函数与导数(讲)(原卷版)

2．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在 (a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
3、根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的
子集。
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空 子区间上 f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解。 4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断 点。
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专题 04 函数与导数
1．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 y aex x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则（ ）
A． a e，b 1 C． a e1，b 1
B．a=e，b=1
导数与零点
1、利用导数确定函数零点或方程根个数的方法 （1）构建函数 g(x)(要求 g′(x)易求，g′(x)＝0 可解)，转化确定 g(x)的零点个数问题求
解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等， 画出 g(x)的图象草图，数形结合求解。
（2）利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研 究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。 3、与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合 特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范 围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题。
【例 1】【四川省内江市 2019 届高三第三次模拟考试数学】若函数
间，则 的取值范围是（ ）
A．
1 e
,1
B．
1 e
,
存在单调递增区
C． 1,
D．
,
1 e
【例 2】【河南省焦作市 2019 届高三第四次模拟考试数学】已知
小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
，
，
，则 的大
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b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值。若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数 f(x)求导， 通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f(x)的最值。
1．利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究
5．形如“对任意 x1∈A，都存在 x2∈B，使得 f(x1)<g(x2)成立”
此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]max<[g(x)]max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。
【典例
5】已知函数
f(x)＝3xx2＋＋14，g(x)＝x6＋a2a
a>1 3
，若对任意的
x0∈[0，a]，总存在相应的
围。Leabharlann x2＋x31，x∈1，1 2
，
【典例
2】已知函数
f(x)＝
－1x＋1，x∈ 36
0，1 2
，
函数 g(x)＝ksinπ6x－2k＋2(k>0)，若存在 x1∈[0,1]
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及 x2∈[0,1]，使得 f(x1)＝g(x2)成立，求实数 k 的取值范围。
（2）已知函数求极值。求 f′(x)―→求方程 f′(x)＝0 的根―→列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根的附近两侧的符号―→下结论。 （3）已知极值求参数。若函数 f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则 f′(x0)＝0，且在该点左、右 两侧的导数值符号相反。
2、求函数 f(x)在闭区间[a，b]内的最大值和最小值的思路： 若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数 f(x)求导，并求 f′(x)＝0 在区间[a，
5、个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0 在 x ＝0 时取到)，f(x)在 R 上是增函数。
1、函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）知图判断函数极值的情况。先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的 导数符号。
导数与函数 极值、最值
D． a e1 ， b 1
x, x 0
2．（2019 浙江）已知 a, b R ，函数
f
(
x)
1 3
x3
1 (a 1)x2 2
．若函数
ax, x 0
y
f (x) ax b 恰
有 3 个零点，则（ ） A．a<–1，b<0 C．a>–1，b<0
B．a<–1，b>0 D．a>–1，b>0
3．【2019
年高考天津理数】已知
aR
，设函数
f
(x)
x2 2ax x a ln x,
2a,
x 1, 若关于 x 的不等式 f (x) 0 x 1.
在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为（ ）
A． 0,1
B．0, 2
C． 0, e
D． 1, e
4．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x 4 (x 0) 上的一个动点，则点 P 到直 x
(1)切点处的导数是切线的斜率。(2)切点在切线上。(3)切点在曲线上。
导数与函 数单调性
1、确定函数单调区间的步骤 （1）确定函数 f(x)的定义域。（2）求 f′(x)。 （3）解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间。 （4）解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。
A． 1 e
C．
1 2e
考查导数与不等式：
B． 1 e
D．
1 2e
【例 1】已知函数 f (x) 1 x3 x2 x ，当 x [2, 4] 时，求证： x 6 f (x) x ； 4
【 例 2 】【 山 西 省 太 原 市 2019 届 高 三 模 拟 试 题 （ 一 ） 数 学 】 已 知 定 义 在
3．形如“对任意 x1∈A 及 x2∈B，都有 f(x1)<g(x2)成立” 此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]max<[g(x)]min”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。
【典例 3】已知函数 f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若对于任意 x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有 f(x1)≤g(x2)成立，求实数 k 的取值范围。
（1）存在 x1∈A，任意 x2∈B 使 f(x1)≥g(x2)成立，则 f(x)max≥g(x)max。
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（2）任意 x1∈A，存在 x2∈B，使 f(x1)≥g(x2)成立，则 f(x)min≥g(x)min。 （3）任意 x1∈A，x2∈B，使 f(x1)≥g(x2)，则 f(x)min≥g(x)max。 （4）存在 x1∈A，x2∈B，使 f(x1)≤g(x2)，则 f(x)min≤g(x)max。
4．形如“存在 x1∈A 及 x2∈B，使 f(x1)<g(x2)成立” 此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]min<[g(x)]max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。
【典例 4】 已知函数 f(x)＝7x2－28x－a，g(x)＝2x3＋4x2－40x，如果存在 x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，使 f(x1)≤g(x2) 能成立，求实数 a 的取值范围。
考查导数几何意义：
【例 1】【江西省新八校 2019 届高三第二次联考数学】若 f (x) 3 f (x) x3 2x 1 对 x R 恒成立，则
曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为（ ）
A． 5x 2 y 5 0 C． 5x 4 y 0
考查导数与函数单调性：
B．10x 4 y 5 0 D． 20x 4 y 15 0
上的函数
，且
，则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
考查导数与零点
满足
【例 1】【北京市西城区 2019 届高三 4 月统一测试（一模）数学】设函数
，其中
．
若函数 在区间
上有两个零点，求 的取值范围．
不等式型双变量存在性或任意性问题
1．形如“对任意 x1∈A，都存在 x2∈B，使得 g(x2)＝f(x1)成立”。 此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”来求解参数的取值范围。
利解决。
3．函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题 时常根据已知的函数不等式，用关于正整数 n 的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多 次求和达到证明的目的。此类问题一般至少 2 问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特 征而得到。
4．已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指 数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如 ex>x＋1 可化为 ln(x＋1)<x 等。 5、利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如 a≥f(x)(或 a≤f(x))的形式，通过求函数 y＝f(x)的最值求得参数范围。恒成立问题的求解方法：a≥f(x) 在 x∈D 上恒成立，则 a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)在 x∈D 上恒成立，则 a≤f(x)min。 6、含全称、存在量词不等式恒成立问题的方法