利用位似作图

利用位似作图
如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety），这一点叫做位似中心．这时的相似比又叫做位似比．
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
（2）利用位似变换作图，放大或缩小图形．
举例说明它在作图中的应用.
例1如图，把多边形ABCDE放大到1.5倍．
【分析】画法：1.任取一点O；
2.以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE；
3.分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝OE′∶OE＝1.5；
4.连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、A′E′，得到的多边形A′B′C′D′E′
就是所要画的放大1.5倍的图形．
例2已知等边∆ABC，画一个与之相似且它们的相似
比为2的△A/B/C/．
【研析】如图1，当设位似中心在∆ABC的形内时，取内心O作为位似中心．
（1）在AO、BO、CO上分别取中点A/、B/、C/，连结A/B/，B/C/、A/C/，则△ABC∽△A/B/C/，
且有A /B /:AB=1:2；
（2）取△ABC 的内心O ，连接OA 、OB 、OC 且延长，使AA /=AO ，B /B=BO ，C /C=CO ，连结A /B /，B /C /、A /C /，则有△ABC ∽△A /B /C /，且AB:A /B /=1:2．
如图2，设位似中心在△ABC 的外部时
（1）在△ABC 外任取一点O ，过O 点作射线OA 、OB 、OC ，并截取AA /=OA ，C /C=OC ，B /B=BO ，连结A /B /，B /C /，C /A /，△ABC ∽△A /B /C /，且AB:A /B /=1:2．
（2）在△ABC 外任取一点，过O 作直线OA ，OB ，OC ，在OA 、OB 、OC 的另一侧取A /，B /，C /，使A /O=21AO ，B /O=21OB ，C /O=2
1OC ．连结A /B /，B /C /、A /C /，则可证△ABC ∽△A /B /C /，且A /B /:AB=1:2；
【点拨】 已知一个等边△ABC ，要求画一个三角形，使这两个三角形相似，并且相似比为2．根据题意可知，已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没有说明是原三角形与新三角形相似，还是新三角形与原三角形相似，这样形成的对应边的关系有两种，因此是不确定的，再者由于有相似比的值2，那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边，要满足比值为2的情况也有两种，而实现这两种情况只能借助位似形的知识．
根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在已知图形内或已知图形外，它们都可以实现放大或缩小的作用．
例3 如图，求作内接于已知三角形ABC 的矩形DEFG ，使它的边EF 在BC 上，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，且DE ∶EF ＝1∶2．
【分析】 作法：(1)在AB 上靠近B 点取一点D '，经过D '作E D ''⊥BC ，E '是垂足．
(2)在C E '上取E D F E ''=''2．
(3)经过D '作BC 的平行线，经过F '作E D ''的平行线，这两条直线相交于点G '．
(4)连结G B '，并延长G B '交AC 于点G ．
(5)经过G 作GD ∥BC ，交AB 于点D ，作GF ⊥BC 于点F ．
(6)经过D 作DE ∥GF ．
∴四边形DEFG 是所求作的矩形．
证明：由作法，∵DE ∥GF ，DG ∥EF ，
∴四边形DEFG 是平行四边形．
又∠GFE ＝90°，∴ 平行四边形DEFG 是矩形．
∵ BC D G //''，GD ∥BC ，∴ GD D G //''．
∴
DG G D BG G B ''='． 又GF ⊥BC ，BC F G ⊥''，∴ F G GF ''//．
∴
GF F G BG G B ''=' ∴GF F G DG
G D ''=''，即G D F G DG GF ''''=． ∵E D F G ''=''，F E G D ''=''，
∴
F E E D D
G GF ''''=． 由作法，
21=''''F E E D ，
∴2
1 DG GF ． ∴矩形DEFG 的一条边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，且DE ∶EF ＝1∶2．
∴矩形DEFG 是所求作的矩形．
例4 已知三角形ABC ，作它的内接最大的正方形（即正方形的一边在三角形的边上，另外两个顶点在其他两边上）．
【研析】 联想位似图形，用尺规作图的方法．
1.以三角形ABC 的最长边BC 为边长向形外作正方形BXYC ；
2.以点A 为为似中心，作射线AX ，AY ，它们分别交BC 于点E 、F ；
3.以EF 为边长作正方形EFGD ．
则正方形EFGD 即为所求．
由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A 作为位似中心，那么点B ，点C 可不可以做位似中心呢？答案是肯定的．一共是四种做法．。