平行线中的拐点问题PPT课件
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2024七年级数学下册提练第2招巧解平行线中的“拐点”问题习题课件新版浙教版
(3)如图③，点P在直线CD下方，∠BAP与∠DCP的平分 线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说 明理由．
【解】∠AKC＝12∠APC. 理由：如图③，过点 K 作 KE∥AB， 则∠BAK＝∠AKE， ∵AB∥CD，∴KE∥CD，∴∠DCK＝∠CKE， ∴∠AKC＝∠AKE－∠CKE＝∠BAK－∠DCK.
【解】如图①，过点P作PE∥AB， 则∠APE＝∠BAP. ∵AB∥CD，∴PE∥CD， ∴∠CPE＝∠DCP， ∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝ ∠BAP＋∠DCP＝60°＋20°＝80°.
(2)如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的 平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并 说明理由．
【解】如图，过点C作CF∥AB， 则∠ABC＋∠FCB＝180°， ∴∠FCB ＝ 180° － ∠ABC ＝ 60° ， ∴∠DCF＝∠BCD－∠FCB＝ 80°－60°＝20°. 由 题 意 可 得 DE∥AB ， ∴CF∥DE ， ∴∠CDE＝∠DCF＝20°.
4. 如图，已知AB∥CD，∠B＝135°，∠D＝30°，求 ∠BED的度数．
(1)MD和NE平行吗？为什么？ 【解】MD∥NE.理由如下： 如图①，过点A作AF∥MD， 则∠MBA＋∠BAF＝180°. 又∵∠MBA＋ ∠BAC＋∠NCA＝360°， ∴∠FAC＋∠NCA＝180°， ∴AF∥NE，∴MD∥NE.
(2)若∠ABD＝ 70° ，∠ACE＝ 36°， BP和CP分 别平 分 ∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数． 【解】如图②，过点P作PQ∥MD. ∵BP 和 CP 分 别 平 分 ∠ABD ， ∠ACE ， ∠ABD＝70°，∠ACE＝36°，
【解】∠AKC＝12∠APC. 理由：如图②，过点 K 作 KE∥AB， 则∠AKE＝∠BAK. ∵AB∥CD，∴KE∥CD，∴∠CKE＝∠DCK， ∴∠AKC＝∠AKE＋∠CKE＝∠BAK＋∠DCK.
2019年春沪科版七年级数学下册课件：第10章 2 平行线中常见的“拐点”类型(共30张PPT)
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类 型 2 双“M”形图
3．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF， ∠BFD＝120°.求∠BED的度数．
解：如图，过点F作FG∥AB， 所以∠BFG＝∠ABF. 因为AB∥CD， 所以FG∥CD. 所以∠CDF＝∠DFG. 所以∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
(2)如图②，分别在OE，CD上取点G，H，使FO平分 ∠CFG，EO平分∠AEH，试说明FG∥EH.
因为AB∥CD，所以∠AEH＋∠CHE＝180°， 因为FO平分∠CFG，EO平分∠AEH， 所以∠CFG＝2∠2，∠AEH＝2∠1， 因为∠1＋∠2＝90°， 所以∠CFG＋∠AEH＝2∠1＋2∠2＝180°， 所以∠CFG＝∠CHE，所以FG∥EH.
又因为∠1＝∠2, 所以∠BAP－∠1＝∠APC－∠2， 所以∠3＝∠4， 所以AE∥PF， 所以∠E＝∠F.
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(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出 ∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
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5．如图是乐乐设计的智力拼图玩具的一部分，AB∥CD， 现在乐乐遇到了两个问题，请你帮助解决：
(1)若∠APC＝60°，∠A＝40°，求∠C的度数．
解：过点P作PE∥AB，如图， 则∠APE＝∠A＝40°. 因为AB∥CD，所以PE∥CD. 所以∠C＝∠CPE＝∠APC－∠APE＝20°.
所以∠ABC＝∠BCF＝72°.
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7．如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1＝56°. (1)求∠AFG的度数；
解：因为BC∥EG， 所以∠E＝∠1＝56°. 因为AF∥DE， 所以∠AFG＝∠E＝56°.
(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝14°，求 ∠ACB的度数．
类 型 2 双“M”形图
3．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF， ∠BFD＝120°.求∠BED的度数．
解：如图，过点F作FG∥AB， 所以∠BFG＝∠ABF. 因为AB∥CD， 所以FG∥CD. 所以∠CDF＝∠DFG. 所以∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
(2)如图②，分别在OE，CD上取点G，H，使FO平分 ∠CFG，EO平分∠AEH，试说明FG∥EH.
因为AB∥CD，所以∠AEH＋∠CHE＝180°， 因为FO平分∠CFG，EO平分∠AEH， 所以∠CFG＝2∠2，∠AEH＝2∠1， 因为∠1＋∠2＝90°， 所以∠CFG＋∠AEH＝2∠1＋2∠2＝180°， 所以∠CFG＝∠CHE，所以FG∥EH.
又因为∠1＝∠2, 所以∠BAP－∠1＝∠APC－∠2， 所以∠3＝∠4， 所以AE∥PF， 所以∠E＝∠F.
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(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出 ∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
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5．如图是乐乐设计的智力拼图玩具的一部分，AB∥CD， 现在乐乐遇到了两个问题，请你帮助解决：
(1)若∠APC＝60°，∠A＝40°，求∠C的度数．
解：过点P作PE∥AB，如图， 则∠APE＝∠A＝40°. 因为AB∥CD，所以PE∥CD. 所以∠C＝∠CPE＝∠APC－∠APE＝20°.
所以∠ABC＝∠BCF＝72°.
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7．如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1＝56°. (1)求∠AFG的度数；
解：因为BC∥EG， 所以∠E＝∠1＝56°. 因为AF∥DE， 所以∠AFG＝∠E＝56°.
(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝14°，求 ∠ACB的度数．
平行线拐点模型1(铅笔型)课件(共16张PPT) 人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线
解：如图，过点C作CM//AB，过点D作DN//AB，
∵ AB//EF，
∴ AB//EF//CM//DN.
∵ CM//AB，
∴ ∠ABC + ∠BCM = 180∘ （两直线平行，同旁内角互补）.
∵ CM//DN，
∴ ∠MCD + ∠NDC = 180∘ （两直线平行，同旁内角互补）.
【例3】 如图，将有一个角为60∘ 的直角三角尺放置在两条平行线AB和CD
A. 180∘
B. 270∘
C. 360∘
D. 540∘
2.如图，直线AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（
C ）
A．80°
B．120° C．100°
D．140°
3.如图，直线AB∥EF，那么∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF＝（ C ）
A．270°
B．360° C．540°
∘
2.如图，//，则∠ + ∠ + ∠ + ∠ =_______.
典例讲解
【例1】如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平
行∠1＝32°，∠2＝62°则∠3的度数是（ C ）
A．118°
B．148°
C．150°
D．162°
【例2】如图，已知AB//EF，求∠ABC + ∠BCD + ∠CDE + ∠DEF的度数.
上，若∠1 = 36∘ ，求∠2的度数.
解：如图18，过点F作EF//AB.
由平行线的性质，得∠EFG = ∠1 = 36∘ .
则∠EFH = 60∘ − ∠EFG = 24∘ .
由AB//CD，EF//AB，得EF//CD.
初中数学课件平行线间的拐点问题
度，并说明理由．
-21如图，已知//，若按图中规律继续下去，则∠1 + ∠2 + ⋯ + ∠ =
(
)
A.n⋅180 °
B.2n⋅180 °
C.(n−1)⋅180 °
D.(n−1)2⋅180 °
应用练习
如图，直线//，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 =______.
√
平行线间的拐点问题
—子弹图
如图，已知//，∠1 = 120 ° ，∠2 = 90 ° ，则∠3的度数是（ ）
确认预判Ⅱ
如图所示，//、是、之间的一条折线，则∠1 +
∠2 + ∠3 + ∠4 = ________．
思维导图
课程目标
1、根据关键特征识别子弹图模型，能独立推导并掌握模型结论；
2、掌握作辅助线方法及规范的几何语言；
3、能灵活运用子弹图模型解决延伸问题。
课程导入
A
B
E
E
C
1、子弹图（铅笔型）
D
2、猪手图（燕尾型）
E
A
B
A
B
C
C
D
D
E
3、靴子图（燕尾型）
课程导入
A
F
E
B
E
F
C
D
E
A
B
A
B
C
C
D
D
E
核心方法：过拐点作已知直线的平行线
简单说成：逢拐点作平行线，一般而言，有几个拐点，就做几条平行线
出∠ + ∠ + ∠的大小吗？
解：过点画//
∵//(________)
-21如图，已知//，若按图中规律继续下去，则∠1 + ∠2 + ⋯ + ∠ =
(
)
A.n⋅180 °
B.2n⋅180 °
C.(n−1)⋅180 °
D.(n−1)2⋅180 °
应用练习
如图，直线//，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 =______.
√
平行线间的拐点问题
—子弹图
如图，已知//，∠1 = 120 ° ，∠2 = 90 ° ，则∠3的度数是（ ）
确认预判Ⅱ
如图所示，//、是、之间的一条折线，则∠1 +
∠2 + ∠3 + ∠4 = ________．
思维导图
课程目标
1、根据关键特征识别子弹图模型，能独立推导并掌握模型结论；
2、掌握作辅助线方法及规范的几何语言；
3、能灵活运用子弹图模型解决延伸问题。
课程导入
A
B
E
E
C
1、子弹图（铅笔型）
D
2、猪手图（燕尾型）
E
A
B
A
B
C
C
D
D
E
3、靴子图（燕尾型）
课程导入
A
F
E
B
E
F
C
D
E
A
B
A
B
C
C
D
D
E
核心方法：过拐点作已知直线的平行线
简单说成：逢拐点作平行线，一般而言，有几个拐点，就做几条平行线
出∠ + ∠ + ∠的大小吗？
解：过点画//
∵//(________)
平行线与拐点问题 ppt课件
C
图5
∠BED=∠D－∠B
A
B
C
D
图7
E
∠BED=∠B－∠D
4.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： （1）∠1＋∠2＝___180_°__； （2）∠1＋∠2＋∠3＝___ 36_0_°； （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __54_0_°； （4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n
∴∠C=∠1
∵∠A+∠E+∠2=180°
C
D
∠1+∠2=180°
∴∠1=∠A+∠E
∴∠C=∠A+∠E
巧用平行解决“拐点”问题
F
E
〖结论〗：
A
B ∠AEC= ∠C- ∠A
C
D
解：过点E 作EF∥AB。 ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥AB∥CD ∴∠A=∠AEF∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等） ∵∠FEC=∠AEF+∠AEC ∴∠C= ∠A+∠AEC
课堂小结
平行线的“判定”与“性质”有什么不同:
判定：已知角的关系得平行的关系． 推平行，用判定． 性质：已知平行的关系得角的关系． 知平行，用性质．
练一练 已知：AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.
证明：∵AB ∥ CD
∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2 ∴∠ABC -∠1=∠BCD- ∠2 即∠3=∠4
∵AB∥CD（已知）
二推:角相等或互补 三推：加法或减法 四推：替换
∴EF∥AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠B=∠BEF ∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）
∵∠BED=∠BEF+∠DEF
课件七年级数学人教版下册平行线中的拐点(拐角)问题专题
∴A．∠A1E2C0°=∠C-∠BA．130° C．140° D．150°
83．如图，所直示线，a若∥AbB，∥则CD∠，AB则D∠的A度，数∠D是，（∠E之）间的度数关系是（ ）
3（．3）如图利所用示上，述若结论AB解∥决CD问，题则：∠如A，图∠④D，，A∠BE∥之C间D，的∠度A数BE关和系∠是CD（E的平）分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．
10．如图，桌面上有木条b、c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（ ）
过点E作EF,使得EF∥AB
如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝
，请你说明理由；
3．如图所示，若AB∥CD，则∠A，∠D，∠E之间的度数关系是（ ）
A．72° B．68° C．63° D．18°
（A．2）340如°．图③如，BM．图A315∥°，NA4A，CD则．∠∥4A01°C+∠BA2+，D∠．A34∠+5∠°DA4=＝43°； ，∠B=25°，则∠DEB的度数为（
）
7．如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（ ）
如图AB∥CD，∠1=140°，∠2=90°，则∠3的度数是（ ）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
小结
问题1：关于平行线中“拐角”问题，如何添加辅助线？ 问题2：如何寻找动角之间的数量关系？
课后检测
1．如图，已知AB∥DE，∠B=20°，∠D=130°，那么∠BCD等于（ ） A．60° B．70° C．80° D．90° 2.如图AB∥CD，∠1=140°，∠2=90°，则∠3的度数是（ ）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
初中数学人教七年级下册第五章相交线与平行线平行线中的拐点问题PPT
问题导入
已知：如图，AB∥CD，若线段BD是拉直的橡皮筋， 在BD上任 取一点E，向不同的方向拉动点E，那么
∠ABE、∠BED、∠EDC之间有什么数量关系呢？
A
B
E
C
D
一个动点与两条平行线的位置关系
①点在两平行线之间
A
B
A
B
E
C
图2
D
②点在两平行线之外
E
A
B
A
B
C 图3
D
C
D
图4 E
E
C
D
图1
E
A
B
C
D
解：过点E 作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴AB∥CD∥EF
∴∠B=∠BEF, ∠D=∠DEF
∴∠B=∠BEF =∠BED+∠DEF
∴∠B= ∠BED +∠D
F
∠B=∠BED+∠D
新知探究三：‘靴子’型
F
A
E
B
∠B=∠BED+∠D
C
D
解：过点E 作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴AB∥CD∥EF
放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上。若∠1
＝20°，则∠2的度数为( )
D
A．20° B．30° C．45° D．50°
新知探究三“靴子“型
若将点E向线段AB的左上方拉动（如图）. 已知AB∥CD， 问∠B、∠D、∠BED的关系.
E
A
B
C
D
图5
新知探究三：‘靴子’型
E
A
∴∠ABE+∠BEF=180°∴∠D+∠FED=180°
已知：如图，AB∥CD，若线段BD是拉直的橡皮筋， 在BD上任 取一点E，向不同的方向拉动点E，那么
∠ABE、∠BED、∠EDC之间有什么数量关系呢？
A
B
E
C
D
一个动点与两条平行线的位置关系
①点在两平行线之间
A
B
A
B
E
C
图2
D
②点在两平行线之外
E
A
B
A
B
C 图3
D
C
D
图4 E
E
C
D
图1
E
A
B
C
D
解：过点E 作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴AB∥CD∥EF
∴∠B=∠BEF, ∠D=∠DEF
∴∠B=∠BEF =∠BED+∠DEF
∴∠B= ∠BED +∠D
F
∠B=∠BED+∠D
新知探究三：‘靴子’型
F
A
E
B
∠B=∠BED+∠D
C
D
解：过点E 作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴AB∥CD∥EF
放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上。若∠1
＝20°，则∠2的度数为( )
D
A．20° B．30° C．45° D．50°
新知探究三“靴子“型
若将点E向线段AB的左上方拉动（如图）. 已知AB∥CD， 问∠B、∠D、∠BED的关系.
E
A
B
C
D
图5
新知探究三：‘靴子’型
E
A
∴∠ABE+∠BEF=180°∴∠D+∠FED=180°