2020北京海淀高三上期末试卷数学含答案
2019-2020学年人教A版北京市通州区高三(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三上学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．24．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．67．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题．14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为元．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．18．已知椭圆C ：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 【分析】根据题意，由并集的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}；故选：A．2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解：∵复数＝＝＝，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A．3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．2【分析】由题意可得抛物线的焦点和准线，而|AF|等于点A到准线的距离d＝|2﹣（﹣1）|，计算可得．解：由题意可得抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，由抛物线的定义可知|AF|等于点A到准线的距离d，而d＝|2﹣（﹣1）|＝3，故|AF|＝3，故选：B．4．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny【分析】A．利用不等式的基本性质即可判断出正误．B．利用三角函数的单调性周期性即可判断出正误．C．利用指数函数的单调性即可判断出正误．D．利用对数函数的单调性即可判断出正误．解：A．∵x＞y＞0，∴＞，因此不正确；B．取x＝π+，y＝，满足x＞y＞0，但是tan x＜tan y，因此不正确；C．由x＞y＞0，∴＜，因此不正确；D．由x＞y＞0，∴lnx＞lny，因此正确．故选：D．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以：AB＝．故选：C．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．6【分析】根据题意，分3步依次分析甲、乙和其他2人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有2种，乙的站法有2种，②，乙同学与老师相邻，则乙的站法有2种，③，将剩下的2人全排列，安排在剩下的2个位置，有A22＝2种情况，则不同站法有2×2×2＝8种；故选：C．7．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】举例说明由不能得到；反之成立．再由充分必要条件的判定得答案．解：当，且与的夹角为120°时，有，故由，不能得到；反之，由，能够得到．∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，可得x2+ax﹣1＝0，△＞0，函数恒有两个零点，可得两个零点之积，即可判断出正误；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＞0．可得方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．可得其单调性极值，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，即可判断出正误；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，可得4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a，即可判断出正误．解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，则x2+ax﹣1＝0，△＝a2+4＞0，则函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1，正确；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＝（2+a）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0．∴方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．又e x﹣1＞0，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，则函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∴函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，因此②不正确；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a＝﹣1．∴f′（x）＝（x2+x﹣2）e x﹣1＝（x+2）（x﹣1）e x﹣1．可得x＝1时函数f（x）取得极小值，f（1）＝（1﹣1﹣1）e0＝﹣1．则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝﹣5 ．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m），则﹣＝（2，﹣m﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m﹣2）＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．【分析】设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得公差d，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：在公差d不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，可得a32＝a1a7，即（2+2d）2＝2（2+6d），解得d＝1，（0舍去），则数列{a n}的前n项和S n＝2n+n（n﹣1）＝n2+n．故答案为：n2+n．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1 ．【分析】设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c，结合渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的标准方程．解：设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c＝＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，两条渐近线互相垂直，可得﹣＝﹣1，解得a＝b＝1，则双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1，故答案为：x2﹣y2＝1．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos A的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可求解cos B的值．解：∵a＝3，，∠B＝2∠A，∴由正弦定理，可得＝＝，∴解得cos A＝，∴cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1＝．故答案为：．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）．【分析】利用不等式的基本性质可得由①③⇒⑤．（答案不唯一）．解：因为：若a，b满足a＞b，b＞0，则a＞b，m＞0，⇒﹣＝＝＞0；即由①③⇒⑤．（答案不唯一）．故答案为：①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 2.1m元．【分析】根据题意找到对应的点P，Q，利用三角形相似计算即可解：根据题意，因为道路PB，QA不穿过花园，所以作AQ⊥l，垂足为Q，此时AQ最短，过B作圆O的切线BP交l于P，此时PB最短，如图：根据平行线段成比例可得AQ＝0.6，即有AQ为△BMD的中位线，所以BM＝2AB＝2，则在Rt△BMD中，DM＝1.6，又因为△PBD∽△BMD，所以PB＝＝＝1.5，故修建道路总费用的最小值为1.5m+0.6m＝2.1m，故答案为：2.1m．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（I）先化简f（x），根据周期计算公式即可得出T．（II）利用三角函数的单调性即可得出．解：＝，（Ⅰ）f（x）的最小正周期T＝，（Ⅱ）因为，所以，所以当，即x＝0时，f（x）取得最小值0；当，即时，f（x）取得最大值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X0 1 2P（Ⅲ）S12＝S22．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥SA，AB⊥AD，然后证明AB⊥平面SAD．（Ⅱ）建立如图直角坐标系，求出平面SAB的法向量，平面SDC的法向量，通过向量的数量积求解即可．（Ⅲ）利用V B﹣AEF＝V F﹣ABE，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△SAB中，因为SA＝3，AB＝4，SB＝5，所以AB⊥SA．又因为∠DAB＝90°所以AB⊥AD，因为SA∩AD＝A所以AB⊥平面SAD．（Ⅱ）解：因为SA⊥AD，AB⊥SA，AB⊥AD．建立如图直角坐标系则A（0，0，0）B（0，4，0），C（2，4，0），D（1，0，0），S（0，0，3）．平面SAB的法向量为．设平面SDC的法向量为所以有即，令x＝1所以平面SDC的法向量为，所以．（Ⅲ）解：因为平面AEF∥平面SCD，平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以AE∥CD，平面AEF∩平面SBC＝EF，平面SCD∩平面SBC＝SC，所以FE∥SC，由AE∥CD，AD∥BC得四边形AEDC为平行四边形．所以E为BC中点．又FE∥SC，所以F为SB中点，所以F到平面ABE的距离为，又△ABE的面积为2，所以V B﹣AEF＝V F﹣ABE＝1．18．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．【分析】（Ⅰ）由椭圆的长轴长，结合离心率求出a，b，然后求解椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则，PN的中点，通过，结合函数的值域为[﹣12，20]，求解n的范围即可．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q，利用|MP|＝|MN|，通过函数的值域为[﹣12，20]，求解即可．解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a＝4，得a＝2又离心率，所以所以b2＝a2﹣c2＝2．所以椭圆C的方程为；．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则所以PN的中点，，．因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ⊥NP，则，即．又因为，所以所以．函数的值域为[﹣12，20]所以0≤n2≤20所以．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线，所以|MP|＝|MN|，即，所以．函数的值域为[﹣12，20]，所以0≤n2≤20．所以．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由为偶函数，g（0）＝1，把求g（x）在x∈R上零点个数，转化为求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．利用导数研究函数单调性，再由函数零点存在性定理判定．解：（Ⅰ）f'（x）＝x cos x，∴f'（0）＝0．又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（Ⅱ）∵为偶函数，g（0）＝1，∴要求g（x）在x∈R上零点个数，只需求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．，令g'（x）＝0，得，k ∈N，∴g（x ）在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增k∈N*，列表得：x 0 …g'（x）0 + 0 ﹣0 + 0 ﹣0 …g （x ）1 ↗极大值↘极小值↗极大值↘极小值…由上表可以看出g（x ）在（k∈N ）处取得极大值，在（k∈N）处取得极小值，又；．当k∈N*且k≥1时，，（或，）．∴g（x）在x∈（0，+∞）上只有一个零点．故函数零点的个数为2．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题目中“伴随数列”的定义得，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）只要用作差法证明{b n}的单调性即可，（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2，即可解得m的最大值．解：（Ⅰ）数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．因为，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）证明：因为，1≤n≤m﹣1，n∈N*，又因为a1＜a2＜…＜a m，所以有a n﹣a n+1＜0，所以，所以b1＞b2＞…＞b m成立．（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．所以，所以，所以，因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2所以（m﹣1）2≤2048，所以m≤46，又，所以m≤33，例如：a n＝64n﹣63（1≤n≤33），满足题意，所以，m的最大值是33．。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案
2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案2020年北京市海淀区高三二模试卷数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若全集 $U=R$。
$A=\{x|x-1\}$。
则A) $A\subseteq B$B) $B\subseteq A$C) $B\subseteq U$D) $A\subseteq B$2.下列函数中，值域为 $[0,+\infty)$ 且为偶函数的是A) $y=x^2$B) $y=|x-1|$C) $y=\cos x$D) $y=\ln x$3.若抛物线 $y^2=12x$ 的焦点为 $F$，点 $P$ 在此抛物线上且横坐标为 $3$，则 $|PF|$ 等于A) $4$B) $6$C) $8$D) $10$4.已知三条不同的直线 $l,m,n$ 和两个不同的平面$\alpha,\beta$，下列四个命题中正确的为A) 若 $m\parallel \alpha$。
$n\parallel \alpha$。
则$m\parallel n$B) 若 $l\parallel m$。
$m\subset \alpha$。
则 $l\parallel\alpha$C) 若 $l\parallel \alpha$。
$l\parallel \beta$。
则 $\alpha \parallel \beta$D) 若 $l\parallel \alpha$。
$l\perp \beta$。
则 $\alpha \perp \beta$5.在 $\triangle ABC$ 中，若 $a=7$。
$b=8$。
$\cos B=-\dfrac{1}{2}$，则 $\angle A$ 的大小为A) $\dfrac{\pi}{6}$B) $\dfrac{\pi}{4}$C) $\dfrac{\pi}{3}$D) $\dfrac{\pi}{2}$6.将函数 $f(x)=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图象向左平移$1$ 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图象，则A) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{\pi}{3})$B) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{2\pi}{3})$C) $g(x)=\cos 2x$D) $g(x)=-\cos 2x$7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 $1$，那么该三棱锥的体积为A) $\dfrac{2}{3}$B) $\dfrac{3}{2}$C) $2$D) $4$8.对于非零向量 $a,b$，$(a+b)\cdot a=2|a|^2$ 是 $a=b$ 的A) 充分而不必要条件B) 必要而不充分条件C) 充分必要条件D) 既不充分也不必要条件9.如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，点 $O$ 为底面 $ABCD$ 的中心，点 $P$ 在侧面$BB_1C_1C$ 的边界及其内部运动。
2020届北京市西城区高三上学期期末考试数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角 ,再根据正弦定理即可求出边 ．
【详解】因为 ,所以根据正弦定理知, ,即 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边,利用正弦定理解三角形,属于基础题．
4.设 ,且 则下列不等式中一定成立的是（）
10.已知向量 满足 ,其中 ,那么 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出 ,再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为 ,所以 ,解得 ．
因此 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用,属于基础题．
11.在公差为 的等差数列 中, ,且 成等比数列,则 ______________
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知, ,即得 ,故可知 是方程 的两个不同非负实根,由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知, ,即可得到 ,即可知 是方程 的两个不同非负实根,所以 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用,意在考查学生的转化能力,属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 的展开式中, 的系数为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项,赋值即可求出．
【详解】 展开式通项为 ,令 ,所以 的系数为 ．
北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习数学(二模)(含答案)
北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数学2020.6 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
( 1）若全集U= R, A = {x I x< 1} , B = (x I x ＞一1｝，则(A)A<;;B(B)Bt;;A( C)B <;; CuA ( 2）下列函数中，值域为［0, + 00 ）且为偶函数的是(A) y=x2 (B)y=lx-11( C)y=cosx ( D)CuA <;;B (D)y=lnx( 3 ）若抛物线y2= 12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则I PFI等于(A)4( B)6( C) 8( D)10(4）已知三条不同的直线I,m, n和两个不同的平面α，F，下列四个命题中正确的为(A）若m Hα，n Hα，则m II n(B ）若I II m, meα，则I I Iα (C）若I IIα，111 p，则αIIP(D）若I IIα，11..p，则α.1..p( 5）在！：：：.ABC中，若a=1,b=8，叫＝牛则LA的大小为(A）号(B)*(C）号(D）亏(6）将函数f(x）＝血（2x-f）的图象向左刊号个单位长度，得到函数g(x）的图象，则g(x)=(A)sin ( 2x＋号）( C)cos2x ( B)sin ( 2x ＋子）( D)-cos2x．，．．l，．．． ‘．， ．．、，’．白．．‘．，．，－ ．． ‘，，．a ‘‘’－－－－－－－－－．－－‘－－． ，，e ’（．a L ．．． ι’’－．俨’ ．．………又＼一图……一…．‘．’j j i g －－j e－－！ －J j e － －J j a － －…＼…一左…………：：l i t i －－； ．．． ，－a a －－－－’ －－－－E ’’－ －－··a 句脚’7··｜’；l e i －－d a ”’－E ．． 、怡、，－J ；’jl ；l － J I ；1 －j z ；！ ；I J I 丁，人（：1万，」视→、a x a ’…·视→………／一主一＼……俯丁··；，．：J e －－e ·－－－ ’’’－－－－－ －－－－－－－－ ’’’’也’’’－r －a ，，．． e g－－ ．．，．．，‘‘，，．． ，‘(7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,(B)1(D )4那么该三棱锥的体积为(A)t ( C )2( 8）对于非零向量a,b ，“（a+b)·a =2矿”是“a =b ”的(B ）必要而不充分条件(A）充分而不必要条件( D）既不充分也不必要条件(C）充分必要条件(9）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点。
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2020年9月3日。
北京市海淀区2020届高三数学一模试题含解析
当 时 ,所以必要性不成立
故选:A．
【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
（2）利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
10。形如 (n是非负整数）的数称为费马数，记为 数学家费马根据 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出 不是质数，那 的位数是（ ）
考点:复数运算
2。已知集合 ， ，则集合 可以是（ )
A。 {1，2}B。 {1，3}C. ｛0，1，2}D。 {1，2，3 }
【答案】B
【解析】
【分析】
集合 ， 是数集， , ， 集合中一定没有元素 ，由选项可得。
【详解】 ，则集合 中一定有元素 ，又 ， 集合中一定没有元素
可以是
故选：B。
【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”。
北京市海淀区2020届高三数学一模试题（含解析)
第一部分（选择题共40分)
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1。在复平面内,复数 对应 点位于（ ）
A。 第一象限B。 第二象限
C。 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析： ，对应的点为 ，在第一象限
对于B， , 不成立.对于C， ， 不成。对于D， ，因此成立.
故选:D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
5。在 的展开式中，常数项为( ）
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
2020-2021学年北京市人大附中高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市人大附中高三（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）已知集合A={x∈R|-1≤x≤3}，B={x∈N|2x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.42.（单选题，4分）若z（1-i）=2i，则z的虚部为（）A.1B.-1C.iD.-i3.（单选题，4分）在(√x2−√x)6的二项展开式中，x2的系数为（）A. 1516B. −1516C. 316D. −3164.（单选题，4分）已知平面向量a⃗=(√3，−1)，|b⃗⃗|=4，且(a⃗−2b⃗⃗)⊥a⃗，则|a⃗−b⃗⃗| =（）A.2B.3C.4D.55.（单选题，4分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB=2，PA=BC=√3，则二面角A-BC-P的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.（单选题，4分）已知f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12(ω＞0)，则下列说法错误的是（）A.若f（x）在（0，π）内单调，则0＜ω≤23B.若f（x）在（0，π）内无零点，则0＜ω≤16C.若y=|f（x）|的最小正周期为π，则ω=2D.若ω=2时，直线x=−2π3是函数f（x）图象的一条对称轴7.（单选题，4分）数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，4分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点P在C上，|PF|= 174，若以线段PF为直径的圆过点（1，0），则C的方程为（）A.x2=y或x2=8yB.x2=2y或x2=8yC.x2=y或x2=16yD.x2=2y或x2=16y9.（单选题，4分）在△ABC中，a=2 √3，√7 bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是（）A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√710.（单选题，4分）已知函数f（x）=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f（x）有下述四个结论：① f（x）的一个周期是2π；② f（x）是偶函数；③ f（x）的最大值大于√2；④ f（x）在（0，π）单调递减．其中所有正确结论编号是（）A. ① ②B. ① ③C. ① ④D. ② ④11.（填空题，5分）某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为___ ．12.（填空题，5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2•a4=16，a6=32，记b n=a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为___ ．13.（填空题，5分）已知F是双曲线C：x2- y28=1的右焦点，P是双曲线C上的点，A(0，6√2)．① 若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为 ___ ；② 若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为 ___ ．14.（填空题，5分）已知函数f(x)={3x−1+kx−1，x≤0|lnx|+kx−2，x＞0，若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 ___ ．15.（填空题，5分）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如下所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为___ ．乙2．每张选票“〇”的个数不超过2时才为有效票．丙16.（问答题，13分）已知△ABC中，bcosA-c＞0．（Ⅰ）△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．（Ⅱ）若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：① sinA=√22；② sinC=√32；③ a=2；④ c=√2．请证明使得△ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．17.（问答题，13分）如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，∠ABD=∠BCD=90°，EC=√2，AB=BD=2．（Ⅰ）证明：EM || 平面BCD；（Ⅱ）证明：EF⊥平面BCD；（Ⅲ）若直线EC与平面ABC所成的角等于30°，求二面角A-CE-B的余弦值．18.（问答题，14分）某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m（m∈[70，100]），其质量指标等级如表：质量指标值m [70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；（Ⅱ）若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90，95）的件数X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若每件产品的质量指标值m 与利润y （单位：元）的关系如表（1＜t ＜4）：均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．19.（问答题，15分）已知函数f （x ）= 12 x 2-alnx- 12 （a∈R ，a≠0）． （Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．20.（问答题，15分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 √32 ，且经过点 (1，√32) ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，且 |AB||OA|=32 ，求△OAB的面积．21.（问答题，15分）已知项数为m （m∈N*，m≥2）的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N*，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．（Ⅰ）数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由． （Ⅲ）已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1=1，a m =2021，求m 的最大值．2020-2021学年北京市人大附中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）已知集合A={x∈R|-1≤x≤3}，B={x∈N|2x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．【解答】：解：∵A={x∈R|-1≤x≤3}，B={x∈N|2x＜4}={x∈N|x＜2}={0，1}，∴A∩B={x∈R|-1≤x≤3}∩{0，1}={0，1}，∴集合A∩B中元素的个数为2．故选：B．【点评】：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，是基础题．2.（单选题，4分）若z（1-i）=2i，则z的虚部为（）A.1B.-1C.iD.-i【正确答案】：B【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】：解：由z（1-i）=2i，得z= 2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i+2i212+12= −2+2i2=−1+i，∴ z=−1−i，则z的虚部为-1．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.（单选题，4分）在(√x2−√x)6的二项展开式中，x2的系数为（）A. 1516B. −1516C. 316D. −316【正确答案】：D【解析】：求出二项展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可得解．【解答】：解：(√x2−√x)6的二项展开式的通项公式为T r+1= C6r•（-1）r•2r-6•x3-r，令3-r=2，求得r=1，故x2的系数为- C61•2-5=- 316．故选：D．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.（单选题，4分）已知平面向量a⃗=(√3，−1)，|b⃗⃗|=4，且(a⃗−2b⃗⃗)⊥a⃗，则|a⃗−b⃗⃗| =（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a⃗• b⃗⃗，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．【解答】：解：由平面向量a⃗=(√3，−1)，可得| a⃗ |= √3+1 =2，由(a⃗−2b⃗⃗)⊥a⃗，可得a⃗•（a⃗ -2 b⃗⃗）=0，即a⃗2=2 a⃗• b⃗⃗ =4，则a⃗• b⃗⃗ =2，|a ⃗−b ⃗⃗| = √(a ⃗−b ⃗⃗)2= √a ⃗2−2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2 = √4−2×2+16 =4， 故选：C ．【点评】：本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 5.（单选题，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB=2， PA =BC =√3 ，则二面角A-BC-P 的大小为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°【正确答案】：C【解析】：以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-P 的大小．【解答】：解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB=2， PA =BC =√3 ，∴AC⊥BC ，AC= √AB 2−BC 2 = √4−3 =1，以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P （0，0， √3 ），B （ √3 ，1，0），C （0，1，0）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，1 ，- √3 ）， PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，- √3 ）， 设平面PBC 的法向量 n ⃗⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗⃗•PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3x +y −√3z =0n ⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y −√3z =0 ，取z=1，得 n ⃗⃗ =（0， √3 ，1），平面ABC 的法向量 m ⃗⃗⃗ =（0，0，1）， 设二面角A-BC-P 的平面角为θ， 则cosθ= |m ⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗|•|n ⃗⃗| = 12 ，∴θ=60°， ∴二面角A-BC-P 的大小为60°， 故选：C ．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 6.（单选题，4分）已知 f (x )=√32sinωx +sin 2ωx2−12(ω＞0) ，则下列说法错误的是（ ）A.若f （x ）在（0，π）内单调，则 0＜ω≤23 B.若f （x ）在（0，π）内无零点，则 0＜ω≤16 C.若y=|f （x ）|的最小正周期为π，则ω=2 D.若ω=2时，直线 x =−2π3是函数f （x ）图象的一条对称轴【正确答案】：C【解析】：根据题意，将函数的解析式变形可得f （x ）=sin （ωx - π6 ），据此依次分析选项，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，f （x ）= √32 sinωx+sin 2 ωx 2 - 12 = √32 sinωx - 12 cosωx=sin （ωx - π6）， 由此依次分析选项：对于A ，若f （x ）在（0，π）内单调，则有ωπ- π6 ≤ π2 ，解可得ω≤ 23 ，A 正确，对于B，当x∈（0，π）时，则ωx- π6∈（- π6，ωπ- π6）若f（x）在（0，π）上无零点，则ωπ- π6≤0，解可得0＜ω≤ 16，B正确，对于C，若y=|f（x）|的最小正周期为π，则πω=π，解可得ω=1，C错误，对于D，若ω=2，则f（x）=sin（2x- π6），当x=- 2π3时，2x- π6=- 3π2，则直线x=−2π3是函数f（x）图象的一条对称轴，D正确，故选：C．【点评】：本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．7.（单选题，4分）数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．【解答】：解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1-S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+（n-1）d，于是a1=S1，a n+1=S n+1-S n=（S1+nd）-（S1+（n-1）d）=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．8.（单选题，4分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点P在C上，|PF|= 174，若以线段PF为直径的圆过点（1，0），则C的方程为（）A.x2=y或x2=8yB.x2=2y或x2=8yC.x2=y或x2=16yD.x2=2y或x2=16y【正确答案】：C【解析】：设出点P坐标，根据抛物线定义和性质，可将点P坐标代入即可解出．【解答】：解：由题意可知F（0，p2），准线方程为y=- p2，设点P（m．n），|PF|=n+ p2 = 174，又线段PF为直径的圆过点（1，0），∴圆的半径为178，圆心坐标为（m2，178），√(m2−1)2+(178−0)2=178，∴m=2，即P（2，174−p2）代入抛物线方程得，4=2p×（174−p2），解得p=8或12，故选：C．【点评】：本题考查抛物线的性质，圆的方程，属于基础题．9.（单选题，4分）在△ABC中，a=2 √3，√7 bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是（）A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√7【正确答案】：A【解析】：由已知结合正弦定理及同角基本关系可求sinA，cosA，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc的范围，进而可求．【解答】：解：由正弦定理及√7 bcosA=3asinB，得√7 sinBcosA=3sinAsinB，因为sinB＞0，所以√7 cosA=3sinA，A为锐角，结合sin2A+cos2A=1，所以sinA= √74，cosA= 34，由余弦定理得，cosA= 34 = b2+c2−122bc，整理得，24=2b2+2c2-3bc≥4bc-3bc=bc，当且仅当b=c时取等号，即bc≤24，则△ABC面积S= 12bcsinA≤12×24×√74=3 √7，故选：A．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在三角形求解中的应用，属于中档题．10.（单选题，4分）已知函数f（x）=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f（x）有下述四个结论：① f（x）的一个周期是2π；② f（x）是偶函数；③ f（x）的最大值大于√2；④ f（x）在（0，π）单调递减．其中所有正确结论编号是（）A. ① ②B. ① ③C. ① ④D. ② ④【正确答案】：B【解析】：① ，利用周期定义判断；② ，利用f（π4）和f（- π4）的值判断；③ 利用f（0）的值判断；④ 判断函数f（x）在（0，π2）的函数值判断即可．【解答】：解：① ：因为f（x+2π）=sin[cos（x+2π）]+cos[sin （x+2π）]=sin[cosx]+sin[cosx]=f（x），所以函数的一个周期为2π，故① 正确；② ：因为f（π4）=sin[cos π4]+cos[sin π4]=sin0+cos0=1，f（- π4）=sin[cos（- π4）]+cos[sin（- π4）]=sin0+cos（-1）=cos1，所以f（π4）≠f(−π4)，故函数不是偶函数；故② 错误；③ 因为f（0）=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+1 ＞√22+1＞√2，故③ 正确；④ ：当x∈（0，π2）时，0＜sinx＜1，0＜cosx＜1，所以[sinx]=[cosx]=0，所以f（x）=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1，即当x ∈(0，π2)时，f（x）=1为定值，故④ 错误； 故选：B ．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.（填空题，5分）某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为___ ． 【正确答案】：[1]36【解析】：设老年职工有x 人，列方程求出x 的值，再设该样本中的老年职工人数为y 人，列方程求出y 的值即可．【解答】：解：设老年职工有x 人，则中年职工有2x 人，所以x+2x+160=430， x=90，所以老年职工有90人，设该样本中的老年职工人数为y 人，则 y90 = 64160 ， 解得y=36，所以该样本中的老年职工人数为36人．【点评】：本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 12.（填空题，5分）在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2•a 4=16，a 6=32，记b n =a n +a n+1，则数列{b n }的前六项和S 6为___ ． 【正确答案】：[1]189【解析】：先由题设求得a 3，进而求得公比q 与a n ，再求得b n ，然后利用等比数列的前n 项和公式求得结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2•a 4=16=a 32，a n ＞0，∴a 3=4， 又∵a 6=32，∴ a 6a 3=q 3=8，解得：q=2， ∴a n =a 6q n-6=2n-1， ∴b n =2n-1+2n =3×2n-1， ∴S 6=3(1−26)1−2=189，故答案为：189．【点评】：本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．=1的右焦点，P是双曲线C上的点，13.（填空题，5分）已知F是双曲线C：x2- y28A(0，6√2)．① 若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为 ___ ；② 若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]9; [2]11【解析】：由题意知，F（3，0），① 当A，P，F按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值；② 设双曲线的左焦点为F'，由双曲线的定义可知，|PF|=|PF'|+2，当A，P，F'按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值．【解答】：解：由题意知，F（3，0），① |AP|+|PF|≥|AF|= √(0−3)2+(6√2−0)2 =9，当且仅当A，P，F按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为9；② 设双曲线的左焦点为F'（-3，0），由双曲线的定义知，|PF|-|PF'|=2a=2，所以|AP|+|PF|=|AP|+|PF'|+2≥|AF'|+2= √(0+3)2+(6√2−0)2 +2=11，当且仅当A，P，F'按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为11．故答案为：9；11．【点评】：本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知函数f(x)={3x−1+kx−1，x≤0|lnx|+kx−2，x＞0，若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]（-e-3，0）【解析】：首先将问题进行等价转化，然后结合函数的图像即可确定实数k的取值范围．【解答】：解：原问题等价于函数g(x)={2x−1−1|lnx|−2与函数y=-kx存在4个不同的交点．绘制函数g（x）的图像如图所示，很明显，当k≥0时，不满足题意，当k＜0时，两函数在区间（-∞，0）和区间（0，1）上必然各存在一个交点，则函数g（x）与函数y=-kx在区间（1，+∞）上存在两个交点，临界条件为函数y=-kx与函数h（x）=lnx-2相切，考查函数h（x）=lnx-2过坐标原点的切线：由函数的解析式可得：ℎ′(x)=1x，设切点坐标为（x0，lnx0-2），则切线方程为：y−(lnx0−2)=1x0(x−x0)，切线过坐标原点，则：0−(lnx0−2)=1x0(0−x0)，解得：x0=e3，此时切线的斜率为：−k=ℎ′(x0)=e−3，据此可得：实数k的取值范围是（-e-3，0）．故答案为：（-e-3，0）．【点评】：本题主要考查由函数零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．15.（填空题，5分）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如下所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为___ ．【解析】：假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x，y，z∈N，整理后得到当x=0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．【解答】：解：不妨设共有选票100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则根据题意得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x，y，z∈N，整理可得z-x=5，即z=x+5，由题意，若要投票有效率越高，则z需越小，故当x=0时，z最小为5，此时y=95，此时投票的有效率为95÷100=95%，故答案为：95%．【点评】：本题考查了函数模型的选择，考查简单的逻辑推理，属于中档题．16.（问答题，13分）已知△ABC中，bcosA-c＞0．（Ⅰ）△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．（Ⅱ）若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：① sinA=√22；② sinC=√32；③ a=2；④ c=√2．请证明使得△ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得sinAcosB＜0，再由A，B的范围可得cosB＜0，求出B为钝角；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得B为钝角，当① ② 条件时，求出A，C的值，进而求出B的值，不符合B为钝角的条件，所以① ② 不能同时成立；当① ③ ④ 时，求出C角，进而求出B的值，再由余弦定理可得b的值；当② ③ ④ 时，由正弦定理求出A的值，进而由三角形内角和可得B的值，由于不满足B 为钝角的条件故舍弃．【解答】：解：（Ⅰ）因为bcosA-c＞0，由正弦定理可得sinBcosA-sinC＞0，在△ABC中，C=π-A-B，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以不等式整理为sinAcosB+cosAsinB＜sinBcosA，即sinAcosB＜0，因为A∈（0，π），sinA＞0，所以cosB＜0，所以B为钝角；（Ⅱ）（i）若满足① ③ ④ ，则正弦定理可得asinA = csinC，即√22 = √2sinC，所以sinC= 12，又a＞c，所以A＞C，在三角形中，sinA= √22，所以A= π4或A= 34π，而由（Ⅰ）可得A= π4，所以可得C= π6，B=π-A-C=π- π4- π6= 712π；所以b= √a2+c2−2accosB = √4+2−2×2×√2(−√6−√24) = √3 +1；（ii）若满足① ② ，由（Ⅰ）B为钝角，A，C为锐角，及sinA= √22，sinC= √32，可得A= π4，C= π3，所以B= 512π 不符合B为钝角，故① ② 不同时成立；（iii）若满足② ③ ④ ，由B为钝角，sinC= √32，所以C= π3，而a＞c，所以A＞C，这时B ＜π3，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足① ③ ④ 时b= √3 +1．【点评】：本题考查三角形的性质大边对大角及三角形正余弦定理的应用，属于中档题．17.（问答题，13分）如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，∠ABD=∠BCD=90°，EC=√2，AB=BD=2．（Ⅰ）证明：EM || 平面BCD；（Ⅱ）证明：EF⊥平面BCD；（Ⅲ）若直线EC与平面ABC所成的角等于30°，求二面角A-CE-B的余弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由中位线的性质知EM || CD，再由线面平行的判定定理，得证；（Ⅱ）由中位线的性质知EF || AB，EF=1，从而有EF⊥BD，再结合直角三角形的性质和勾股定理的逆定理可得EF⊥CF，然后由线面垂直的判定定理，得证；（Ⅲ）由（Ⅱ）中的EF⊥平面BCD，推出AB⊥CD，再利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，从而有EM⊥平面ABC，于是∠ACE=30°，然后可证明△BCD是等腰直角三角形，故以B为原点建立空间直角坐标系，求得平面ACE和平面BCE的法向量m⃗⃗⃗与n⃗⃗，由cos＜m⃗⃗⃗，n⃗⃗＞，得解．= m⃗⃗⃗⃗•n⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗|•|n⃗⃗|【解答】：（Ⅰ）证明：∵E，M分别是线段AD，AC的中点，∴EM || CD，又EM⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EM || 平面BCD．AB=1，（Ⅱ）证明：∵E，F分别是线段AD，BD的中点，∴EF || AB，EF= 12∵∠ABD=90°，即AB⊥BD，∴EF⊥BD，BD=1，∵∠BCD=90°，F为BD的中点，∴CF= 12∵ EC=√2，∴EC2=EF2+CF2，即EF⊥CF，又BD∩CF=F，BD、CF⊂平面BCD，∴EF⊥平面BCD．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，EF⊥平面BCD ， ∵EF || AB ，∴AB⊥平面BCD ，∴AB⊥CD ，∵∠BCD=90°，即BC⊥CD ，且AB∩BC=B ，AB 、BC⊂平面ABC ， ∴CD⊥平面ABC ，∵EM || CD ，∴EM⊥平面ABC ，∴∠ACE 为直线EC 与平面ABC 所成的角，即∠ACE=30°， ∵CD⊥平面ABC ，∴CD⊥AC ，∵E 为AD 的中点，∴CE= 12AD=AE ，即△ACE 是底角为30°的等腰三角形， ∵ EC =√2 ，∴AC= √6 ，BC= √AC 2−AB 2 = √6−4 = √2 ， ∵BD=2，∠BCD=90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CF⊥BD ，以B 为原点，BD ，BA 所在直线分别为y ，z 轴，在平面BCD 内作Bx || CF ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，0，0），A （0，0，2），E （0，1，1），C （1，1，0）， ∴ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0，1）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，-2）， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0）， 设平面ACE 的法向量为 m ⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ），则 {m ⃗⃗⃗•CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0m ⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {−x +z =0x +y −2z =0 ，令z=1，则x=1，y=1，∴ m ⃗⃗⃗ =（1，1，1）， 同理可得，平面BCE 的法向量为 n ⃗⃗ =（1，-1，1）， ∴cos ＜ m ⃗⃗⃗ ， n ⃗⃗ ＞= m⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|•|n ⃗⃗|= √3×√3 = 13 ， 由图可知，二面角A-CE-B 为锐角， 故二面角A-CE-B 的余弦值为 13 ．【点评】：本题考查空间中线与面的位置关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，理解线面角的定义，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.（问答题，14分）某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m（m∈[70，100]），其质量指标等级如表：质量指标值m [70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；（Ⅱ）若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90，95）的件数X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（1＜t＜4）：质量指标值m [70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，100]利润y（元）4t 9t 4t 2t −5e t3试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设事件A的合格率为P（A），则根据概率分布直方图求出一件产品为合格或合格以上等级的概率，由此能求出事件A发生的概率；（Ⅱ）由频率分布直方图和分层抽样求出抽取的7件产品中，m∈[85，90）的有4件，m∈[90，95）的有2件，m∈[95，100）的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90，95）的件数X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）；（Ⅲ）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值k与利润y（元）的关系，从而求出每件产品的利润y=-0.5e t+2.5t，（1＜t＜4），则y′=-0.5e t+2.5，利用导数性质能求出生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.5时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．【解答】：解：（Ⅰ）设事件A的概率为P（A），则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P=5（0.04+0.02）=0.3，则P（A）=1-0.32=1-0.09=0.91，（Ⅱ）由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，m∈[85，90）的频率为0.08×5=0.4，m∈[90，95）的频率为0.04×5=0.2，m∈[95，100]的频率为0.02×5=0.1，∴利用分层抽样抽取的7件产中，m∈[85，90）的有4件，m∈[90，95）的有2件，m∈[95，100）的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90，95）的件数X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）= C53C73 = 27，P（X=1）= C21C52C73 = 47，P（X=2）= C22C51C73 = 17，∴X的分布列为：E（X）=0×7 +1×7+2×7=7．（Ⅲ）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系与表所示（1＜t ＜4），y=-0.5e t+0.8t+0.6t+0.9t+0.2t=-0.5e t+2.5t，（1＜t＜4），则y′=-0.5e t+2.5，令y′=-0.5e t+2.5=0，解得t=ln5，∴当t∈（1，ln5）时，y′＞0，函数y=-0.5e t+2.5单调递增，当t∈（ln5，4）时，y′＜0，函数y=-0.5e t+2.5t，单调递减，∴当t=ln5时，y取最大值，为-0.5e ln5+2.5×ln5=1.5，∴生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、利润最大值的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，15分）已知函数f（x）= 12 x2-alnx- 12（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=2时，写出f（x）的表达式，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；（Ⅱ）求出函数的定义域，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间；（Ⅲ）由题意可知，对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f （x）min≥0．下面对a进行分类讨论，从而求出a的取值范围；【解答】：解：（Ⅰ）a=2时，f(x)=12x2−2lnx−12，f(1)=0f′(x)=x−2x，f′(1)=−1曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x+y-1=0（Ⅱ）f′(x)=x−ax =x2−ax(x＞0)① 当a＜0时，f′(x)=x2−ax＞0恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）② 当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=√a或x=−√a所以函数f （x ）的递增区间为 (√a ，+∞) ，递减区间为 (0，√a)（Ⅲ）对任意的x∈[1，+∞），使f （x ）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f （x ）min ≥0 ① 当a ＜0时，f （x ）在[1，+∞）上是增函数， 所以只需f （1）≥0 而 f (1)=12−aln1−12=0 所以a ＜0满足题意；② 当0＜a≤1时， 0＜√a ≤1 ，f （x ）在[1，+∞）上是增函数， 所以只需f （1）≥0 而 f (1)=12−aln1−12=0 所以0＜a≤1满足题意；③ 当a ＞1时， √a ＞1 ，f （x ）在 [1，√a] 上是减函数， [√a ，+∞) 上是增函数， 所以只需 f(√a)≥0 即可 而 f(√a)＜f (1)=0 从而a ＞1不满足题意；综合 ① ② ③ 实数a 的取值范围为（-∞，0）∪（0，1]．【点评】：考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值和单调性．恒成立的问题，一般都要求函数的最值，此题是一道中档题． 20.（问答题，15分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 √32 ，且经过点 (1，√32) ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，且 |AB||OA|=32 ，求△OAB的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由椭圆离心率为 √32 ，且经过点 (1，√32) ，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线AB 与椭圆的方程，得x 2+4（kx+m ）2=4，由Δ＞0，得4k 2+1＞m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，推出OA⊥AB ，进而设直线OA 的方程为y=- 1k x ，联立直线AB 的方程得y 1，x 1，代入椭圆的方程可得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，再计算|AB|2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4) ，|OA|2= 4(k 2+1)k 2+4，进而可得 |AB|2|OA|2 = 36k 2(4k 2+1)2 = 94 ，解得k 2= 14 ，进而可得△OAB 的面积S= 12 |OA||AB|= 34 |OA|2，即可得出答案．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得 { c a =√321a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a=2，b=1，c= √3 ，∴椭圆方程为 x 24 +y 2=1．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立y=kx+m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4（kx+m ）2=4， ∴（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2-4=0，∴Δ=（8km ）2-4（4k 2+1）（4m 2-4）=16（4k 2+1-m 2）＞0，即4k 2+1＞m 2， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1 ，x 1x 2= 4m 2−44k 2+1， 因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，所以OA⊥AB ， 设直线OA 的方程为y=- 1k x ，联立直线AB 的方程得y 1= m k 2+1 ，x 1=-ky 1= −kmk 2+1 ， 代入x 12+4y 12=4，所以（ −km k 2+1 ）2+4（ mk 2+1 ）=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1-m 2=4k 2+1-4(k+1)2k 2+4 = (4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4， 所以|AB|= √1+k 2 √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √1+k 2 √(−8km 4k 2+1)2−4•4m 2−44k 2+1 = 4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1， 所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2 = 144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)， 所以|OA|2=（-ky 1）2+y 12=（k 2+1）（ mk 2+1 ）2= m 2k 2+1 =4(k 2+1)k 2+4，所以 |AB|2|OA|2 = 36k 2(4k 2+1)2 = 94 ，得16k 2=（4k 2+1）2，解得k 2= 14 ， 此时m 2= 4(k 2+1)2k 2+4= 2517 ＜4k 2+1，满足Δ＞0，由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4 = 2017 ，所以△OAB 的面积S= 12|OA||AB|= 12|OA|× 32|OA|= 34|OA|2= 1517．【点评】：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.（问答题，15分）已知项数为m （m∈N*，m≥2）的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N*，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．（Ⅰ）数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由． （Ⅲ）已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1=1，a m =2021，求m 的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式求出a 1+a 2+a 3+a 4=22，再利用“关联数列”的定义进行分析求解即可；（Ⅱ）利用“关联数列”的定义结合数列单调性的判断方法，即作差法进行判断即可； （Ⅲ）利用已知条件分析得到a n+1-a n ≥m -1，然后表示出a m -1≥（m-1）2，从而得到m 的取值范围，再利用“关联数列”{b n }，得到 b 1−b m =2020m−1∈N ∗ ，利用m-1为2020的正约数分析求解即可．【解答】：解：（I ）1，4，7，10是项数为4的递增等差数列， 其中a 1=1，d=3，a n =1+（n-1）×3=3n-2，所以a 1+a 2+a 3+a 4=22， 则 b n =a 1+a 2+a 3+a 4−a n4−1=22−3n+23， 故b n =8-n ，1≤n≤4，n∈N*， 所以b 1=7，b 2=6，b 3=5，b 4=4，所以数列1，4，7，10存在“关联数列”为7，6，5，4；（Ⅱ）因为{a n}为递增数列，所以a n+1-a n＞0，则b n+1−b n=(a1+a2+⋯+a m)−a n+1m−1 - (a1+a2+⋯+a m)−a nm−1= a n−a n+1m−1＜0，所以b n+1＜b n，故数列{b n}具有单调递减性；（Ⅲ）由于b n∈Z，则b n-b n+1≥1，故a n+1−a nm−1≥1，所以a n+1-a n≥m-1，又a m-1=（a m-a m-1）+（a m-1-a m-2）+…+（a2-a1）≥（m-1）+（m-1）+…+（m-1）=（m-1）2，所以（m-1）2≤2020，解得m≤45，所以{a n}存在“关联数列”{b n}，所以b1−b m=(a1+a2+⋯+a m)−a1m−1 - (a1+a2+⋯+a m)−a mm−1=a m−a1m−1= 2020m−1∈N∗，因为m-1为2020的正约数，且m≤45，故m-1的最大值为20，所以m的最大值为21．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，属于难题．。
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷1.在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|0<x<3}，A∩B={1}，则集合B可以是()A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5.在(1x−2x)6的展开式中，常数项为()A. −120B. 120C. −160D. 1606.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M′时，圆M′与直线l相切于点B，点A运动到点A′，线段AB的长度为3π2，则点M′到直线BA′的距离为()A. 1B. √32C. √22D. 127.已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139.若数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是()(参考数据：lg2≈0.3010)A. 9B. 10C. 11D. 1211.已知点P(1,2)在抛物线C：y2=2px上，则抛物线C的准线方程为______．12.在等差数列{a n}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{a n}的前4项的和为______．13.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =______．14.在△ABC中，AB=4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD=2，则AD=；△ACD的面积为．15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P 到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是______．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−BC−E的大小．17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)从①ω1=1，ω2=2；②ω1=1，ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x+ax．(Ⅰ)当a=−1时，①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)求证：当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，△A1BA2的面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q.求证：△BPQ为等腰三角形．21.已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=ka n对任意的n∈N∗成立，则称数列{a n}具有性质Ψ(k)．(Ⅰ)分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ(2)；(直接写出结论)①a n=1；②a n=2n．(Ⅱ)若数列{a n}满足a n+1≥a n(n=1,2,3,…)，求证：“数列{a n}具有性质Ψ(2)”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；(Ⅲ)已知数列{a n}中a1=1，且a n+1>a n(n=1,2,3,…).若数列{a n}具有性质Ψ(4)，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i(2−i)=−i2+2i=1+2i，∴复数对应的点的坐标是(1,2)，这个点在第一象限，故选A．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<3}，A∩B={1}，∴集合B可以是{1,3}．故选：B．根据A={x|0<x<3}，A∩B={1}，即可得出集合B可能的情况．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B=1(b>0)的离心率为√5，【解析】解：双曲线x2−y2b2可得√b2+1=√5，解得b=2，1故选：B．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，对于A：因为c<b，a<0，所以c+a<c，b−a>b，则c+a<c<b−a，即c+a< b−a，故A错误；对于B：因为c<b<a<0，|c|>|b|>|a|，所以c2>b2>a2，且b2>ab，所以c2> b2>ab，则c2>ab，故B错误；对于C：因为b<a<0，所以1b >1a，则cb<ca，故C错误；对于D：因为|b|>|a|，且c<0，所以|b|c<|a|c，故D正确，(法2)不妨令c=−5，b=−4，a=−1，则c+a=−6<b−a=−3，故A错误；c2=25>ab=4，故B错误；cb =54<ca=5，故C错误；故选：D．法1：根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由题意得：T k+1=(−2)k C6k x2k−6，令2k−6=0得k=3，故常数项为T4=(−2)3C63=−160．故选：C．先求出通项，然后令x的指数为零即可．本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据条件可知圆周长=2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A’位置如图：∠A′M′B =90°，则△A′M′B 是等腰直角三角形， 则M′到A′M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A′M′B 是等腰直角三角形，进而可求得M′到A′M 的距离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x −m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减， 则f(x)在区间(−2,−1)上递增，而f(x)=|x −m|={x −m,x ≥m −x +m,x <m ，在区间(m,+∞)上为增函数，则有m ≤−2，即m 的取值范围为(−∞,−2]； 故选：D ．根据题意，分析可得f(x)在区间(−2,−1)上递增，将f(x)写成分段函数的形式，分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数，据此可得m 的取值范围．本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以最长的棱长AB =√22+22+22=2√3． 故选：C ．首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”，取p=n，r=1，则a n+1=2a n，∴{a n}为等比数列，充分性成立．若{a n}为等比数列，则a p+r=2×q p+r−1，a p a r=22⋅q p+r−2，只有q=2时才能成立，必要性不成立．∴数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力．根据所给定义表示出F5≈109.632×109，进而即可判断出其位数．【解答】解：根据题意，F5=225+1=232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010= 109.632=100.632×109，因为1<100.632<10，所以F5的位数是10．故选：B．11.【答案】x=−1【解析】解：把点P(1,2)代入抛物线方程有，4=2p，∴p=2，=−1．∴抛物线的准线方程为x=−p2故答案为：x=−1．把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】24【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，a2+a5=16，∴2×3+5d=16，解得d=2．则数列{a n}的前4项的和=4×3+4×32×2=24．故答案为：24．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】0【解析】解：因为非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2⇒a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −12b⃗ 2=0．故答案为：0．把所给条件平方整理得到a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14.【答案】4√22√6【解析】【分析】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．【解答】 解：如图：因为在△ABC 中，AB =4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD =2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB ⇒AD =4√3×sinπ4sin π3=4√2；S △ACD =12⋅AD ⋅CD ⋅sin∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．15.【答案】①②【解析】解：由题可得函数f(x)={3+(x −3)2,0≤x <63+(x −9)2,6≤x <123+(x −15)2,12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x =0，6，12，18时，f(x)取得最大值12，故①正确； 又f(x)=f(18−x)，所以函数f(x)的对称轴为x =9，故②正确；由图象可得，函数f(x)图象与y =kx +3的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故③错误． 故答案为：①②．写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B .在△BCC 1中，BC =1，BC 1=√3，CC 1=2，所以BC 2+BC 12=CC 12． 所以CB ⊥C 1B .因为AB ∩BC =B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz ．则B(0,0,0)，E(−12,√3,1)，C(1,0,0)．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,1)． 设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x =0,−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x =0，z =−3， 所以n ⃗ =(0,√3,−3)．又因为平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12． 由题知二面角A −BC −E 为锐角，所以其大小为π3．【解析】(Ⅰ)证明AB ⊥C 1B .CB ⊥C 1B .利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz.求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x ，则f(0)=2cos 20+sin0=2；(Ⅱ)选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)=2cos 2x +sin2x=(cos2x +1)+sin2x =√2(√22sin2x +√22cos2x)+1 =√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2,π6]，所以2x +π4∈[−3π4,7π12]；所以−1≤sin(2x +π4)≤1， 所以1−√2≤f(x)≤1+√2； 当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为1−√2． 选择条件②，则f(x)的一个周期为2π； 由f(x)=2cos 2x +sinx=2(1−sin 2x)+sinx=−2(sinx −14)2+178；因为x ∈[−π2,π6]，所以sinx ∈[−1,12]；所以当sinx =−1，即x =−π2时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为−1．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值； (Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在[−π2,π6]的最小值． 选择条件②时f(x)的一个周期为2π，化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在[−π2,π6]的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年， 所以P(A)=910．(Ⅱ)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X =0)=C 52C 102=29；P(X =1)=C 51C 51C 102=59；P(X =2)=C 52C 102=29．所以X 的分布列为：故X 的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(Ⅲ)从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【解析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可；(Ⅱ)显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X 取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；(Ⅲ)结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可． 本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)①当a =−1时，f(x)=e x −x ，则 f′(x)=e x −1．所以f′(0)=0． 又f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1； ②令f′(x)=0，得x =0，此时f′(x)，f(x)随x 的变化如下：可知f(x)min =f(0)=1，函数f(x)的最小值为1． (Ⅱ)证明：由题意可知，x ∈(0,+∞)，令g(x)=e x +ax +lnx −1，则g′(x)=e x +1x +a ， 由(Ⅰ)中可知e x −x ≥1，故 e x ≥1+x ，因为a ∈(−2,0)，则g′(x)=e x +1x+a ≥(x +1)+1x+a ≥2√x ⋅1x+a +1=3+a >0，所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增， 因为g(1e)=e 1e +ae−2<e 12−2<0，又因为g(e)=e e +ae >e 2−2e >0， 所以g(x)有唯一的一个零点．即函数y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点．【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．(Ⅰ)①将a =−1代入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解； ②求出函数函数f(x)的单调性情况，进而得出最值；(Ⅱ)即证函数g(x)=e x +ax +lnx −1仅有一个零点，利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，结合零点存在性定理即得证．20.【答案】解：(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．( II)解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2),y =12x +1.解得点P(4k+22k−1,4k 2k−1)． 由{y =k(x −2),x 24+y 2=1.得(4k +1)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)．k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1．由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1,−22k−1)． 于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M(x 0,y 0)(x 0≠±2,y 0≠±1)则x 02+4y 02=4． 直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2),y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2,4y 02y0−x 0+2)．直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1．由{y =yx 0+2(x +2),y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2,4y 02y0+x 0+2)．x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．y P +y Q =4y 02y0−x 0+2+4y 02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形．【解析】(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(II)解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP|=|BQ|，即可证明△BPQ 为等腰三角形．(x−2)，解法2，设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.直线A2M方程为y=y0x0−2x+1.通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP|=直线A1B方程为y=12|BQ|，得到△BPQ为等腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)①数列{a n}具有“性质Ψ(2)”；②数列{a n}不具有“性质Ψ(2)”．(Ⅱ)证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n结合a n+1≥a n有a n=a n+1=⋯=a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n−1+a2n=2a1=2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ(2)”．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ(4)”，所以a2n−1+a2n=4a n．当n=1时，有a2=3a1=3．又因为a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，所以有a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，所以2(a n+1−a n)≥3，结合a n+1,a n∈N∗可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)=(a2k+2−a2k)+(a2k+1−a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1−a k≥3依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾，所以有a n+1−a n≤2．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，经验证，该通项公式满足a2n−1+a2n=4a n，所以：a n=2n−1．【解析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．(Ⅱ)先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n−1+a2n=2a1= 2a n，即可证明．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2.根据{a n}具有“性质Ψ(4)”，可得a2n−1+a2n=4a n.当n=1时，有a2=3a1=3.由a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，可得a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，可得2(a n+1−a n)≥3，可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2.假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+ a2k+1)−(a2k+a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12.又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1−a k≥3，依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。