2015届高考数学(理)二轮复习过关测试：第15讲利用导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式

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2015年高考数学真题分类汇编：专题(03)导数(理科)及答案

专题三导数1.【2015高考福建、理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- 、其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> 、则下列结论中一定错误的是（） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件、构造函数()()g x f x kx =-、则''()()0g x f x k =->、故函数()g x 在R 上单调递增、且101k >-、故1()(0)1g g k >-、所以1()111k f k k ->---、11()11f k k >--、所以结论中一定错误的是C 、选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-、则''()()10h x f x =->、所以函数()h x 在R 上单调递增、且10k >、所以1()(0)h h k>、即11()1f k k ->-、11()1f k k >-、选项A,B 无法判断、故选C ．【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论、构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法、解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题、设法建立起目标函数、并确定变量的限制条件、通过研究函数的单调性、最值等问题、常可使问题变得明了、属于难题．2.【2015高考陕西、理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数）、四位同学分别给出下列结论、其中有且仅有一个结论是错误的、则错误的结论是（） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上【答案】A【解析】若选项A 错误时、选项B 、C 、D 正确、()2f x ax b '=+、因为1是()f x 的极值点、3是()f x 的极值、所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩、即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩、解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩、因为点()2,8在曲线()y f x =上、所以428a b c ++=、即()42238a a a +⨯-++=、解得：5a =、所以10b =-、8c =、所以()25108f x x x =-+、因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠、所以1-不是()f x 的零点、所以选项A 错误、选项B 、C 、D 正确、故选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值、属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”、否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心、除了作理论方面的推导论证外、利用特殊值进行检验、也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2、理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数、(1)0f -=、当0x >时、'()()0xf x f x -<、则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论、构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法、解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题、设法建立起目标函数、并确定变量的限制条件、通过研究函数的单调性、最值等问题、常可使问题变得明了、属于难题．4.【2015高考新课标1、理12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1、若存在唯一的整数0x 、使得0()f x 0、则a 的取值范围是（）(A)[-32e 、1） (B)[-32e 、34） (C)[32e 、34） (D)[32e、1）【答案】D【解析】设()g x =(21)xe x -、y ax a =-、由题知存在唯一的整数0x 、使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+、所以当12x <-时、()g x '＜0、当12x >-时、()g x '＞0、所以当12x =-时、max [()]g x =12-2e -、当0x =时、(0)g =-1、(1)30g e =>、直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a 、故(0)1a g ->=-、且1(1)3g e a a --=-≥--、解得32e≤a ＜1、故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路、思路1：参变分离、转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数）、则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合、利用导数先研究函数的图像与性质、再画出该函数的草图、结合图像确定参数范围、若原函数图像不易做、常化为一个函数存在一点在另一个函数上方、用图像解；思路3：分类讨论、本题用的就是思路2.5.【2015高考陕西、理16】如图、一横截面为等腰梯形的水渠、因泥沙沉积、导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）、则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系、如图所示：O xy原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=、设抛物线的方程为22x py =（0p >）、因为该抛物线过点()5,2、所以2225p ⨯=、解得254p =、所以2252x y =、即2225y x =、所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰、故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=、所以答案应填：1.2．【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义、属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”、否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义、即由直线x a =、x b =、0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()baf x dx ⎰．6.【2015高考天津、理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范、既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.【2015高考湖南、理11】20(1)x dx ⎰-= .【答案】0. 【解析】试题分析：0)21()1(2220=-=-⎰x x dx x . 【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算、意在考查学生的运算求解能力、属于容易题、定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.7.【2015高考新课标2、理21】（本题满分12分）设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减、在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-、都有12()()1f x f x e -≤-、求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-．【解析】(Ⅰ)'()(1)2mxf x m ex =-+．若0m ≥、则当(,0)x ∈-∞时、10mx e -≤、'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时、10mx e -≥、'()0f x >．若0m <、则当(,0)x ∈-∞时、10mx e ->、'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时、10mx e -<、'()0f x >．所以、()f x 在(,0)-∞单调递减、在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知、对任意的m 、()f x 在[1,0]-单调递减、在[0,1]单调递增、故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-、12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m me m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①、设函数()1t g t e t e =--+、则'()1t g t e =-．当0t <时、'()0g t <；当0t >时、'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减、在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =、1(1)20g e e --=+-<、故当[1,1]t ∈-时、()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时、()0g m ≤、()0g m -≤、即①式成立．当1m >时、由()g t 的单调性、()0g m >、即1m e m e ->-；当1m <-时、()0g m ->、即1m e m e -+>-．综上、m 的取值范围是[1,1]-．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数'()(1)2mxf x m ex =-+、根据m 的范围讨论导函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符号即可；（Ⅱ）12()()1f x f x e -≤-恒成立、等价于12max ()()1f x f x e -≤-．由12,x x 是两个独立的变量、故可求研究()f x 的值域、由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =、最大值可能是(1)f -或(1)f 、故只需(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩、从而得关于m 的不等式、因不易解出、故利用导数研究其单调性和符号、从而得解． 8.【2015高考江苏、19】（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数）、当函数)(x f 有三个不同的零点时、a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ 、求c 的值.【答案】（1）当0a =时、 ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时、 ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭、()0,+∞上单调递增、在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时、 ()f x 在(),0-∞、2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增、在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c =当0a <时、()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时、()0f x '>、20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时、()0f x '<、所以函数()f x 在(),0-∞、2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增、在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2）由（1）知、函数()f x 的两个极值为()0f b =、324327a f a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭、则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、从而304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩．又b c a =-、所以当0a >时、34027a a c -+>或当0a <时、34027a a c -+<．设()3427g a a a c =-+、因为函数()f x 有三个零点时、a 的取值范围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、则在(),3-∞-上()0g a <、且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立、从而()310g c -=-≤、且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭、因此1c =．此时、()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦、因函数有三个零点、则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根、所以()()22141230a a a a ∆=---=+->、且()()21110a a ---+-≠、解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上1c =．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y ＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)、令f′(x)＝0、解此方程、求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来、然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号、根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像、数形结合求解．已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系. 9.【2015高考福建、理20】已知函数f()ln(1)x x =+、(),(k ),g x kx R =? (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时、存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值、使得存在0t >、对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ．【解析】解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有1()11+1+x F x x x¢=-=- 当(0,),x ?? ()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减；故当0x >时、()(0)0,F x F <=即当0x >时、x x f()<． (2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x-+-¢=-=当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >=(3)当1k >时、由（1）知、对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >、 |f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+、令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+、则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x+-¢=--++故当0x Î（时、M ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增、故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时、由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-, 令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+、则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x-+=--++故当0x Î（时、N ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增、故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x1x 、则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有、故满足题意的t 不存在.当=1k 、由（1）知、(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+、令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+、则有21-2H ()12=,11x x x x x x-¢=--++ 当0x >时、H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥，）上单调递减、故H()(0)0x H <=, 故当0x >时、恒有2|f()()|x g x x -<,此时、任意实数t 满足题意. 综上、=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k >时、由（1）知、对于(0,),x "违+()f()g x x x >>，、故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-、令2(k 1),01x x x k -><<-解得、从而得到当1k >时、(0,1)x k ?对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时、取11k+1=12k k k <<，从而由（2）知存在00x >,使得0(0),x x Î任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2kx g x x g x k x x --=->-=, 令21k 1k ,022x x x --><<解得、此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2中较小的为1x 、则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有、【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化、探究这类问题的根本、从本质入手,进而求解、利用导数研究函数的单调性、再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点、解题技巧是构造辅助函数、把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值、从而证得不等式、注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价、min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例、但是也可以利用它来证明、在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中、就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象、这是利用研究基本初等函数方法所不具备的、而是其延续． 10.【2015江苏高考、17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路、为进一步改善山区的交通现状、计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路、记两条相互垂直的公路为12l l ，、山区边界曲线为C 、计划修建的公路为l 、如图所示、M 、N 为C 的两个端点、测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米、点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米、以12l l ，所在的直线分别为x 、y 轴、建立平面直角坐标系xOy 、假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a 、b 为常数）模型. （1）求a 、b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点、P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t②当t 为何值时、公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①()f t =定义域为[5,20]、②min ()t f t ==千米【解析】（1）由题意知、点M 、N 的坐标分别为()5,40、()20,2.5．M2P将其分别代入2a y x b =+、得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩、解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知、21000y x =（520x ≤≤）、则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭、设在点P 处的切线l 交x 、y 轴分别于A 、B 点、32000y x'=-、则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--、由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭、230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭．故()f t ==、[]5,20t ∈． ②设()624410g t t t ⨯=+、则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=、解得t =当(t ∈时、()0g t '<、()g t 是减函数；当()20t ∈时、()0g t '>、()g t 是增函数．从而、当t =()g t 有极小值、也是最小值、所以()min 300g t =、此时()min f t =答：当t =l的长度最短、最短长度为千米．【考点定位】利用导数求函数最值、导数几何意义【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系、初步选择数学模型、然后将自然语言转化为数学语言、将文字语言转化为符号语言、利用数学知识、建立相应的数学模型；本题已直接给出模型、只需确定其待定参数即可.求解数学模型、得出数学结论、这一步骤在应用题中要求不高、难度中等偏下、本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率、然后再利用导数求极值与最值. 11.【2015高考山东、理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-、其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数、并说明理由；（Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立、求a 的取值范围.【答案】（I ）：当0a < 时、函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点；当809a ≤≤时、函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；当89a >时、函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点；（II ）a 的取值范围是[]0,1.（2）当0a > 时、 ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时、0∆≤ 、()0g x ≥ 所以、()0f x '≥、函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时、0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212x x +=- 所以、1211,44x x <->- 由()110g -=>可得：111,4x -<<-所以、当()11,x x ∈-时、()()0,0g x f x '>> 、函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时、()()0,0g x f x '<< 、函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时、()()0,0g x f x '>> 、函数()f x 单调递增；因此函数()f x 有两个极值点．（3）当0a < 时、0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时、()()0,0g x f x '>> 、函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时、()()0,0g x f x '<< 、函数()f x 单调递减；因此函数()f x 有一个极值点．综上：当0a < 时、函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点；当809a ≤≤时、函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；当89a >时、函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点；（II ）由（I ）知、（1）当809a ≤≤时、函数()f x 在()0,+∞上单调递增、因为()00f =所以、()0,x ∈+∞时、()0f x > 、符合题意；（2）当819a <≤ 时、由()00g ≥ 、得20x ≤ 所以、函数()f x 在()0,+∞上单调递增、又()00f =、所以、()0,x ∈+∞时、()0f x > 、符合题意；（3）当1a > 时、由()00g < 、可得20x > 所以()20,x x ∈ 时、函数()f x 单调递减；又()00f =所以、当()20,x x ∈时、()0f x < 不符合题意；（4）当0a <时、设()()ln 1h x x x =-+ 因为()0,x ∈+∞时、()11011x h x x x '=-=>++当11x a>-时、()210ax a x +-< 此时、()0,f x < 不合题意. 综上所述、a 的取值范围是[]0,1【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用、着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法、意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力、其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解. 12.【2015高考安徽、理21】设函数2()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值、有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+、求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中、取000a b ==、求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.【答案】（Ⅰ）极小值为24a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-；（Ⅲ）1.【解析】（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+、22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-、22x ππ-<<.因为22x ππ-<<、所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时、函数(sin )f x 单调递增、无极值. ②当2,a b R ≥∈时、函数(sin )f x 单调递减、无极值.③当22a -<<、在(,)22ππ-内存在唯一的0x 、使得02sin x a =. 02x x π-<≤时、函数(sin )f x 单调递减；02x x π<<时、函数(sin )f x 单调递增.因此、22a -<<、b R ∈时、函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-. （Ⅱ）22x ππ-≤≤时、00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-、当00()()0a a b b --≥时、取2x π=、等号成立、当00()()0a a b b --<时、取2x π=-、等号成立、由此可知、函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值为00||||D a a b b =-+-.（Ⅲ）D 1≤、即||||1a b +≤、此时201,11a b ≤≤-≤≤、从而214a z b =-≤.取0,1a b ==、则||||1a b +≤、并且214a z b =-=.由此可知、24a zb =-满足条件D 1≤的最大值为1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法、在含有参数的试题中、分类与整合思想是必要的、由于是函数问题、所以函数思想、数形结合思想也是必要的、把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等、转化与化归思想也起着同样的作用、解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用. 13.【2015高考天津、理20（本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈、其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P 、曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x 、都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，、求证： 21|-|21ax x n<+- 【答案】(I) 当n 为奇数时、()f x 在(,1)-∞-、(1,)+∞上单调递减、在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时、()f x 在(,1)-∞-上单调递增、()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.(2)当n 为偶数时、当()0f x '>、即1x <时、函数()f x 单调递增；当()0f x '<、即1x >时、函数()f x 单调递减.所以、()f x 在(,1)-∞-上单调递增、()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x 、则110n x n-=、20()f x n n '=-、曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-、即()00()()g x f x x x '=-、令()()()F x f x g x =-、即()00()()()F x f x f x x x '=--、则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减、故()F x '在()0,+∞上单调递减、又因为0()0F x '=、所以当0(0,)x x ∈时、0()0F x '>、当0(,)x x ∈+∞时、0()0F x '<、所以()F x 在0(0,)x 内单调递增、在0(,)x +∞内单调递减、所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=、即对任意的正实数x 、都有()()f x g x ≤.(III)证明：不妨设12x x ≤、由(II)知()()20()g x n n x x =--、设方程()g x a =的根为2x '、可得202.ax x n n'=+-、当2n ≥时、()g x 在(),-∞+∞上单调递减、又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的、设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =、可得()h x nx =、当(0,)x ∈+∞、()()0n f x h x x -=-<、即对任意(0,)x ∈+∞、()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '、可得1ax n'=、因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增、且111()()()h x a f x h x '==<、因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥、所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=、故1102n nx -≥=、所以2121ax x n-<+-. 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性、体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法、体现数学中的构造法在解题中的重要作用、是拨高题.14.【2015高考重庆、理20】设函数()()23xx axf x a R e+=∈ （1）若()f x 在0x =处取得极值、确定a 的值、并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数、求a 的取值范围。

高三数学二轮复习专题15导数的综合应用教案苏教版

专题15 利用导数研究函数的性质【高考趋势】利用导数研究函数性质，主要是利用导数求函数的单调区间，求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。

试题主要先判断或证明函数单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及函数的单调性对不等式进行证明。

【考点展示】1、函数y=x 3-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别为 2、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x) 在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有个极小值点。

3、已知f(x)=ax 4+2x+1，若f (-1)=6，则a=4、函数f(x)=xlnx(x 0)的单调递增区间是5、当x ∈[-1，2]时，若x 3-m x x <-2212恒成立，则实数m的取值范围是【样题剖析】例1、设函数f(x)=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x=1及x=2时取得极值。

（1）求a,b 的值；（2）若对于任意的x ∈[0，3]，都有f(x)c 2成立，求c 的取值范围。

例2、已知函数f(x)=1)2(3123+-+-x b bx ax 在x=x 1处取得极大值，在x=x 2处取得极小值，且0x 11x 22。

（1）证明a 0；（2）若z=a+2b ，求z 的取值范围。

例3、已知a ∈R ，讨论关于x 的方程|x 2-6x+8|=a 的实数解的个数。

例4、已知函数f(x)=x x --2742,x ∈[0,1]。

（1）求f(x)的单调区间和值域。

（2）设a ≥1，函数g(x)=x 3-3a 2x-2a,x ∈[0,1]，若对于任意的x 1∈[0，1]，总存在x 0∈[0，1]，使得g(x 0)=f(x 1)成立，求a 的取值范围。

【总结提炼】要掌握求函数f(x)的极值的基本步骤：先求导数，求出f(x)=0的根，再检查f(x)=0的根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值。

2015年全国高考数学试题分类汇编考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015年新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)＝0,当x＞0时,xf′(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,＋∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,＋∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)＜0,构造函数g(x)＝,对函数g(x)＝求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)＞0成立的x的取值范围.【试题解析】选A.记函数()()f xg xx=，则''2()()()xf x f xg xx-=，因为当0x>时，'()()0xf x f x-<，故当0x>时，'()0g x<所以g(x)在(0,＋∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)＝g(1)＝0.当0＜x＜1时,g(x)＞0,则f(x)＞0;当x＜-1时,g(x)＜0,则f(x)＞0,综上所述,使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a＞0,b＜0,c＞0,d＞0B.a＞0,b＜0,c＜0,d＞0C.a＜0,b＜0,c＜0,d＞0D.a ＞0,b ＞0,c ＞0,d ＜0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。

【试题解析】选A 。

由函数f(x)的图像可知a ＞0,令x ＝0得d ＞0，又/2()32f x ax bx c =++可知12x x ，是方程/()0f x =的两个根，由图可知120,0x x >>，所以121220030.03b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪=>⎪⎩，故选A.3. (2015年陕西高考理科·T12)对二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 ( ) A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y ＝f(x)上【解题指南】根据选项假设A 错误,利用导数推导函数的极值点及极值,与其余的选项相符,假设正确,从而确定答案.【试题解析】选A.若选项A 错误,则选项B,C,D 正确.f ′(x)＝2ax ＋b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以{{{,解得,即,230230)1(3)1(a b a c b a c b a f f -=+==+=++='=,因为点(2,8)在曲线y ＝f(x)上,所以4a ＋2b ＋c ＝8,即4a ＋2×(-2a)＋a ＋3＝8,解得:a ＝5,所以b ＝-10,c ＝8,所以f(x)＝5x 2-10x ＋8,因为f(-1)＝5×1-10×(-1)＋8＝23≠0,所以-1不是f(x)的零点,所以选项A 错误,选项B 、C 、D 正确.4.(2015年福建高考理科·T10) 若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（） A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【解题指南】利用导数与单调性的关系及构造函数法求解.【试题解析】选C.因为f ′(x)＞k ＞1,构造函数g(x)＝f(x)-kx,所以g(x)在R 上单调递增,又＞0,所以g＞g(0)即f-＞-1,得到f＞,所以C 选项一定错误.A,B,D 都有可能正确.5.(2015年福建高考文科·T12)“对任意x∈,ksinxcosx ＜x ”是“k ＜1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】构造函数,利用导数求出k 的范围.【试题解析】选B.令g(x)＝ksinxcosx-x＝sin2x-x,因为x∈,2x∈,当k ≤0时,sin2x ＞0,g(x)＜0恒成立,当0＜k ≤1时,g ′(x)＝kcos2x-1,因为＜1,所以此时g ′(x)＜0,g(x)在上单调递减,又g(0)＝0,所以g(x)＜g(0)＝0成立,当k ＞1时,g ′(x)＝0有一个根x 0且在区间(0,x 0)单调递增,此时g(x)＜0不恒成立,故k 的范围是k ≤1,k ≤1不能推出k ＜1,充分性不成立,但是k ＜1能推出k ≤1,必要性成立. 6.(2015年新课标全国卷Ⅰ理科·T12)设函数f(x)＝e x (2x-1)-ax ＋a,其中a ＜1,若存在唯一的整数x 0,使得f(x 0)＜0,则a 的取值范围是 ( )A.)1,23[e -B. )43,23[e -C. )43,23[eD. )1,23[e【解题指南】构造函数g(x)＝e x (2x-1),y ＝ax-a,使得f(x 0)＜0,即g(x 0)在直线y ＝ax-a 的下方.【试题解析】选D.设g(x)＝e x (2x-1),y ＝ax-a,由题意知存在唯一的整数x 0,使得g(x 0)在直线y ＝ax-a 的下方.因为g ′(x)＝e x (2x ＋1),所以当x ＜-时,g ′(x)＜0,当x ＞-时,g ′(x)＞0,所以,当x ＝-12时,[g(x)]min ＝-2.当x ＝0时,g(0)＝-1,g(1)＝e,直线y ＝ax-a 恒过点(1,0),且斜率为a,故-a ＞g(0)＝-1,且g(-1)＝-3e -1≥-a-a,解得≤a ＜1.二、填空题7.(2015年新课标全国卷Ⅰ文科·T14)已知函数f ＝ax 3＋x ＋1的图象在点处的切线过点,则a ＝ .【解题指南】先对函数f＝ax 3＋x ＋1求导,求出在点处的切线方程.【试题解析】因为f ′(x)＝3ax 2＋1,所以图象在点处的切线的斜率k ＝3a ＋1,所以切线方程为y-7＝(3a ＋1)(x-2),即y ＝(3a ＋1)x-6a ＋5,又切点为,所以f(1)＝3a ＋1-6a ＋5＝-3a ＋6,又f(1)＝a ＋2,所以-3a ＋6＝a ＋2,解得a ＝1. 答案:18.(2015年新课标全国卷Ⅱ文科·T16)已知曲线y ＝x ＋lnx 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝ . 【解题指南】先对函数y ＝x ＋ln x 求导,然后将(1,1)代入到导函数中,求出切线的斜率,从而确定切线方程,再将切线方程与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立,利用Δ＝0求出a 的值.【试题解析】y ′＝1＋,则曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为k ＝y ′＝1＋1＝2,故切线方程为y ＝2x-1.因为y ＝2x-1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,联立⎩⎨⎧+++=-=1)2(122x a ax y x y 得ax 2＋ax ＋2＝0,显然a ≠0,所以由Δ＝a 2-8a ＝0⇒a ＝8. 答案:89.（2015·安徽高考理科·T15）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）(1)3,3a b =-=-；(2)3,2a b =-=；(3)3,2a b =->；(4)0,2a b ==;(5)1,2a b ==【解题指南】利用导数的单调性及极值判断各选项。

高考数学总复习第二章第十五节用导数解决生活中的优化问题课时精练理

第十五节用导数解决生活中的优化问题1.把长100 c m 的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为( )A ．20 cm,80 cmB ．40 cm,60 cmC ．50 cm,50 cmD ．30 cm,70 cm解析：设一段长为x ，则另一段长为100－x ，∴S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42＝116[x 2＋(100－x )2]＝116(2x 2－200x ＋10 000)．令S ′＝0，得116(4x －200)＝0，∴x ＝50.答案：C2．已知一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱的侧面积最大值为( )A ．2πr 2B ．3πr 2C ．4πr 2D.12πr2解析：设圆柱高h, 圆柱底半径x ，则(2x )2＋h 2＝(2r )2；S 侧＝2πxh ＝2πx 4r 2－4x 2，令y ＝S 侧2＝16π2(－x 4＋r 2x 2)，y ′ ＝0得唯一极值点x ＝22r ，所以h ＝2r .所以S 侧最大值2πr 2，故选A. 答案：A3．进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。

已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获得利润最大时售价应为( )A ．90元B ．95元C ．100元D ．105元解析：设售价为90＋x 元时利润为y ，此时售量为400－20x .y ＝f (x )＝(90＋x )(400－20x )－(400－20x )×80＝20(20－x )(10＋x )，求导得：y ′＝20(－2x ＋10)，令y ′＝0，得x ＝5，所以当x ＝5时，y max ＝4 500(元)，即售价为95元时获利最大，其最大值为4 500元，故选B.答案：B4．用长为90 c m 、宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，当容器的容积最大时，该容器的高为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：设容器的高为x cm ，容器的容积为V (x ) cm 3，则V (x )＝(90－2x )(48－2x )x ＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)，∵V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320，由V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝0⇒ x 2－46x ＋360＝0，解得x 1＝10，x 2＝36(舍去)．∵当0<x <10时，V ′(x )>0；当10<x <24时，V ′(x )<0，∴当x ＝10时，V (x )在区间()0，24内有唯一极值，且取极大值． ∴容器高x ＝10 cm 时，容器容积V (x )最大．故选C. 答案：C5．有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度为____________．解析：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米，则s ＝5－25－9t 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤53，当下端移开1.4 m 时，t 0＝1×1.43＝715，又s ′＝－12 (25－9t 2)－12·(－9·2t )＝9t 25－9t 2，所以s ′(t 0)＝9×715×125－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫7152＝0.875(m/s)．答案：0.875 m/s6．在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽)解析：右图为圆木的横截面，∵b 2＋h 2＝d 2，∴bh 2＝b (d 2－b 2)．设f (b )＝b (d 2－b 2)，∴f ′(b )＝－3b 2＋d 2.令f ′(b )＝0，由于b ＞0，∴b ＝33d ，且在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33d 上f ′(b )＞0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫33d ，d 上，f ′(b )＜0. ∴函数f (b )在b ＝33d 处取得极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h ＝63d . 答案：63d7．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式．(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，可使得该公司的月利润最大？解析：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台，则y ＝a (1－x 2)[6 000(1＋x )－4 500]，即y ＝1 500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)，0<x <1.(2)由(1)知y ′＝1 500a (－12x 2－2x ＋4)，令y ′＝0，得6x 2＋x －2＝0，解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6 000×32＝9 000(元)．故笔记本电脑的销售价为9 000元/台时，该公司的月利润最大．8.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点．已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)设AN ＝x (单位：米)，要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围； (2)若x ∈[3,4) (单位：米)，则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．解析：由于DN AN ＝DC AM ，则AM ＝3xx －2，故S AMPN ＝A N ·AM ＝3x2x －2.(1)由S AMPN ＞32得3x2x －2＞32，因为x ＞2，所以3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0，从而2＜x ＜83或x ＞8，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞)．(2)令y ＝3x 2x －2，则y ′＝6x （x －2）－3x 2（x －2）2＝3x （x －4）（x －2）2，因为当x ∈[3,4)时，y ′＜0，所以函数y ＝3x2x －2在[3,4)上为单调递减函数，从而当x ＝3时，y ＝3x2x －2取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大为27平方米，此时AN＝3米，AM ＝9米．9．某商场预计2013年从1月起前x 个月顾客对某种商品的需求总量P (x )(单位：件)与月份x 的近似关系是：P (x )＝12x (x ＋1)(41－2x )(x ≤12且x ∈N *)．(1)写出第x 月的需求量f (x )的表达式． (2)若第x 月的销售量g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－21x ，1≤x <7，x 2e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－10x ＋96，7≤x ≤12，(x ∈N *)．(单位：件)，每件利润q (x )元与月份x 的近似关系为：q (x )＝1 000ex －6x，该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(参考数据：e 6≈403)解析：(1)当x ＝1时，f (1)＝P (1)＝39；当x ≥2时，f (x )＝P (x )－P (x －1)＝12x (x ＋1)(41－2x )－12(x －1)x (43－2x )＝3x (14－x )．∴f (x )＝－3x 2＋42x (x ≤12，x ∈N *)．(2)h (x )＝q (x )·g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3 000e x －67－x ，1≤x <7，1 000e 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－10x 2＋96x ，7≤x ≤12，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3 000e x －6（6－x ），1≤x ＜7，1 000e6（x －8）（x －12），7≤x ≤12.(x ∈N *)．∵当1≤x ≤6时，h ′(x )≥0，∴h (x )在x ∈[1,6]上单调递增．∴当1≤x <7且x ∈N *时，h (x )max ＝h (6)＝3 000.∵当7≤x ≤8时，h ′(x )≥0，当8≤x ≤12时，h ′(x )≤0，∴当7≤x ≤12且x ∈N *时，h (x )max ＝h (8)＝1 000×8963e 6≈1 000×8963×403<3 000. 综上所述，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3 000元．。

【志鸿优化设计】2015高考数学+二轮总复习【专项能力训练课件】专题15+直线、圆

第六部分
能力突破点一能力突破点二
专题15
直线、圆 11 -11-
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
③已知直线过点(x0,y0),当斜率 k 存在时,常设其方程为 y-y0=k(x-x0),当斜率 k 不存在时,则其方程为 x=x0; ④与直线 l:Ax+By+C=0 平行的直线可表示为 Ax+By+C1=0(C1≠C); ⑤与直线 l:Ax+By+C=0 垂直的直线可表示为 Bx-Ay+C1=0; ⑥过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和直线 l2:A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含 l2).
解析:(方法一) 依题意有 a· (2a-1)+(-1)· a=0,解得 a=0 或 a=1. (方法二) 线垂直. ②当 a≠0 时,直线 l1 的斜率为 a,直线 l2 的斜率为因为直线 l1 与直线 l2 垂直, 所以 a·2�� -1 �� 2�� -1 ��
第六部分
能力突破点一能力突破点二
专题15
直线、圆 12 -12-
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
思考 2:两直线位置关系的判断方法有哪些? 提示:(1)判定两直线平行的方法: ①判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若 k1=k2,且 b1≠b2, 则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合. ②直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1≠0. (2)判定两直线垂直的方法: ①判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若 k1· k2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,则两直线也垂直. ②直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.

高考数学第一轮总复习第15讲利用导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式

课时作业(十五) [第15讲利用导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式](时间：45分钟分值：100分)1．函数y ＝x e x 的最小值是( )A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在 2．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的进入时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时3．[2013·河南十所名校联考] e ，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式中不成立的是( ) A.e>3π B ．log πe ＋log e π>1C ．log πe ＋(log e π)2>2D ．e e －e>e π－π4．[2013·吉林实验中学模拟] 已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0；⑤abc <4；⑥abc >4.其中正确结论的序号是( )A ．①③⑤B ．①④⑥C ．②③⑤D ．②④⑥5．定义在R 上的可导函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝e x ＋12xf ′(0)，则f (72)与f (163)的大小关系是( ) A ．f (72)>f (163) B ．f (72)＝f (163) C ．f (72)<f (163) D ．不确定6．[2013·郑州二检] 已知函数f (x )＝12x －cos x ，则方程f (x )＝π4的所有根的和为( ) A ．0 B ．π4 C ．π2 D ．3π27．[2013·青岛一模] 已知函数f (x )＝2x －1，对于满足0<x 1<x 2<2的任意x 1，x 2，给出下列结论：①(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0；②x 2f (x 1)<x 1f (x 2)；③f (x 2)－f (x 1)>x 1－x 2；④f （x 1）＋f （x 2）2>f (x 1＋x 22). 其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④8．[2013·日照二模] 已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)9．[2013·厦门质检] 若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2，1)D ．(－2，1)10．[2013·长春四调] 已知函数f (x )＝x 3＋2x ·f ′(－1)，则f (x )在区间[－2，3]上的值域是________．11．[2013·宁波五校联考] 已知函数f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系内的图像如图K151所示．设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为____________________(用“<”连接)．图K15112．[2013·江苏镇江一模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，函数y ＝e x 的图像与y 轴的交点为B ，P 为函数y ＝e x 图像上的任意一点，则OP →·AB →的最小值为________．13．[2013·德州模拟] 已知函数f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a .若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．14．(10分)[2013·陕西西工大附中模拟] 已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值及函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝(x 2－2x )e x ，若对任意x 1∈(0，2]，均存在x 2∈(0，2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a的取值范围．15．(13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．16．(12分)[2013·琼海模拟] 已知函数φ(x )＝a x ＋1，a 为正常数． (1)若f (x )＝ln x ＋φ(x )，且a ＝92，求函数f (x )的单调递增区间； (2)若g (x )＝|ln x |＋φ(x )，且对任意x 1，x 2∈(0，2]，x 1≠x 2，都有g （x 2）－g （x 1）x 2－x 1<－1，求a 的取值范围．课时作业(十五)1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．[－42，9]11．h (0)<h (1)<h (－1) 12．113．⎣⎡⎭⎫－1e ，＋∞ 14．(1)a ＝23 函数f (x )的单调递增区间为(0，32)，(2，＋∞)，单调递减区间为(32，2) (2)a >ln 2－115．(1)a ＝2 (2)4元/千克16．(1)函数f (x )的单调递增区间为(0，12)，(2，＋∞)(2)a ≥272。

2015届高考数学(二轮复习)专题检测：导数的综合应用

17　导数的综合应用 1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b0；②f(0)f(1)0； ④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是________．答案　②③ 解析　f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b0， f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc<0，且f(0)＝－abc＝f(3)<0，所以f(0)f(1)0. 2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为________．答案　③ 解析　根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除①④；从适合f′(x)＝0的点可以排除②. 3．已知a≤＋ln x对任意x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．答案　0 解析　设f(x)＝＋ln x，则f′(x)＝＋＝.当x∈[，1)时，f′(x)0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0. 4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为________．答案　(0，＋∞) 解析　构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex ＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex ＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0. 5．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．答案　(－4,0) 解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2. 当x2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)40时，y′>0，当0<x<40时，y′<0，所以当x＝40时，y最小． 9．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．答案　2∶1 解析　设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0<x0，又由h>0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)1，所以m≤－＝－对任意t>1成立．因为t－1＋＋1≥2＋1＝3，所以－≥－，当且仅当t＝2，即x＝ln 2时等号成立．因此实数m的取值范围是. (3)解　令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，则g′(x)＝ex－＋3a(x2－1)．当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0，又a>0，故g′(x)>0. 所以g(x)是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a. 由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0. 故e＋e－1－2a. 令函数h(x)＝x－(e－1)ln x－1，则h′(x)＝1－. 令h′(x)＝0，得x＝e－1. 当x∈(0，e－1)时，h′(x)0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调增函数，所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)?(0，e－1)时， h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；当x∈(e－1，e)?(e－1，＋∞)时，h(x)<h(e)＝0. 所以h(x)<0对任意的x∈(1，e)成立． ①当a∈?(1，e)时， h(a)(e－1)ln a，从而ea－1h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1. 综上所述，当a∈时，ea－1ae－1. 12．(2013·陕西)已知函数f(x)＝ex，x∈R. (1)求f(x)的反函数的图象在点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点； (3)设a<b，比较f与的大小，并说明理由． (1)解　f(x)的反函数为g(x)＝ln x，设所求切线的斜率为k， ∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1. 于是在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1. (2)证明　方法一　曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2－x－1零点的个数． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x＝0. 又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，当x<0时，h′(x)0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴φ′(x)在x＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)， ∴φ(x)在R上是单调递增的， ∴φ(x)在R上有唯一的零点，故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．方法二　∵ex>0，x2＋x＋1>0， ∴曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于曲线y＝与y＝1公共点的个数，设φ(x)＝，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x)＝＝≤0(仅当x＝0时等号成立)， ∴φ(x)在R上单调递减， ∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点． (3)解　－f＝－e ＝＝[e－e－(b－a)]．设函数u(x)＝ex－－2x(x≥0)，则u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0， ∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)， ∴u(x)单调递增．当x>0时，u(x)>u(0)＝0. 令x＝，则e－e－(b－a)>0， ∴>f.。

高考数学二轮复习函数的极值、最值

由f(x)＝ax2－2x＋ln x(x>0)，
得 f′(x)＝2ax－2＋1x＝2ax2－x2x＋1(x>0)，若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，
Δ＝4－8a>0，所以x1＋x2＝1a>0，
x1x2＝21a>0，
(2)(2022·安康模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的
取值范围为
A.－12，0
B.－∞，－12
C.0，12
√D.12，＋∞
由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f′(x)＝ex－2ax－2a.
因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝ex－2ax－2a＝0有两个不同的解，即21a＝x＋ex1有两个不同的解，转化为 g(x)＝x＋ex1与 y＝21a的图象有两个交点，设 g(x)＝x＋ex 1，则 g′(x)＝－exx，令 g′(x)＝0，即－exx＝0，解得 x＝0，
专题一函数与导数
第5讲函数的极值、最值
考情分析
利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.
内容索引
考点一利用导数研究函数的极值考点二利用导数研究函数的最值考点三极值、最值的简单应用
专题强化练
考点一
利用导数研究函数的极值
令f′(x)＝0，解得 x＝－1(舍去)，x＝π2或 x＝32π. 因为 f π2＝cos π2＋π2＋1sin π2＋1＝2＋π2， f 32π＝cos 32π＋32π＋1sin 32π＋1＝－32π，又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，所以 f(x)max＝f π2＝2＋π2，f(x)min＝f 32π＝－32π.

高考数学二轮复习利用导数解函数的最值学案(全国通用)

微专题18 函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数x 3x 2x 1baxOy()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-二、典型例题：例1：求函数()xf x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值小炼有话说：函数()x f x xe -=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解15---导数中的函数构造问题

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第15讲导数中的函数构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点一导数型构造函数考向1 利用f (x )与x 构造例1(2022·苏州质检)已知函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a＝20.6·f (20.6)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >aC ．a >c >bD ．c >a >b答案 B解析因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数，令g (x )＝x ·f (x )，则g (x )是奇函数，g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，所以g (x )在x ∈(－∞，0]上单调递减，又g (x )在R 上是连续函数，且是奇函数，所以g (x )在R 上单调递减，则a ＝g (20.6)，b ＝g (ln 2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫log 218，因为20.6>1,0<ln 2<1，log 218＝－3<0，所以log 218<0<ln 2<1<20.6，所以c >b >a .规律方法 (1)出现nf (x )＋xf ′(x )的形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝ f (x )x n . 跟踪演练1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ′(x )－f (x )x－3>0，且f (1)＝0，则不等式f (e x )－3x e x >0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 C解析设g (x )＝f (x )x－3ln x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2－3x＝xf ′(x )－f (x )－3x x 2. 因为f ′(x )－f (x )x－3>0，x >0，所以xf ′(x )－f (x )－3x >0，所以g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增．不等式f (e x )－3x e x>0可转化为f (e x )e x －3ln e x >0，又g (e x)＝f (e x )e x －3ln e x ，且g (1)＝f (1)1－3ln 1＝0，即g (e x )>g (1)，所以e x >1，解得x >0.考向2 利用f (x )与e x 构造例2(2022·枣庄质检)已知f (x )为定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，且f (x )<f ′(x )恒成立，其中e 是自然对数的底数，则( )A ．f (2 022)<e f (2 023)B ．e f (2 022)<f (2 023)C ．e f (2 022)＝f (2 023)D ．e f (2 022)>f (2 023)答案 B解析设函数g (x )＝f (x )e x ，可得g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x，由f (x )<f ′(x )，可得f ′(x )－f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，则f (2 022)e 2 022< f (2 023)e 2 023，即e f (2 022)<f (2 023)．规律方法 (1)出现f ′(x )＋nf (x )的形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 跟踪演练2 (2022·成都模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>0，且f (3)＝3，则f (x )>3e 3－x 的解集为________．答案 (3，＋∞)解析设F (x )＝f (x )·e x ，则F ′(x )＝f ′(x )·e x ＋f (x )·e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0，∴F (x )在R 上单调递增．又f (3)＝3，则F (3)＝f (3)·e 3＝3e 3.∵f (x )>3e 3－x 等价于f (x )·e x >3e 3，即F (x )>F (3)，∴x >3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．考向3 利用f (x )与sin x ，cos x 构造例3 偶函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，其导函数为f ′(x )，若对任意的x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2，有f ′(x )·cos x <f (x )sin x 成立，则关于x 的不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x的解集为__________________．答案⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2 解析令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴g (－x )＝f (－x )cos(－x )＝f (x )cos x ＝g (x )，∴g (x )为偶函数，又g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ，∴当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，g ′(x )<0，即g (x )在⎣⎡⎭⎫0，π2上单调递减，又g (x )为偶函数，∴g (x )在⎝⎛⎦⎤－π2，0上单调递增，不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x 可化为f (x )cos x <f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π3，则⎩⎨⎧ |x |>π3，－π2<x <π2，解得－π2<x <－π3或π3<x <π2. 规律方法函数f (x )与sin x ，cos x 相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)F (x )＝f (x )sin x，F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)F (x )＝f (x )cos x， F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 跟踪演练3 已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6 C.3f ⎝⎛⎭⎫－π4<2f ⎝⎛⎭⎫－π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π3<3f ⎝⎛⎭⎫π4 答案 B解析构造函数F (x )＝f (x )sin x，由f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，∴F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x (sin x )2>0， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又F (－x )＝f (－x )sin (－x )＝－f (x )－sin x＝F (x )， ∴F (x )为偶函数，∵π6<π4，∴F ⎝⎛⎭⎫π6<F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6<f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4，故A 错误；∵偶函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，∴F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递减，∵－π3<－π6，∴F ⎝⎛⎭⎫－π3>F ⎝⎛⎭⎫－π6，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫－π6sin ⎝⎛⎭⎫－π6，∴－f ⎝⎛⎭⎫－π3>－3f ⎝⎛⎭⎫－π6，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6，故B 正确；F ⎝⎛⎭⎫－π4<F ⎝⎛⎭⎫－π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4<f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3，∴－3f ⎝⎛⎭⎫－π4<－2f ⎝⎛⎭⎫－π3， ∴3f ⎝⎛⎭⎫－π4>2f ⎝⎛⎭⎫－π3，故C 错误；∵π3>π4，∴F ⎝⎛⎭⎫π3>F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π3sin π3>f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4，∴2f ⎝⎛⎭⎫π3>3f ⎝⎛⎭⎫π4，故D 错误．考点二同构法构造函数例4 已知a >0，若在(1，＋∞)上存在x 使得不等式e x －x ≤x a －a ln x 成立，则a 的最小值为________．答案 e解析 ∵x a ＝ln ln e e a x a x ＝，∴不等式即为e x －x ≤e a ln x －a ln x .由a >0且x >1得a ln x >0，设y ＝e x －x ，则y ′＝e x －1>0，故y ＝e x －x 在(1，＋∞)上单调递增，∴x ≤a ln x ，即a ≥x ln x，即存在x ∈(1，＋∞)，使a ≥x ln x， ∴a ≥⎝⎛⎭⎫x ln x min ，设f (x )＝x ln x(x >1)，则f ′(x )＝ln x －1ln 2x，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (e)＝e ，∴a ≥e.故a 的最小值为e.规律方法指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x 变成ln e x ，然后构造函数；另一种是将x 变成e ln x ，然后构造函数．跟踪演练4 已知a >0，b >0，且(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，则( ) A ．a >b ＋1 B ．a b －1答案 B解析因为(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，a >0，b >0，所以ln (a ＋1)a ＝ln (b ＋3)b ＋1>ln (b ＋2)b ＋1. 设f (x )＝ln (x ＋1)x(x >0)，则f ′(x )＝x x ＋1－ln (x ＋1)x 2. 设g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x →0时，g (x )→0，所以g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (a )>f (b ＋1)，所以a <b ＋1.专题强化练1．(2022·咸阳模拟)已知a ＝1e 2，b ＝ln 24，c ＝ln 39，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 B解析设f (x )＝ln x x 2，则a ＝f (e)，b ＝f (2)， c ＝f (3)，又f ′(x )＝1－2ln x x 3，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )＝ln x x 2在(e ，＋∞)上单调递减，注意到e<4＝2<e<3，则有f(3)<f(e)<f(2)，即c<a<b.2．(2022·哈尔滨模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案 B解析令g(x)＝f(x)－x2，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x<－1或x>1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2022·南京质检)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若a e ae B．b>e a C．ab<e D．b<e a答案 B解析由已知a e a0，∴e a>1，∵b>0，b ln b>a e a>0，∴b>1.当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以e a 0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6B ．－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6C ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6D ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6答案 D解析令g (x )＝f (x )sin x ，因为f (x )为奇函数，则g (x )为偶函数，又当x >0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，即g ′(x )>0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有g ⎝⎛⎭⎫－π6＝g ⎝⎛⎭⎫π6<g ⎝⎛⎭⎫5π6<g ⎝⎛⎭⎫7π6，即－12 f ⎝⎛⎭⎫－π6<12 f ⎝⎛⎭⎫5π6<－12 f ⎝⎛⎭⎫7π6，即－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6.5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x f (x )>e x ＋1的解集为() A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}答案 A解析构造函数g (x )＝e x f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x f (x )－e x 在R 上单调递增．又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为e x f (x )－e x >1，即g (x )>g (0)，解得x >0.所以原不等式的解集为{x |x >0}．6．(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x >1，不等式λe λx ≥ln x 恒成立，则λ的取值可能是( )A ．e B.12e C.1e D.2e答案 ACD解析由题设，e λx ·λx ≥x ln x ＝e ln x ·ln x ，令f (t )＝t ·e t (t >0)，则f ′(t )＝(t ＋1)·e t >0，所以f (t )单调递增，又f (λx )≥f (ln x )，即当x ∈(1，＋∞)时，λx ≥ln x ，即λ≥ln x x 恒成立，令g (x )＝ln x x，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝1－ln x x 2，所以在(1，e)上，g ′(x )>0，即g (x )单调递增；在(e ，＋∞)上，g ′(x )<0，即g (x )单调递减，则g (x )≤g (e)＝1e ，故λ≥1e. 7．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是________．答案 (2，＋∞)解析根据题意，构造函数y ＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)，则y ′＝f (x )＋xf ′(x )<0，所以函数y ＝xf (x )的图象在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则m2n＝________. 答案 1解析由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n，令g(x)＝log2x＋2x(x>0)，则g′(x)＝1x ln 2＋2>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，所以m＝2n，所以m2n＝1.。

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课时作业(十五) [第15讲利用导数研究函数的最值、优
化问题、方程与不等式]

(时间：45分钟分值：100分)
1．函数y＝xex的最小值是( )
A．－1 B．－e

C．－1e D．不存在
2．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到关注，据有关统计数据显示，从上午6时到
9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地

用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的进入时
刻是( )
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
3．[2013·河南十所名校联考] e，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式中
不成立的是( )

A.e>3π
B．logπe＋logeπ>1
C．logπe＋(logeπ)2>2
D．ee－e>eπ－π
4．[2013·吉林实验中学模拟] 已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，af(c
)＝0.现给出如下结论：

①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0；⑤abc<4；⑥abc>4.
其中正确结论的序号是( )
A．①③⑤ B．①④⑥
C．②③⑤ D．②④⑥

5．定义在R上的可导函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[0，2]
时，f(x)＝ex＋12xf′(0)，则f(72)与f(163)的大小关系是( )

A．f(72>f(163)
B．f(72＝f(163)
C．f(72D．不确定

6．[2013·郑州二检] 已知函数f(x)＝12x－cos x，则方程f(x)＝π4的所有根的和为
( )
A．0 B.π4 C.π2 D.3π2
7．[2013·青岛一模] 已知函数f(x)＝2x－1，对于满足0列结论：
①(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；
②x2f(x1)③f(x2)－f(x1)>x1－x2；

④f（x1）＋f（x2）2>f(x1＋x22).
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
8．[2013·日照二模] 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足
f′(x))

A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
9．[2013·厦门质检] 若函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值
范围是( )
A．(－5，1) B．[－5，1)
C．[－2，1) D．(－2，1)
10．[2013·长春四调] 已知函数f(x)＝x3＋2x·f′(－1)，则f(x)在区间[－2，3]上的
值域是________．

图K151
11．[2013·宁波五校联考] 已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数
g(x)的导函数，它们在同一坐标系内的图像如图K151所示．设函数h(x)＝f(x)－g(x
)，则

h(－1)，h(0)，h
(1)的大小关系为____________________(用“<”连接)．

12．[2013·江苏镇江一模] 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，函数y＝ex的图像

与y轴的交点为B，P为函数y＝ex图像上的任意一点，则OP→·AB→的最小值为________．
13．[2013·德州模拟] 已知函数f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a.若存在x1，x2∈R，使
得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．
14．(10分)[2013·陕西西工大附中模拟] 已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln
x(a
∈R)．

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝(x2－2x)ex，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)求a的取值范围．

15．(13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销
售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获
得的利润最大．

16．(12分)[2013·琼海模拟] 已知函数φ(x)＝ax＋1，a为正常数．
(1)若f(x)＝ln x＋φ(x)，且a＝92，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若g(x)＝|ln x|＋φ(x)，且对任意x1，x2∈(0，2]，x1≠x2，都有g（x2）－g（x1）x2－x1<
－1，求a的取值范围．
课时作业(十五)

1．C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.[－4 2，9]
11.h(0)

13.－1e，＋∞

14．(1)a＝23 函数f(x)的单调递增区间为0，32，(2，＋∞)，单调递减区间为32，2 (2)a>ln
2－1
15．(1)a＝2 (2)4元/千克

16．(1)函数f(x)的单调递增区间为(0，12)，(2，＋∞) (2)a≥272