第5章 曲线梁桥的理论分析

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A'ch B ' sh C ' cos D ' z cos E ' sin F ' z sin
1 r2 1 mx r 3 qy EI x GI d EI x EI m , A' , B ' , 为由单跨弯梁两端边界条件确定的常数。 其中， a GI d
qz r
−
∂2 m y ∂z2
−
my r2
(5-8)
+ r ∂ z = −q y − −
Mx r
∂m x ∂z
5-9)
(5-10)
= −mz
有了力的平衡方程后， 下面需要建立变形状态的几何关系。 描述弯梁的独立位移分量为：轴向位移 u、径向位移 v、竖向 位移 w、截面扭角 φ ，它们均是坐标 z 的函数。 用弯梁的几何方程来描述截面变形与位移分量之间的几 何关系。以下讨论的截面变形包括：轴向应变εz , 饶 z 轴的扭 率k z , 饶 x、y 轴的变形曲率k z 、k y 。首先讨论轴向应变εz 。 在图 5-13 中， 将微段 AB 的 B 端轴向位移 u+du、 径向位移 v+dv 投影到 A 端的切向方向并与 A 端轴向位移 u 相减，并除以弧长 dz，略去高阶项，就得到轴向应变 图 5-13 弯梁轴向应变计算简图
（1）对于单跨弯梁，必须是等截面、等半径、荷载是沿全跨的分布函数、无集中荷载，并且需要 六个边界条件； （2）对于有集中荷载的单跨曲梁或多跨连续曲梁，应以集中力作用点或中间支座点为分段点，在 每一段分别建立方程，每一段需要六个边界条件，相邻边界条件应满足连续条件，按此方式进行方程 求解。 （3）对单跨弯梁沿全跨作用竖向均布荷载及均布扭矩时，其解为：
式中： I 为截面扇形惯性矩；为自由扭转惯性矩（圣维南扭转常数） 。 弯梁的剪力可通过平衡方程计算出来。 将上述各项关系代入平衡方程，经推导化简以后得弯梁平衡微分方程：
（5-18）
m 2 v' q ' EI y v '''' 2 v ''' 4 qx x m''y 2y r r r r
（5-20）
（5-21）
上面方程中第一个方程与后两个方程独立，表示平面弯梁的面内位移与面外位移不相关，因此可 单独计算。后两个方程是耦合的，两者是互相依存的。当弯梁的半径趋于无穷时，式（5-20）就是直 梁的平衡微分方程。将上述后两个方程用消元法求解，可以得到关于扭角的一个六阶微分方程。
1 EI GI 2 EI 6 EI 2 GI d '''' 2 2 2GI d '' 4d r r r r
1 r −v
−r +
1
θ y +d θ y −θ y dz
在上式中， 右端括号内为径向 （半径变化） 产生的曲率增量， 第二项为梁端转角增量dθy 产生的曲率增量。由于 v 比 r 小得多， 且θy = dz ,则
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dv
图 5-15 k y 的计算简图
ky =
v r2
+
d2 v dz 2
(5-14)
（5-23）
z a
z a
z r
z r
z r
z r
计算出 φ 以后， 将其代入上面的耦合方程中， 可列出关于竖向位移的四阶常系数微分方程， 则有： 2 2 a a z z z w A' ch B ' sh C ' r cos a a r r r
图 5-4 连续弯桥的支座布置形式 为了分析的方便，有些资料将连续弯梁的支承方式分为 A、B、C 三类：A 类是指曲线梁在支承 处只可弯曲而不可转动， 即所有支座都是有抗扭约束的支座； B 类是指曲线梁的中间支承无竖向位移， 但可弯曲和转动，即中间支承是点铰支承；C 类是支曲线梁设置铰支承，在支承处均可弯曲和转动。 设置支承偏心可以调整曲梁中的扭矩分布，但不能消除曲梁的扭矩。
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图 5-5 曲线梁分析的坐标系和力的方向 取出微单元 dz，其上作用有荷载 qx、qy、qz 和力矩 mx、my、mz，外力与内 力的方向如图 5-6a)所示，截面端部内 力的方向如图 5-6b)所示，根据力的平 衡条件，建立方程。 根据圆微段在三个坐标轴方向应 保持力和力矩的平衡， 可以导出六个平 衡方程。 （1）由∑Fy = 0，把所有的力投影 在 y 坐标方向，如图 5-7 所示：
（5）如图 5-11 所示，由∑My = 0, 把所有 x-z 平面 的力都 y 对轴求矩并投影到 y 轴上，略去高阶项有：
dM y dz
m y Qx 0
(5 - 5)
图 5-12 平衡条件∑Mz = 0
（6）由∑Mz = 0, 把所有 y 方向的力都对过 A 的切线求 矩，并投影到切线上，略去高阶项有：
I ''' GI d I r 2 I x '' EI x GI d I '' EI x GI d ' mx 2 mx mx qy qy mx rI x r EI x r2Ix rEI x rI x rEI x
理论解：
（5-22）
上述方程是一个六阶常微分方程，要求得其解析解比较困难。一般在以下条件下可采用解析法求
图 5-1 弯桥的平面形状
图 5-2 连续弯桥的曲线形状 2) 曲线梁桥的支承布置特点 (1) 单跨弯桥 单跨弯桥的支座布置有四种形式有如图 5-3 所示的四类形式: a b c 单跨静定曲梁中心布置; 单跨静定曲梁偏心布置; 单跨超静定曲梁中心布置;
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d
单跨超静定曲梁偏心布置;
图 5-3 单跨曲线梁的支座布置形式 对于两端设抗扭支承的超静定曲梁，支座的偏心只能改变支座处各个支座上的反力分布而决不能 改变梁的扭矩分布。如果一侧支承斜向变化时，该支点截面随斜角的增大而增加负弯矩。 (2) 连续弯桥 连续弯桥支座的常见布置方式有图 5-4 所示四种形式 a b c d 两端点均设抗扭支座，中间跨设铰支承; 两端点均设抗扭支座，中间跨设中心铰支承和少量抗扭支座; 为减小扭矩，两端点均设抗扭支座，中间设向外侧有偏心铰支承; 为增大全桥抗侧倾稳定性，两端设置抗扭支承，中间交替布置偏心支承;
dQ y dz
qy 0
(5 - 1)
（2）由∑Fx = 0，把所有的力投影 在 x 坐标方向， 由图 5-8 可建立平衡关系 图 5-7 外力、内力、位移符号及正方向
图 5-8 平衡条件∑Fy = 0
图 5-7 平衡条件∑Fx = 0
图 5-9 平衡条件∑Fz = 0
由平衡条件有： (Qx dQx ) cos d Qx ( N z dN z ) sin d qx dz cos d / 2 0 引进近似关系： cos d 1, sin d d , cos d / 2 1 平衡条件化简： dQx N z d qx dz 0 ，引入dφ dz = 1 R得到 dQx N z qx 0 dz R
dN Z Qx qz 0 dz R
（5-3）
(4) 如图 5-10 所示， 由∑Mx = 0，把所有 y 方向的力都对 x 轴求矩并投影到 x 轴上，略去高 阶项有：
图 5-10 平衡条件∑Mx = 0
图 5-11 平衡条件∑My = 0 （5-4）
dM x Tz Q y mx 0 dz R
2
（5-15）
（5-16）
（5-17）
对于受约束扭转的开口截面薄壁弯梁，其截面总扭矩可按下式计算：
d 2kz d 3 1 d 3w d 1 dw T T Td EI 2 GI d k z EI 3 GI d 3 dz r dz dz r dz dz
根据材料力学和虎克定律，可建立轴力、面内外弯矩与变形的关系:
du v N EA z EA x k x EI x 2 r dz d v v M y EI y k y EI y 2 2 r dz
5.2
曲线梁桥的基本微分方程
对于曲线梁桥，我们先讨论扇形曲线的平面曲线梁。为了解结构的力学特性，先研究结构的理论 计算方法。 采用直角流动坐标系，曲线向心方向为 x，垂直于平面曲线方向并向下为 y ,弯梁轴线的切线方向 为 z，满足右手螺旋法则，坐标系的方向如图 5-5 所示。 梁上作用的外荷载有分布荷载和分布力矩，方向以与流动直角坐标一致为正。如图 5-6 所示，取 微段进行分析，截面内力的方向，在正面上以与流动直角坐标一致为正，在负面上以与流动直角坐标 负方向为正。
(3) 由∑Fz = 0，把所有的力投影在 z 坐标方向，如图 5-9 所示 平衡条件：
（5-1）
( N z dN z ) cos d N z (Qx dQx ) sin d qz dz 0
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引入近似关系化简得： 所以：
dN z Qx d qz dz 0
dz
图 5-14 弯梁变形曲率 kx 与扭率 kz 计算简图
dz
注意到： x dw dz 于是有: k x = − dz 2 + kz =
dφ dz d2 w φ r 1 dw r dz
(5-12) (5-13)
+
由于弯梁在变形前就有绕 y 轴的曲率 1/r，绕 y 轴的变形曲 率应是由于变形产生的绕 y 轴的变形曲率增量，因此有: ky =
ε
z
=
u+du cosd ϕ− v+dv sind ϕ−u dz