三_运输问题(1)PPT课件
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第三章--运输问题
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
韩伯棠管理运筹学第三版-第七章-运输问题分析ppt课件.ppt
B1 B2 B3 产量
A1 6 4 6
200
A2 6 5 5 销量 250 200 200
300 500
650 23
B1 B2 B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
销量 250 200 200
300 500
650
解：增
B1 B2 B3
加一个 A1 6 4 6
虚设的 A2 6 5 5
产地运 A3 0 0 0 输费用 销量 250 200 200
6
4 6 200
A2
6
5 5 300
销量 150 150 200
B1
B2
B3 产量
A1
x11
x12
x13 200
A2
x21
x22
x23 300
销量 150 150 200
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
§2
运输问题的计算机求解
运行管理运筹学计算机软件：
点击运输问题模块
14
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
§2
运输问题的计算机求解
点击新建
选择Min
输入3
输入4
点击确定
15
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
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--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学-第四章-运输问题和指派问题 PPT课件
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
32
11 4 3
3 10
3 1 3 9 1 2 -1 8
4
7
6 4 12 10 3 5
3
6
5
6
产量
7 4 9 20
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单位产 品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
13
解的改进
（1）以 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；
B2 4 11 29
4
6
B3 3
22
3 10
5
B4 产量 10 7
8
4
65
9
5
6
20
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西
B1
B2
B3
B4 产量
北 角
A1 3
34
11
3
10 7
方
A2
12
92
2
8
4
法
A3
7
43
10 6 5
9
初 始
需求量
3
6
5
6
20
解
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
供给约束
需求约束
非负约束
18
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
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3
1
A3
6
销量
3
6
5
方案的总运费为 86 元
B4
产量
10
7
8
4
5
9
6
B4
产量
3
7
4
3
9
6
14
两种特殊情况： 一 、有多个元素同时达到最小，任选一个作为基变量 二、对于最小元素，发现该元素所在行的剩余产量等 于该元素所在列的剩余销售量。这时在产销平衡表相 应的位置填上一个数，而在单位运价表中就要同时划 去一行和一列。为了使调运方案中有数字的格仍为（m + n –1）个，需要在同时划去的行或列的任一空格位置 添上一个“0”，这个“0”表示该变量是基变量，只 不过它取值为0，即此时的调运方案是一个退化的基可 行解。
12
表3.5 销地 产地
B1
B2
A1 A2 A3 销量
3
11
13 9
7
4
3
6
B3
B4 产量
3 10 7
21 8
4
10 5
9
5
6
解：第一步：最小运价为1 填上3---表示示 A2 调运3吨给B1， (即x21 =3=min(a2,b1)=min(4 , 3)) 将B1 这一列运价划去，需求已满足，不需要继续调运 。
例3.1 设 m = 3，n = 4，表3.2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路。
8
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x12
x14
A2
A3
x3中画出，并且把 相邻的顶点都用一条直线连接起来，就可以得到一条 封闭的折线，折线的每一条边或者是水平的，或者是 垂直的,每一行或一列由折线相连的闭回路的顶点只有2 个。
9
定理3.1： m+n-1个变量 xi1 j1 , xi2 j2 ,, xis js (s m n 1) 构成基变量的充分必要条件是它不包含有任何闭回路。 比直接判断这些变量所对应的系数列向量组是否线性无 关要简单和直观。
10
2、 表上作业法
求解运输问题的一种简化方法，实质是单纯形法。 （1）找初始基可行解----即在 (mn) 产销平衡表上给出 m+n -1个数字格--不能构成闭回路，且行和等于产量，列 和等于销售量； （2）求非基变量检验数---在表上求出空格的检验数，判 别是否达到最优解。如果达到最优解，则停止计算，否 则转入下一步； （3）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解，在 表上用闭回路法进行调整。 （4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解为止。
i1
n
xij ai
i 1,2,, m
j1
xij 0
i 1,2,, m ; j 1,2,, n
LP问题--------mn个变量，m + n个约束条件. 单纯形法求解，在每个约束上加入一个人工变量 若 m =4，n = 5，变量个数就有29个之多，非常复杂。
4
3.2 表上作业法
第二步: 从未划元素中找最小的运价2 ---填上 1 (即x23=1) ，划去A2 这一行运价，表示 A2的产品已分配完毕。
如此，直到单位运价表中所有元素都划去为止。 得到一个初始调运方案，表3.7
13
运价表 B1
B2
B3
A1
3
11
3
A2
1
9
2
A3
7
销量
3
4
10
6
5
表3.7 B1
B2
B3
A1
4
A2
第三章 运输问题
运输问题 约束条件的系数矩阵具有特殊的结构，有更为简单 的求解方法，从而节约大量的计算时间和费用。
1
3.1、运输问题的数学模型
产地-------- m个 , Ai表示，i=1,2,,m； 产量 ai , i=1,2,,m
销售地-----n个，Bj 表示，j=1,2,,n； 销售量 bj，j=1,2,,n，
Cij:----- 从Ai到Bj运输单位物资的运价 要求使总运费最小的调运方案。
表3.1
销地
产地
B1
B2
Bn
A1
c11
c12
c1n
A2
c21
c22
c2n
Am
cm1
cm2
cmn
销量
b1
b2
bn
产量
a1 a2 am
2
产销平衡运输问题 总产量等于其总销量，即
数学模型
m
n
ai bj
i 1
j 1
解: 假设 xij 表示从Ai到 Bj 的运量,则所求的
11
（1） 确定初始基可行解
① 方法一：最小元素法
基本思想----就近供应。即从单位运价表中最小的运 价开始确定产销关系，依次类推，直到给出初始方 案为止。
例3.2 某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的 产品由4个销售点销售，各工厂的生产量、各销售 点的销售量以及各工厂到各销售点的单位产品运价 如表3.5所示。问该公司应如何调运产品，在满足各 销售点的需要量的前提下，使总的运费为最小。
1、 基本概念与重要结论
系数矩阵特点：
（1）元素等于0或1；
（2）每列只有两个元素为1，其余都是0；
（3）每一个变量，在前m个约束方程中只出现一
次，在后n个约束方程中也只出现一次。
m
i1 xij bj j 1, 2, ,n
n
j1
xij
ai
i 1, 2,
,m
x11,, x1n , x21,, x2n ,, xm1,, xmn
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 51
运输问题的解---代表着一个运输方案 变量xij的值--由Ai调运数量为xij的物品给Bj。 基变量--- m+n-1个， 只有m+n-1个约束条件是线性 独立的。 进一步我们想知道，怎样的 m+n-1个变量会构成一 组基变量？
数学模型为:
mn
min Z
cij xij
i1 j1
m
xij
bj
j 1,2,, n
i1
n
xij ai
i 1,2,, m
j1
xij 0
i 1,2,, m ; j 1,2,, n
3
mn
min Z
cij xij
i1 j1
m
xij b j
j 1,2,, n
1
1
1
1 0
按第1列展开
7
基本概念 闭回路
凡是能排成 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js , xis j1 , (i1,, is , 互不相同，且
1 ik m, k 1,s, j1,, js互不相同,且1 jl n,l 1,, s)
形成的变量的集合 顶点---出现在闭回路中的变量 闭回路的边--相邻两个变量用一条直线相连
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x11,, x1n , x21,, x2n ,, xm1,, xmn
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1
1
1
D 1 1
1
1
1
(1) m1
1