辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试卷(理科)
辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）两圆，的公切线有且仅有（）
A . 1条
B . 2条
C . 3条
D . 4条
2. （2分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的视图，则其体积为（）
A . 12＋
B . 24＋
C . 32＋
D . 24＋
3. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 命题“ ∈(0，+∞)，”的否定为（）
A . ∈(0，+∞)，
B . ∈(0，+∞)，
C . ∈(-∞，0]，
D . ∈(-∞，0]，
4. （2分）下列命题：
①平行于同一平面的两直线平行;
②垂直于同一平面的两直线平行;
③平行于同一直线的两平面平行;
④垂直于同一直线的两平面平行;
其中正确的有（）.
A . ②和④
B . ①、②和④
C . ③和④
D . ②、③和④
5. （2分）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的为（）
A . AC⊥BD
B . AC∥截面PQMN
C . AC＝BD
D . 异面直线PM与BD所成的角为45°
6. （2分）若，则p是q的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
7. （2分）若不论取何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）(2012·全国卷理) 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）在空间四边形ABCD中，E,F分别为AC,BD的中点，若则EF与CD所成的角为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）如图，已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为（）
A .
B . 2
C .
D .
11. （2分） (2017高二上·石家庄期末) 设F1、F2分别是双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C的右支上的点，射线PQ平分∠F1PF2交x轴于点Q，过原点O作PQ的平行线交PF1于点M，若
|MP|= |F1F2|，则C的离心率为（）
A .
B . 3
C . 2
D .
12. （2分） (2017高二下·襄阳期中) 已知抛物线C：y2=4x的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若2 = ，则直线PQ的斜率是（）
A .
B . 1
C .
D . 2
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
14. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:
①如果 ,那么；②如果 ,那么；③如果 ,那么
；④如果 ,那么与所成的角和与所成的角相等,其中正确的命题为________．
15. （1分）过两直线和的交点且与直线平行的直线方程为________
16. （1分） (2018高一上·大连期末) 已知圆C: ,过点P（3,1）作圆C的切线，则切线方程为________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2017高一下·黄冈期末) 在平面直角坐标系内，已知A（1，a），B（﹣5，﹣3），C（4，0）；
（1）当a∈（，3）时，求直线AC的倾斜角α的取值范围；
（2）当a=2时，求△ABC的BC边上的高AH所在直线方程l．
18. （5分） (2016高二下·孝感期末) 已知命题p：方程 =1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：复数z=（m﹣3）+（m﹣1）i对应的点在第二象限，又p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
19. （10分） (2015高三上·驻马店期末) 在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r= ．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．
20. （10分）(2012·山东理) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，A B∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（1）求证：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．
21. （10分）(2017·成安模拟) 已知椭圆 =1的一个焦点为F（2，0），且离心率为
（1）求椭圆方程；
（2）过点M（3，0）作直线与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
22. （10分）(2019·永州模拟) 已知动点到两定点，距离之和为4（），且动点的轨迹曲线过点 .
（1）求的值；
（2）若直线与曲线有不同的两个交点，且（为坐标原点），求
的值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、22-1、
22-2、。
2019-2020年沈阳市郊联体高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)
辽宁省沈阳市郊联体高二上期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．=﹣1 C．D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1＞0B．命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1是真命题C．设∈R，则2+≥0是﹣1≤≤3的充分不必要条件D．∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y=0，则≠03．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条B．1条 C．2条 D．3条4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A． B．C．D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（2+3+2）6展开式中的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．3848．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.14210．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C． D．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．612．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为．14．（5分）在平面直角坐标系oy中，已知双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀∈[1，2]，2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失∈[0，2000]则取=1000，且=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：．21．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1相交于M，N两点，且圆P 在椭圆T内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为1，BD的斜率为2，且12=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．=﹣1 C．D．【解答】解：抛物线2=2y的准线方程为：y=﹣，故选：D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1＞0B．命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1是真命题C．设∈R，则2+≥0是﹣1≤≤3的充分不必要条件D．∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y=0，则≠0【解答】解：对于A，命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1≥0，故A错误；对于B，命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1的逆否命题为：已知，y∈R，若=2且y=1，则+y=3，是真命题，则原命题是真命题，故B正确；对于C，设∈R，由2+≥0，得≥﹣2，当=4时，不满足﹣1≤≤3，故C错误；对于D，∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y≠0，则≠0，故D错误．故选：B．3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条B．1条 C．2条 D．3条【解答】解：由题意可知点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8上，故过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点时只能是：i）过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8相切，ii）过点（﹣2，﹣4）且平行于对称轴．故选：C．4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线∴双曲线的渐近线方程为y=±，即a±by=0∵双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，∴右焦点F（0，c）到渐近线a±by=0的距离d==，解之得b=，即，化简得c2=a2因此，该双曲线的标准离心率为e==故选：C．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A． B．C．D．【解答】解：20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，则P（A）=1﹣=，P（AB）==，∴其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为：P（B|A）===．故选：D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，小球落入A袋中的概率为：P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）=．故选：D．7．（5分）（2+3+2）6展开式中的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．384【解答】解：（2+3+2）6 表示6个因式开式（2+3+2）的乘积，其中一个因式取3，其余的都取2，可得展开式中的系数为•3•25=576，故选：B．8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设N（0，y0），由题意可得M（0，y0），设P（，y），由点P满足，可得（，y﹣y0）=（0，0），可得=0，y=y0，即有0=2，y0=y，代入圆C：2+y2=8，可得．即有点P的轨迹方程为．故选：B．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142【解答】解：2+y2+2＜1发生的概率为π×13×=，当输出结果为524时，i=1001，m=527，2+y2+2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.144，故选：A．10．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A． B．C． D．【解答】解：抛物线y2=2p（p＞0）的焦点坐标为（，0），∵直线l倾斜角为30°，∴直线l的方程为：y﹣0=（﹣）．设直线与抛物线的交点为A（1，y1）、B（2，y2），∴|AF|=1+，|BF|=2+，联立方程组，消去y并整理，得42﹣28p+p2=0，解得1=p，2=p，或2=p，1=p，当1=p，2=p时，∴|AF|=1+=（4+2）p，|BF|=2+=（4﹣2）p，∴|AF|：|BF|==7+4，当2=p，1=p时，∴|AF|：|BF|==7﹣4，故选：C．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．6【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），D（0，y0），则1+2=20，y1+y2=2y0．由A，B在双曲线，则，相减可得=×=×=×，∴AB=，即=2OD．同理可得=2OE，=2OF．∴=2（OD+OE+OF）=2×（﹣2）=﹣4．故选A．12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④【解答】解：由图可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2∴①正确，②不正确．∴a1+c2=a2+c1，∴（a1+c2）2=（a2+c1）2，即a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，∴b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＜b2，∴c1a2＜a1c2，∴③不正确；此时④，∴④正确．故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为91．【解答】解：样本间隔为2000÷100=20，则抽出的号码为11+20（﹣1），则第五组号码为11+20×4=91，故答案为：91．14．（5分）在平面直角坐标系oy中，已知双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．【解答】解：椭圆的焦点为（±5，0），双曲线的焦点坐标在轴上．则双曲线的c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，则3b=4a，解得，a=3，b=4．则双曲线的方程为．故答案为：．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．【解答】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），由∠B1PB2为钝角知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，把b2=a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＞0，解得，又0＜e＜1，所以0＜e＜，故答案为：．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=﹣8．【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=t+m，有，消y可得2+16t+16m=0，由△=162t2﹣4×16m＞0可得4t﹣m＞0∴1+2=﹣16t，12=16m，∴|AP|2=12+（y1﹣m）2=12+t212=（1+t2）12，|BP|2=22+（y2﹣m）2=（1+t2）22，∴=+=•=•当m=﹣8时，为定值，故答案为：﹣8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀∈[1，2]，2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若q为真命题时：（a+1）（a﹣2）＜0，∴﹣1＜a＜2，∴a∈（﹣1，2）；（2）若p为真命题时：a≤（2）min∈[1，2]，∴a≤1，p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，即或，解得1＜a＜2或a≤﹣1，∴a的范围为（1，2）∪（﹣∞，﹣1]．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人自第二组的概率为；（3）的可能取值为0，1，2，3，，，，∴的分布列为．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．【解答】解：（1）由题意知动点M到（4，0）的距离比它到直线l：=﹣6的距离小2，即动点M到（4，0）的距离与它到直线=﹣4的距离相等，由抛物线定义可知动点M的轨迹为以（4，0）为焦点的抛物线，则点M的轨迹方程为y2=16；（2）法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，设直线AB的方程为=ty+m（m≠0）A（1，y1），B（2，y2），联立方程，消去，可得y2﹣16ty﹣16m=0，△＞0即4t2+m＞0，y1+y2=16t，y1y2=﹣16m，，由题意知OA⊥OB，即，则12+y1y2=0，∴m2﹣16m=0，∵m≠0，∴m=16，∴直线AB的方程为=ty+16，∴直线AB过定点，且定点坐标为（16，0）；法二：假设存在定点，设定点P（0，0），A（1，y1），B（2，y2）（y1y2≠0），∵OA⊥OB，∴，∴12+y1y2=0，又∵A、B在抛物线上，即代入上式，可得，∴y1y2=﹣256，又∵A、B、P 三点共线，∴，∴，∴假设成立，直线AB经过轴的定点，坐标为（16，0）．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失∈[0，2000]则取=1000，且=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：．ξ的所有可能取值为2000，4000，6000，8000，10000，，P （ξ=10000）=0.22=0.04， 所以ξ的分布列为（2），∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．21．（12分）已知椭圆T ：的离心率为，若椭圆T 与圆=1相交于M ，N 两点，且圆P 在椭圆T 内的弧长为π． （1）求a ，b 的值；（2）过椭圆T 的中心作两条直线AC ，BD 交椭圆T 于A ，C 和B ，D 四点，设直线AC 的斜率为1，BD 的斜率为2，且12=． ①求直线AB 的斜率；②求四边形ABCD 面积的取值范围．【解答】解：（1）由圆P 在椭圆T 内的弧长为，则该弧所对的圆心角为，M、N的坐标分别为，设c2=a2+b2，由可得，∴a2=4b2，则椭圆方程可记为+=1，将点（﹣1，）代入得，∴b2=1，a2=4，∵a＞b＞0，∴a=2，b=1；（2）①由（1）知椭圆方程可记为，由题意知直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为：y=+m，设A（1，y1），B（2，y2），联立，消去y，可得（1+42）2+8m+4m2﹣4=0，由△＞0，即16（1+42﹣m2）＞0，∴，∴，∵，∴，即12=4y1y2，∴42=1，∴=±；②，O到直线AB的距离，四边形ABCD面积，∵m2∈（0，1）∪（1，2），∴四边形ABCD面积S∈（0，4）．22．（12分）在平面直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ1，θ）（ρ1＞0），由题意可知，由|OP||OM|=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为2+（y﹣1）2=1（y≠0）；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，则直线l极坐标方程为θ=α，联立，∴A（2sinα，α），∴，∴或，∴或，∴直线l得斜率为或；法二：由题意分析可知直线l的斜率一定存在，且由直线l的参数方程可得，直线l过原点，设直线l的普通方程为y=，∴C2到l的距离，可得，∴直线l得斜率为或．。
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．抛物线22y x =的准线方程是（ ） A ．12x =B ．12x =-C ．18y =D ．18y =-【答案】D【解析】抛物线22y x =可化为212x y =，焦点在y 轴上，112,,228p p =∴=∴抛物线22y x =的准线方程是18y =-，故选D.2．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为12，18，则输出的a 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．12【答案】C【解析】根据程序框图所示代入a ,b 分别为12,18运行即可. 【详解】输入a ,b ,运行到判断框“a b ¹”处结果为“是”, 进而运行到判断框“a b >”处结果为“否”. 执行“18126b =-=”.此时12,6a b ==. 运行到判断框“a b ¹”处结果为“是”, 进而运行到判断框“a b >”处结果为“是”. 执行“1266a =-=”.此时6,6a b == 运行到判断框“a b ¹”处结果为“否”, 输出 “6a =”. 故选：C本题主要考查了程序框图的运用,属于基础题型. 3．有下列说法：①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；②在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，1）内取值的概率为0.4，则X 在（0，2）内取值的概率为0.8．③废品率x %和每吨生铁成本y （元）之间的回归直线方程为y $=2x +256，这表明废品率每增加1%，生铁成本大约增加258元；④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K 2的观测值k ≈3.918，经查对临界值表知P （K 2≥3841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”， 正确的有（ ） A ．①②④ B ．①②③ C ．①③ D ．③④【答案】A【解析】根据统计与案例的方法逐个选项判断即可. 【详解】①∵田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人, ∴这支田径队有女运动员98-56=42人,用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本, ∴每个个体被抽到的概率是282987= , ∵田径队有女运动员42人, ∴女运动员要抽取242127⨯=. 故①正确；②根据正态分布的规律,测量结果X 服从正态分布N （1,σ2）（σ＞0）,若X 在（0,1）内取值的概率为0.4,则X 在（0,2）内取值的概率为20.40.8⨯=. 故②正确；③废品率00x 和每吨生铁成本y （元）之间的回归直线方程为2256y x =+$这表明废品率每增加001,生铁成本每吨大约增加2元, 故③不正确；④根据独立性检验的方法与结论可知,④正确．【点睛】本题主要考查了分层抽样,正态分布与线性回归方程和独立性检验的基础知识,属于基础题型. 4．下列命题中正确的是（ ） A ．若（x ﹣3）（x ﹣7）≠0，则x ≠3或x ≠7B ．以y 轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线方程是x ＝0C ．“若|x |+y 2＝0，则x ，y 全为0”的逆否命题是“若x ，y 全不为0，则|x |+y 2≠0”D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，2x ≤0” 【答案】A【解析】根据对应知识点逐个选项判断即可. 【详解】对A,“若(3)(7)0x x --≠,则3x ≠或7x ≠”的逆否命题为“若3x =且7x =,则(3)(7)0x x --=”正确.故原命题正确.对B, 三角形底边的中线为线段,纵坐标有取值范围,故B 错误.对C, “若20x y +=,则,x y 全为0”的逆否命题是“若,x y 不全为0,则20x y +≠”,故C 错误.对D, 命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“00,20x x R ∃∈≤”,故D 错误.故选：A 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型.5．设1F ，2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12F PF ∆的面积等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．1【答案】B【解析】依题意可设丨PF 2丨＝x ，则丨PF 1丨＝2x ，利用椭圆的定义与其标准方程可求得x 的值，从而可知丨PF 1丨与丨PF 2丨，并能判断△PF 1F 2的形状，从而可求得△PF 1F 2的面积． 【详解】设丨PF 2丨＝x ，则丨PF 1丨＝2x ，依题意，丨PF 1丨+丨PF 2丨＝x +2x ＝3x ＝2a ＝6， ∴x ＝2，2x ＝4，即丨PF 2丨＝2，丨PF 1丨＝4，又|F 1F 2丨＝94-=5 ∴2221212PF PF F F +=，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴△PF 1F 2的面积为S 12=丨PF 1丨丨PF 2丨12=⨯2×4＝4． 故选：B ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，判断△PF 1F 2为直角三角形是关键，属于中档题． 6．两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ＝{至少有一枚骰子6点向上}，B ＝{两枚骰子都是6点向上}，则P （B |A ）＝（ ） A ．16B ．136C ．112D ．111【答案】D【解析】根据条件概率的方法,求出基本事件的总数与满足条件的基本事件数再求解即可. 【详解】由题,事件A 所有的基本事件一共有665511⨯-⨯=个,其中满足“两枚骰子都是6点向上”的基本事件一共只有两枚骰子均为6点一种情况.故()1(|)()11n AB P B A n A == 故选：D 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算,属于基础题型.7．已知一组数据1，3，5，7的方差为n ，则在二项式（2x 3xn 的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（ ） A ．16B ．112C ．13D ．57【答案】C【解析】求出方差n 再代入 32⎛⎝nx x ,求得展开式中的项数,再求有理项的个数即可. 【详解】1,3,5,7的平均数1(1357)44x =+++= ，故方差 22221[(14)(34)(54)(74)]54n =-+-+-+-=.故二项式532x x ⎛⎝的展开项共6项.其中通项公式155331552()2(1)r rrrr rrr TC x C x----+=⋅-=⋅-⋅.()5,r r N ≤∈其中有理项满足3r-为整数,即0,3r =满足. 故展开式所有项中任取一项,取到有理项的概率为2163= 故选：C 【点睛】本题主要考查了方差的运算以及二项式展开式的应用,需要根据题意列出通项公式中某项满足的条件再求解即可.属于中等题型.8．过抛物线y 2＝﹣8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝1的距离之和等于5，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在【答案】D【解析】抛物线28y x =-焦点为(2,0)-,再设1122(,),(,)A x y B x y ,则可得它们到直线x ＝1的距离之和为122()x x -+,再联立方程利用韦达定理求是否有12x x +满足即可.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ,焦点(2,0)F -.则A ,B 两点到直线x ＝1的距离之和为122()5x x -+=,即123x x +=-. 当直线AB 垂直于x 轴时, (2,4),(2,4)A B ---显然不满足123x x +=-.设:(2)ABl y k x =+,联立22222(2)(48)408y k x k x k x k y x =+⎧⇒+++=⎨=-⎩. 故2122248843k x x k k++=-=--<-.即123x x +=-无解. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,需要设直线联立方程进行求解分析,属于中等题型.9．已知F 是双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，点E 在以AB 为直径的圆外，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞）C ．（1，12+）D ．（1，2）【答案】D【解析】点E 在以AB 为直径的圆外可知E 到AB 的距离大于通经长的一半,再列式求解不等式即可.【详解】由题得AB 为通经,故22b AB a=,又点E 在以AB 为直径的圆外可知E 到AB 的距离大于通经长的一半,即2222222220b a c a ac b a ac c a c ac a a->⇒->⇒->-⇒+-<故220(2)(1)012e e e e e +-<⇒-+<⇒-<<,又1e >,故12e <<. 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的问题,需要根据题意找出对应的不等式关系再求解即可.属于中等题型.10．设A ，B 是椭圆C ：224x y k+=1长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足∠APB ＝120°，则k 的取值范围是（ ） A ．（0，43]∪[12，+∞） B ．（0，23]∪[6，+∞） C ．（4,43）∪(4,12） D ．（0，43]∪[6，+∞）【答案】A【解析】分焦点在x 轴与y 轴上两种情况进行讨论,再根据在短轴顶点处APB ∠取得最大值进行分析即可. 【详解】若C 上存在点P 满足∠APB ＝120°,则只需当点P 在短轴顶点时120APB ∠≥︒. 故分析长半轴与短半轴的关系即可.当焦点在x 轴时,若120APB ∠≥︒则4230304kk k ⎧≥⎪<≤⎨<<⎪⎩ 当焦点在y 轴时,若120APB ∠≥︒则23124k k k ⎧≥⎪≥⎨>⎪⎩.故[)40,12,3k ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆中的角度最值问题,需要根据考虑当角度最大时的点P 位置,同时根据题意找到对应的不等式关系,属于中等题型.11．设椭圆的方程为2222x y a b+=1，直线AB 不经过原点，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点．若直线AB 的斜率为1，则直线OM 的斜率不可能是（ ） A ．43-B ．916-C ．14-D ．﹣1【答案】D【解析】先求得AB OM k k ⋅为定值,再表达出OM k 的表达式分析即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ,则1212(,)22x x y y M ++,又2211222222121222222222101x y x x y y a ba b x y a b ⎧+=⎪--⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩ , 即2221222212y y bx x a-=--.故12121222122212221222AB OMy y y y k k x x y y b x x x x a -=--+-⋅=⋅=+-.即22AB OM k k b a =-⋅ 又1AB k =,故22OM ak b =-,因为a b ¹,故221OM k b a =-≠-.故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的定值问题,需要根据22AB OMk k b a=-⋅进行求解,属于中等题型.12．点P 为双曲线22916x y -=1上一点，且点P 在第一象限．记点P 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，若d 1∈[61255，]，则d 2的取值范围（ ）A ．（0，125）B ．[125，+∞） C ．[122455，] D ．[245，+∞） 【答案】C【解析】先证明12d d ⋅为定值,再根据161255d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求2d 的范围即可.【详解】设00(,)P x y ,则222200001169144916x y x y -=⇒-=.又渐近线为43y x =±,即430x y ±=.故22000000122222434316914425254343x y x y x y d d +--⋅===++.即1214425d d ⋅=又161255d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,故21144122425,55d d ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线中的定值问题,属于中等题型.二、填空题13．已知双曲线22216x y b-=1（b ＞0）的一条渐近线方程为3x +2y ＝0，则b ＝_____．【答案】6【解析】根据渐近线方程求解即可. 【详解】222116x y b-=的渐近线方程为4b y x =±,又320x y +=斜率为32-,故3642b b =⇒=.故答案为：6 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程,属于基础题型.14．由命题“存在x ∈R ，使x 2+4x +m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为_____． 【答案】(4,)+∞【解析】先求得否命题为真,再根据恒成立问题求解即可. 【详解】由命题“存在x ∈R ,使x 2+4x +m ≤0”是假命题知“对于任意的x ∈R ,240x x m ++>”,故判别式16404m m -<⇒>.故实数m 的取值范围为(4,)+∞. 故答案为：(4,)+∞ 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型.15．小明在书写英文单词“banana ”时，只记得该单词由3个a ，2个n ，1个b 组成，则小明书写正确的概率为_____． 【答案】160【解析】根据排列组合的方法求得所有可能的情况总数即可. 【详解】所有组合的可能情况：先排3个a ,再排2个n ,再排1个b . 故共有32163120360C C C ⋅⋅=⨯=.故小明书写正确的概率为160故答案为：160【点睛】本题主要考查了排列组合的基本问题,属于基础问题.16．已知F 为抛物线28x y =的焦点， O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为__________． 【答案】13【解析】试题分析：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A 到准线的距离为4，即A 点的横坐标为-2，又点A 在抛物线上，∴从而点A 的坐标A （-2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （4，0）,则|PA|+|PO|的最小值为：22(42)(04)213-+-=故答案13【考点】抛物线的简单性质.三、解答题17．设命题p ：实数m 满足使方程223x y a m a m+=--1，其中a ＞0为双曲线：命题q ：实数m 满足302m m -≤-． （1）若a ＝1且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2＜m ＜3（2）{a |1＜a ≤2}【解析】(1)分别求得命题,p q 对应的范围,再求交集即可.(2)求出,p q ⌝⌝对应的范围,再根据充分不必要条件的列出区间端点满足的关系求解不等式即可. 【详解】（1）由方程223x y a m a m+=--1,其中a ＞0为双曲线,得（3a ﹣m ）（a ﹣m ）＜0,又a ＞0,所以a ＜m ＜3a , 当a ＝1时,1＜m ＜3,即p 为真时,实数m 的取值范围是1＜m ＜3； q 为真时实数m 满足302m m -≤-． 即q 为真时实数m 的取值范围是2＜m ≤3；若p ∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数m 的取值范围是2＜m ＜3． （2）若￢p 是￢q 的的充分不必要条件,即q 是p 的的充分不必要条件, 即等价于q ⇒p ,p 推不出q ；设A ＝{m |a ＜m ＜3a },B ＝{m |2＜m ≤3},则B ⫋A ； 则a ≤2,且3a ＞3,所以实数a 的取值范围是：{a |1＜a ≤2}． 【点睛】本题主要考查了命题的真假与双曲线的标准方程和分式不等式的求解与集合间的基本关系等.属于中等题型 18．某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有X名同学，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）第三组的频率是0.3，第四组的频率是0.2，第五组的频率是0.1（2）①1145②详见解析【解析】(1)根据频率等于对应的矩形面积求解即可.(2)用分层抽样的方法求得在第三,四,五组中对应的人数,再利用排列组合的方法求解概率与分布列即可. 【详解】（1）第三组的频率是0.150×2＝0.3,第四组的频率是0.100×2＝0.2,第五组的频率是0.050×2＝0.1,（2）①由（I）可知,第三,四,五组所占的比例为3：2：1,在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5＝3个, 而第三组共有100×0.3＝30个,所以甲乙两名同学同时被选中的概率为1283301145CPC==,②第四组共有X名同学,所以X的取值为0,1,2P（X＝0）242625CC==；P（X＝1）112426815C CC==；P（X＝2）2226115CC==；所以X的分布列为X 0 1 2P 25 815 115E （X ）＝0281212515153⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图中概率的求法以及分布列与数学期望的求法,属于中等题型.19．“新车嗨翻天!首付3000元起开新车”这就是毛豆新车网打出来的广告语．某人看到广告，兴奋不已，计划于2019年1月在该网站购买一辆某品牌汽车，他从当地了解到近五个月该品牌汽车实际销量如表： 月份 2018.08 2018.09 2018.10 2018.11 2018.12 月份编号t 12345销量y （万辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.7（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌汽车实际销量y （万辆）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+$$$，并估计2019年1月份该品牌汽车的销量：（2）为了增加销量，厂家和毛豆新车网联合推出对购该品牌车进行补贴．已知某地拟购买该品牌汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表： 补贴金额预期值区间（万元） [1，2）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6）[6，7）频数 206060302010将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买该品牌汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）参考公式及数据：①回归方程y b x a =+$$$，其中()()()1122211n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$；②5118.8i ii x y==∑．【答案】（1）y 关于t 的线性回归方程为y ＝0.32t +0.08，2019年1月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆（2）详见解析【解析】(1)分别求得,t y ,进而求得b $,再代入样本中心点求a $即可. (2)根据二项分布定理求解分布列与数学期望即可. 【详解】 （1）1234535t ++++==,0.50.61 1.4 1.71.045y ++++==,218.853 1.040.325553b -⨯⨯==-⨯$,1.040.3230.08a =-⨯=$, 则y 关于t 的线性回归方程为y ＝0.32t +0.08, 当t ＝6时,y ＝2.00,即2019年1月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆．（2）根据给定的频数表可知,任意抽取1名拟购买该品牌汽车的消费者,对补贴金额的心理预期值 不低于3万元的概率为12032005==0.6, 由题意可知ξ～（3,0.6）,P （ξ＝0）00330604C ==．．0.064, P （ξ＝1）11230604C ==．．0.288, P （ξ＝2）22130604C ==．．0.432, P （ξ＝3）33030604C ==．．0.216, 分布列为： ξ 0 1 2 3 P 0.0640.2880.4320.216E （ξ）＝3×0.6＝1.8． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程与二项分布的分布列与数学期望,属于中等题型.20．已知动圆M 经过点F （1，0），且与直线l ：x ＝﹣1相切，动圆圆心M 的轨迹记为曲线C （1）求曲线C 的轨迹方程（2）若点P 在y 轴左侧（不含y 轴）一点，曲线C 上存在不同的两点A 、B ，满足PA ，PB 的中点都在曲线C 上，设AB 中点为E ，证明：PE 垂直于y 轴．【答案】（1）y 2＝4x （2）证明见解析【解析】(1)利用圆的半径相等列式化简方程即可.(2)设A （214y ,y 1）,B （224y ,y 2）,再求得中点,代入抛物线方程,再利用方程的根方法求解即可.【详解】（1）设圆心M 的坐标（x ,y ）,由题意得：|MF |等于到直线l 的距离,22(1)x y -+=|x +1|整理得：y 2＝4x ,所以曲线C 的轨迹方程为：y 2＝4x ；（2）设P （x 0,y 0）,由（1）设A （214y ,y 1）,B （224y ,y 2）, AB 的中点E （x E ,y E ）,则y E 122y y +=, 因为P A 的中点在抛物线上,所以（102y y +）2＝4•21042y x +,即：y 12﹣2y 0y 1+8x 0﹣y 02＝0；同理可得PB 的中点也在抛物线上可得：y 22﹣2y 0y 2+8x 0﹣y 02＝0, 所以y 1,y 2是方程：y 2﹣2y 0y +8x 0﹣y 02＝0两个不同的根, ∴y 1+y 2＝2y 0, 所以y E ＝y 0,∴P 与E 的纵坐标相同, 所以PE 垂直于y 轴． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线中的综合问题,需要设抛物线上的点,利用方程化简求解,属于中等题型. 21．已知点E （﹣4，0）和F （4，0），过点E 的直线l 与过点F 的直线m 相交于点M ，设直线l 的斜率为k 1，直线m 的斜率为k 2，如果k 1•k 234=-． （1）记点M 形成的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程．（2）已知P （2，m ）、Q （2，﹣m ）（m ＞0）是曲线C 上的两点，A ，B 是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=（x ≠±4）（2）直线AB 的斜率为定值12，详见解析 【解析】(1)设点(,)A x y ,再利用k 1•k 234=-求得关于,x y 的方程即可. (2)由∠APQ ＝∠BPQ 可知设直线P A 的斜率为k ,则PB 的斜率为﹣k ,再设直线P A 的直线方程与椭圆联立,求得A 的坐标,再同理求得B 的坐标,再表达直线AB 的斜率进行化简求解即可. 【详解】（1）设所求动点A （x ,y ）,由14y k x =+,24y k x =-,得21224416y y y k k x x x =⋅=+--, 又1234k k =-,∴223164y x =--,即2211612x y +=（x ≠±4）． 即点A 的轨迹方程为2211612x y +=（x ≠±4）； （2）当∠APQ ＝∠BPQ ,则P A 、PB 的斜率之和为0,设直线P A 的斜率为k , 则PB 的斜率为﹣k ,直线P A 的直线方程为y ﹣3＝k （x ﹣2）,由()223211612y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,整理得（3+4k 2）x 2+8（3﹣2k ）kx +4（3﹣2k ）2﹣48＝0, ∴()12823234k k x k-+=+,同理直线PB 的直线方程为y ﹣3＝﹣k （x ﹣2）, 可得()()22282382323434k k k k x kk---++==++．∴2122161234k x x k-+=+,1224834k x x k --=+, ∴()()()1212121212122323412AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--====---,∴直线AB 的斜率为定值12． 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法以及直线与椭圆的位置关系中的定值问题,需要根据题意设直线联立方程,将条件转化为斜率的关系,再求交点的坐标与斜率代入韦达定理等证明,属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将C 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C 1．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求C 1的极坐标方程（2）设M ，N 为C 1上两点，若OM ⊥ON ，求2211||||OM ON +的值．【答案】（1）22918cos ρθ=+（2）109【解析】(1)根据线性变换求出曲线1C 的参数方程,再化简成极坐标方程即可. (2)利用极坐标的几何意义, 设M （ρ1,θ）,N （22πρθ+，）,再代入求2211||||OM ON +的值即可.【详解】（1）曲线C 的参数方程为x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数）,将C 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍,得曲线C 1．转化为3x cos y sin αα=⎧⎨=⎩,整理为2219y x +=,转换为极坐标方程为22918cos ρθ=+． （2）M ,N 为C 1上两点,若OM ⊥ON , 设M （ρ1,θ）,N （22πρθ+，）,所以2211189cos θρ+=,22218129cos πθρ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=, 所以2222181118102||||999cos cos OM ON πθθ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭+=+=． 【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程和直角坐标的互化,同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.。
辽宁省沈阳市数学高二上学期理数期末考试试卷
辽宁省沈阳市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·长沙模拟) 设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n∈Z}，则（）A . M=PB . P≠MC . N∩P≠∅D . M∩N≠∅2. （2分）复数（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·大庆月考) 命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是（）A . 若A∪B≠A，则A∩B≠BB . 若A∩B＝B，则A∪B＝AC . 若A∩B≠B，则A∪B≠AD . 若A∪B≠A，则A∩B＝B4. （2分） (2019高三上·天津月考) 已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）数列满足，则与的等比中项是（）A . 4B .C . 16D .6. （2分）已知函数的导函数为，且满足，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一上·红桥期末) 已知向量 =（﹣1，6）， =（3，﹣2），则 + =（）A . （4，4）B . （2，4）C . （﹣2，4）D . （﹣4，4）8. （2分） F(c,0)是椭圆的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为m，最小值为n，则椭圆上与点F距离为的点是（）A .B .C .D . 不存在9. （2分）定义在R上的函数y=f(x)满足f(-a)=-f(a)，且．若当x>3时不等式成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）过抛物线的焦点的直线l交抛物线于、两点，如果，则（）A . 8B . 9C . 10D . 1111. （2分）在等差数列3，8，13…中，第5项为（）．A . 15B . 18C . 19D . 2312. （2分） (2019高二上·哈尔滨月考) 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则的面积为（）A . 1B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·青浦期末) -2的平方根是________．14. （1分） (2019高三上·南宁月考) 已知等差数列的前n项和为，且，则 ________.15. （1分） (2018高一下·通辽期末) 在中，，则此三角形的最大边的长为________．16. （1分） (2019高二下·牡丹江月考) 曲线在点处的切线方程为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高三上·昭通期末) 数列的前n项和为Sn ，且Sn=n2+1(I)求的通项公式；(II)设，求数列的前n项和18. （10分） (2019高一下·合肥期中) 在中，内角的对边分别为 .（1）若已知，判断的形状；（2）若已知边上的高为，求的最大值.19. （5分） (2020高二下·六安月考) 已知，是的导函数，（1）若，求的值；（2）若，求的单调递增区间20. （5分） (2020高二上·无锡期末) 如图，在高为的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图，点为的中点，点在线段上(不同于，两点)，连接并延长至点，使 .（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.21. （10分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（12分）（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和．22. （10分）(2020·攀枝花模拟) 已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
辽宁省沈阳市—高二数学上学期期末考试 理
沈阳二中2012—2013学年度上学期期末考试高二（14届）数学（理）试题满分：150分 时间：120分钟第1卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5 分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
） 1、不等式2x x <的解集是（ ）A 、()0,∞-B 、()1,0C 、()+∞,1D 、()()+∞⋃∞-,10,2、设i 为虚数单位，bi a ii+=+-15，则=-b a （ ） A 、1 B 、—5 C 、5 D 、—13、设,p q 是两个命题22:log (||3)0,:6510p x q x x -<-+>，，则p 是q 的（ ）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种5、二次不等式012>++bx ax 的解集为{x |－1<x <13}，则ab 的值为( )A ．－5B ．5C ．－ 6D ．66、若()x f y =是定义域为{}*∈≤≤=N x x x A ,71，值域为{}1,0=B 的函数，则这样的函数共有（ ）A 、128个B 、126个C 、72个D 、64个7、当a 为任意实数时，直线024)32(=+-++a y x a 恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是（ ） A ．y x 322=或x y 212-= B ．y x 322-=或x y 212=C ．x y 322=或y x 212-= D ．x y 322-=或y x 212=8、若多项式()()()1010991010111+++++++=+x a x a x a a xx Λ，则820a a a +++Λ=（ ）A 、509B 、510C 、511D 、10229、若点O 和点F ()0,2-分别是双曲线()012222>=-a by a x 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则⋅的取值范围为（ ）A 、[)+∞+,323B 、[)+∞-,323 C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,47 D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47 10、如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分，包括边界）若目标函数ay x z +=，取得最小值的最优解有无穷个，则ax y-的最大值是（ ） A 、32 B 、52C 、61D 、4111、设F 1，F 2是双曲线2214y x -=的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r ，且21||||PF PF λ=u u u u r u u u r，则λ的值为（ ）（ ）A ．13 B ．12C ．2D ．312、以下正确命题的个数为（ ）①命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是：“不存在00,20xx R ∈>”；②命题：“函数131()()4xf x x =-的零点在区间11(,)43内”是真命题；③某班男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到4个男生、6个女生，则该抽样中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率； ④8(1)x 展开式中不含4x 项的系数的和为1。
辽宁省沈阳市重点高中高二上学期期末数学试题 解析版
高二期末检测数学（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．若方程表示双曲线，则实数k 的取值范围为（ ） 22112x y k k +=+-A ．B ．C ．D ．()1,2-(),1-∞-()2,+∞()(),12,-∞-⋃+∞2．在空间直角坐标系中，点与点关于（ ）O xyz -()1,1,1A ()1,1,1B -A ．原点对称B ．平面xOy 对称C ．平面yOz 对称D ．平面xOz 对称3．已知直线l 恰好经过圆的圆心，且与直线垂()()22:131C x y -++=:20m x y +=直，则直线l 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．210x y +-=210x y ++=250x y --=250x y -+=4．四张红桃纸牌、三张黑桃纸牌及两张梅花纸牌中，每张纸牌上的数字不同，取出两张不同花色的纸牌，不同的取法共有（ ）A ．24种B ．9种C ．10种D ．26种5．的展开式中，项的系数为（）()()412x x --3x A ．2B ．14C ．48D ． 2-6．已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（ ） *,m n ∈N A ． B ．C ．D ． C Cm n m nn-=A C A m m m n n m=A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-7．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一种数字编码，则不同的数字编码共有（）A ．120种B ．60种C ．40种D ．10种8．已知抛物线，其焦点为F ，P 是拋物线C 上的动点，若点，点Q2:8C y x =()4,2M在以FM 为直径的圆上，则的最小值为（ ）PF PQ +A ．B ．C ．8D ．95-5+二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的离心率可以是（ ） 13y x =±A B ．2C D 10．设，则下列式子正确的是（ ）()5501521x a a x a x -=+++ A ．B ． 01a =-123451a a a a a ++++=C ．D ．024121a a a ++=135122a a a ++=11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P 为椭圆C 上的一个动点，点22:198x y C +=1F 2F ，则下列结论正确的是（ ）()1,1M -A ．的周长为6B ．的面积的最大值为 12PF F △12PF F △C ．存在点P ，使得D ．的最大值为712PF PF ⊥1PM PF +12．如图，在正方体中，，点P 在侧面及其边界上运1111ABCD A B C D -1AB =11BCC B 动，并且总是保持，则下列结论正确的是（）1AP BD ⊥A ． 113P AA D V -=B ．点P 在线段上1B C C ．平面1BD ⊥11AC DD ．直线AP 与侧面所成角的正弦值的范围为 11BCC B ⎫⎪⎪⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．二项式的展开式中，第4项为______．()532x +14．已知圆，以点为圆心，半径为r 的圆与圆C 有公共点，()22:24C x y ++=()2,0A 则r 的取值范围为______．15．已知空间向量，．若与平行，则______．11,,2a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2,1,1b =-- 2a b - b a =16．设，分别为椭圆与双曲线1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>的公共焦点，与在第一象限内交于点M ，()222222222:10,0x y C a b a b -=>>1C 2C ．若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为______． 1290F MF ∠=︒1C 134e =2C 2e 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念． （1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AMM ABCD -的长为3，且，N 是CM 的中点．设，，60MAB MAD ∠=∠=︒a AB =b AD = ，用，，表示，并求BN 的长．c AM =a b c BN19．（12分）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为． nx ⎛ ⎝13（1）求n 的值及展开式中的常数项是第几项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？20．（12分）已知直线与拋物线的准线相交于点A ，O 为坐1y x =-()2:20C y px p =>标原点，且． 2AO k =（1）求拋物线C 的标准方程；（2）若Q 为抛物线C 上一动点，M 为线段FQ 的中点，F 为抛物线的焦点，求点M 的轨迹方程．21．（12分）在如图所示的五面体ABCDFE 中，面ABCD 是边长为2的正方形，平AE ⊥面ABCD ，，且，N 为BE 的中点，M 为CD 的中点． DF AE ∥112DF AE ==（1）求证：平面ABCD ；FN ∥（2）求二面角的平面角的正弦值．N MF D --22．（12分）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒()2222:10x y C a b a b +=>>22:13x E y -=数，椭圆C 的上顶点为M ，右顶点为N ，O 为坐标原点，的面积为1．MON △（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与曲线相切，与椭圆C 交于A ，B 两点，求的取值范222:D x y b +=AB 围．2022—2023学年度（上）联合体高二期末检测数学 参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A 【解析】依题意，得，则．故选A ． ()()120k k +-<12k -<<2．D 【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面xOz 对称的点的坐标为(),,x y z ，则根据题中所给的坐标，可以判断它们关于平面xOz 对称．故选D ．(),,x y z -3．C 【解析】由直线l 与直线m 垂直，设直线l ，m 的斜率分别为，，则1k 2k ，即，解得．易得圆C 的圆心为，故直线l 的方121k k ⋅=-1112k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭12k =()1,3-程为，整理可得直线l 的方程为．故选C ．()321y x +=-250x y --=4．D 【解析】红桃+黑桃：（种）；红桃+梅花：（种）；黑桃+梅花：4312⨯=428⨯=（种）．326⨯=故取出两张不同花色的纸牌，共有：（种），故选D ． 128626++=5．B 【解析】在中，项由的项与x 的积和的项()()412x x --3x ()41x -2x ()41x -3x 和的积组成，故可得的系数为．故选B ． 2-3x ()()()2121441C 11C 214-⨯+-⨯-=6．C 【解析】对于A ，由组合数的性质知，成立，A 正确； C C m n m n n-=对于B ，因为，因此成立，B 正确； A C A m m n nmm=A C A m m m n n m =对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不一定正确；A C !m m n nm =!m !n A !m nm A !m n n 对于D ，，D 正确．故选C ． ()()111!!A A 1!!m mn n n n n m n m n m n m +=⋅==-----7．D 【解析】由题意可得，该题等价于求5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数，为（种）．故选D ．552323A 10A A =⋅8．A 【解析】由题得点F 的坐标为，则圆H 的圆心为，半径．()2,0()3,1H r =因为点P 在抛物线上，且抛物线的准线为，所以等于点P 到准线2:8C y x =2x =-PF 的距离．过点P 作准线的垂线，垂足为R ．要使取到最小值，即最小，此时PF PQ +PR PQ +R ，P ，Q 三点共线，且三点连线后直线RQ 过圆心H ．如图所示，此时．故选A ．()min5PR PQ HR r +=-=二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．AC 【解析】设半焦距为c ．①若双曲线的焦点在x 轴上，此时双曲线的方程为． ()222210,0x y a b a b-=>>因为双曲线的两条渐近线为，所以． 13y x =±133b a b a =⇒=由，所以双曲线的离心率； 222a b c c +=⇒=c e a ==②若双曲线的焦点在y 轴上，此时双曲线的方程为．()222210,0y x a b a b-=>>双曲线的两条渐近线为，所以．13y x =±133a b a b =⇒=由，所以双曲线离心率为．222a b c c +=⇒=c e a==AC ． 10．ACD 【解析】令，则，即，A 正确；0x =()501a -=01a =-令，则，即①， 1x =50123451a a a a a a =+++++0123451a a a a a a +++++=则，B 错误；123452a a a a a ++++=令，则，即1x =-()50123453a a a a a a -=-+-+-012345243a a a a a a -+-+-=-②．由①②，可得，，C 、D 正确．故选ACD ．024121a a a ++=-135122a a a ++=11．BD 【解析】对于A ，由椭圆，得的周长为22:198x y C +=12PF F △，A 错误；1212238PF PF F F ++=⨯+=对于B ，当P 为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积12PF F △，B 正确；122S =⨯=对于C ，当P 为椭圆短轴顶点时，最大，12F PF ∠此时，222222121212123327cos 022339PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===>⨯⨯即为锐角，故不存在点P 使得，C 错误；12F PF ∠12PF PF ⊥对于D ，由椭圆，所以． 22:198x y C +=()21,0F 又，所以，所以()1,1M -21MF ==，D 正确．故选BD ．12226667PM PF PM PF PM PF MF +=+-=+-≤+=12．BC 【解析】对于A ，点P 在平面内，平面平面，所以点11BCC B 11BCC B ∥1AA D P 到平面的距离即为点C 到平面的距离，即正方体的棱长，所以1AA D 1AA D ，A 错误；1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△对于B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且()1,0,0A (),1,P x z ()1,1,0B ()10,0,1D ()11,1,1B ()0,1,0C 01x ≤≤，，01z ≤≤所以，，．()1,1,AP x z =- ()11,1,1BD =-- ()11,0,1B C =--因为，所以，所以，即，所以1AP BD ⊥1110AP BD x z ⋅=--+=x z =(),1,P x x ，(),0,CP x x =所以，即，C ，P 三点共线，故点P 在线段上，B 正确；1CP xB C =-1B 1B C 对于C ，由，，根据三垂线定理，可得，1111B D A C ⊥11AD A D ⊥111BD A C ⊥．11BD A D ⊥因为，平面，所以平面，C 正确；11A C 1A D ⊂11AC D 1BD ⊥11AC D 对于D ，，，平面的一个法向量为． ()1,1,AP x x =- 01x ≤≤11BCC B ()0,1,0m =设与平面的夹角为，为锐角，AP11BCC B θθ其正弦值为sin m APm APθ⋅===由，D 错误．故选BC ． 01x ≤≤sin θ≤≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 【解析】的展开式中第4项为．680x ()532x +()533336315C280T x x -+=⨯=14． 【解析】由题知的圆心为，两圆心的距离26r ≤≤()22:24C x y ++=()2,0-．()224d =--=因为两圆有公共点，即相交或相切，所以，解得．242r r -≤≤+26r ≤≤15，，得．11,,2a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2,1,1b =-- ()24,21,2a b n -=- 因为与平行，所以，解得，所以，所2a b - b 4212211n -==--12n =-111,,22a ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 以 a =16，1212MF MF a +=1222MF MF a -=，．因为，所以112MF a a ⇒=+212MF a a =-1290F MF ∠=︒． ()()22212124a a a a c ++-=2221222121122a a c e e ⇒+=⇒+=因为，即，所以，得．134e=211169e =222111229e e =-=2e =四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件，77A 甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为，5254A A 所以． ()525477A A 2A 7P ==甲、乙不相邻且不在两端（其他正确解答也可得分）（2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种， 35A 排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体， 同余下的2位老师作全排列有种， 33A 甲、乙的排列有种．22A 由分步乘法计数原理，得，所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不332532A A A 720=同的排法．18．解：因为N 是CM 的中点，所以12BN BC CN AD CM =+=+ ()12AD AM AC =+- ．()11111112222222AD AD AD AB AB AD AM a b c ⎡⎤=+-+=-++=-++⎣⎦ 由题意，可得，，，2a AB == 2b AD == 3c AM ==，，60MAB MAD ∠=∠=︒90DAB ∠=︒所以22111222BN a b c ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅， ()14490223cos 60223cos 604=++--⨯⨯︒+⨯⨯︒174=所以BN ．BN = 19．解：（1）二项式展开式的通项公式为nx ⎛⎝．5411C C 2rrn rr n r r r n n T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭（公式写对得1分）因为第3项和第4项的系数比为，所以， 1322331C 1231C 2n n ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫⎪⎝⎭化简得，解得，236C C n n =20n =所以．52041201C 2rrr r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭令，得，所以常数项为第17项．52004r -=16r =（2）设展开式中系数最大的项是第项，1r +则 ()11202011202011C C ,212,222120,11C C ,22r r r r r r r r r r r r --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪-≥⎧⎪⎝⎭⎝⎭⎪⇒⎨⎨+≥-⎪⎩⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩（列不等式组正确得1分，化简2分） 解得．（少一种情况扣1分）． 67r ≤≤因为，所以或，r ∈N 6r =7r =所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．20．解：（1）对抛物线，()2:20C y px p =>其准线方程为． 2p x =-因为准线与直线交于点A ，1y x =-所以点A 的坐标为． ,122p p ⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为，则，解得，（斜率列式正确的1分，结果1分） 2AOk =1222p p --=-2p =则抛物线C 的标准方程为． 24y x =（2）由（1）知，则．2:4C y x =()1,0F 设，，根据M 为线段FQ 的中点， ()11,Q x y (),M x y 可得即1112,2,x x y y +=⎧⎨=⎩1121,2.x x y y =-⎧⎨=⎩由Q 为抛物线C 上一动点，可得，即， 2114y x =()()22421y x =-整理可得点M 的轨迹方程为．221y x =-21．（1）证明：方法一：如图，取AB 的中点P ，连接NP ，PD ．（必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现扣1分）因为N 为BE 的中点，所以，． NP AE ∥12NP AE =又因为，， DF AE ∥12DF AE =所以，且，所以四边形NPDF 是平行四边形， NP DF ∥NP DF =所以．FN DP ∥因为平面ABCD ，平面ABCD ， DP ⊂FN ⊄所以平面ABCD ．FN ∥（缺条件平面ABCD ，平面ABCD ，扣1分．）DP ⊂FN ⊄方法二：易得AE ，AB ，AD 两两垂直，如图，以A 为原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． （必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现的扣1分．）因为平面ABCD 是边长为2的正方形，， DF AE ∥且，N 为BE 的中点，M 为CD 的中点， 112DF AE ==所以，，，，，，()0,0,0A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()0,0,2E ()1,0,1N ，，()1,2,0M ()0,2,1F 所以．()1,2,0NF =-因为平面ABCD 的一个法向量为，()0,0,1n =所以，即．0NF n ⋅= NF n ⊥ 又因为平面ABCD ，所以平面ABCD ．NF ⊄NF ∥（2）解：因为，，()1,2,0NF =- ()1,0,1MF =-设平面MNF 的一个法向量为，(),,m x y z =则 20,0.m NF x y m MF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，所以．1y =2x z ==()2,1,2m =因为平面ABCD ，，所以平面ABCD ， AE ⊥DF AE ∥DF ⊥因为平面ABCD ，所以．AD ⊂DF AD ⊥又因为，，平面MFD ， AD DC ⊥DC DF D ⋂=,DC DF ⊂所以平面MFD ，AD ⊥所以平面MFD 的一个法向量为．()0,2,0AD =设二面角的平面角为，N MF D --θ则，所以1cos 3m AD m ADθ⋅==sin θ=（正确求出余弦值得1分．）所以二面角． N MF D --22．解：（1）设椭圆C 的半焦距为．()0c c >因为双曲线， 22:13x E y -=所以椭圆C ，即． c a =因为的面积为1，所以②． MON △112ab =结合①、②与，解得，，222a b c =+2a =1b =所以椭圆C 的标准方程为． 2214x y +=（2）由（1）知，曲线为圆．22:1D x y +=当与圆D 相切的直线l 斜率不存在时，直线， :1l x =±由解得，则．221,1,4x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩y =AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为，，，y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由消去y 并整理，得，（此处缺少化简后221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222418440k x kmx m +++-=的方程扣1分．），即，()()222264441440k m k m ∆=-+->22410k m -+>，． 122841km x x k -+=+21224441m x x k -=+又因为直线l 与圆相切，22:1D x y +=，即，显然， 1=221m k =+0k ≠则 ()()222212121222844444141km m x x x x x x k k --⎛⎫-=+-=-⨯ ⎪++⎝⎭，()()2222222641616484141km k k k -+==++于是得．2AB x =+=（此处表示出AB 的长度要有弦长公式，没有弦长公式扣1分．）令，（此处需要说明t的取值范围，不写取值范围扣1分．）()2411k tt +=>则． AB ==而，即，因此．综上所述，的取值范围为． 1t >101t <<02AB <≤AB (]0,2。
辽宁省沈阳市第八十二高级中学高二数学理上学期期末试题含解析
辽宁省沈阳市第八十二高级中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为开区间，导函数在区间内的图像如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（）个。
A．1B．2C．3D．4参考答案：A略2. 用0、1、2能组成没有重复数字的自然数是（）A 15个B 11个C 18个D 27个参考答案：B略3. 已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°参考答案：D 【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角、根据三角函数的值求角，属于中档题．4. 右图是函数y＝A sin(ωx＋φ)(，)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点().向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.参考答案：A5. 满足并使目标函数取得最大值的点的坐标是（）A、（1，4）B、（0，5）C、（3，0）D、无穷多个参考答案：B6. 小明同学的QQ密码是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是（）A. B. C. D.参考答案：D7. 下列曲线中离心率为的是( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．8. 已知，命题“若，则.”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C【分析】先写出原命题的逆命题，否命题，再判断真假即可,这里注意的取值,在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可.【详解】解：逆命题:设，若，则a＞b,由可得，能得到a＞b，所以该命题为真命题;否命题设，若a≤b，则,由及a≤b可以得到，所以该命题为真命是题；因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可，当时，，所以由a＞b得到，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题;故为真命题的有2个.故选C.【点睛】本题主要考查四种命题真假性的判断问题，由题意写出原命题的逆命题，否命题并判断命题的真假是解题的关键.9. 如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（）A. 相交B.C.D. 或参考答案：D试题分析：如果，则或，故选D．考点：空间中线面的位置关系．10. 在⊿ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列的前项的和为,则这个数列的通项公式为____参考答案：12. 若幂函数f （x ）的图象过点，则=．参考答案：考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 专题：计算题；函数的性质及应用．分析： 设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可．解答： 解：设幂函数为y=x α，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f （x ）=x ﹣2．==2﹣1=故答案为：．点评： 本题考查了幂函数的概念，是会考常见题型，是基础题13. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________.参考答案：略14. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为 ．参考答案：4【考点】等差数列的前n 项和；等差数列．【分析】利用等差数列的前n 项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d 或a 1的范围，a 4用d 或a 1表示，再用不等式的性质求得其范围．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4≥10，S 5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a 4≤3+d≤3+1=4故a 4的最大值为4， 故答案为：4．15. 不等式的解集是_______.参考答案：16. 已知椭圆，，为左顶点，为短轴端点，为右焦点，且，则这个椭圆的离心率等于参考答案：略17. 表示虚数单位，则的值是 .参考答案： 0三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(理科)
辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．x=﹣1 C．D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0 3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．3848．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.14210．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC 的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．612．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值表参考公式：．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63521．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．x=﹣1 C．D．【解答】解：抛物线x2=2y的准线方程为：y=﹣，故选：D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0【解答】解：对于A，命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故A错误；对于B，命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1的逆否命题为：已知x，y∈R，若x=2且y=1，则x+y=3，是真命题，则原命题是真命题，故B 正确；对于C，设x∈R，由2+x≥0，得x≥﹣2，当x=4时，不满足﹣1≤x≤3，故C错误；对于D，∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy≠0，则x≠0，故D错误．故选：B．3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解答】解：由题意可知点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8x上，故过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点时只能是：i）过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x相切，ii）过点（﹣2，﹣4）且平行于对称轴．故选：C．4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即ax±by=0∵双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，∴右焦点F（0，c）到渐近线ax±by=0的距离d==，解之得b=，即，化简得c2=a2因此，该双曲线的标准离心率为e==故选：C．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，则P（A）=1﹣=，P（AB）==，∴其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为：P（B|A）===．故选：D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，小球落入A袋中的概率为：P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）=．故选：D．7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．384【解答】解：（x2+3x+2）6 表示6个因式开式（x2+3x+2）的乘积，其中一个因式取3x，其余的都取2，可得展开式中x的系数为•3•25=576，故选：B．8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设N（x0，y0），由题意可得M（0，y0），设P（x，y），由点P满足，可得（x，y﹣y0）=（x0，0），可得x=x0，y=y0，即有x0=2x，y0=y，代入圆C：x2+y2=8，可得．即有点P的轨迹方程为．故选：B．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为π×13×=，当输出结果为524时，i=1001，m=527，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.144，故选：A．10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），∵直线l倾斜角为30°，∴直线l的方程为：y﹣0=（x﹣）．设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∴|AF|=x1+，|BF|=x2+，联立方程组，消去y并整理，得4x2﹣28px+p2=0，解得x1=p，x2=p，或x2=p，x1=p，当x1=p，x2=p时，∴|AF|=x1+=（4+2）p，|BF|=x2+=（4﹣2）p，∴|AF|：|BF|==7+4，当x2=p，x1=p时，∴|AF|：|BF|==7﹣4，故选：C．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC 的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．6【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．由A，B在双曲线，则，相减可得=×=×=×，∴k AB=，即=2k OD．同理可得=2k OE，=2k OF．∴=2（k OD+k OE+k OF）=2×（﹣2）=﹣4．故选A．12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④【解答】解：由图可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2∴①正确，②不正确．∴a1+c2=a2+c1，∴（a1+c2）2=（a2+c1）2，即a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，∴b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＜b2，∴c1a2＜a1c2，∴③不正确；此时④，∴④正确．故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为91．【解答】解：样本间隔为2000÷100=20，则抽出的号码为11+20（x﹣1），则第五组号码为11+20×4=91，故答案为：91．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．【解答】解：椭圆的焦点为（±5，0），双曲线的焦点坐标在x轴上．则双曲线的c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，则3b=4a，解得，a=3，b=4．则双曲线的方程为．故答案为：．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．【解答】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），由∠B1PB2为钝角知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，把b2=a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＞0，解得，又0＜e＜1，所以0＜e＜，故答案为：．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=﹣8．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=tx+m，有，消y可得x2+16tx+16m=0，由△=162t2﹣4×16m＞0可得4t﹣m＞0∴x1+x2=﹣16t，x1x2=16m，∴|AP|2=x12+（y1﹣m）2=x12+t2x12=（1+t2）x12，|BP|2=x22+（y2﹣m）2=（1+t2）x22，∴=+=•=•当m=﹣8时，为定值，故答案为：﹣8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若q为真命题时：（a+1）（a﹣2）＜0，∴﹣1＜a＜2，∴a∈（﹣1，2）；（2）若p为真命题时：a≤（x2）min x∈[1，2]，∴a≤1，p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，即或，解得1＜a＜2或a≤﹣1，∴a的范围为（1，2）∪（﹣∞，﹣1]．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）X的可能取值为0，1，2，3，，，，∴X的分布列为X0123P．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．【解答】解：（1）由题意知动点M到（4，0）的距离比它到直线l：x=﹣6的距离小2，即动点M到（4，0）的距离与它到直线x=﹣4的距离相等，由抛物线定义可知动点M的轨迹为以（4，0）为焦点的抛物线，则点M的轨迹方程为y2=16x；（2）法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，设直线AB的方程为x=ty+m（m≠0）A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x，可得y2﹣16ty﹣16m=0，△＞0即4t2+m＞0，y1+y2=16t，y1y2=﹣16m，，由题意知OA⊥OB，即，则x1x2+y1y2=0，∴m2﹣16m=0，∵m≠0，∴m=16，∴直线AB的方程为x=ty+16，∴直线AB过定点，且定点坐标为（16，0）；法二：假设存在定点，设定点P（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）（y1y2≠0），∵OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，又∵A、B在抛物线上，即代入上式，可得，∴y1y2=﹣256，又∵A、B、P三点共线，∴，∴，∴假设成立，直线AB经过x轴的定点，坐标为（16，0）．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值表参考公式：．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】（1）由题意可知P（x=1000）=0.3，P（x=3000）=0.5，P（x=5000）=0.2，ξ的所有可能取值为2000，4000，6000，8000，10000，，P（ξ=10000）=0.22=0.04，所以ξ的分布列为ξ200040006000800010000 P0.090.300.370.200.04 E（ξ）=2000×0.09+4000×0.30+6000×0.37+8000×0.20+10000×0.04=5600元（2）经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30434捐款不超过500元10616合计401050，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．21．（12分）已知椭圆T ：的离心率为，若椭圆T 与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T 内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．【解答】解：（1）由圆P在椭圆T 内的弧长为，则该弧所对的圆心角为，M、N 的坐标分别为，设c2=a2+b2，由可得，∴a2=4b2，则椭圆方程可记为+=1，将点（﹣1，）代入得，∴b2=1，a2=4，∵a＞b＞0，∴a=2，b=1；（2）①由（1）知椭圆方程可记为，由题意知直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为：y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0，即16（1+4k2﹣m2）＞0，∴，∴，∵，∴，即x1x2=4y1y2，∴4k2=1，∴k=±；②，O到直线AB的距离，四边形ABCD面积，∵m2∈（0，1）∪（1，2），∴四边形ABCD面积S∈（0，4）．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ1，θ）（ρ1＞0），由题意可知，由|OP||OM|=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1（y≠0）；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，则直线l极坐标方程为θ=α，联立，∴A（2sinα，α），∴，∴或，∴或，∴直线l得斜率为或；法二：由题意分析可知直线l的斜率一定存在，且由直线l的参数方程可得，直线l过原点，设直线l的普通方程为y=kx，∴C2到l的距离，可得，∴直线l得斜率为或．。
【精品】2013-2014年辽宁省沈阳市高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2013-2014学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∃x∈R，cosx＞1C．∀x∈R，cos ≥1D．∀x∈R，cosx＞12．（5分）椭圆的焦距为2，则m的取值是（）A．7B．5C．5或7D．103．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件4．（5分）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条5．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的法向量为=（2，﹣2，1），已知P（﹣1，3，2），则P到平面OAB的距离等于（）A．4B．2C．3D．16．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．7．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点P（1，4）的双曲线方程为（）A．B．C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）P为椭圆=1上一点，M．N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是（）A．[7，13]B．[10，15]C．[10，13]D．[7，15] 10．（5分）已知椭圆+=1（a＞0，b＞0），A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=0 12．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是．15．（5分）以下几个命题中：其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③双曲线与椭圆有相同的焦点．④在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．16．（5分）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）椭圆的离心率是，它被直线x﹣y﹣1=0截得的弦长是，求椭圆的方程．19．（12分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．21．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB 的距离．22．（12分）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．2013-2014学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∃x∈R，cosx＞1C．∀x∈R，cos ≥1D．∀x∈R，cosx＞1【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定即可得到答案．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是∃x∈R，cosx＞1；故选：B．2．（5分）椭圆的焦距为2，则m的取值是（）A．7B．5C．5或7D．10【分析】直接利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：∵椭圆的焦距为2，∴若椭圆的焦点在x轴上，则m﹣6=（）2，解得m=7；若椭圆的焦点在y轴上，则6﹣m=（）2，解得m=5．故选：C．3．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【分析】想使方程表示椭圆或双曲线必须是c≠0，进而推断出条件的必要性，进而举c=1．a=1时方程并不表示椭圆或双曲线，推断出条件的非充分性．【解答】解：方程ax2+y2=c表示双曲线，则c≠0，反之若a=1，c=1，则不能表示椭圆或双曲线．故c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【分析】当直线为x=0，或y=1时，即直线和x轴，y轴垂直时，显然满足与抛物线y2=4x仅有一个公共点．当直线的斜率等于k 时，直线方程为y﹣1=k（x ﹣0），代入抛物线方程化简，由判别式等于0解得k=1，故满足条件的直线共有3条．【解答】解：由题意可得，当直线为x=0，或y=1时，即直线和x轴，y轴垂直时，显然满足与抛物线y2=4x仅有一个公共点．当直线的斜率等于k 时，直线方程为y﹣1=k（x﹣0），代入抛物线y2=4x可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，∴△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，解得k=1，故满足条件的直线共有3条，故选：D．5．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面OAB的法向量为=（2，﹣2，1），已知P（﹣1，3，2），则P到平面OAB的距离等于（）A．4B．2C．3D．1【分析】设点P到平面OAB的距离为d，则d=，即可得出结论．【解答】解：设点P到平面OAB的距离为d，则d=，∵=（2，﹣2，1），P（﹣1，3，2），∴d==2．故选：B．6．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选：C．7．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点P（1，4）的双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】设所求双曲线方程为（λ≠0），把点P（1，4）代入，能求出这个双曲线方程．【解答】解：与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程设为（λ≠0），把点P（1，4）代入，得：=﹣3，∴所求的双曲线方程为．故选：A．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【分析】设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，由此可求出P到x轴的距离．【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，即cos60°=，解得，所以，故P到x轴的距离为故选：B．9．（5分）P为椭圆=1上一点，M．N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是（）A．[7，13]B．[10，15]C．[10，13]D．[7，15]【分析】由题设知椭圆=1的焦点分别是两圆圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，由此能求出|PM|+|PN|的最小值、最大值．【解答】解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，所以（|PM|+|PN|）max=2×5+3=13，（|PM|+|PN|）min=2×5﹣3=7，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]故选：A．10．（5分）已知椭圆+=1（a＞0，b＞0），A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先AB于BF垂直判断出两直线的斜率乘积为﹣1，进而求得b于a，c 的关系，利用a2﹣c2=b2进而替换消去b，进而求得a和c的关系式，则椭圆的离心率可求．【解答】解：∵AB⊥BF，∴k AB•k BF=﹣1，即•（﹣）=﹣1，即b2=ac，∴a2﹣c2=ac，两边同除以a2，得e2+e﹣1=0，∴e=（舍负），故选：B．11．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=0【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选：C．12．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是60°．【分析】取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接AG，由三角形中位线定理可得∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．然后在Rt△AEG中算出EG的长，用中位线定理得到EF=FG=，最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°，即得异面直线AB与PC所成角的大小．【解答】解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF∥AB，FG∥PC，因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△ACG中，AG==，EG==，又∵AB=PC=2，∴EF=FG=．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG==﹣结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是[1，2）．【分析】由绝对值得意义知，p：即m＜1；由指数函数的单调性与特殊点得，q：即m＜2．从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围．【解答】解：p：∵不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，而|x|+|x﹣1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，∴m＜1．q：∵f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，∴5﹣2m＞1，解得m＜2．∴当1≤m＜2时，p不正确，而q正确，两个命题有且只有一个正确，实数m 的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．15．（5分）以下几个命题中：其中真命题的序号为③（写出所有真命题的序号）①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③双曲线与椭圆有相同的焦点．④在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．【分析】利用圆锥曲线的定义及其性质即可判断出．【解答】解：①设A、B为两个定点，k为非零常数，=k，则动点P 的轨迹为双曲线的一支，因此①不正确；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆，不正确．若定圆C的圆心C与原点O重合，可得动点P的轨迹为以OA为直径的圆，因此不正确．③双曲线的焦点为，椭圆的焦点为，因此有相同的焦点，故正确．④在平面内，∵定点（2，1）在定直线3x+4y﹣10=0上，∴到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线．因此④不正确．故答案为：③16．（5分）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是（0，±1）．【分析】作出直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1，x2的方程，解之即可得到点A的坐标．【解答】解：方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性，得设A（x1，y1），B'（x2，y2）由于椭圆的a=，b=1，c=∴e=，F1（，0）．∵|F1A|=|x1﹣|，|F1B'|=|x2﹣|，从而有：|x1﹣|=5×|x2﹣|，由于≤x1，x2，∴﹣x1＞0，﹣x2＞0，即=5×=5．①又∵三点A，F1，B′共线，∴（，y 1﹣0）=5（﹣﹣x2，0﹣y2）∴．②由①+②得：x1=0．代入椭圆的方程得：y1=±1，∴点A的坐标为（0，1）或（0，﹣1）方法2：因为F 1，F2分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（x A，y A），B（x B，y B），若；则，所以，因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，故A（0，±1）．方法三、由e=||，λ=5，e=，cosθ=，sinθ=，k=tanθ=，由，即可得到A（0，±1）．故答案为：（0，±1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【分析】P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m．（1）由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．（2）由“非P”是“非Q”的充分不必要条件，知由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m（1）∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．∴∴m≥9．∴实数m的取值范围为m≥9．（2）∵“非P”是“非Q”的充分不必要条件，∴Q是P的充分不必要条件．∴∴0＜m≤3．∴实数m的取值范围为0＜m≤3．18．（12分）椭圆的离心率是，它被直线x﹣y﹣1=0截得的弦长是，求椭圆的方程．【分析】根据椭圆的离心率是，可得a，c的关系，利用被直线x﹣y﹣1=0截得的弦长是，根据韦达定理，即可求椭圆的方程．【解答】解：∵，∴a2=3c2∴b2=a2﹣c2=2c2，∴椭圆方程可写为…（2分）将直线方程x﹣y﹣1=0代入椭圆方程，消去y，整理得5x2﹣6x+3﹣6c2=0，依韦达定理得…（6分）∴=解得c=1，∴a2=3，b2=2，∴椭圆方程为…（12分）19．（12分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BC∥x 轴与点c在准线上可求得c的坐标，进而可表示出直线CO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．得证．【解答】证明：如图因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线的方程可设为；代入抛物线方程得y2﹣2pmy﹣p2=0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=﹣p2．因为BC∥x轴，且点c在准线x=﹣上，所以点c的坐标为（﹣，y2），故直线CO的斜率为．即k也是直线OA的斜率，当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．所以直线AC经过原点O．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC 中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．21．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB 的距离．【分析】由于PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC的中点，AC=16，PA=PC=10，所以PO、OB、OC是两两垂直的三条直线，因此可以考虑用空间向量解决：连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，对于（I），只需证明向量FG与平面BOE的一个法向量垂直即可，而根据坐标，平面的一个法向量可求，从而得证；对于（II），在第一问的基础上，课设点M的坐标，利用FM⊥平面BOE求出M 的坐标，而其道OA、OB的距离就是点M 横纵坐标的绝对值．【解答】证明：（I）如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，﹣4，3），F（4，0，3），（3分）由题意得，G（0，4，0），因，因此平面BOE的法向量为，）得，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE．（6分）（II）设点M的坐标为（x0，y0，0），则，因为FM⊥平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为（8分）在平面直角坐标系xoy中，△AOB的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为．（12分）22．（12分）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出x R，x Q，利用，即可确定的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，化简可得3x 2﹣y 2﹣3=0而点（2，±3）在曲线3x 2﹣y 2﹣3=0上综上可知，轨迹C 的方程为3x 2﹣y 2﹣3=0（x ＞1）；（Ⅱ）直线y=﹣2x +m 与3x 2﹣y 2﹣3=0（x ＞1）联立，消元可得x 2﹣4mx +m 2+3=0①∴①有两根且均在（1，+∞）内设f （x ）=x 2﹣4mx +m 2+3，∴，∴m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标分别为（x Q ，y Q ），（x R ，y R ）， ∵|PQ |＜|PR |，∴x R =2m +，x Q =2m ﹣，∴==∵m ＞1，且m ≠2 ∴，且∴，且∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2019-2020年沈阳市郊联体高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)
辽宁省沈阳市郊联体高二上期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．=﹣1 C．D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1＞0B．命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1是真命题C．设∈R，则2+≥0是﹣1≤≤3的充分不必要条件D．∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y=0，则≠03．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条B．1条 C．2条 D．3条4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（2+3+2）6展开式中的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．3848．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.14210．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A． B．C． D．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．612．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为．14．（5分）在平面直角坐标系oy中，已知双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀∈[1，2]，2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失∈[0，2000]则取=1000，且=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：．21．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1相交于M，N两点，且圆P 在椭圆T内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为1，BD的斜率为2，且12=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．=﹣1 C．D．【解答】解：抛物线2=2y的准线方程为：y=﹣，故选：D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1＞0B．命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1是真命题C．设∈R，则2+≥0是﹣1≤≤3的充分不必要条件D．∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y=0，则≠0【解答】解：对于A，命题p：∃∈R，2++1＜0，则¬p：∀∈R，2++1≥0，故A错误；对于B，命题已知，y∈R，若+y≠3，则≠2或y≠1的逆否命题为：已知，y∈R，若=2且y=1，则+y=3，是真命题，则原命题是真命题，故B正确；对于C，设∈R，由2+≥0，得≥﹣2，当=4时，不满足﹣1≤≤3，故C错误；对于D，∀、y∈R，如果y=0，则=0的否命题是∀、y∈R，如果y≠0，则≠0，故D错误．故选：B．3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条B．1条 C．2条 D．3条【解答】解：由题意可知点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8上，故过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8只有一个公共点时只能是：i）过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8相切，ii）过点（﹣2，﹣4）且平行于对称轴．故选：C．4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线∴双曲线的渐近线方程为y=±，即a±by=0∵双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，∴右焦点F（0，c）到渐近线a±by=0的距离d==，解之得b=，即，化简得c2=a2因此，该双曲线的标准离心率为e==故选：C．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，则P（A）=1﹣=，P（AB）==，∴其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为：P（B|A）===．故选：D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，小球落入A袋中的概率为：P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）=．故选：D．7．（5分）（2+3+2）6展开式中的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．384【解答】解：（2+3+2）6 表示6个因式开式（2+3+2）的乘积，其中一个因式取3，其余的都取2，可得展开式中的系数为•3•25=576，故选：B．8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设N（0，y0），由题意可得M（0，y0），设P（，y），由点P满足，可得（，y﹣y0）=（0，0），可得=0，y=y0，即有0=2，y0=y，代入圆C：2+y2=8，可得．即有点P的轨迹方程为．故选：B．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142【解答】解：2+y2+2＜1发生的概率为π×13×=，当输出结果为524时，i=1001，m=527，2+y2+2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.144，故选：A．10．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A． B．C． D．【解答】解：抛物线y2=2p（p＞0）的焦点坐标为（，0），∵直线l倾斜角为30°，∴直线l的方程为：y﹣0=（﹣）．设直线与抛物线的交点为A（1，y1）、B（2，y2），∴|AF|=1+，|BF|=2+，联立方程组，消去y并整理，得42﹣28p+p2=0，解得1=p，2=p，或2=p，1=p，当1=p，2=p时，∴|AF|=1+=（4+2）p，|BF|=2+=（4﹣2）p，∴|AF|：|BF|==7+4，当2=p，1=p时，∴|AF|：|BF|==7﹣4，故选：C．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．6【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），D（0，y0），则1+2=20，y1+y2=2y0．由A，B在双曲线，则，相减可得=×=×=×，∴AB=，即=2OD．同理可得=2OE，=2OF．∴=2（OD+OE+OF）=2×（﹣2）=﹣4．故选A．12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④【解答】解：由图可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2∴①正确，②不正确．∴a1+c2=a2+c1，∴（a1+c2）2=（a2+c1）2，即a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，∴b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＜b2，∴c1a2＜a1c2，∴③不正确；此时④，∴④正确．故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为91．【解答】解：样本间隔为2000÷100=20，则抽出的号码为11+20（﹣1），则第五组号码为11+20×4=91，故答案为：91．14．（5分）在平面直角坐标系oy中，已知双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．【解答】解：椭圆的焦点为（±5，0），双曲线的焦点坐标在轴上．则双曲线的c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程为4﹣3y=0，则3b=4a，解得，a=3，b=4．则双曲线的方程为．故答案为：．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．【解答】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），由∠B1PB2为钝角知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，把b2=a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＞0，解得，又0＜e＜1，所以0＜e＜，故答案为：．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=﹣8．【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=t+m，有，消y可得2+16t+16m=0，由△=162t2﹣4×16m＞0可得4t﹣m＞0∴1+2=﹣16t，12=16m，∴|AP|2=12+（y1﹣m）2=12+t212=（1+t2）12，|BP|2=22+（y2﹣m）2=（1+t2）22，∴=+=•=•当m=﹣8时，为定值，故答案为：﹣8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀∈[1，2]，2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若q为真命题时：（a+1）（a﹣2）＜0，∴﹣1＜a＜2，∴a∈（﹣1，2）；（2）若p为真命题时：a≤（2）min∈[1，2]，∴a≤1，p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，即或，解得1＜a＜2或a≤﹣1，∴a的范围为（1，2）∪（﹣∞，﹣1]．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人自第二组的概率为；（3）的可能取值为0，1，2，3，，，，∴的分布列为．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．【解答】解：（1）由题意知动点M到（4，0）的距离比它到直线l：=﹣6的距离小2，即动点M到（4，0）的距离与它到直线=﹣4的距离相等，由抛物线定义可知动点M的轨迹为以（4，0）为焦点的抛物线，则点M的轨迹方程为y2=16；（2）法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，设直线AB的方程为=ty+m（m≠0）A（1，y1），B（2，y2），联立方程，消去，可得y2﹣16ty﹣16m=0，△＞0即4t2+m＞0，y1+y2=16t，y1y2=﹣16m，，由题意知OA⊥OB，即，则12+y1y2=0，∴m2﹣16m=0，∵m≠0，∴m=16，∴直线AB的方程为=ty+16，∴直线AB过定点，且定点坐标为（16，0）；法二：假设存在定点，设定点P（0，0），A（1，y1），B（2，y2）（y1y2≠0），∵OA⊥OB，∴，∴12+y1y2=0，又∵A、B在抛物线上，即代入上式，可得，∴y1y2=﹣256，又∵A、B、P 三点共线，∴，∴，∴假设成立，直线AB经过轴的定点，坐标为（16，0）．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失∈[0，2000]则取=1000，且=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：．ξ的所有可能取值为2000，4000，6000，8000，10000，，P （ξ=10000）=0.22=0.04， 所以ξ的分布列为（2），∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．21．（12分）已知椭圆T ：的离心率为，若椭圆T 与圆=1相交于M ，N 两点，且圆P 在椭圆T 内的弧长为π． （1）求a ，b 的值；（2）过椭圆T 的中心作两条直线AC ，BD 交椭圆T 于A ，C 和B ，D 四点，设直线AC 的斜率为1，BD 的斜率为2，且12=． ①求直线AB 的斜率；②求四边形ABCD 面积的取值范围．【解答】解：（1）由圆P在椭圆T内的弧长为，则该弧所对的圆心角为，M、N的坐标分别为，设c2=a2+b2，由可得，∴a2=4b2，则椭圆方程可记为+=1，将点（﹣1，）代入得，∴b2=1，a2=4，∵a＞b＞0，∴a=2，b=1；（2）①由（1）知椭圆方程可记为，由题意知直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为：y=+m，设A（1，y1），B（2，y2），联立，消去y，可得（1+42）2+8m+4m2﹣4=0，由△＞0，即16（1+42﹣m2）＞0，∴，∴，∵，∴，即12=4y1y2，∴42=1，∴=±；②，O到直线AB的距离，四边形ABCD面积，∵m2∈（0，1）∪（1，2），∴四边形ABCD面积S∈（0，4）．22．（12分）在平面直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ1，θ）（ρ1＞0），由题意可知，由|OP||OM|=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为2+（y﹣1）2=1（y≠0）；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，则直线l极坐标方程为θ=α，联立，∴A（2sinα，α），∴，∴或，∴或，∴直线l得斜率为或；法二：由题意分析可知直线l的斜率一定存在，且由直线l的参数方程可得，直线l过原点，设直线l的普通方程为y=，∴C2到l的距离，可得，∴直线l得斜率为或．。
辽宁省沈阳市数学高二上学期理数期末考试试卷
辽宁省沈阳市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是（）A . 所有的直线都有倾斜角和斜率B . 所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C . 直线的倾斜角和斜率有时都不存在D . 所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角2. （2分）(2018·山东模拟) “ ，”的否定为（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分）点（﹣1，2）到直线y=x的距离是（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·吉林模拟) 已知表示两个不同平面，直线是内一条直线，则“ ∥ ” 是“ ∥ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A . （1，）B . （，）C . （，）D . （，）6. （2分）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）①若，则；②若，则；③ ，则；④若，则 .A . ①②B . ③④C . ①③D . ②④7. （2分） (2017高二上·南宁月考) 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）“如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面构成一组正交线面对；如果两个平面互相垂直，则称这两个平面构成一组正交平面对．”在正方体的12条棱和6个表面中，能构成正交线面对和正交平面对的组数分别是（）A . 12和12B . 24和24C . 24和12D . 48和24二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2016高二上·常州期中) 命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题为________．10. （1分）原点O在直线l上的射影为点H（﹣2，1），则直线l的方程为________11. （1分）已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是________．12. （1分） (2018高二上·南阳月考) 与双曲线有相同渐近线，且过的双曲线方程是________．13. （1分） (2016高二上·黄陵期中) 正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．14. （1分）已知f（x）是定义域在R上的函数，且有下列三个性质：①函数图象的对称轴是x=1；②在（﹣∞，0）上是减函数；③有最小值是﹣3；请写出上述三个条件都满足的一个函数________．三、解答题 (共6题；共40分)15. （10分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AA1 ．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求异面直线A1C与BB1所成角的大小．16. （5分） (2017高三下·黑龙江开学考) 如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．17. （10分） (2018高一上·珠海期末) 如图，是平面四边形的对角线，，，且 .现在沿所在的直线把折起来，使平面平面，如图.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.18. （5分）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M,N分别是OA,BC的中点，G是MN的中点，求证：19. （5分）(2017·揭阳模拟) 已知图1中，四边形 ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB于M、交EF于点N，DN=3 ，MN= ，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为C'、D'且使D'M=2 ，如图2示．（Ⅰ）证明：D'M⊥平面ABFE；，（Ⅱ）若图1中，∠A=60°，求点M到平面AED'的距离．20. （5分） (2019高二上·哈尔滨月考) 过点作直线与曲线：交于两点，在轴上是否存在一点，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共40分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、第11 页共11 页。