广东省实验中学12-13学年高二上学期期中数学理试题
【高二】广东省实验中学高二上学期期中数学理试卷 Word版含答案
【高二】广东省实验中学高二上学期期中数学理试卷 Word版含答案试卷说明：广东实验中学―学年（上）高二级期中考试理科数学本试卷分基础检测和综合检测两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分基础检测（100分）一、选择题（每题5分，共50分）1抛物线的准线方程为( )2椭圆的焦距等于（）A． B．C． D．3．“”是“直线平行于直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数在区间上的最小值是（）A B． C． D．05．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3 6．若双曲线的焦点为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D． 7．圆与直线相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A． B．C．D．8．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．9．下列说法不正确的是（）A．“”的否定是“”；B．命题“若x>0且y>0，则x +y>0”的否命题是假命题；C．使“满足x10)交于M1,M2两点,直线y=与y轴交于点F.且直线y=恰好平分∠M1FM2.(I)求P的值; (Ⅱ)设A是直线y=上一点,直线AM2交抛物线于另点M3,直线M1M3交直线y=于点B,求?的值.1. A 2． D 3． A 4． B 5．．．. 13. 14．三．解答题15.（1）解：AC的中点E(0,2)即为圆心半径所以圆E的方程为…….4分（2）直线BC的斜率为,BC的方程为即点E到直线BC的距离为…….8分所以BC截圆E所得的弦长为.…….10分16.解：是焦点在轴上的双曲线，7分 9分10分17．（1）。
2023-2024学年广东省实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ ． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 ．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 ．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2． （1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π）， 则l 的倾斜角为α=2π3， 故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5． 故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底， 又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β， 所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→）， 所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9； 高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4． 故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π） 所以−π3＜2x −π3＜5π3， 故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2， 故x 1+x 2=5π6， 所以sin （x 1+x 2）=12． 故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题， 令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2． 故m 的范围为（−54，1−√2）． 故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)， 所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π）， 所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)， 由于cos β＞cos α，所以α＞β， 故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22； 故α−β=π4． 故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π）， 则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|， 当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误， 对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确， 对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误． 故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误； 对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23， 从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确； 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′， 则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22， 所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确； 对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1， 因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ， 所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ， 所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1， 所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值， 又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确； 如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上， 因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点， 在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ， 因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3， 则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43， 所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1וh =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63， 综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ． 解：当a ＝3时两条直线平行， 当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2， 即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14， 解得a =32c ，（a ＝c 舍）． 故离心率e =c a =23． 故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1， 所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ． 解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立， 所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74． 当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1． 综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1． 故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率． 解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩， 则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ， 则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程； （2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程． 解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4）， 直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12， 所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； （2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3， 当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2， 所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； 当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ， 因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ， 所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面， 则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)， 设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0， 解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2． 因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2． 因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2， 解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12， 即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4， 因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交， 所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值． 解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ， 即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0）， 得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， 所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π， 则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ， 由（1）得BD 2=12−29AC 2， 所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立， 所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2， 所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ）， 则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2， 由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2， 当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。
实验中学2012-2013学年高二下学期期末(理)数学试题及答案7
广东省实验中学2012—2013学年（下）高二级第二学段模块考试理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
参考公式：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则1122()......i i n n E X x p x p x p x p =+++++.第一部分 选择题（共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若复数2()1aia i+∈-R 是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（*） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．随机变量ξ服从正态分布2(40,)N σ，若(30)0.2P ξ<=，则(3050)P ξ<<=（*） A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.83．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻， 不同的排法共有（*） A ．1440种 B ．960种 C ．720种D ．480种4．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的 顶点，则在原来的正方体中（*） A ．//AB CD B ．AB 与CD 相交C ．AB CD ⊥D ．AB 与CD 所成的角为60︒5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（*） A ．正三角形的顶点 B ．正三角形的中心 C ．正三角形各边的中点D ．无法确定6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（*） A ．12B ．35C ．23D ．347．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，两渐近线的夹角为60︒，则双曲线的离心率为（*）ABC ．2 D或2 8．设函数()()()()f x x a x b x c =---，(,,a b c 是互不相等的常数)，则()()()a b cf a f b f c ++'''等于（*） A ．0B ．1C ．3D ．a b c ++第二部分 非选择题（110分）二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 （一）必做题（9～13题）9．曲线ln 1y x =+在点(,2)e 的切线方程是 * .10．随机变量ξ的分布列如右图，其中a ，b ，12成等差数列，则()E ξ= * .11．732x ⎛+ ⎝的展开式中常数项的值是 * .（用数字作答）12．.12331021S S S =++==++++==++++++=那么5S = * .13．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF ，则△AFK 的面积为 * . （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题. 请先用2B 铅笔把答题卡上对应题号的标号涂黑，然后把答案填在横线上.）14．(坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，已知点3(1,)4A π和(2,)4B π,则A 、B 两点间的距离是 * . 15．(几何证明选讲选做题) 如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝ * .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 先后掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）当第一颗骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．17．（本小题满分14分）甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为21，乙投篮一次命中的概率为32．每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响． （1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得1-分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．18．（本小题满分14分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =⊙O 的直径2AB =，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面PAC ； （2）求二面角B PA C --的余弦值.19．（本小题满分12分）数列{}n a 满足*2()n n S n a n =-∈N ．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ，由此猜想通项公式n a ，并用数学归纳法证明此猜想； （2）若数列{}n b 满足12n n n b a -=，求证：1211153n b b b +++<．20．（本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与直线10x y +-=相交于AB 、两点．（1）若椭圆的半焦距c =x a =±与y b =±围成的矩形ABCD 的面积为8，求椭圆的方程；（2）若0OA OB ⋅=（O 为坐标原点），求证：22112a b+=；（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率ee ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围．21．（本小题满分14分） （1）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）当0x >时，恒成立，求整数k 的最大值； （3）试证明：23(112)(123)(134)[1(1)]n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>(*n ∈N ).答案及说明分．9．11yex=+10．1311．1412．55 13．321415．36三、解答题：本大题共6小题，满分80分.16．（本小题满分12分）解：（1）设x为掷第一颗骰子得的点数，y为掷第二颗骰子得的点数，则所有可能的事件与点(,)x y建立对应如图，共有6636⨯=种不同情况，它们是等可能的．…………2分设事件A为“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况，…………3分∴P(A)＝1136. …………5分（2）设事件B为“第一颗骰子的点数为3或6”，事件C为“两颗骰子的点数之和大于8”，由图可知则121()363P B==，5()36P BC=…………9分5()536(|)1()123P BCP C BP B∴===…………12分17．（本小题满分14分）解：（1）设“甲至多命中1个球””为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，……1分由题意得，41134111145()()()()222161616P A C=+=+=42180()1(1)138181P B=--=-=…………5分∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为58025()()()168181P AB P A P B==⨯=…………6分（2）乙所得分数η的可能取值为4,0,4,8,12-，…………7分则411(4)()381Pη=-==，134218(0)()()3381P Cη===，22242124(4)()()3381P Cη===，3342132(8)()()3381P Cη===，4216(12)()381Pη===…………11分η分布列如下：…………13分320811612813288124481808114=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=ηE …………14分 18．（本小题满分14分）解法1：（1）连结OC ，因为OA OC =，D 是AC 中点，所以AC OD ⊥又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC PO ⊥， …………2分 因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD …………4分 而AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC . …………6分 （2）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（1）知，平面,POD PAC ⊥平面平面POD 平面PAC =PD 所以OH ⊥平面PAC ，又PA ⊂面PAC ，所以.PA OH ⊥在平面PAO 中，过O 作OG PA ⊥于G ，连接HG ，OG OH O = ∴PA ⊥平面OGH ，从而PA HG ⊥，故OGH ∠为二面角B PA C --的平面角 …………9分在,sin 45Rt ODA OD OA ∆=⋅︒=中在,5Rt POD OH ∆===中在,Rt POA OG ∆===中 在,sin OH Rt OHG OGH OG ∆∠===中 所以cos 5OGH ∠== …………13分故二面角B PA C -- …………14分解法2：如图所示，以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在直线分别为x 轴、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),O A B C P -，11(,,0)22D - …………2分（1）设1111(,,)n x y z =是平面POD 的一个法向量，则由110,0n OD n OP ⋅=⋅=，得111110,2220.x y z ⎧-+=⎪⎪=⎩ 所以1110,z x y ==，取11y =得1(1,1,0)n = ………4分 设2222(,,)n x y z =是平面PAC 的一个法向量，则由210,0n PA n PC ⋅=⋅=，得22220,0.x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩所以22222,x z y =-，取21z =，得2(2,2,1)n =- …………6分 因为12(1,1,0)()0n n ⋅=⋅=，所以12n n ⊥从而平面POD ⊥平面PAC…………8分 （2）因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为3(0,1,0)n = 由（1）知，平面PAC 的一个法向量为2(2,)n =- 设向量2n 和3n的夹角为θ，则23232cos 5n n n n θ⋅===⋅ …………13分所以二面角B PA C -- …………14分 19．（本小题满分12分） 解：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32. …………1分当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158. …………2分由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． …………4分现用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时， a 1＝21－120＝1，结论成立．②假设n ＝k （k ≥1且k ∈N *）时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k，故当n ＝k ＋1时，结论成立，由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立． …………8分(2)由(1)知，1112122212n n n n n n n b a ----==⋅=-，1121n n b =-． …………9分 解法1：当3n ≥时，11112121(21)(21)n n n n n b ---∴==--- 111211(21)(21)2121n n n n n---<=----- ………10分 121111111111()()()331121217715n n n b b b -∴+++≤++-+---++- 51321n -=-53<． ………12分 解法2：当2n ≥时，211()()22n ≤，221111111322[1()]2[1()]22n n n n n b -∴=≤=⋅-- ………10分 012212111111111()32222n n b b b -∴+++≤+++++ 1111211(113312112)2n n ---⋅=+-=+-53<． ………12分 解法3： 当3n ≥时，222111121222(21)n n n n n b --=<=--- …………10分 122111211211211n nb b b ∴++++---++= 234111112121212121n =+++++----- 23422111112*********n n -≤+++++----- 22211111(1)2121222n -=+++++-- 12111121212112n --=+⋅---21111212112<+⋅---53=．………12分20．（本小题满分14分）解：（1）由已知得：22348a b ab ⎧=+⎨=⎩解得21a b =⎧⎨=⎩ …………3分所以椭圆方程为：2214x y += …………4分 （2）设112(,),(,)A x y B x y ，由22210b x a y a bx y ⎧+=⎨+-=⎩，得22222()2(1)0a b x a x a b +-+-= 由22222(1)0a b a b =+->，得221a b +>222121222222(1),a a b x x x x a b a b -∴+==++ …………7分由0OA OB ⋅=，得12120x x y y += …………8分∴12122()10x x x x -++=即222220a b a b +-=，故22112a b += …………9分 （3）由（2）得22221a b a =- 由222222c a b e a a -==，得2222b a a e =-， ∴221211a e =+- …………12分2e ≤≤得25342a ≤≤2a ≤≤所以椭圆长轴长的取值范围为…………14分分分分 分 分 分 分(1)n n +2分 (1(n n ⋅⋅+ln(1n +++11(n n ++-+321n +>+(1(n n ⋅⋅+分。
广东实验中学2012—2013学年(上)高二期中物理考试(精)
广东实验中学2012—2013学年（上）高二期中考试物理本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试用时60分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分。
共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1．如图所示的匀强电场，实线表示电场线，一个带正电的粒子（不计重力）在电场中运动的轨迹如图中虚线所示，a、b是轨迹上的两点，则（）A．场强方向向右，电势B．场强方向向右，电势C．场强方向向左，电势D．场强方向向左，电势2．对一平行板电容器充电后断开电源，当增加两板间距时，电容器极板间（）A．电场强度不变，电势差变大B．电场强度不变，电势差不变C．电场强度减小，电势差不变D．电场强度减小，电势差减小3．关于静电场场强的概念，下列说法正确的是（）A. 由E＝F/q可知，某电场的场强E与q成反比, 与F成正比B. 正、负检验电荷在电场中同一点受到的电场力方向相反，所以某一点场强方向与放入检验电荷的正负有关C. 电场中某一点的场强与放入该点的检验电荷正负无关D. 电场中某点不放检验电荷时，该点场强等于零4．图中所示是一个平行板电容器，其电容为C，带电量为Q，上极板带正电。
现将一个试探电荷q由两极板间的A点移动到B点，A、B两点间的距离为s，连线AB与极板间的夹角为30°，则电场力对试探电荷q所做的功等于（）qCsA．B ．CdqQs C ．Cd qQs 2 D ．QdqCs 2 5．下列粒子由初速度为零经过加速电压为U 的电场后，速度最大的粒子是（ ）A ．质子B ．氘核C ．α粒子D ．钠离子 Na+6．甲、乙两种材料制成的保险丝，直径分别是d1=0.5mm 和d2=1mm,熔断电流分别为2A 和4A.把以上两根保险丝各取一段，长度相等，并联后再接入电路中,则电路允许通过的最大电流是（ ）A ．5AB ．6AC ．7.5AD ．8A二、双项选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
广东省实验中学2013高二上(文科)数学期末试卷及答案
广东实验中学2012—2013学年（上）高二级期末考试文 科 数 学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是（ ） ,xx e x ∀∈>R A ．B ． x e R x x <∈∃0,0,xx e x ∀∈<R C ．D ．．,xx e x ∀∈≤R x e R x x ≤∈∃0,02．设实数x 和y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．26B ．24C ．16D ．14新$课$标$第$一$网3．抛物线的准线方程为（ ）22y x =A ． B ． C ．D ． 14y =-18y =-1y =12y =4．“为锐角”是“”的（ ） α0sin >α A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件5．设双曲线 的渐近线方程为 ，则a 的值为( ) )0(19222>=-a y ax 023=±y x A ．4B ．3C ．2D ．16． 在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列四条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ） A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．②和④8．若的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（ ）双曲线193622=-y x A ． B ． 02=-y x 042=-+y x C ． D ．014132=-+y x 082=-+y x9．设,是椭圆:=1(>>0)的左、右焦点,为直线上一点,1F 2F E 2222x y a b +a b P 32ax =△是底角为的等腰三角形,则的离心率为（ ）21F PF 030E A ． B ．C ．D ．1223344510．椭圆的左焦点为, 点在椭圆上, 若线段的中点在轴上, 则221259x y +=1F P 1PF M y （ ）1PF =A ． B ． C ． D ． 4159567二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．若圆心在x的圆O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆O的方程是 .12．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是。
广东省执信中学2012-2013学年高二上学期期中_数学试题
MN2012-2013学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}{}Z k k x x N x x M ∈+==≤<=,12,30， 则图中阴影部分表示的集合是A ． φB ．{}1C ． {}3,1D ．{}3,1,02. “0=x ”是“0=xy ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ． 既不充分也不必要条件3. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是 A 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定. B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定Ks5u4. 已知向量),,2(t a = 满足5=a，则实数t 值是A ．1-或1B . 1- C. 33或- D . 21-或215.命题:p x y =在R 上是增函数;命题:q 若x x f 2log )(=,则有: )()()(y f x f y x f +=⋅ A.真q p ∧ B. 假p ⌝ C. 真q ⌝ D. 真q p ∨ 6.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图 (或称主视图)是一个底边长为8、高为3的等腰三角形， 侧视图(或称左视图)是一个底边长为4、高为3的等腰 三角形．则该儿何体的侧面积为A. 13820+B.13410+C. 36D. 607. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S =A. 1631B. 87C. 3231D. 16158. 当42<<x ，则 22,log ,2x x x 的大小关系是 A ．xx x 2log 22>> B ． 22log 2x x x>> C. x x x 22log 2>> D ． x x x 22log 2>>9. 已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-， 点R 是直线l 上的一点，若RA AP =，则 点P 的轨迹方程为A ．2y x =-B ．2y x =C ．28y x =-D ．24y x =+10.若对任意实数x ,022sin 2cos 2<--+k x k x 恒成立,则实数k 的取值范围是 A. 2121+<<-k B. 21->k C. 121≤<-k D.1->k第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．11．已知椭圆1162522=+y x ，则椭圆的焦点坐标是 ＊ 12.数列{}n a 是等差数列，27=a ，则前13项和=13S _*____13.设y x , 满足约束条件,0,00132013⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-y x y x y x 若目标函数()0,0>>+=b a by ax z的最大值为1,则正数b a ,满足的关系是___*_____,ba 21+的最小值是__*___14.定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足：)()2(x f x f -=+，且在[]0,2-上 是增函数，下面是关于)(x f 的判断：（1）)(x f 是周期函数； （2）)(x f 在[]2,0上是增函数； （3）)(x f 在[]4,2上是减函数； （4）)(x f 的图象关于直线2=x 对称. 则正确的命题序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）ABC ∆的面积是,4角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,53cos ,2==A b (1) 求212cos 2cos2++A A 的值；(2) 分别求a c ,的值.16．（本题满分12分）甲、乙、丙、丁四名广交会志愿者分在同一组.广交会期间，该组每天提供上午或下午共两个时间段的服务，每个时间段需且仅需一名志愿者.（1）如果每位志愿者每天仅提供一个时间段的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率； （2）如果每位志愿者每天可以提供上午或下午的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率.17.（本题满分14分）如图所示,四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，60B =∠AD ，E 为PC 的中点，（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：AD PB ⊥； （3）(文科)求三棱锥PDB C -的体积. (3)(理科) 求直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值.18. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足()*2121N n a S n n ∈-=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a n c ⋅=,求数列{}n c 的前n 项和n T ,并证明43<n T .19． （本题满分14分）已知圆:C ()()42122=-++y x（1）若直线l :)2(-=x k y 与圆C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围； （2）（文科）若过)0,2(的直线m 被圆C 截得的弦长为14，求直线m 的方程； （2）（理科）若斜率为1的直线m 被圆C 截得的弦AB 满足OB OA ⊥（O 是坐标 原点），求直线m 的方程.20．（本题满分14分）已知函数12)(2-+-=a x ax x f ，R a ∈（1）若函数)(x f 满足)1()1(x f x f +=-，求实数a 的值； （2）若函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上总是单调函数，求实数a 的取值范围； PABCD E（3）若函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有零点，求实数a 的取值范围.2012-2013学年度第一学期高二级数学科期中试题答案一、选择题：CABA D AD C BB二、填空题：11. )0,3(),0,3(-; 12. 26 13. 12=+b a ；8 14.（1），（4） 三、解答题 15．（本题满分12分） 15.解：（1）211cos 22cos 1212cos 2cos 22+-++=++A A A A 2c o s c o s 22A A += ……3分 505153212592=⋅+⋅= ……………… 6分 （2）,2,4sin 21===b A bc S ABC ∆中，54cos 1sin 2=-=A A ……… 8分代入解得5=c …… 9分Ks5u 由余弦定理得： 1753522254cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ………11分 17=∴a ………12分16．（本题满分12分）16.解（Ⅰ）从四个人中选出2个人去上午或下午服务（仅一段）是一个基本事件，……………1分， 基本事件总数有：（画树状图（或列举法））（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共12种情况，每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………3分，其中甲乙在同一天服务有2种情况（乙、甲），（甲、乙），……………………4分， 所以甲.乙两人在同一天服务的概率611221==P ……………………6分. （未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）（Ⅱ）从四个人中选出2个人(可以重复选同一个人)去上午或下午服务（一段或两段）是一个基本事件,…………1分，画树状图（或列举法）（甲、甲），（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙，乙），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），（丁，丁）共16种情况每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………9分. “其中甲乙在同一天服务”有2种情况（甲、乙），（乙、甲），……………………10分. 所以甲.乙两人在同一天服务的概率811622==P ……………………12分. （未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分） 17(本题满分14分)证明（1）连接AC 交BD 于为O ，连接EO ，∵ E 为PC 的中点，O 为AC 的中点，在△PAC中，PA ∥EO BDE EO 平面⊂ ，BDE PA 平面⊄，PA ∥平面BDE, ……………5分Ks5u （2）则F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA = ,AD PF ⊥∴. ……………6分ABCD 是菱形，︒=∠60BAD ,ABD ∆是等边三角形..AD BF ⊥∴ ………7分 ,F BF PF = ………8分⊥∴AD 平面PBF ………9分.⊂PB 平面PBF ,AD ⊥∴PB .……………10分 （3）(文科） ABD ∆为正三角形,,,.PAD ABCD PAD ABCD AD PF AD PF ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥面面面面面PF 是三棱锥BDC P -的体高, PF S V V V BDC PDB C BDC P PDB C ⋅=∴=∆---31,∴=⨯⨯⨯=∆,360sin 2221BDC S 13331=⋅⋅=-PDB C V ……………14分（3）（理科）ABD ∆为正三角形, .ABCD PC PCF CF,所成的角与平面是直线则连接∠7cos120212-41CF .120CDF 1CF 2CD CDF =⋅⋅⋅+==∠==∆ 由余弦定理，，中，在72173tan .3PF PFC Rt ===∠=∆CF PF PCF 中，在……………………………14分18．（本题满分14分） （1）当1=n 时，31,21211111=-==a a S a ．…………3分 当2≥n 时，n n n n n n n a a a a S S a 2121)2121()2121(111-=---=-=---，………5分即131-=n n a a ,…………6分 又,0311≠=a 所以数列{}n a 是首项为,31公比为31的等比数列, …………8分n n n a 3131311=⋅=∴-)(*N n ∈．…………9分（2）由（1）可知nn n c 31⋅=， 所以n n n n n T 3131)1(313312311132⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ． ① ①⨯3得122103131)1(3133123113--⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ． ②………11分 ②-①得：122103131311311313112--+⋅++⨯+⨯+⋅-⨯=n n n n n T …………12分3131********-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-=-n n n n T 13212131-⋅-+-=n n n …………13分 ．43343243<⋅+-=n n n T …………14分 19.（本题满分14分）（1）直线l 与圆C 有公共点，所以圆心)2,1(-到直线l 的距离r d ≤（r=2），Ks5u ……2分 1223212222+≤+⇔≤+---=∴k k k k k d ………………5分两边平方，整理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴≤+0,512.01252k k k ………………7分（2）（文科）设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为y=k(x-2),即kx-y-2=0，………………8分由222d r l -=，221234214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=k k ………………9分两边平方，整理得：0724172=++k k ………………10分解得,1-=k 或,177-=k 均在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,512上，………………12分 直线方程为：)2(1-⋅-=x y 或),2(177-⋅-=x y 即：,02=-+y x 或014177=-+y x …………14分 ,,.PAD ABCD PAD ABCD AD PF AD PF ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥面面面面面(2)（理科）存在，253±+=x y 解法1：设直线l 的方程：m x y +=，设(),,11y x A ()22,y x B ………………8分则02121=+⇔⊥⇔⊥y y x x OB OA ，因为()2212121m x x m x x y y +++= ⇔=+∴02121y y x x ()221212m x x m x x +++①………………10分把m x y +=代入()()42122=-++y x 整理得()01422222=+-+--m m x m x()()016,014822222<+->+---=∆m m m m m 即223223+<<-⇔m （*）,121m x x -=+,214221+-=m m x x ………………12分将上式代入①得,0)1(1422=+-++-m m m m m 即,0132=+-m m 得253±=m 满足（*） ………………13分所以存在直线，方程是，253±+=x y ………………14分 解法2：设直线l 的方程：m x y +=，………………8分设AB 的中点为D ，则,AB CD ⊥又DA AB OD OB OA ==∴⊥21,，………………9分则CD 的方程是()112+-=-x y ，即1+-=x y ，………………10分联立m x y +=与1+-=x y 得)21,21(mm D +-………………11分 圆心)2,1(-到直线m x y +=的距离223223223+<<-⇔<+-=m m d2222342121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m m m ………………12分 整理得,0132=+-m m 得253±=m ，满足2=≤r d ………………13分 所以存在直线，方程是，253±+=x y ………………14分 20. （本题满分14分）(1) )1()1(x f x f +=-知函数12)(2-+-=a x ax x f 关于直线1=x 对称…Ks5u …………1分.1,11,0==≠∴a aa ……………………2分 （2）①,0=a 12)(--=x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………3分 ②⎪⎩⎪⎨⎧≤>2110a a 即2≥a 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递增……………………4分 ③⎪⎩⎪⎨⎧≥>210aa 即210≤<a 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………5分 ④,0<a )(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………6分综上所述，21≤a 或2≥a ，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上是单调函数…………………7分 （3）解法1：当0a =时，函数12)(--=x x f 的零点是∉-21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上没有零点 当0≠a 时，…………………8分 ①若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有两个相等的实根，则,0)1(44=--=∆a a 且2121≤≤a 即221≤≤a 当,0)1(44=--=∆a a 则∈+=251a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，∉-=251a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，251+=∴a ………9分②若)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21上有一个实根，则0)2()21(<f f ，即()()045585<--a a 得581<<a …………………10分 ③若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有两个的不同实根，则有 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-=≥-=≤≤>++-=∆>055)2(0485)21(21210)1(402a f a f a a a a 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤-=≤-=≤≤>++-=∆<055)2(0485)21(21210)1(402a f a f aa a a 解得21558+≤≤a 或空集…………12分 综上2151+≤<a ，检验,1,0)2(==a f x x x f 2)(2-=的零点是0，2，其中2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21，符合； 综上所述2151+≤≤a …………………14分解法2当0a ≠时，函数12)(2-+-=a x ax x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有零点⇔()x x a 2112+=+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有解⇔2121x x a ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有解，问题转化为求函数2121x x y ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的值域……8分 设[]5,221∈+=x t ，21-=t x ，则 25425421122-+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=t t t t t t t y ……9分 设tt t g 5)(+=，可以证明当())(,5,2t g t ∈递减，())(,5,5t g t ∈递增事实上，设,5021<<<t t 则()()()212121*********)(t t t t t t t t t t t g t g --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-， 由,5021<<<t t ，得120t t -<，5021<<t t ，即()()120g t g t ->． ……10分所以()g t 在()5,2上单调递减．同理得 ()g t 在()5,5上单调递增，……11分又5.4)2(6)5(=>=g g 故∴≤≤),5()()5(g t g g ∴≤≤,6)(52t g ,42)(2520≤-≤-<t g ……12分,25242)(41-≤-≤∴t g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈∴+≤-≤∴215,1,2152)(41y t g ． 13分故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+215,1．……14分。
广东省实验中学2012-2013学年高二上学期期中数学理试题
广东实验中学2012—2013学年（上）高二级模块考试理科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。
考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案，然后写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．下列说法错误的是（）A．棱柱的两个底面互相平行B．圆台与棱台统称为台体C．棱柱的侧棱垂直于底面D．圆锥的轴截面是一个等腰三角形2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④3．若m 、n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）．A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．若m ∥β，α∥β，则m ∥αD ．若α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥α 4．如图，一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是△OAB,OB=AB=2，则该直观图所表示的平面图形的面积为（ ）A ．22B ．42C ．2D．25．已知P 为△ABC 所在平面外一点，且PA 、PB 、PC 两两垂直,则下列命题：①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ;③PC ⊥AB ；④ AB ⊥BC 。
其中正确的( ） A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④6．在一个直径为16cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm ，则球的半径是（ ) A ．8cm B ．433cmC ．4312cmD ．43cm7．如图，已知二面角α—l —β为β，yxOABAB⊥l 于A,CD⊥l 于D ，且AB=AD=CD=1,则BC=( ） ABC ．1D ．28．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11BA 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是（ ） A ．点P到平面QEF的距离 Ks5uB ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． Ks5u 9．点A （x ,2，3）与点B （—1，y ，z )关于坐标平面yOz 对称，则x =_____，y =______,z =______。
广东省实验中学高二上学期期中考试(数学理)
广东省实验中学高二上学期期中考试（数学理）本试卷分第一部分（模块基础）和第二部分（综合）两部分，共4页，满分150分，考试用时1。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第一部分（共100分）一．选择题：（每小题5分，共50分）1.在程序框图中表示判断功能的是： （ ）A2. 某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．若记I ．随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．则上述两问题和两方法配对正确的是 （ ）A ．①配I ，②配Ⅱ B. ①配Ⅱ，②配Ⅰ C ．①配I ，②配I D ．①配Ⅱ，②配Ⅱ3. 如果右边程序执行后输出的结果是132，那么在程序 UNTIL 后面的“条件”应为（ ）A. i > 11B. i >=11C. i <=11D.i<11 4. 下列说法：①必然事件的概率为1. ②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买1000张这种彩票一定能中奖.③某事件的概率为1.1. ④互斥事件一定是对立事件.⑤在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型.其中正确的说法是 （ ） A ．①②③④ B ．① C ．③④ D ．①⑤5. 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 A.72 B.83 C.73D.2896.已知在函数()f x 在区间[,]a b 上连续且()()0f a f b <，用二分法求方程()0f x =精确到δ时的解所用的程序如下：“00()()02a bInput x if f a f x δ+=< a,b, ____ 00____()Pr int"",then b x else a x end if abs a b x a end if δ=-≤= = “中 的两个“_____”处应该填 （ ） A. When ; Do B. While ;Do C.Do ;Loop Until D.以上均不对7. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X 乙，则下列结论正确的是（ ）A ．X 甲<X 乙；乙比甲成绩稳定B ．X 甲>X 乙；甲比乙成绩稳定C ．X 甲>X 乙；乙比甲成绩稳定D ．X 甲<X 乙；甲比乙成绩稳定 8. 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2xπ的值介于0到21之间的概率为( ).A.31B.π2C.21D.329. 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有A.150种B. 180种C. 300种D. 345种10．若4(1,a a b +=+为有理数），则a b += （ ）A ．33B ． 29C ．23D ．19二.填空题:（每小题5分，共11. 某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x ，则当劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为_______________. 12. 将一个正方形各边三等分，然后如图连线，在图中的16个点中任取三个，这三点能构成三角形的 概率是 （结果用分数表示）． 13. 8251与9287的最大公约数为__________.14. 某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各安装一个灯泡，要求同 一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种 （用数字作答）.三.解答题:（共30分）0.01频率组距15. (本题满分10分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.16．(本题满分10分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161．（Ⅰ）求乙投球的命中率p ； （Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．17. (本题满分10分)已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明. （3）设q ≠1，S n 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：nn n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-第二部分（共50分）四、填空题（共10分）18．在给定的圆周上取定6个点，每两个点连成一个线段，其中任意两条不平行，任意三条不共点，则这些线段确定的圆上或圆内三角形个数为___________.19.阅读右图的程序框图，若输入4m =，6n =， 则输出a = ，i = （注：框图中的赋值 符号“=” 也可以写成“←”或“:=”）五．解答题（共40分）本题满分10分)设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值; （3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b . 21(本题满分10分)已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ⋅=定值； （3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值. 22．(本题满分10分)已知数列}{n a ，n n n a αβαβ-=-(n=1,2,…),其中,αβ为方程210x x --=的两个根。
广东省实验中学2013高二上(文科)数学期末试卷及答案
若线段 PF 的中点 M 在 y 轴上,
1
则
PF1 （ ）
41 A． 5
9 B． 5
C． 6
D． 7
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
11．若圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆O 位于 y 轴左侧，且与直线 x y 0 相切，则圆O
的方程是
.
12．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是
解得 x1＝ 2 ，x2＝ 2 ，
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
8．若双曲线 3x62 y92 1 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（
）
A． x 2 y 0
B． x 2 y 4 0
C． 2x 13y 14 0
D． x 2 y 8 0
9．设 F1
x 轴上截得的弦，试探究当 M 运动时，弦长 EG 是否为定
值？为什么？
20．(本小题满分 12 分) 已知数列{an }的前 n 项和 Sn p n q( p 0, p 1) ，求证数列 {an }是等比数列的充要条件是 q 1.
21．(本小题满分 14 分) 一动圆与圆O : ( x 1)2 y2 1外切，与圆O : ( x 1)2 y2 9
y
1 4
B．
y
1 8
C． y 1
D．
y
1 2
4．“ 为锐角”是“ sin 0 ”的 ）
（
B．必要非充分条件
AC．．非充充分分非非必必要要条条件件
D．充要条件
x2 5．设双曲线 a 2
2023-2024学年广东省东莞实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．经过A （﹣1，3），B （1，9）两点的直线的一个方向向量为（1，k ），则k ＝（ ） A ．−13B ．13C ．﹣3D ．32．若两条不同的直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．03．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），若a →，b →，c →三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知A （1，﹣2，1），B （1，﹣5，4），C （2，3，4），则AC →在AB →上的投影向量为（ ） A ．（0，﹣1，1）B ．（0，1，﹣1）C ．(0，√2，−√2)D ．(0，−√2，√2)5．圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为（ ） A ．2B ．4C ．2√2D ．2√36．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，且对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ．若AB 和CD 所在直线的方程分别是3x +4y ﹣6＝0与3x +4y +9＝0，则直线l 与CD 所在直线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为R30，远地距离为R20，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）A ．15B ．2125C ．1120D ．11258．在平面直角坐标系中，已知定点A （0，4），B （2，0），若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则实数m 的最大值是（ ）A．15B．25C．35D．45二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知M是椭圆C：x 28+y24=1上一点，F1，F2是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e=√22C．椭圆的短轴长为4D．△MF1F2的面积的最大值是410．已知直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，则直线方程可以为（）A．x+y＝0B．x+y﹣5＝0C．3x﹣2y＝0D．3x+2y＝011．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°12．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y+2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线P A、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是（）A．四边形MAPB面积的最小值为4B．四边形MAPB面积的最大值为8C．当∠APB最大时，|PA|=2√2D．当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系中，点A（﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点为点B，则|AB|＝．14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A，B两点，且AB＝7，A到直线l的距离AA1＝3，B到直线l的距离B1B ＝4，A1B1=2√3，则斜坡面β与水平面α所成角的大小为．15．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣1＝0，则y﹣2x的最大值为．16．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，则下列结论正确的是．（填写序号）①曲线C围成的图形的周长是4√2π；②曲线C上的任意两点间的距离不超过4；③曲线C围成的图形的面积是4（π+2）；④若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|4m﹣3n﹣17|的最小值是10﹣5√2．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l过点P（2，﹣1）．（1）若直线l与直线2x+y+3＝0垂直，求直线l的方程（2）若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC上的动点，且AE＝BF＝a．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当a＝1时，求点A到平面C1EF的距离．19．（12分）已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点，|F1F2|＝2，M(2，2√55)为C上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P为C上一点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．20．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x﹣4＝0与圆C2：x2+y2+6y﹣28＝0．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上的圆的方程．21．（12分）已知圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0（m∈R）．（1）求m的值，使圆C的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．22．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．经过A （﹣1，3），B （1，9）两点的直线的一个方向向量为（1，k ），则k ＝（ ） A ．−13B ．13C ．﹣3D ．3 解：由点A （﹣1，3），B （1，9），可得直线AB 的斜率为k AB =9−31+1=3， 因为经过A ，B 两点的直线的一个方向向量为（1，k ），所以k ＝3． 故选：D ．2．若两条不同的直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．0解：因为直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行， 所以（2a ﹣4）（a +2）+6＝0，解得a ＝±1， 当a ＝1时，l 1：x +y +1＝0，l 2：x +y +13=0，两直线平行， 当a ＝﹣1时，l 1：3x +y +1＝0，l 2：3x +y +1＝0，两直线重合， 所以a ＝1． 故选：B ．3．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），若a →，b →，c →三向量共面，则实数λ等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），a →，b →，c →三向量共面，∴可设c →=ma →+nb →，即（1，3，λ）＝（2m ﹣n ，﹣m +4n ，3m ﹣2n ）， ∴{2m −n =1−m +4n =33m −2n =λ，解得m ＝1，n ＝1，λ＝1．∴实数λ等于1． 故选：A ．4．已知A （1，﹣2，1），B （1，﹣5，4），C （2，3，4），则AC →在AB →上的投影向量为（ ） A ．（0，﹣1，1）B ．（0，1，﹣1）C ．(0，√2，−√2)D ．(0，−√2，√2)解：因为AC →=(1，5，3)，AB →=(0，−3，3)， 所以AC →⋅AB →=0+5×(−3)+3×3=−6，因为|AB →|=3√2，所以AC →⋅AB →|AB →|=3√2=−√2，故AC →在AB →上的投影向量为√23√2→=−13AB →=(0，1，−1)．故选：B ．5．圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为（ ） A ．2B ．4C ．2√2D ．2√3解：化圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0为（x ﹣1）2+（y +1）2＝4， 则圆心坐标为C （1，﹣1），半径为2， 点P （0，0）在圆C 内部，∵|PC |=√2，∴圆C 被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为2√22−(√2)2=2√2． 故选：C ．6．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，且对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ．若AB 和CD 所在直线的方程分别是3x +4y ﹣6＝0与3x +4y +9＝0，则直线l 与CD 所在直线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ，如图所示：计算AB 和CD 所在直线的距离为d =|−6−9|√3+4=3，因为△ABE ∽△CDE ，且CD ：AB ＝2：1，所以直线l 与CD 所在直线的距离为3×22+1=2． 故选：B ．7．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为R30，远地距离为R20，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）A ．15B ．2125C ．1120D ．1125解：根据题意：a −c =R +R 30，a +c =R +R 20，解得a =2524R ，c =1120R ，故离心率e =c a =1125． 故选：D ．8．在平面直角坐标系中，已知定点A （0，4），B （2，0），若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则实数m 的最大值是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45解：以A （0，4），B （2，0）两点为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5， 设圆心为N ，所以N （1，2），半径为√5，若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则圆M 与圆N 有公共点， 又圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m ，所以M （﹣1，﹣2），半径为√m （m ＞0），所以MN ＝2√5，故|√m −√5|≤2√5≤√m +√5，解得5≤m ≤45， 所以m 的最大值为45， 故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知M是椭圆C：x 28+y24=1上一点，F1，F2是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e=√22C．椭圆的短轴长为4D．△MF1F2的面积的最大值是4解：因椭圆方程为x28+y24=1，所以a=2√2，b=2，c=2，所以椭圆的焦距为2c＝4，离心率e=ca=√22，短轴长为2b＝4，故A错误，B，C正确；对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，△MF1F2以F1F2为底时的高最大，为2，此时△MF1F2的面积取最大为12×2c×b=12×2×2×2=4，故正确．故选：BCD．10．已知直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，则直线方程可以为（）A．x+y＝0B．x+y﹣5＝0C．3x﹣2y＝0D．3x+2y＝0解：直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，斜率必存在，故设所求直线的方程为kx﹣y＝0，∵A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，∴√1+k2=√1+k2，解得k＝﹣1或k=32，故所求直线方程为x+y＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°解：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，∵sin∠C1BO=OC1BC1=12，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．12．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y+2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线P A、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是（）A．四边形MAPB面积的最小值为4B．四边形MAPB面积的最大值为8C．当∠APB最大时，|PA|=2√2D．当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y＝0解：如图所示：由圆的几何性质可得MA⊥P A，MB⊥PB，由切线长定理可得|P A|＝|PB|，又因为|MA|＝|MB|，|MP|＝|MP|，所以，△P AM△PBM，所以，SÛ1bMAPB＝2S△P AM＝|P A|•|AM|＝2|P A|，因为|PA|=√|MP|2−|MA|2=√|MP|2−4，当MP⊥l时，|MP|取最小值，且|MP|min=|1+1+2|2=2√2，所以，四边形MAPB的面积的最小值为2×√(2√2)2−4=4，A对；因为|MP|无最大值，即|P A|无最大值，故四边形MAPB面积无最大值，B错；因为∠APM为锐角，∠APB＝2∠APM，且sin∠APM=|AM||MP|=2|MP|，故当|MP |最小时，∠APM 最大，此时∠APB 最大，此时|P A |＝2，C 错； 由上可知，当∠APB 最大时，|P A |＝|PB |＝|MA |＝|MB |＝2且∠P AM ＝90°， 故四边形MAPB 为正方形，且有MP ⊥l ，则MP 的方程为y ＝x ， 联立{y =x x +y +2=0，可得{x =−1y =−1，即点P （﹣1，﹣1），由正方形的几何性质可知，直线AB 过线段MP 的中点O （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝﹣x ，D 对． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系中，点A （﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点为点B ，则|AB |＝ 2√6 ． 解：空间直角坐标系中，点A （﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点B （1，﹣1，2）， 则B ，A 间的距离为|BC |＝2√1+1+4=2√6． 故答案为：2√6．14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l ，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A ，B 两点，且AB ＝7，A 到直线l 的距离AA 1＝3，B 到直线l 的距离B 1B ＝4，A 1B 1=2√3，则斜坡面β与水平面α所成角的大小为2π3．解：设AA 1→与B 1B →的夹角为θ，因为AB →=AA 1→+A 1B 1→+B 1B →，AA 1→⋅A 1B 1→=A 1B 1→⋅B 1B →=0，所以AB →2=(AA 1→+A 1B 1→+B 1B →)2=AA 1→2+A 1B 1→2+B 1B →2+2AA 1→⋅B 1B →+2AA 1→⋅A 1B 1→+2A 1B 1→⋅B 1B →， 即49＝9+12+16+2×3×4cos θ，所以cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3，所以斜坡面β与水平面α所成的角为2π3．故答案为：2π3．15．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0，则y ﹣2x 的最大值为 1 ． 解：方程x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0化为（x ﹣2）2+y 2＝5， 则方程表示以（2，0）为圆心，√5为半径的圆， 令t ＝y ﹣2x ，则2x ﹣y +t ＝0，由题意可得直线2x﹣y+t＝0与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0有交点，则圆心（2，0）到直线2x﹣y+t＝0的距离√4+1≤√5，解得﹣9≤t≤1，所以y﹣2x的最大值为1．故答案为：1．16．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，则下列结论正确的是①③④．（填写序号）①曲线C围成的图形的周长是4√2π；②曲线C上的任意两点间的距离不超过4；③曲线C围成的图形的面积是4（π+2）；④若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|4m﹣3n﹣17|的最小值是10﹣5√2．解：由x2+y2＝2|x|+2|y|，当x≥0，y≥0时，x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆心为（1，1），半径r=√2的半圆；当x＜0，y≥0时，x2+y2＝﹣2x+2y，即（x+1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆心为（﹣1，1），半径r=√2的半圆；当x≥0，y＜0时，x2+y2＝2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2，表示圆心为（1，﹣1），半径r=√2的半圆；当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣2x﹣2y，即（x+1）2+（y+1）2＝2，表示圆心为（﹣1，﹣1），半径r=√2的半圆．曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|的图象如下图所示：由图象可知，曲线C由4个半圆组成，故其周长为2×2π×r=4√2π，围成的图形的面积为4×12π×(√2)2+(2√2)2=4π+8=4(π+2)，故①正确、③正确；曲线C上的任意两点间的最大距离为4r=4√2，故②错误；P（m，n）到直线4x﹣3y﹣17＝0的距离d2=√4+3=|4m−3n−17|5，圆心（1，﹣1）到直线4x﹣3y﹣17＝0的距离为d1=|4+3−17|√4+3=2，若使d 2最小，则有(d 2)min =d 1−r =2−√2，所以|4m −3n −17|min =10−5√2，故④正确．故答案为：①③④．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l 过点P （2，﹣1）．（1）若直线l 与直线2x +y +3＝0垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．解：（1）因为直线l 与直线2x +y +3＝0垂直，所以可设直线l 的方程为x ﹣2y +m ＝0，因为直线l 过点P （2，﹣1），所以2﹣2×（﹣1）+m ＝0，解得m ＝﹣4，所以直线l 的方程为x ﹣2y ﹣4＝0（2）当直线l 过原点时，直线l 的方程是y =−x 2，即x +2y ＝0． 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x ﹣y ＝a ，把点P （2，﹣1）代入方程得a ＝3，所以直线l 的方程是x ﹣y ﹣3＝0．综上，所求直线l 的方程为x +2y ＝0或x ﹣y ﹣3＝018．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝a ．（1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）当a ＝1时，求点A 到平面C 1EF 的距离．（1）证明：如图，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，AE ＝BF ＝a ，（0≤a ≤2），则A 1（2，0，2），F （2﹣a ，2，0），C 1（0，2，2），E （2，a ，0），∴A 1F →=（﹣a ，2，﹣2），C 1E →=（2，a ﹣2，﹣2），∴A 1F →⋅C 1E →=−2a +2a ﹣4+4＝0，∴A1F⊥C1E；（2）解：∵a＝1，∴E为AB的中点，∴A与B到平面C1EF的距离相等，V C1−EBF =13×12×1×1×2=13，EF=√2，C1F=√5，C1E=√12+22+22=3，∴cos∠C1FE=2+5−92×√2×√5=−√1010，则sin∠C1FE=√1−(−√1010)2=3√1010，∴S△C1FE =12×√2×√5×3√1010=32，设点B到平面C1EF的距离为h，∴13×32ℎ=13，解得h=23，即点A到平面C1EF的距离为23．19．（12分）已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点，|F1F2|＝2，M(2，2√55)为C上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P为C上一点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．解：（1）不妨设椭圆C的焦距为2c，因为|F1F2|＝2，所以c＝1，此时F1（﹣1，0），F2（1，0），因为M(2，2√55)为C上一点，所以|MF1|=√9+45=7√55，|MF2|=√1+45=3√55，因为|MF1|+|MF2|＝2a，解得a=√5，此时b=√5−1=2，则椭圆C的标准方程为x25+y24=1；（2）因为∠F2PF1＝30°，所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−√3|PF1||PF2|，由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=2√5，对等式两边同时平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|=20，即22+√3|PF1||PF2|+2|PF1|⋅|PF2|=20，解得|PF1|⋅|PF2|=16(2−√3)，故△F1PF2的面积S=12|PF1|⋅|PF2|sin30°=4(2−√3)20．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x﹣4＝0与圆C2：x2+y2+6y﹣28＝0．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上的圆的方程．解：（1）将两圆的方程相减可得公共弦方程：x2+y2+6x﹣4﹣（x2+y2+6y﹣28）＝0即x﹣y+4＝0；（2）设圆的方程：x2+y2+6x﹣4+λ（x2+y2+6y﹣28）＝0，其圆心坐标为（−31+λ，−3λ1+λ）代入直线x﹣y﹣4＝0，解得λ＝﹣7所以所求方程为x2+y2﹣x+7y﹣32＝0．21．（12分）已知圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0（m∈R）．（1）求m的值，使圆C的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．解：（1）∵圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0，∴该圆的半径r=12√4m2+16−4(6m−9)=√(m−3)2+4，要使圆C的周长最小，其半径最小，故当m＝3时，圆的半径最小，即其周长最小．（2）当m＝3时，该圆圆心为（3，2），r=√4=2，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，该直线与圆相切，当直线l的斜率存在时，设直线方程为y+2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2＝0，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离为半径r，即√k2+1=2，解得k=34，即直线方程为3x﹣4y﹣11＝0，综上所述，所求的直线方程为x＝1或3x﹣4y﹣11＝0．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．解：（1）证明：过P 在平面P AD 内作直线l ∥AD ，由AD ∥BC ，可得l ∥BC ，即l 为平面P AD 和平面PBC 的交线，∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又BC ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，设平面PCD 中有任一直线l ′，则BC ⊥直线l ′，∵l ∥BC ，∴l ⊥直线l ′，∴由线面垂直的定义得l ⊥平面PCD ；（2）如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz则D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，1，0），设Q （m ，0，1），DQ →=（m ，0，1），PB →=（1，1，﹣1），DC →=（0，1，0），设平面QCD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅DC →=0n →⋅DQ →=0，∴{b =0am +c =0，取a ＝﹣1，可得n →=（﹣1，0，m ）， ∴cos ＜n →，PB →＞=n →⋅PB→|n →|⋅|PB →|=√3⋅√1+m 2，∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√3⋅√1+m 2=√33•√1+2m+m 21+m 2 =√33•√1+2m 1+m 2≤√33•√1+22=√63，当且仅当m ＝1取等号， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63．。
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广东实验中学2012—2013学年（上）高二级模块考试理科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法错误的是（ ）A ．棱柱的两个底面互相平行B ．圆台与棱台统称为台体C ．棱柱的侧棱垂直于底面D ．圆锥的轴截面是一个等腰三角形2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④3．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )．A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．若m ∥β，α∥β，则m ∥αD ．若α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥α4．如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是△OAB ，OB=AB=2，则该直观图所表示的平面图形的面积为（ ）A． B． CD ．25．已知P 为△ABC 所在平面外一点，且P A 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：①P A ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④ AB ⊥BC . 其中正确的( ) A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①②③④6．在一个直径为16cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm ，则球的半径是( )A ．8cmB ．4C ．4 D ．cm7．如图，已知二面角α-l -β为120°，AB ⊂α，CD β⊂，AB ⊥l 于A ，CD ⊥l 于D ，且AB=AD=CD=1,则BC=(A ．B ．C ．1D ．28．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．9．点A(x ,2，3)与点B(-1，y ，z )关于坐标平面yOz 对称，则x =_____,y =______,z =______.10．点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面，且对于空间任一点O ，都有122O P A B O B O C λ=-+，则λ=_____________.11．已知：直线1l ：2x+3y-1=0，2l ：Ax-6y+C=0，当A,C 满足条件：__________时,1l //2l . 12．已知(1,1,2),(1,1,3)a b ==--，且()k a b + //(a b - ),则k=______.13．已知直线l 的斜率k ]33,1(-∈，则直线l 的倾斜角的范围是______________.三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．（本小题满分11分）C 1A A已知直线m 过点（-1,2），且垂直于l ： x+2y+2=0 （1）求直线m ；（2）求直线m 和直线l 的交点。
15．（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=1,BC=2， ∠C=60°，将该梯形绕着AB 所在的直线为轴旋转一周，求该旋转体的表面积和体积。
16．（本小题满分12分）如图，棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为A 1D 1、A 1B 1、BC 的中点， （1）求证：GC 1//面AEF（2）求：直线GC 1到面AEF 的距离。
第二部分 能力检测(共50分)四、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -中,P A ⊥底面A B C D ,四边形A B C D中, A B A D ⊥,//B C A D ,2P A A B B C ===,4AD =,E 为P C 中点.（1）求证：CD ⊥面PAC ； （2）求:异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；18．（本小题满分14分）已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 在对角线上，记二面角P-AB-C 为α，二面角P-BC-A 为β。
(1) 当A 1P ：PC 1=1：3时，求cos （α+β）的大小。
（2）点P 是线段A 1C 1(包括端点)上的一个动点，问：当点P在什么位置时，α+β有最小值？ 19．（本小题满分14分）如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长1APA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1) 求证：P-ABC 为正四面体；(2) 棱PA 上是否存在一点M ，使得BM 与面ABC 所成的角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由。
(3) 设棱台DEF-ABC 的体积为V=162, 是否存在体积为V 且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC 有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 20．已知，如图所示的正方体的棱长为4，E 、F 分别为A 1D 1、AA 1的中点，过C 1、E 、F的截面的周长为___________________.21．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球。
无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm 3.广东实验中学2012—2013学年（上）高二级模块考试理科数学参考答案1A 1第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDBBABDB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 题号 9 10 11 12 13答案x=1，y=2,z=31A=-4，C ≠2-1⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,436,0 三、解答题：本大题共3小题，共35分． 14. 解：（1）（6分）设所求直线方程为：2x-y+m =0 2分∵直线过点（-1,2） ∴-2-2+m =0 ∴m =44分∴所求直线方程为2x-y+4=06分（2）（5分）⎩⎨⎧=++=+-022042y x y x8分解得⎩⎨⎧=-=02y x 10分∴直线m 和直线l 的交点为（-2,0）11分 15．解：根据题意可得，AB=3，CD=22分 该旋转体为圆台，则r=1，R=2，h=3，l 母=2母表l Rr R r S ⨯+++=22222ππππ=π+4π+6π=11π7分h SS S S V ⨯++=3``=ππππ3373324=⨯++ 12分16．（1）（6分）证明：作B 1C 1中点H ，连结EH ，BH ∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，且E 、G 、H 分别为棱A 1D 1、BC 、B 1C 1的中点∴EH //AB ，BG //HC 11分 ∴四边形ABHE 和四边形BGC 1H 是平行四边形 ∴GC 1//BH,BH//AE3分 ∴GC 1//AE4分又∵GC 1⊄面AEF ，AE ⊂面AEF1A 1∴GC 1//面AEF6分（2）（6分）解：∵GC 1//面AEF ∴GC 1到面AEF 的距离等于点C 1到面AEF 的距离。
1分 ∵EF C A AEFCV V 11--=2分可求得，AE=AF=25，EF=22，C 1E=C 1F=25 ∴EFC AEF S S 1∆∆=4分 ∴点C 1到面AEF 的距离等于点A 到面C 1EF 的距离 5分 ∵AA 1⊥面A 1C 1∴直线GC 1到面AEF 的距离等于a.6分第二部分 能力检测(共50分)四、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）（6分）∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ∴PA ⊥CD2分∵AB AD ⊥,//B C A D ，且 AB=BC=2 ∴∠ABC=90°，AC=22，∠CAD=45°∵AD=4 ∴CD=22 ∵CD 2+AC 2=AD 2 ∴AC ⊥CD4分∵AC ∩PA=A∴CD ⊥面PAC6分（2）（6分）解：方法一：以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则A （0,0,0），B （2,0，0），C （2,2,0），P （0,0,2）2分∵E 是PC 中点 ∴E （1,1,1）)0,2,2(),1,1,1(=-=AC BE4分∵0=⋅AC BE∴BE ⊥AC∴BE 与AC 所成的角为90°6分方法二：作AC 中点O ，连结EO ∵E 、O 分别是PC 、AC 中点∴EO//PA∵PA ⊥面ABCD ∴EO ⊥面ABCD∴EO ⊥AC可证得ABCG 是正方形 ∴AC ⊥BO∵BO ∩EO=O∴AC ⊥面BEO∴AC ⊥BE∴BE 与AC 所成的角为90°方法三：作PD 中点F ，AD 中点G∵AD //2BC ，AG=GD∴四边形ABCG 是正方形，且BG//CD ∴BO CD 21//∵EF 是△PCD 的中位线 ∴EF CD 21//∴EF //BO ∴BE //FO∴BE 与AC 所成的角等于OF 与AC 所成的角PB=22，BC=2，PC=3222=+ACPA ∴PB ⊥BC∵E 是PC 中点 ∴BE=321=PCPD=5222=+ADPA ∴AF=521=PD∵AO=2，OF=BE=3，AF=5 ∴∠AOF=90° 即BE 与AC 所成的角为90°18. 解：（1）（6分）作PO ⊥面ABCD 于O ，作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1∴点O 在线段AC 上，且AO ：OC=1:3 ∴α=∠PEO ，β=∠PFO EO=41，FO=43，PO=1，PE=417，PF=452分 cos α=171=PEEO ，sin α=174=PEPO ，cos β=53=PFOF ， sin β=54=PFPOcos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β=17513175161753-=-=-178513 4分1D A 1（2）（8分）设A 1P=kA 1C 1，k ∈[0,1]5分 由第（1）题可知α=∠PEO ，β=∠PFO EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=21k +,PF=2)1(1k -+cos α=21kk PEEO +=，sin α=211kPEPO +=，cos β=2)1(11k kPFOF -+-=，sin β=2)1(11k PFPO -+=7分当k=0或1时，即点P 与A 1或C 1重合时，其中一个角为2π，另一个角为4π， 此时α+β=π43，tan （α+β）= -18分∴当k ≠0，且k ≠1时，tan α=k1，tan β=k-11∴tan （α+β）=4321111)1(11111tan tan 1tan tan 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=---+=-+k k kk k k k βαβα 11分∵k ∈（0,1） ∴)1,43[43212∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-k∴tan （α+β）∈)1,34[--∵]2,0(],2,0(πβπα∈∈ ∴],0(πβα∈+∴tan （α+β）=34-时，α+β有最小值，此时k=21时，即点P 为A 1C 1的中点。