高三数列专题复习

高三（文科数学）第二轮专题复习
数列及其应用
一、基本概念：
1. 数列的定义及表示方法.
2. 数列的项与项数.
3. 有穷数列与无穷数列.
4. 递增（减）、摆动、循环数列.
5. 数列{a n }的通项公式a n .
6. 数列的前n 项和公式S n .
7. 等差数列、公差d 、等差数列的结构.
8. 等比数列、公比q 、等比数列的结构.
9. 无穷递缩等比数列的意义及公比q 的取值范围.
二、基本公式：
1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：
⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n s s n s a n n
n . 2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ， a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数.
3.等差数列的前n 项和公式： (1)d n n na s n 2
)1(1-+=, (2)2)(1n n a a n s +=. 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），
S n =na 1是关于n 的正比例式.
4.等差中项公式：2
b a A +=（有唯一的值）. 5.等比数列的通项公式：（1）a n = a 1 q n-1 , （2）a n = a k q n-k . .
(其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0).
6.等比数列的前n 项和公式：
（1）当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；
（2）当q ≠0时，（1）q
q a s n n --=1)1(1, (2)q q a a s n n --=11. 7.等比中项公式： ab G ±=(ab>0,有两个值).
三、有关等差、等比数列的结论
1.等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则 q p n m a a a a +=+.
2. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则
q p n m a a a a •=•. 3.等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.
4.等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列.
5.两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n +b n }、{a n -b n }仍为等差数列.
6.两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n } 、 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1 ，仍为等比数列. 7.等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.
8.等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.
9.三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：
a-3d,a-d,,a+d,a+3d .
10.三个数成等比的设法：q a , a, aq ；四个数成等比的错误设法：3q
a , q a , aq, aq 3 . 四、数列求和其他方法
1.拆项法求数列的和，如a n = 2n+3n ;
2.错位相减法求和，如a n = (2n-1) 2n ;
3.分裂项法求和，如a n = )
1(1 n n ; 4.反序相加法求和，如a n =n n C 100;
5.公式法求和;
6.观察规律求和.
五.数列的综合应用
数列的综合应用主要归结为等差、等比和递推数列的应用.
主要题型有：产量的增减、价格的升降、细胞的繁植、求利率、增长率等.解决此类问题的关键是数列的建模问题.
六、数列实际应用
例题1.从盛满a 升(a >1)纯酒精的容器里倒出一升酒精,然后用水填满后搅匀,再倒出一升混合溶液后再用水填满,如此继续进行下去.
(1)每次用水填满后的酒精浓度是否依次成等差数列或等比数列?试证明你的结论.
(2)若a =2,至少倒几次后(每次倒过后都用水加满搅匀)才能使酒精浓度低于10％?
例题2.资料表明,2000年我国荒漠化土地占国土陆地总面积960万平方公里的17％,近二十年来,我国荒漠化土地每年以2460平方公里的速度扩展,若这二十年间我国治理荒漠化土地的面积占前一年荒漠化土地面积的1％,试问:二十年前我国荒漠化土地的面积有多少平方公里?( 精确到1平方公里)
例题3.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元.购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率1％.
(1)若交付150万元后的第一个月算开始分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月应该付多少钱?
(2)全部款项付清后,买这40套住房实际花了多少钱?。