公选课-数学建模论文-钢管下料问题

钢管下料问题

摘要

生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.

针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.

关键词线性规划最优解钢管下料

1、问题的提出

某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？

2、问题的分析

首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 3、基本假设

假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.

4、定义符号说明

（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .

（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 5、模型的建立

由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：

Min=（1x ?1.1+2x ?1.2+3x ?1.3+4x ?1.4）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有

11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4)

41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5)

每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是：

1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850 （6）

1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850 （7）

1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850 （8） 1750≦290?14r +315?24r +350?34r +455?44r ≦1850 （9）

由于排列顺序无关紧要因此有

1x ≧2x ≧3x ≧4x (10)

又由于总根数不能少于

（15?290+28?315+21?350+30?455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于

（15?290+28?315+21?350+30?455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有

i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13)

7、模型的求解

将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0

即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解： Min=（14?11/10+5?12/10）?a =21.4a

6、结果分析、模型的评价与改进

下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃. 7、参考文献

【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页. 8、附录

模型求解的算法程序：

model:

min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;

r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;

r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;

r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;

r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;

290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;

290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;

290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;

290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;

290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;

290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;

x1+x2+x3+x4>=19;

x1+x2+x3+x4<=20;

x1>=x2;

x2>=x3;

x3>=x4;

r11+r21+r31+r41<=5;

r12+r22+r32+r42<=5;

r13+r23+r33+r43<=5;

r14+r24+r34+r44<=5;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);

@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);

@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);

@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);

@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);

end

经运行得到输出如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 21.40000

Objective bound: 21.40000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 1

Total solver iterations: 34507

Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000