2020年全国高考数学(文科)仿真冲刺模拟试卷1含答案

绝密★启用前2020年全国高考数学（文科）仿真冲刺模拟试卷1一、选择题1．设集合,则A. B. C. D. 2．已知为虚数单位，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 23．已知命题;命题,则下列判断正确的是( )A. 是假命题B. 是假命题C. 是真命题D. 是真命题 4. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点横坐标为A. B. C. 或 D. 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 2B.C. 4D. 6. 某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的S = A. 126 B. 105 C. 91 D. 667. 已知点满足，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）A. B. 4 C. 7 D.8. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象经过点，则函数（ ）{}{}20,1,2,3,4,5,1,2,{|540}U A B x Z x x ===∈-+<()U A B ⋃=ð{}1,2,3{}5{}1,2,4{}0,4,5i ()1,1ia bi ab R i+=+∈-a b +=1-2:,10p x R x x ∀∈+->:,sin cos 2q x R x x ∃∈+=p ⌝q p q ∨⌝()p q ⌝∧()213ln 4f x x x =-12-2-323-2{}n a n n S 632a a =63S S =7274(),P x y 00{ 4080x y x y x y ≥≥+-≥+-≤y kx =221x y +=,Q R PQ PR ⋅u u u v u u u v 221-42()()()sin 20f x x ϕπϕ=+-<<()f x 3π()0,1()f xA. 在区间上单调递减B. 在区间上单调递增C. 在区间上有最大值D. 在区间上有最小值 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.16+243π B. 16+163π C. 8+83π D. 16+83π 10. 已知函数是上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 1611. 如图，在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论不成立的是 ( ) A. BC ∥平面PDF B. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面PAED. 平面PDE ⊥平面ABC12. 设双曲线Ω： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与右焦点分别为A ， F ，以线段AF 为底边作一个等腰AFB ∆，且AF 边上的高h AF =.若AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是（ ） A. 存在唯一的e ，且3,22e ⎛⎫∈⎪⎝⎭B. 存在两个不同的e ，且一个在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭内 C. 存在唯一的e ，且31,2e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D. 存在两个不同的e ，且一个在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭内 二、填空题,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x R 0x >()()112,02{ 12,22x x f x f x x --<≤=->()()1g x xf x =-[)7,-+∞13. 若的三个内角的度数成等差数列,且,则一定是三角形.14. 《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以， ， ， 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜； ， ， 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则 .若在中， ， ，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________．15．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为16. 设抛物线24x y =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且满足AF FB λ=u u u v u u u v ，若32AF =u u u v ，则λ的值为_______.三、解答题17. 已知函数. （Ⅰ）求函数的单调递增区间;（Ⅱ）在中,内角所对的边分别为,且角满足.若, 边上的中线长为,求的面积.18. 在多面体中，平面平面， ， ， 为正三角形， 为中点，且， .求证：平面平面； 求多面体的体积.19. 进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了.学ABC V ,,A B C ()0AB AC BC +⋅=u u u v u u u v u u u vABC V ______S a b c a h b h c h 222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1122a b ah bh ==12c ch =ABC ∆3a h =2b h =3c h =()2πππ23sin 2sin cos 444f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ABC V ,,A B C ,,a b c A ()31f A =+3a =BC 3ABC V S ABCDPQ PAD ⊥ABCD ////AB CD PQ AB AD ⊥PAD ∆O AD 2AD AB ==1CD PQ ==()1POB ⊥PAC ()2ABCDPQ校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼.某中学高三（3）班有学生50人.现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图.其中数据的分组区间为：[](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12（1）求学生周平均体育锻炼时间的中位数（保留3位有效数字）；（2）从每周平均体育锻炼时间在 []0,4 的学生中，随机抽取2人进行调查，求此2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；（3）现全班学生中有40％是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时.若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有90％的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？ 附： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20. 已知椭圆的左右顶点分别为， ，左右焦点为分别为， ，焦距为，离心率为. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若为椭圆上一动点，直线过点且与轴垂直， 为直线与的交点， 为直线与直线的交点，求证：点在一个定圆上. 21. 已知.（1）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由；()2222:10x y C a b a b+=>>1A 2A 1F 2F 212C P 1l 1A x M 2A P 1l N 1A P 2MF N ()()21xf x ax e x =-+1a =()f x（2）若是的极值点，证明.（1）恒有两个零点；（2）证明见解析.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）． （1）将， 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲设函数. （1）试比较与的大小；（2）若函数的图象与轴能围成一个三角形，求实数的取值范围.0x =()f x ()()2ln 11f x ax x x ≥-+++()f x xOy 1C ,{ 1x cos y sin θθ==+θ2C 2,{ x cos y sin ϕϕ==ϕ1C 2C x l ()cos 2sin 4ρθθ-=1C P 2πθ=Q 2C M PQ Ml ()()2432f x x a x a =-++-≠-()f a ()2f -()f x x a2020年全国高考数学（文科）仿真冲刺模拟试卷1答案1．D 【解析】，故选D.2．B 【解析】因为,所以选B. 3．D 【解析】由命题为假命题；由，当时， 命题命题，所以是真命题；是真命题， 是真命题，故选D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数，即为在该点出的切线的斜率，在处理该问题中需注意切点的重要性，主要利用：①切点出的导数为斜率；②切点坐标满足曲线方程；③切点坐标满足切线方程.5. B 【解析】设等差数列的公差为，，即，，，故选 6. B 【解析】S =0,n =1,判断是,S =−1,n =2,判断是,S =−1+4=3,n =3,判断是, S =3−9=−6,n =4,判断是, S =−6+16=10,n =5,判断是,S =−15,n =6,判断是, S =21,n =7,判断是, S =−28,n =8,判断是,S =36,n =9,判断是, S =−45,n =10,判断是,S =55,n =11,判断是, S =−66,n =12,判断是, S =78,n =13,判断是, S =−91,n =14,判断是, S =105,n =15,判断否,退出循环,输出S =105,故选B . 7. C 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图所示，由题意知，Q,R 关于原点对称，所以()()()()2||1PQ PR PO OQ PO OR PO OQ PO OQ PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v u u u v ，由图形知的最小值为点O{}{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,2,|5402,3,U A B x Z x x ===∈-+<=Q (){}0.4.5U A B ∴⋃=ð11ia bi i+=+-0,1,1,i a bi a b a b =+∴==+=221551,244x x x ⎛⎫+-=+-≥-∴ ⎪⎝⎭2:,10p x R x x ∀∈+->sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭4x π=sin cos x x +=:,sin cos q x R x x ∃∈+=p ⌝()p q ⌝∧{}n a d 632a a =3332a d a +=33a d =()346333233337332a a S a a d d d d S a a d d d +++++====--B PO u u u r到直线的距离，所以的最小值为7，故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义，求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.9.D 【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体, ∴该几何体的体积是，故选：D 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 10. C 【解析】，由，当时，由奇函数性质得函数在上的所有零点之和为在40x y +-=d ==PQ PR ⋅u u u v u u uv z ax by =+z ax by =+a z y x b b =-+zbz ()()22z x a y b =-+-y b z x a-=-311416+824223433ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()()1112,22,,,22k k x k k k N f x +⎛⎤⎤⎡∈+∈∈ ⎦⎣⎥⎝⎦()()11xf x f x x =∴=8x >()1f x x >()()1g x xf x =-[)7,-+∞()1y f x y x==与上零点值，即为8，选C.【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．点睛：点、线、面的位置关系的判断方法（1）平面的基本性质是判断线面关系的基础，对点、线、面的位置关系的判断，常采用排除的方法，对各种位置关系全面考虑，去掉不合题意的部分，解题时要发挥模型的直观性作用．（2）利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确．12. A 【解析】由题意可设，可得的垂心H ，因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，所以存在唯一的，且，当时无零点，选A. 点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上． (2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．13.等边【解析】∵的三个内角的度数成等差数列，∴，即.∵(]7,8()(),0,,0,,2c a A a F c B c a -⎛⎫-+⎪⎝⎭AFB ∆,24c a c a -+⎛⎫⎪⎝⎭AFB ∆Ω()()32=4110c a b f e e e c a a+∴=---=-()()()()23310,0,201211022f f f x f x x ⎛⎫=--> ⎪⎭'⎝Q ；时e 3,22e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭312x <<()0f x <ABC V ,,A B C 2B A C =+3B π=，∴，∴，即，∴是等边三角形.故答案为等边.15．【解析】正方形面积为 ，正方形的内切圆半径为，中间黑色大圆的半径为，黑色小圆的半径为，所以白色区域的面积为，所以黑色区域的面积为 ，在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为. 16.【解析】设， . 因为抛物线x 2=4y 的焦点为，准线为， 所以由，得，所以，x 12=4y 1=2.由 得 即因为x 22=4y 2，所以. 解得或（舍）.17. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）化简函数得令,即可得增区间；（Ⅱ）由得，从而解得，又上的中线长为,所以,平方可得，结合余弦定理可得，从而可得面积.试题解析：()0AB AC BC +⋅=u u u v u u u v u u u v ()()0AB AC BA AC +⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v ()()220AC AB -=u u u v u u u v =AC AB u u u v u u u v ABCV 18π-2842122242418ππππ⨯-⨯-⨯⨯=288π-2288188P ππ-==-12()11A x y ，()22B x y ，()0,1F 1y =-32AF =u u u v 1312y +=112y =AF FB λ=u u u v u u u v ()1212{ 11x x y y λλ-=-=-，，21121{ 111 1.2x x y y λλλ=--=+=+，2111412x λλ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1=2λ1λ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πππ2π22π,262k x k k Z -+≤+≤+∈()1f A =π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3A =BC 36AC AB +=u u u v u u u v 2236b c bc ++=bc（Ⅰ）令,得, 所以函数的单调递增区间为.18. (1)见解析;(2) . 【解析】 试题分析：由相似三角形的性质可得.由面面垂直的性质可得平面，则.据此可得平面，结合面面垂直的判断定理有平面平面.取中点为，连接，.则该几何体分割为一个三棱柱与一个三棱锥，结合体积公式计算可得组合体的体积()2πππ2sin cos 444f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1cos 2sin 222x x ⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦cos2x x =+π2sin 26x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πππ2π22π,262k x k k Z -+≤+≤+∈ππππ,36k x k k Z -+≤≤+∈ππ[π,π],36k k k Z -++∈()1AC BO ⊥PO ⊥ABCD AC PO ⊥AC ⊥POB POB ⊥PAC ()2AB E CE QE. 试题解析：由条件可知， ，故.， . ，且为中点， .， 平面.又平面， .又， 平面.平面， 平面平面.19. (1)7.29；(2) ;(3)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据中位数的概念得到（a -6）×0.14=0.5-0.32,进而得到参数值；（2）根据古典概型的公式计算即可，先找出基本事件总数10个，再列举出满足条件的事件个数3个，进而得到概率值；（3）根据条件得到图表，由公式得到K 值，从而下结论. 试题解析：3BCDPQ PAD QEC Q CEB V V V --=+=()1Rt ADC Rt BAO ∆∆≌DAC ABO ∠=∠90DAC AOB ABO AOB ∴∠+∠=∠+∠=︒AC BO ∴⊥PA PD =Q O AD PO AD ∴⊥{PAD ABCD PAD ABCD ADPO AD PO PAD⊥⋂=⊥⊂Q 平面平面平面平面平面PO ∴⊥ABCD AC ⊂Q ABCD AC PO ∴⊥BO PO O ⋂=Q AC ∴⊥POB AC ⊂Q PAC ∴POB ⊥PAC 310（1）设中位数为a ,因为前三组的频率和为：（0.02+0.03+0.11）×2=0.32＜0.5， 第四组的频率为：0.14×2=0.28，所以（a -6）×0.14=0.5-0.32,a = 学生周平均体育锻炼时间的中位数是7.29（3）由已知可知，不超过4小时的人数为：50×0.05×2=5人，其中女生有3人，所以男生有2人，因此经常锻炼的女生有50×40％-3=17人，男生有30-2=28人 所以2×2列联表为：所以所以没有90％的把握说明，经常锻炼与否与性别有关.20.（1）（2）点 在定圆上 【解析】517.297≈22143x y +=N试题分析：（1）由焦距为，离心率为，即可求出焦距为，离心率为；（2）设点， ，得出直线的方程，从而得出点的坐标，分别求出直线的方程和直线的方程，联立两直线方程，化简即可求得点在定圆上.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21. （1）恒有两个零点；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意时，得，利用导数得到函数的单调性，进而可判定函数的零点个数；（2）求得函数的导数，由是的极值点，得，得到函数的解析式，令，转化为证明，设，212212(),N x y ()11,P x y ()122x -<<2A P M 1A P 2MFN ()f x 1a =()()21xf x x e x =-+()()12xf x e ax a x -'=++0x =()f x 1a =1x t -=1ln 2t tet t +≥++()()ln 20x h x ex e x x x =⋅--->根据导数得到的单调性和最小值，证得，即可作出证明. 试题解析：（1）当时， ，， ， ， ， ，∴在上递减，在上递增，∴恒有两个零点；∴在上递增，又， 故有唯一的根， ， 当时， ，当时， ，∴ . 综上得证.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单()h x ()0h x ≥1a =()()21xf x x e x =-+()23240f e-=->()010f =-<()110f =>()()200x f x x e x =+>⇔>'()00f x x <'⇔<()f x (),0-∞()0,+∞()fx ()u x ()0,+∞()110u e e=->()220e u e e e --=-<()0u x =()00,1x ∈01x eex =00x x <<()()00u x h x '<⇔<0x x >()()00u x h x '>⇔>()()00100000001ln 2ln 2xx h x h x ex e x x ex e x ex +≥=⋅---=⋅+--001120x x =++--=调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.22. （1）表示以为圆心，1为半径的圆， 表示焦点在轴上的椭圆；（2）.【解析】试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到， 的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.23. (1) ；(2) .【解析】试题分析： 利用作差法求解与的大小关系推出结果通过当时，当()2211x y +-=()0,12214x y +=x 1C 2C 1C 2C 1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+⎪⎝⎭Ml d=()()2f a f >-715,,122⎛⎤⎡⎫--⋃- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭()1()()2f a f --0()22a >-2a <-时，化简函数的表达式，利用转化求解即可 解析：（1）∵，而 ∴；点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．()()2f a f >-()()222220f a f a a a --=+-+=+≥2a ≠-()()2f a f >-。