数学物理方程试题

考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试题单上的答题一律无效（本题单不参与阅卷）。

一、（本题20分）。

设细杆因外界原因而产生纵振动，以(,)u x t 表示其静止时x 点处在时刻t 离开原位置的偏移，并假设振动过程中所发生的张力服从虎克定律，即x 处单位面积受到的张力(,)(,)u x t p x t E x

∂=∂，其中E 为细杆的杨氏模量．令()x ρ为细杆的密度，试写出该振动所满足的偏微分方程．

二、（本题20分）。

判定方程

0623222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂y u x u y y x u x u

的类型并化简．

三、（本题10分）。

设有圆域r R <上的Laplace 方程的第二边值问题

0sin [0,2]4r R

u u n θθπ=∇=⎧⎪∂⎨=∈⎪∂⎩ 请讨论此方程是否有解（其中，（r ，θ）是该园域所在的二维空间的极坐标表示）.

四、（本题10分）。

试用齐次化原理导出平面非齐次波动方程2()(,,)tt xx yy u a u u f x y t -+=在齐次初

始条件0000

t t t u u ==⎧=⎪⎨=⎪⎩下的求解公式．

五、（本题10分）。

求解热传导方程的初值问题

0(,0)sin t xx u u u x x -=⎧⎨=⎩

六、（本题20分）。

求解下列弦振动方程的定解问题

()200,0(,0)0,(,0)()(0,)(,)0tt xx t u a u x l t u x u x x l x u t u l t ⎧-=<<<⎪==-⎨⎪==⎩