 为
2个单位长度，设点P 的横坐标
为t ，PMQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式。
3. （2012平谷二模）已知抛物线
22-+-=m mx x y 。
（1）求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点； （2）若m 是整数，抛物线22-+-=m mx x y 与x 轴交于
整数点，求m 的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的
两个交点中右侧交点为
B 。
若M
为坐标轴上一点，且
MB MA =，求点M 的坐标。
4. （2013朝阳二模）已知关于
x
的一元二次方程
01)4(2=-+-+m x m x 。
（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）此方程的一个根是3，在平面直角坐标系xOy 中，将抛
物线
m x m x y -+-+=1)4(2向右平移3个单位，得到一
个新的抛物线，当直线
b x y +=与这个新的抛物线有且只有
一个公共点时，求b 的值。
5. （2012西城一模）已知关于
x
的一元二次方程
012=+++q px x 的一个实根为2。
（1）用含
p 的代数式表示q ；
（2）求证：抛物线
q px x y ++=2与x 轴有两个交点；
（3）设抛物线
q px x y ++=21的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线
122+++=q px x y 的顶点为N ，与y 轴
的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值。
6.。
高一一元二次函数、方程和不等式串讲
高一一元二次函数、方程和不等式串讲高一数学：一元二次函数、方程和不等式串讲一元二次函数、方程和不等式是高中数学中的基础知识，它们在数学中起着重要的作用。
通过这篇文章，我将以人类的视角为你讲述一元二次函数、方程和不等式的概念和应用。
让我们来了解一元二次函数。
一元二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
这个函数的图像通常是一个抛物线，它可以开口向上或向下，取决于a的正负。
一元二次函数在物理、经济学等领域中有着广泛的应用，例如抛射运动和成本收益分析。
接下来，我们将探讨一元二次方程。
一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
解一元二次方程的常用方法是配方法、因式分解和求根公式。
解方程的根可以是实数或复数，这取决于方程的判别式b^2 - 4ac的正负。
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，例如几何学中的平面图形问题和物理学中的运动问题。
我们来讨论一元二次不等式。
一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，需要考虑不等号的方向。
一元二次不等式在实际问题中的应用也非常广泛，例如优化问题和约束条件下的最优解问题。
通过以上的串讲，我们对一元二次函数、方程和不等式有了更深入的了解。
它们是数学中的重要概念，对于我们理解数学和解决实际问题都非常重要。
希望通过这篇文章，你能够对一元二次函数、方程和不等式有更清晰的认识，并能够灵活应用于实际生活和学习中。
让我们继续努力，掌握更多数学知识，成为数学的行家！。
一元二次函数、方程和不等式——基本不等式
一元二次函数、方程和不等式一、教材分析：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题.《一元二次函数、方程和不等式》这一章内容是安排在“集合”之后，“函数”之前.本章有“等式性质与不等式性质”、“基本不等式”、“二次函数与一元二次方程、不等式”三节内容。
通过学生易于接受的“等式性质与不等式性质”进入本章节的学习，继而借助前面不等式的性质的学习，引出“基本不等式”，再以二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”（一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.同时，此部分内容又培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想.二、学情分析：学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题.但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.三、章节学习目标：学习目标核心素养1.通过具体实例体会不等式在现实生活中的应用.数学建模2.掌握比较法的解题步骤.数学运算3.理解不等式的性质及证明.逻辑推理4.从数与形的角度体会基本不等式的证明方法.直观想象5.注重基本不等式的变形，求最值的关键是“拼”“凑”“拆”数学运算6.熟练掌握用基本不等式证明不等式.逻辑推理7.体会从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.数学抽象8.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.直观形象9.会解一元二次不等式，能够利用一元二次不等式解决一些实际问题.数学运算、数学建模2.2基本不等式（2课时）教学目标：1.理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.2.能够整理并建立不等式的知识链.3.通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识.教学重难点：重点：基本不等式的内容及其证明；应用基本不等式求解最值.难点：基本不等式的理解与证明；运用基本不等式解答实际问题；不等式知识链的建立.教学过程：一导入（温故而知新）：回顾旧知：重要不等式： 2+ 2≥2 （a,b∈R）当且仅当 = 时，等号成立.问题1:当 、 都是正数时，如果对重要不等式中的 、 进行开方运算，那么你会得到什么结论呢？利用旧知探索新知，便于提高学生的学习自信，利于培养学生知识迁移、探索的能力.公式辨析：1.已知 , ∈ ，且 >0，则下列结论恒成立的是（）A. 2+ 2>2B.2 ≤ +B.1 +1 >2 D. + ≥22.已知x>−1,求 2+7 +10 +1的最小值.不等式的“一正，二定，三相等”.四数学生活化：例3.（1）用篱笆围一个面积为100 2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）有一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池使总造价最低？最低总造价是多少？解决实际生活中的问题，把数学生活化，增强学生学习数学的兴趣.培养阅读理解能力，知识的灵活应用能力.五课堂小结：给出小结框架，让学生自己总结.（主要从两个方面进行总结：知识+能力）培养学生总结的能力.将知识进行内化，形成知识链.六课后作业：以书后练习和习题册为主.回归教材，吃透书本.七板书设计：标题知识点例题演算八教学反思：主要从以下几点进行反思：1.学生对新知的接受情况；2.课堂的实施情况；及时进行反思，不断反思，不断进步.3.教师的教学方法，学生的学习方法；4.教学内容的设置.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立 故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（ ）A ．a >0，ab =12B ． a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a)(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解 由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B4、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m 4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.5、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可.不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b a(−12)⋅13=2a，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A6、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B7、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |−1<a <2}B ．{a |−2<a <1}C ．{a |a <−2}D ．{a |a >1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1.故选：B.8、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 23,21<<-<<-a b故选：D ．多选题9、已知a >b ⩾2，则（ ）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b 答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2，A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10、若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 2<aC ．若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b aD ．a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A ，当a <0<b 时，结论不成立，故A 错误；对于B ，a 2<a 等价于a (a −1)<0，又0<a <1，故成立，故B 正确；对于C ，因为a >b >0且c >0，所以b+c a+c >b a 等价于ab +ac >ab +bc ，即(a −b )c >0，成立，故C 正确； 对于D ，a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)等价于(a −1)2+(b +2)2≥0，成立，故D 正确.故选：BCD. 0ab11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.12、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，则下列结论正确的是（）A．a>0B．b>0C．c>0D．a+b+c>0答案：BCD分析：对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及b>0，即可求解.解：对A，∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，即a<0，故A错误；对B，C，由题意知：2和−12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba=2+(−12)=32>0，又∵a<0，故b>0,c>0，故B，C正确；对D，∵ca=−1，∴a+c=0，又∵b>0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.13、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的值可为（ ） A ．60B ．80C ．100D ．120答案：ABC解析：先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围.由汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，∴15(120−k +4500120)=11.5，解得：k =100，故每小时油耗为15(x +4500x )−20， 由题意得15(x +4500x )−20≤9，解得：45≤x ≤100，又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 填空题14、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示） 答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论．2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3，−2≤−12(x +y )≤12,5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4，解得{m =−1n =2， 所以3x −4y =−(x +2y)+2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； {c a >d b bc >ad ⇒{bc−ad ab >0bc >ad ⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.解答题17、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P =at t+1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q =bt ．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元（1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y =ax x+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3−x 万元，由题意知：y =P +Q =ax x+1+b(3−x)，当x =3时，f(x)=94，当x =0时，f(x)=1， 则{3a 4=94,3b =1,解得a =3,b =13， 则y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3． （2）由（1）可得f(x)=3x x+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x =133−[3x+1+13(x +1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x =2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1或x >b }．(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x 的最小值．答案：(1)a =−1，b =2(2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值.（1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g(x)=f(x)+4x =x2−x+2x=x+2x−1，因为x>0，由基本不等式可得g(x)=x+2x −1≥2√x⋅2x−1=2√2−1，当且仅当x=2x时，即x=√2时，等号成立故函数g(x)的最小值为2√2−1.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.2、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A4、已知正实数a、b满足1a +1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．{2}B．[2,+∞)C．(0,2]D．(0,+∞)答案：B分析：由题意可得(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，所以有b=1a ，将1a+1b=m化为a+1a=m，再利用基本不等式可求得m的范围.解：因为a,b为正实数，(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，此时有b=1a，又因为1a +1b=m，所以a+1a=m，由基本不等式可知a+1a≥2（a=1时等号成立），所以m ≥2. 故选：B.5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、关于x 的不等式(x −a )(x −3)>0成立的一个充分不必要条件是−1<x <1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤−1B ．a <0C ．a ≥2D ．a ≥1 答案：D分析：由题意可知，(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0解集的一个真子集，然后对a 与3的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数a 的取值范围. 由题可知(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0的解集的一个真子集.当a =3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为{x |x ≠3}，此时(−1,1){x |x ≠3}； 当时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,3)∪(a,+∞)， ∵(−1,1)(−∞,3)，合乎题意；当a <3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,a )∪(3,+∞)， 由题意可得(−1,1)(−∞,a )，此时1≤a <3. 综上所述，a ≥1. 故选：D.3a小提示：本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.7、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0， 解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞).故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 8、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√a 2+c 2b×2b=(22)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√12+2√a 2×c2=12， 当且仅当a 2+c 2b=2b ，且a =c 取等，即取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12， 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 多选题9、下列函数中最大值为12的是（ ） A ．y =x 2+116x 2B ．y =x ⋅√1−x 2,x ∈[0,1]C ．y =x 2x 4+1D ．y =x +4x+2,x >−2 答案：BC解析：利用基本不等式逐项判断即可. 解：对A ，y =x 2+116x2≥2√x 2⋅116x 2=12，当且仅当x 2=116x2，即x =±12时取等号，故A 错误；对B ，y =x ⋅√1−x 2=√x 2⋅(1−x 2)≤x 2+1−x 22=12，当且仅当x 2=1−x 2，又∵x ∈[0,1]，即x =√22时取等号，故B 正确；对C ，y =x 2x 4+1=1x 2+1x2≤12，a b c ==当且仅当x2=1x2，即x=±1时等号成立，故C正确；对D，y=x+4x+2=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，当且仅当x+2=4x+2，又∵x>−2，∴x=0时取等号，故D错误.故选：BC.10、设正实数m、n满足m+n=2，则下列说法中正确的是（）A．2m−n>14B．mn的最大值为1C．√m+√n的最小值为2D．m2+n2的最小值为2答案：ABD分析：利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误. 对于A选项，因为正实数m、n满足m+n=2，则0<m<2，m−n=m−(2−m)=2−2m∈(−2,2)，故2m−n>2−2=14，A对；对于B选项，由基本不等式可得mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m=n=1时，等号成立，B对；对于C选项，由基本不等式可得(√m+√n)2=m+n+2√mn≤2(m+n)=4，因为√m+√n>0，故√m+√n≤2，当且仅当m=n=1时，等号成立，C错；对于D选项，∵2(m2+n2)=(m2+n2)+(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2=4，可得m2+n2≥2，当且仅当m=n=1时，等号成立，D对.故选：ABD.11、已知a，b，c∈R+，则下列不等式正确的是（）A．1a +1b≥4a+bB．a+b≤√a2+b2C．b2a +a2b≥a+b D．a2+b22≥a+b−1答案：ACD分析：对AC，利用基本不等式可求解；对B，根据(a+b)2=a2+b2+2ab>a2+b2可判断；对D，利用(a−1)2+(b−1)2≥0可判断.对A ，因为(1a +1b )(a +b )=b a +a b +2≥2√b a ⋅a b +2=4，当且仅当b a =a b 时等号成立，所以1a +1b ≥4a+b ，故A正确；对B ，(a +b )2=a 2+b 2+2ab >a 2+b 2，所以a +b >√a 2+b 2，故B 错误； 对C ，b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当且仅当a =b 等号成立，所以b 2a+a 2b≥a +b ，故C正确；对D ，因为(a −1)2+(b −1)2≥0，所以a 2+b 2−2a −2b +2≥0，所以a 2+b 22≥a +b −1，当且仅当a =b =1等号成立，故D 正确. 故选：ACD.12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD[0,1]13、已知a >0,b >0，且a +2b =1，则（ ） A ．ab 的最大值为19B ．1a +2b 的最小值为9C ．a 2+b 2的最小值为15D ．(a +1)(b +1)的最大值为2答案：BC分析：对A ，直接运用均值不等式2√2ab ≤a +2b 即可判断； 对B ，1a +2b =(1a +2b)⋅(a +2b )=5+2b a+2a b，运用均值不等式即可判断；对C ，a 2+b 2=(1−2b )2+b 2，讨论二次函数最值即可；对D ，(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)，讨论最值即可. a >0,b >0，2√2ab ≤a +2b =1⇒ab ≤18，当a =2b 时，即a =12,b =14时，可取等号，A 错；1a+2b =(1a +2b )⋅(a +2b )=5+2b a+2a b≥5+2√2b a ⋅2a b=9，当2b a =2ab时，即a =b =13时，可取等号，B 对； a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当a =15,b =25时，可取等号，C 对；(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2(a 2+4ab +3b 2)=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)<2，D 错. 故选：BC 填空题14、若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c )，则该三角形的面积S =√p (p −a )(p −b )(p −c )，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为___________. 答案：2√2分析：计算得到p =4，c =2，a +b =6，根据均值不等式得到ab ≤9，代入计算得到答案. p =12(a +b +c )=4，c =2，a +b =6，a +b =6≥2√ab ，ab ≤9，当a =b =3时等号成立.S =√p (p −a )(p −b )(p −c )=√8(4−a )(4−b )=√128−32(a +b )+8ab ≤2√2. 所以答案是：2√2.15、若关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0的两个根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值为______ 答案：分析：先求出方程有两根时m 的范围，再由根与系数关系将x 1,x 2用m 表示，建立关于m 的方程，求解即可. 关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0有两个根， 则Δ=m 2−4(4m 2−3)=−3(5m 2−4)≥0， ∴−2√55≤m ≤2√55,x 1+x 2=−m,x 1⋅x 2=4m 2−3，又∵x 1+x 2=x 1x 2,∴−m =4m 2−3，即4m 2+m −3=0， 解得m =34或m =−1（舍去），∴m 的值为.小提示：本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.16、若关于x 的不等式x 2−(m +2)x +2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 答案：(5，6]分析：不等式化为(x −m)(x −2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m 的范围. x 2−(m +2)x +2m <0可化为(x −m)(x −2)<0， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x <m}，且5<m ⩽6； 所以答案是：(5，6]． 解答题343417、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m −1) x +2m +6=0. (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根. 答案：(1)m <−1 (2)−75<m <−54(3)m ≤−1分析：设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有f (2)<0，即4+4(m −1)+2m +6<0，得m <−1． （2）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有{f (0)=2m +6>0f (1)=4m +5<0f (4)=10m +14>0，解得−75<m <−54．（3）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6． 方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0f (0)>02(m−1)−2>0，即{m ≤−1或m ≥5m >−3m <1.∴−3<m ≤−1． ②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <−3． ③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m =02(m −1)<0，∴m =−3．综上所述，得m ≤−1．18、阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数y=x2和y=√x，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数y=x2的图象是向下凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=x2的图象总是在线段M1M2的下方，此时函数y=x2称为下凸函数；函数y=√x的图象是向上凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=√x的图象总是在线段M1M2的上方，则函数y=√x称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的下方.定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数y=x3在(−∞,0]为上凸函数，在[0,+∞)上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数；(3)已知函数f(x)=x|x−a|，若对任意x1,x2∈[2,3]，恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，尝试数形结合探究实数a的取值范围.答案：(1)y=1x，x∈(0,+∞)；(2)证明见解析；(3)a≥3.[0,1][0,1][0,1]分析：（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.（1）y =1x ，x ∈(0,+∞)； （2）对于二次函数f(x)=−x 2+bx +c ，∀x 1,x 2∈R ，满足f (x 1+x 22)−f (x 1)+f (x 2)2=−(x 1+x 22)2+b ⋅x 1+x 22+c −−x 12+bx 1+c −x 22+bx 2+c 2=−x 12+x 22+2x 1x 24+x 12+x 222=(x 1−x 2)24≥0， 即f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，满足上凸函数定义，二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数.（3）由（2）知二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数，同理易得二次函数f(x)=x 2+bx +c 为下凸函数，对于函数f(x)=x |x −a |={x 2−ax,x >a −x 2+ax,x ≤a，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意x 1,x 2∈[2,3]，恒有f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，则函数f(x)=x|x −a|满足上凸函数定义，即[2,3]⊆(−∞,a]，即a ≥3.。
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
而不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c ≤ 0的不等关系，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
本文将探讨一元二次方程与不等式的解法，并分析其应用场景。
一、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法主要有图像法、配方法、公式法和因式分解法等，在不同的情况下可以选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法主要通过绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像，通过观察函数与x轴的交点来确定方程的解。
当图像与x轴相交于两个点时，方程有两个实根；当图像与x轴相交于一个点时，方程有一个实根；当图像与x轴不相交时，方程无实根。
2. 配方法配方法是通过将一元二次方程的形式转化为一个完全平方的形式，并借助平方根的性质来求解。
具体步骤如下：- 首先，将方程的三项按照平方根的部分进行配方，即将bx项除以2并平方。
- 其次，将方程两边的式子按照平方差公式进行整理，并将两项的平方根合并。
- 最后，通过开平方根运算，得到方程的解。
3. 公式法公式法是通过一元二次方程的根与系数之间的关系，直接利用求根公式来求解方程。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个相反的根。
4. 因式分解法因式分解法主要适用于一元二次方程可以进行因式分解的情况，即方程的三项均可以被因式分解为两个一次项的乘积。
通过将方程进行因式分解，得到每个因式等于零的条件，并解得方程的根。
二、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和数线法等，根据不同的不等式形式选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法同样通过绘制不等式对应的函数曲线，观察函数曲线与坐标轴的关系来确定不等式的解。
一元二次方程应用题归类
一元二次方程应用题的四大板块十个类型一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位。
其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。
它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。
经典例题知识点1一元二次方程应用题的八种类型类型一增长率问题例题1随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）= B．（1+x）2=20C．20（1+x）2= D．20+20（1+x）+20（1+x）2=类型二传播问题（病毒传播、细胞分裂）例题2某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．（1）、（2）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌例题2某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台类型三计数问题例题1某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个例题2 某市体育局要组织一次蓝球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)计划安排28场比赛，问应邀请多少支球队参加比赛类型四数字问题例题1一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5，把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数。
|类型五一元二次方程与一元一次方程的综合应用问题例题某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为万份，平均每份获利元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数类型六一元二次方程与一元一次方程组的综合问题例题1 青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．类型七一元二次方程与一次函数的综合问题?例题1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示。
第二章《方程与不等式(组)》综合测试卷试题
第二章《方程与不等式（组）》综合测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．若x ＝3是方程x 2－3mx ＋6m ＝0的一个根，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．不等式3x ＋2≥5的解是( )A ．x ≥1B ．x ≥73C ．x ≤1D ．x ≤－13．某地即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000 m 的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20 m ，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x (m)，则根据题意可列方程为( )A.6000x －6000x ＋20＝15B.6000x ＋20－6000x ＝15 C.6000x －6000x －15＝20 D.6000x －15－6000x ＝20 4．小刚在解关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝－1.他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，则原方程的根的情况是( )A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是x ＝－1D ．有两个相等的实数根5．某出租车起步价所包含的路程为0～2 km ，超过2 km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7 km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13 km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2 km 后每千米收费y 元，则可列方程组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝16，x ＋13y ＝28B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋（7－2）y ＝16，x ＋13y ＝28 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝16，x ＋（13－2）y ＝28 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋（7－2）y ＝16，x ＋（13－2）y ＝28 6．我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3.现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，它的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－37．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为( )A ．6B ．5C ．4D ．38．已知关于x 的分式方程m －2x ＋1＝1的解是负数，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤3 B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠29．已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是( )A ．1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C ．1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D ．1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根10．已知关于x 的不等式ax －2>0的解是x <－2，若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ≥0，－2x ＋2<x －3恰有4个整数解，则实数b 的取值范围是( )A ．5<b <6B ．5<b ≤6C ．5≤b <6D ．5≤b ≤6二、填空题(每小题4分，共24分)11．一元二次方程x 2－8x ＋4＝0配方后可化为 ．12．若关于x 的方程(m －5)x 2＋4x －1＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．13．若关于x 的一元二次方程ax 2－x －14＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则点P (a ＋1，－a －3)在第__ __象限．14．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为(x )，即当n 为自然数时，若n －0.5≤x ＜n ＋0.5，则(x )＝n .如(1.34)＝1，(4.86)＝5.若(0.5x －1)＝6，则实数x 的取值范围是_15．爸爸沿街匀速行走，发现每隔7 min 从背后驶过一辆103路公交车，每隔5 min 从迎面驶来一辆103路公交车．假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶的速度是爸爸行走速度的___倍．16．对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此min{－2，－3}＝ ．若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝ ．三、解答题(共66分)17．(6分)解方程：(1)y －12－y －24＝3. (2)4x －3－1x＝0. (3)(x －3)2＋4x (x －3)＝0.18．(6分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －7<3（x －1），5－12（x ＋4）≥x ，并将解在数轴上表示出来． 19．(6分)已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实数根．(1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．20．(8分)某社区计划对面积为3600 m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，两队各自独立完成面积为600 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．(1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积．(2)若甲队每天的绿化费用是1.2万元，乙队每天的绿化费用是0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？21．(8分)某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，且进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率．(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．22．(10分)已知关于x 的方程2x 2－5x ·sin A ＋2＝0有两个相等的实数根，其中∠A 是锐角三角形ABC 的一个内角．(1)求sin A 的值．(2)若关于y 的方程y 2－10y ＋k 2－4k ＋29＝0的两个根恰好是△ABC 的两边长，求△ABC 的周长．23．(10分)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿线段BC ，CD 以2 cm /s 的速度向终点D 运动；同时，点Q 从点C 出发，沿线段CD ，DA 以1 cm /s 的速度向终点A 运动(P ，Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点立即停止运动)．(第23题)(1)哪一点先到终点？运动停止后，另一点离终点还有多远？(2)在运动过程中，△APQ 的面积能否等于22 cm 2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．24．(12分)对x ，y 定义一种新运算，规定：T (x ，y )＝ax ＋by 2x ＋y(其中a ，b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T (0，1)＝a ·0＋b ·12×0＋1＝b . (1)已知T (1，－1)＝－2，T (4，2)＝1.①求a ，b 的值．②若关于m 的不等式组⎩⎨⎧T （2m ，5－4m ）≤4，T （m ，3－2m ）≥P 恰好有3个整数解，求实数P 的取值范围．(2)若T (x ，y )＝T (y ，x )对任意实数x ，y 都成立[这里T (x ，y )和T (y ，x )均有意义]，则a ，b 应满足怎样的关系？。
全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳
全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳单选题1、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞)答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6x x 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6x x 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6xx 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6x x 2+3 ，故问题转化为m <6x x 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6x x 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x ，x ∈(0，2]， 对于x +3x≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号， 则g(x)max =2√3=√3， 故m <√3 ，故选：A2、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a +2b 的最小值为（ ）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知b a +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2，所以b =2−a ，所以，b a +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1 因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b=2−aa+2b=2a+2b−1≥3，当且仅当a=b=1时等号成立；故选：D3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A，如果c=0，那么ac=bc，故错误；对于B，如果c=0，那么ac2=bc2，故错误；对于C，如果c<0，那么ac <bc，故错误；对于D，如果c<d，那么−c>−d，由a>b，则a−c>b−d，故正确.故选：D.4、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B5、若不等式ax2+bx−2<0的解集为{x|−2<x<1}，则a+b=（）A．−2B．0C．1D．2答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax2+bx−2<0的解集为{x|−2<x<1}，则方程ax2+bx−2=0根为−2、1，则{−b a =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D6、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0 故选：B7、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围.不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.8、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x 2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．9、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.10、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入”的是（）A．80+20n≥300B．80+20n≤300C．80+20(n−1)≥300D．80+20(n−1)≤300分析：由不等关系求解即可.经过n年之后，方案B的投入为80+20(n−1)，故经过n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入，即80+ 20(n−1)≤300故选：D填空题11、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)12、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.13、已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝_____．分析：根据不等式的解集可得方程x 2+ax +b ＝0的两根为x ＝2或x ＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．∵不等式x 2+ax +b ≥0解集为{x |x ≤2或x ≥3}， 故方程x 2+ax +b ＝0的两根为x ＝2或x ＝3，由根与系数的关系可得{−a =5b =6 ，∴{a =−5b =6，∴a +b ＝1． 所以答案是：1．解答题14、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m −1) x +2m +6=0.(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根.答案：(1)m <−1(2)−75<m <−54(3)m ≤−1分析：设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.（1）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有f (2)<0，即4+4(m −1)+2m +6<0，得m <−1．（2）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有{f (0)=2m +6>0f (1)=4m +5<0f (4)=10m +14>0，解得−75<m <−54．（3）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0 f(0)>02(m−1)−2>0，即{m≤−1或m≥5m>−3m<1.∴−3<m≤−1．②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<−3．③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m=02(m−1)<0，∴m=−3．综上所述，得m≤−1．15、已知实数x>0，y>0.（1）若x+y+xy=3，求2xy的最大值与x+y的最小值；（2）若x>y，求xy 2x−y +xy+1y2的最小值.答案：（1）最小值为2；（2）最小值为4.分析：（1）由已知结合基本不等式x+y⩾2√xy，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t=x−y，t>0，然后把x=t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．解：（1）因为x+y≥2√xy，又因为x+y+xy=3，所以xy+2√xy≤3，解得−3≤√xy≤1，因为0<√xy，所以0<√xy≤1，所以0<xy≤1，所以2xy≤2，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2xy最大值为2；因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+(x+y)≥3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y≥2，所以x+y最小值为2；（2）xy 2x−y +xy+1y2=x2yx−y+1y2，令t=x−y，t>0，所以x=t+y，x2y x−y +1y2=(t+y)2yt+1y2=ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2=4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4;当且仅当ty=y 3t ，且4y2=1y2，即x=√2,y=√22时等号成立，所以xy 2x−y +xy+1y2最小值为4.。
高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习教学案第一册数学教学案
第2章一元二次函数、方程和不等式知识系统整合规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a 转变为－a 再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．学科思想培优一、常数代换法[典例1] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( )A ．5 B.143 C.92D ．2解析 因为x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋yx＋5≥24x 1＋y ·1＋y x ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y x ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13时，等号成立，因此1x ＋41＋y 的最小值为92.故选C.答案 C 二、消元法[典例2] 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析 解法一：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，故y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋x z ＋9z x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2x z ·9z x ＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y 2xz 的最小值为3.解法二：由x －2y ＋3z ＝0，得x ＝2y －3z ，x y＝2－3zy＞0.y 2xz ＝y 2(2y －3z )z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3z y ·3z y ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2－3z y ＋3z y 2＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y2xz 的最小值为3.答案 3 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例3] 设x >0，y >0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解 ∵x >0，y >0，x 2与y 22的和为定值，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号，即x 1＋y 2的最大值为324.[典例4] 已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值． 解 由条件得x ＋y ＋z ＝1xyz，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·1xyz ＋xz ＝1xz ＋xz ≥2，当且仅当1xz＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.[典例5] 设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .证明 为了约去a 2k a k ＋1中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1，a 2na 1＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． [典例6] 设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解2·3a ＋1≤2＋3a ＋12＝3a ＋32，2·3b ＋1≤3b ＋32，2·3c ＋1≤3c ＋32.以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)≤6，故3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围[典例7] 不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． 则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0， 解得－15<m <3.故实数m 的取值范围是－15<m <3.2．求最值[典例8] 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．解 构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”．设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式[典例9] 已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．证明 不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题[典例10] 对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．解 原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0(p ＝0)，4(x －1)＋x 2－4x ＋3＞0(p ＝4)，解得x ＞3或x ＜－1.故x 的取值范围是x <－1或x >3.。
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。