一类非线性变分不等式解的强收敛定理

合集下载

变分不等式问题和半压缩映射有限簇的强收敛定理

变分不等式问题和半压缩映射有限簇的强收敛定理
房萌凯;高兴慧;郭玥蓉;王永杰
【期刊名称】《贵州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(41)1
【摘要】在Hilbert空间中,首先,构造了一种新的平行迭代方法用于逼近伪单调变分不等式的解集和半压缩映射有限簇的公共不动点集的公共元;其次,在适当假设条件下,证明了该算法生成的迭代序列的强收敛性;最后,给出具体的数值实验检验了所提出算法的有效性。

【总页数】6页(P31-36)
【作者】房萌凯;高兴慧;郭玥蓉;王永杰
【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中Browder-Petryshyn型严格半伪压缩映射的强收敛定理
2.广义渐近（ψ）-半压缩映射的强收敛定理
3.Banach空间中一个有限簇渐进非扩张映射的强收敛定理
4.Hilbert空间中平衡问题变分不等式问题和可数族k-严格伪压缩映像的强收敛定理
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

变分不等式的几类求解方法

n n T T
定义215 设 X 为 R 的非空闭凸集, G 为 n 阶正定阵, u ∈R , 记 u = ( u u ) , u
1 2
1 2
G
=
(u Gu ) , 如 u 满足: u ∈X , u - u G = m in{ x - u G x ∈X }, 则称 u 为向量 u 关于模 u 3 . G 在 X 上的投影, 记为 u = P X G ( u ) ; P X ( u ) 表示向量 u 在 X 上的投影
n 1 = {1, …, m }, 为连续可微凹函数, h j ( x ) = a T j x - b j : R →R , j ∈J
性函数, 即 h ( x ) 为仿射线性函数. 关于 V IP (X , F ) 和非线性规划 (N P ) 之间的关系, 有定理 2111 [ 2, 4, 5 ] ( 1) 如 F ( x ) 为某个实值函数 f ( x ) : Rn →R1 的梯度 f ( x ) , 则 V IP (X ,
n ( 2) 如 X = Rn + = { x ∈R x ≥0}, 则 V IP (X , F ) 等价于 N CP ( F ).
在许多实际应用问题中, V IP (X , F ) 的可行集 X 为闭凸集, 且具有以下结构形式 0 n ( 2. 8) X = X = {x ∈ R g ( x ) ≥ 0, h ( x ) = 0}, 其中 g ( x ) = ( g 1 ( x ) , …, g m ( x ) ) T , h ( x ) = ( hm + 1 ( x ) , …, hm + r ( x ) ) T , g i ( x ) : Rn →R1 , i ∈ I
高校应用数学学报第 1 4 卷A 辑第 2 期

求解一类新的非线性变分不等式的神经网络

件实现．尽管当映射单调对称时，该系统渐近数稳定［］但对单调的非对称映射，３，其收敛性并不能保证，而且对强制映射，并未讨论其有限时间收敛性．文献［］５建立了求解线性和非线性约束的变分不等式的一个简单的神经网络．尽管该模型在较弱的条件下是稳定的，然而由于其需要整个空间上的某种弱单调性而限制了其应用．于上述，基考虑及问题（）１的内在特性，提出求解它的神经网络．映射弱强制条件下，在
子，且有基本性质：并
收稿日期：０６—１２０２—１；回日期：０７—０８修２０２—２。７
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１５。１５１１）
作者简介：梅（９２一，，毕红１８）女陕西三原人，硕士，主要从事神经网络、最优化理论与算法研究
证明其Ｌａｕｏ稳定性和有限时间收敛性，ｙｐｎｖ并且在适当条件下，证明其指数稳定性．假定集合＝｛ ∈ＫＸ（Ｙ）问题（）的解集｝≠咖为叙述方便，ｌ・ｌ表示（ＴＹ）Ｉ戈，Ｋ是１．用ｌｌ欧氏范数．对任意向量 ∈Ｋ用表示其转置向量．ｎ）＝ａｇｎｌ一ｌ为从Ｒ到上的射影算，Ｐ（ｒｍｉｌｌ
其中，Ｋ’＝｛ｆ∈Ｈ：
戈 ∈Ｋ（ ’ ’ ，戈）∈Ｋ，戈）戈）≥０ ’（ ’ ，（），ｘ∈Ｋ． ≥０Ｖ｝所以，问题（）常义变分不等式、１是互补问题等的一个重要推广，
而且许多优化问题，如非线性规划、极大极小问题等都可以转化．因此，对其如何求解具有重要的理论价值和实际意义．特别地，尽管文献［］出了求１提解该问题的一个数值方法，但由于其计算时间依赖于问题的规模和维数，因而并不能实时求解．然而基于电路实现的神经网络，由于其大规模并行处理、分布式存储等优点，具有很多实时应用．近年来，应用神经网络求解优化问题已取得一些成果【］Ｆｉｃｔｌ提出了全局射影动力系统，２．ｒｓＩ。ｅｅａ２其结构简单，适合于硬

一类随机广义集值强非线性隐拟变分不等式

［文献标识码］Ａ
［文章编号］０９—９３（０２０１０５０２０）４—０１ —０１８４
本文引进和研究了一类新的随机广义集值强非线性隐拟变分不等式问题，构造了一个新的随机算法，明了这类随证机广义集值强非线性隐拟变分不等式问题的随机解的存在性及内算法所产生的序列的收敛性。本文以下处处设（Ａ，）完备一有限测度空间，是可分实Ｈｉ￣ｔ间，Ｈ）Ｈ的一切Ｂｒｌ集的一０，是Ｈｌ空ｂＢ（是ｏｅ子
定义１２映射ｎ： × Ｈ × Ｈ — 称为一随机强制有界双线性泛函，果满足下列条件：０Ｒ如
（）１对任意 ∈ ０，，・）ａ（，・是双线性的，且存在可测泛函ａ：，０— （，。，０ｏ）使得对ＶＵ ∈ Ｈ， ∈ ０，，有ａ，）≥ 口）・ｌ “ Ｉ，Ｉ（ “ ）Ｉ（）・ｌ “ Ｉ（ “，（ｌｌ，，ａ ≤ ｌｌ・Ｉｌ．ｌ１（）２对任意Ｕ ∈ Ｈ，（，，是一可测泛函，中ａ））为强制系数。，・Ｕ）其（，（
引理１１３设一随机泛函ａ： × Ｈ × Ｈ — 满足下列条件：．［］０Ｒ
（）１对任意 ∈ ０，，・）Ｈ ×Ｈ — 是一有界双线性泛函。ａ（，・：Ｒ（）２对任意，ｖ∈ Ｈ，（，ｖ：ｔ・ｚ，）０— 是一可测泛函。Ｒ则存在唯一一个随机有界线性算子Ａ： ×Ｈ — 使得Ｖ“ ∈ Ｈ， ∈ ０，０Ｈ，，有（，，Ａ（Ｕ））＝ａ，，）ｌ，）Ｉ（ｕ，ｌＡ（ｕｌ＝Ｉａ，・）ｌｌ（，・ｌ其中ｌＡ（ｌ，・ｌ＝ｓｐ｛ｌＡ（Ｕｌ：ｌＵｌ ≤ １，ｌａ，・）Ｉｓｐｌａ（ｕ）ＩｌｕＩ ≤ １）ｌｕｌ，）ｌｌｌ｝ｌ（，・ｌ＝ｕｌ，，：Ｉｌ，Ｉｌ１ｌＩ≤ ｝ｖ定义１１映射Ｖ：０×Ｈ — Ｈ称为随机集值映射，２如果对任一ｚ∈ Ｈ，・ｚ）可测的。Ｖ（，是随机集值映射Ｖ：０ ×Ｈ — Ｂ（）称为ｈ一连续的，果对Ｖ ∈ ０，，・是在Ｈａｓｏｆ度量ｈ上连续的。ＣＨ如Ｖ（）ｕｄｒ

一类广义非线性多值变分包含的迭代算法

Ｈ一单调算子下完全广义变分包含的解的问题．俞优莉等进一步介绍和研究了一类更广义的（叩５Ｈ，）
一
单调算子，决了一类变分包含解的问题．解本文在以上工作的基础上，入和研究了一类新的广义非线性集值变分包含问题，用（，）引利Ｈ叩一
收稿日期：０８３７２０ —０ —１
基金项目：四川省高等教育改革工程人才培养质量和教学改革项目（教［０５１８川２０］９）作者简介：玉军（９８一）男，徽省淮南市人，士研究生，究方向：线性泛函分析贡１７，安硕研非
维普资讯
２００８年６月第２５卷第２期
广西师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆａｇｉｅｃｅｓｄｃｔｎＵｎｖｒｉ（ａｕａＳｉｃｄｔｎｏｒａｏｎｘＴａｈｒｕａｉｉｅｔＮｔｒｌｃｎｅｉｏ）ＧｕＥｏｓｙｅＥｉ
中图分类号：１７９Ｏ７．１文献标识码：Ａ
的收敛特征，出的结果改进和推广了最近文献中ＦｎＰ，ｎ．Ｚｎ．等人的相应结果．给ａｇＹ．．ＨａＺ，ｅｇＬＣ．
１引言
变分包含是变分不等式的一种重要推广形式，在物理学，最优控制，非线性规划Байду номын сангаас，济学与机械工程经
闭子集族．ＣＥ）在Ｂ（上定义Ｈａｓｏｆ度量为：ｕｄｒ

实Banach空间中一类非线性算子不动点的收敛定理

因∑ Ｃ＝∞，ｎ所以ｅ
一０故ｌ川一ｌ（一 ∞ 。，ｌ一０ｎ）
：（１一Ａ）＋ＡｘＴ收敛于的唯一不动
推论１设为实Ｂｎｃａａｈ空问，Ｄ为的非空子集，映射ＴＤ— Ｄ为算子，：设为的不动点，Ａ ∈（，）常数，对任意的。∈Ｄ，０１为则Ｋ迭代序列｛｝。：：
收稿日期：０７０３２０ — ９—０
作者简介：吕桂稳
女
１７９４年出生
讲师
基金项目：石家庄铁道学院科研专项基金（９）Ｑ０资助项目；家庄铁道学院青年专项基金（３）石Ｑ３资助项目
维普资讯
７６
维普资讯
２卷第４０期
石家庄铁道学院学报（自然科学版）
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｖ．０ｏ。２．１Ｎ４
２７２ＯＲＡＩＡＨＡＧＲＩＡＳＴＴＮＴＲＬＣＮＥＤｃ２７０年１月ＪＵＮＬＦＨＩＵＮＬＹＮＴＵＥ（ＡＵＡＩＣ）ｅ０００ＳＪＺＡＷＩＩＳＥ．０
石家庄铁道学院学报（自然科学版）
第２０卷
中的实数列，ｎ：。ｎ，当 ∑ ／３（）则
ｎ
ｎ
： ∞ 时，ｉｎ：０ｍＡｌ。
＝Ｉ
２主要结果
定理１设Ｅ为实Ｂｎｃａａｈ空问，Ｄ为Ｅ的非空子集，映射ＴＤ— Ｄ为算子，：设为的不动点，设
证明：因为对Ｖ０＜ ≤ １有ｅｐ＝１＋＋＋… ＋＋… ，，ｘ

一类新的广义非线性集值变分包含组解的存在性问题

ｓｉｓａｅｕｆｅｉｒｖｄａｄｇｎｒｉｅ．ｕｔｎｉｄ，ｍｐｏｅｅｅａｚｄｒｉｎｌＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｙｔｍｓｏｅｒｉｅｏｉｅｅ－ａｕｄｖｒａｉｎｌｉｃｕｉｎｓ；ｍａｉｌｒ－ｍｏｏｏｅｍａｐｎｓｓｅｆｇｎｅａｚｄｎｎｌａｓｔｖｌｅａｉｔｏａｎｌｓｏｌｎｒｘｍａ／ｎｔｎｐｉｇ；
性集值变分包含组．
间，２表示的非空子集的全体，Ｂ，，：一，，Ｇ ×
本文目的是在Ｈｌｒｉｅ空问中，利用极大叼ｂｔ一单调映射的预解算子技巧，对一类新的广义非线性集值变分包含组式（）１建立了解的存在性定理和新的迭代算法，并证明由此算法生成的迭代序列的收敛ｏＪａ－ｕ
（ａｕｔｏｐｌｄＳｉｎｅＪａｇｉｎｖｒｔｏｉｃｄＴｃｎｌｇ，ａｚｏ４００ＣｉａＦｃｌｆｐｉｃｅｃ，ｉｘＵｉｓｙｆｃｅｅｎｅｈｏｙＧｎｈｕ３１０，ｈｎ）ｙＡｅｎｅｉＳｎａｏ
ＡｂｔａｔＩｉｐｐｒａｎｗｓｓｅｆｇｎｒｌｅｏｌｅｒｓｔｖｌｅａｉｔｎｌｎｌｓｏｓｉｉｔｄｃｄａｄｓｒｃ：ｎｔｓａｅ，ｅｙｔｍｏｅｅａｉｄｎｎｉａｅ－ａｕｄｖｒｉａｉｃｕｉｎｓｎｒｕｅｎｈｚｎａｏｏｓｄｅｙｕｉｇｔｅｒｓｌｅｔｅｈｉｕｆｈｘｍａ一ｍｏｏｏｅｍａｐｎ．ｈｘｓｅｃｆｓｌｔｎｎｅｔｉｄｂｓｅｏｖｎｃｎｑｅｏｅｍａｉｌｕｎｈｔｔｎｔｎｐｉｇＴｅｅｉｔｎｅｏｏｕｉｓａｄｔｏｈｃｎｅｇｎｅｆｓｑｅｃｓｐｏｕｅｙｔｅｎｗｉｒｔｅａｇｒｈｒｒｖｄｉｌｅｔｐｃ．ｕｅｆｒ — ｏｖｒｅｃｓｏｕｎｅｒｄｃｄｂｅｅａｉｏｉｍｓａｅｐｏｅｎＨｉｒｓａｅＡｎｍｂｒｅｅｈｔｖｌｔｂｏ

一类非线性积分微分方程初值问题收敛性的进一步结果

一类非线性积分微分方程初值问题收敛性的进一步结果王培光;杨凯愉;秦俊红【摘要】研究了一类非线性积分微分方程初值问题.通过应用比较原理和拟线性方法,对所构造的单调迭代序列,证明了逼近解序列的k(k≥2)阶收敛性.所得结论发展了已有文献的结果.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(038)005【总页数】5页(P449-453)【关键词】积分微分方程;单调迭代;拟线性化方法;快速收敛【作者】王培光;杨凯愉;秦俊红【作者单位】河北大学数学与信息科学学院,河北保定 071002;河北大学数学与信息科学学院,河北保定 071002;河北大学数学与信息科学学院,河北保定 071002【正文语种】中文【中图分类】O175.121 预备知识近年来，积分微分方程解的定性稳定性及其应用问题引起了许多研究学者的关注，见文献[1-3]. 利用上下解方法加上单调迭代技术, 已有关于积分微分方程极值解的存在性和迭代序列一致收敛的相关结果，研究成果见文献[4-8]及其引用的相关文献.注意到现有结果多为积分微分方程边值问题的结果. 在实际问题中，解的收敛速度问题在理论和应用方面都有重要的作用. 拟线性方法[9]是得到各类方程解的快速收敛的有效方法之一. 本文讨论一类积分微分方程初值问题，通过构造单调迭代序列，并运用拟线性方法，证明了解的k(k≥2)阶收敛性. 所得结论发展了文献[10]的平方收敛结果.考虑下列一类一阶积分微分方程初值问题(1)其中T>0,A和B为非负常数.定义1 称函数α(t)∈C1(J,R)为初值问题(1)的下解, 如果不等式(2)成立.(2)如果上述不等式反号成立, 则称其为问题(1)的上解.为证明本文的主要结果, 引入如下引理[10].引理1 假设H1)f∈C(J×R,R),K∈C(J×J×R,R),K(t,s,u)关于u单调非减，(t,s)∈J×J;H2)α(t)、β(t)∈C1(J×R)分别为问题(1)的下上解，并且f(t,u)-f(t,v)≤ε1(u-v),K(t,s,u)-K(t,s,v)≤ε2(u-v),u≥v，ε1>0，ε2>0为常数.则α(t)≤β(t)，t∈J.引理2 假设α(t)、β(t)分别为问题(1)的下上解, 并且α(t)≤β(t)，t∈J，则问题(1)存在解u(t). 如果α(t0)≤u(t0)≤β(t0)，则有α(t)≤u(t)≤β(t).2 主要结果运用拟线性化方法，证明逐次逼近序列的高阶收敛性.定理1 假设下列条件成立A1)α(t),β(t)∈C1(J,R)分别是初值问题(1)的下解和上解,并且α(t)≤β(t)；A2)偏导数存在，连续，并且其中L≥0为常数，i=0，1，…，k,k>1,(t,u)∈Ω={(t,u):α(t)≤β(t),t∈J}；A3)偏导数存在, 连续, 并且(3)其中p>0、M>0为常数，i=0,1，…，k,k>1,(t,s)∈J×J.则存在单调序列{wn(t)}一致收敛于问题(1)的解,并且为k阶收敛.证明由条件A2)—A3)，可知式(1)有解w(t)存在，且α(t)≤w(t)≤β(t)成立.为了构造单调序列{wn(t)}，首先设α(t)≤v≤u≤β(t)，t∈J，则(4)(5)其中ξ∈[v,u].由A2)和A3)可知存在，连续，并且式(3)成立. 因此，可定义辅助函数(6)(7)由式(6)和式(7)，有g(t,u,v)≤f(t,u),g(t,u,u)=f(t,u),t∈J，u,v∈Ω，(8)K*(t,s,u,v)≤K(t,s,u), K*(t,s,u,u)=K(t,s,u).(9)由式(9)可知，K*(t,s,u,v)关于u是单调非减的，(t,s,v)∈J×J×R.令α=w0，考虑下列初值问题(10)由式(8)、式(9)及A1)，有以及即w0(t)和β(t)分别为问题(10)的下上解. 由引理1和引理2可知，问题(10)存在解w1(t)，并且w0(t)≤w1(t)≤β(t),t∈J.其次考虑下列初值问题(11)同理由式(8)、式(9)及A1)，有以及即w1(t)和β(t)分别为式问题(10)的下上解. 再由引理2可知，问题(11)存在解w2(t)，并且w1(t)≤w2(t)≤β(t),t∈J.重复上述过程，可以得到单调序列{wn(t)}，满足w0(t)≤w1(t)≤…≤wn(t)≤β(t),t∈J，其中wn(t)满足下列初值问题(12)其中φn(t)=Ag(t,wn(t),wn-1(t))+BK*(t,s,wn(s),wn-1(s))ds.注意到g、K*连续, 并且α(t)≤wn(t)≤β(t)，t∈J，可知{φn(t)}有界，并且Af(t,w(t))+BK(t,s,w(s))ds，因此可得wn(t)=φn(s)ds+u0.(13)进一步，由{wn(t)}单调非减有界，可知{wn(t)}一致收敛. 令对上式两边取极限，得(14)即w(t)为问题(1)的解.最后证明序列{wn(t)}的k阶收敛性.令en(t)=w(t)-wn(t),an(t)=wn+1(t)-wn(t),n=1,2,…，(15)于是g(t,wn+1(t),wn(t))-BK(t,s,wn+1(s),wn(s))ds,en+1(t0)=0.由式(4)-(7)，有其中由A2)、A3)可知，存在N>0，N1>0，使得并且|pn(t)|≤N2，|qn(t)-Ml(en,an)|≤N3，其中N2>0、N3>0是常数. 注意到有(16)其中(17)因此，由引理1，有en+1(t)≤h(t)，其中h(t)为下列初值问题的解(18)其中A1=AN+L，B2=BN1. 进一步，令Q(t)=h(s)ds,Q(t0)=0,Q′(t0)=0，(19)则式(19)可转化为(20)由式(17)、式(20)，利用参数变异法[11]，可解得(21)因此(22)即其中‖·‖为通常意义下的范数. 由此可知结论成立.参考文献：【相关文献】[1] 郭大钧，孙经先. 非线性积分方程[M].济南:山东科学技术出版社，1989.[2] LAKSHMIKANTHAM V, RAMA MOHANA RAO M. Theory of integro differential equations[M].Switzerland: Gordon and Breach Science Publishers, 1995.[3] CORDUNEANU C. Integral equations and applications[M]. Cambridge:Cambridge University Press, 1991.[4] 张石生. 关于一类随机积分微分方程解的存在性定理[J].四川大学学报(自然科学版)，1984(1):1-8.[5] SUN J X, ZHAO Z Q. Extremal solutions of initial value problem for integro-differential equations of mixed type in Banach spaces[J]. Ann Diff Eqs, 1992(8): 469-475.[6] WANG G T, ZHANG L H, SONG G X. Integral boundary value problems for first order integro-differential equations with deviating arguments[J]. J Comput Appl Math,2009(225): 602-611. DOI:10.1016/j.cam.2008.08.030.[7] KHOSROW MALEKNEJAD, IRAJ NAJAFI KHALILSARAYE, MAHDIEH ALIZADEH. On the solution of the integro-differential equation with an integral boundary condition[J]. Numer Algor, 2014(65)： 355-374. DOI: 10.1007/s11075-013-9709-8.[8] LIU Z H, LIANG J T. A class of boundary value problems for first-order impulsive integro-differential equations with deviating arguments[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2013(237)： 477-486. DOI:10.1016/j.cam.2012.06.018.[9] LAKSHMIKANTHAM V, VATSALA A S. Generalized quasilinearization for nonlinear problems[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998.[10] BASHIR AHMAD. A quasilinearization method for a class of integro-differential equations with mixed nonlinearities[J]. Nonlinear Anal Real Wolrd Appl, 2006(7)： 997-1004. DOI: 10.1016/j.nonrwa.2005.09.003.[11] DEO S G, LAKSHMIKANTHAM V. Method of variation of parameters for dynamic systems[M].New York：Gordon and Breach Science Publishers, 1998.。

一类新广义非线性似变分不等式组解的迭代算法

收稿日期：０２９—１２００— ８
作者简介江西省教育厅青年科学基金项目（Ｊｌ６）基金县：ＧＪＯ９２
：曹寒问（９９一）女，１７，讲师．
・
２２・２
南昌大学学报（理科版）
２１００正
下问题：
找 ’， ∈Ｈ，，，使得
（Ｘｐｚ（ｌ）＋ｇ（）一ｇ（１）叼ｘｇ（Ｎ））≥ｐ（（） Ⅳ ）Ｖ ∈Ｈ Ⅳ Ｘ，，』ｘ）ｖ Ⅳ ）一（，
在（．）中，１。：０１Ｔ（，）＝Ｔ（：，（．）成为求（１，，，）ｃＨ从而ｇ（１，） … ，１）则０１． … （Ｘ）ｇ（，
： × ＋： ÷ （＝２３ …Ｊ）我们研究以下称为广义非线性似变分不等式组（ＧＶＩ日Ｈ＿日，日－Ｈｉ，，７．ｖＳＮＬ）问题：（ｌＸ，）＋）一ｇ（）７（，】）ｐＴ（１ ‘ ｇ（。，。．）≥ｐ（（Ｘ）。）， ∈Ｈ１）。ｇ（ｌ）一（）Ｖ。，（（３ｐＸ）＋ｇ（）一）（ｇ（））≥ｐ（（：Ｘ）（）， ∈Ｈ ’ ｇ（，，：）：：ｇ（２）一）Ｖ ’
ｆｌ‘ Ｙ叼）≥－（一（）ＨＬ＋（）ｐ）， ∈ 一（）＋ｇ一（一）一ｇ一（）一，Ｎｌ・）Ｎｌ。，。 Ⅳ。，。ｘｇ＿（Ｎ）一
≥ｐ一（】ｌｇ一（一） Ⅳｌ）Ｙｘ∈ Ｈ．ｌｖ（ Ⅳｌ１）一一（ Ⅳ ＇ — ），
（・）０１
（Ⅳ （１）＋ｇ（）一ｇ（）．，Ⅳ ）＞≥Ｐ（（Ｎ）一（）Ｖ ∈ Ｈｐ．ＮＮ，１ｇ（ｖ（）Ｎ Ⅳ ｘ Ⅳ ），特殊情况：１（）如果＝（不空闭凸子集Ｋ￣ｆ典则函数）（。：Ｊ：，，）＝Ｔ（）７，）＝一ＹｇＩ，（，７，，

关于一类广义非线性拟变分不等式

一
容易证明
ｌ（－（ＩＩｘＧＹｌＧ））：
ｌ２＋｛（ｍ＋［－）ｐ（，十卜１）ｇ）Ｊ（ｍ－Ｎｘ】０一－ｐｇＡ）－
（，｛一一）【一）（缈＋，Ｉ１）（，＋（ Ⅳ 一Ｊ＋ｇｇ一，）】ｌ｝≤
显然是单值非扩张映射。定义２一个映射ｇ：Ｈ被称为强单调的和利普希兹连续的，如果存在正常数，满足．，
（，—）， —Ｉ一 ≥．ｖＩｌ
Ｉ一ＩｌｖＶｙＩｌｕｌｘｅ ≤￣－ｌ，Ｈ，
ｌｙ－ｐＮＡ，）ＮＡ，） — ）８（Ｂ）ＮＡ，） ≤ Ｉｌ２（（Ｂ一（Ｂ，＋ Ⅳ ，一（ＢＩｘｌ－ｘｘｙｘｘｙ￣ｙ＋ｐｌ（，）ＮＡ，）一ｐｌ—ｌ口一ｌｌ２ｃＡＢ一（Ｂｌ２ｄｘｙ＋ｙ ≤ ｌｌｘｘＮｙｘｌｌｌ（２（－ｓ＋口）ｌ１ｐｄｃ口ｐ－）一Ｉ
式：找出 ∈Ｈ满足
ｆ∈Ⅳ（（）．＋（ — （），］（））（）ｃｇ
收稿日期：２１—８２０１０ — ２作者简介：巩娟（９４）１６－，女。辽宁昌图人，副教授。
第４期
巩娟：关于一类广义非线性拟变分不等式
２７６
［４１１－
使用预解算子技术建立了与该广义非线性拟变分不等式等价的不动点问题，使用这一等价性和Ｂｎｅａａｈ不动点定理，提出了两种迭代算法，给出了带有极大单调映射的广义非线性拟变分不等式的解的存在性和

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

井冈山大学学报（自然科学版）
３
２（一
一一，）
以下是定义了｛），用数学归纳法证明
Ｆ（）ＩＫ（））ｎ，ＶＳｎＦ（ｕ，ｃＴｎ＝０１，。，２… ，
此外，＝（Ｌｘ）由（一Ｔ，，），满足七Ｌｓｉ一ｉｃｔｐｈｚ
张映射，使得
ＦＳＮＩ（， ≠ （）Ｖ（ｕＴ，Ｋ）１
则算法（）Ａ生成的序列｛，｛，｛）））Ｚ强收敛到ｎ
（ｎ７（。｝州）（
证明显然ＣＪ，，Ｑ，闭凸集，任意，＝Ｏ１，是ｚ，２… ，
我们给出以下的算法：迭代算法（：Ａ）
＋ＰＱＸ，ｌ＝ｑｎ
，．
．Ｉ一，一（ｙ，一１ｌｙｌ２ｔｘ，－，ｆ一，ｌ，，，）
Ｉ－１２，，＝，＋（一）．１
一
Ｖ，＝０１２，．？，， …
ｌＩ一一一＋『ｌ－，ｘ
别表示上的范数与内积，尸Ｈ）示Ｈ中非空，ｆ表闭凸子集全体。设单值映射ｍ：－Ｈ，ＫＨ，Ｈ－｝Ｔ：
（ — ｖｆ１≥ ，Ｖ，Ｋ．ＴＴ，，０ｕ ∈ ｕｚ）一Ｖ
定义２映射Ｔ：ＫＨ称为ｋＬｐｃｉ连续－ｉｓｈｔｚ
则称ｚ “ 是在Ｋ上的投影，记为Ｚ（）称为＝ “，
Ｈ到Ｋ上的投影。易知为Ｈ剑Ｋ上的非扩张映
射，ｘ∈Ｋ，同时对任意ｘ∈Ｈ１Ｙ∈Ｋ有如一等价条件：
｛Ｈ：－ｌｌ一Ｉｚｌｚｌｚ， ∈ ｚ－￣｝￣￣ｘ｛∈ （ｚ —ｎ０，ｚＨ：，Ｘ）一）
ｔｅｒｍｈｏｅ
１预备知识
记这类变分式问解集为（，，不等题（Ｔ））
记映射Ｓ的不动点集为ＦＳ。（１
定义１１映射Ｔ：１１Ｋ称为单调的，如果
以均设Ｈ是实Ｈｌｒ下ｉｅ空间，Ｉ（）ｂｔ符号ｌ・分、，・
２
井冈山大学学报（自然科学版）
定义５】映射Ｓ：Ｋ称为伪压缩映射，如【Ｋ
迭代算法（）ｃ：
Ｘｏ
＝
￣ｌｖ－＂ｖ＋ｌｓｌ１一ｉｓｕｔｉ￣
∈Ｈ・
ｌ－）一一），，Ｋ。ＩＳ￣（ｓｌｕ ∈ （Ｉ，ｖＶＶ
．
Ｖ＝，，ｕＦＳＮＩ（，）ｎ０，…。Ｖ ∈ （Ｖ（ｕＴ，１２）Ｋ）
Ｘ＋Ｐｎｏ，ｎ１＝ｃ，ｘ，
因是调且“ ＶＫｕＴ，为单的 ∈Ｉ（，（））
则由（．）１有２
门＝０．，．．１２ …
迭代算法（）Ｂ：
锥，Ｃｕ＝（）Ｃ。则对任意的，∈ ，有（ｍｕ＋）ｖ
、（＋ｖ（）ｖ “ （一 “ ，＝））
其中ｆｆ是Ｃ到Ｃｕ上的投影。，１（）２主要结果
根据Ｎ．ｄｚｋｎＮａｅｈｉａ和ｗ．ａｈｓｉＴｋａｈｔ的算法，
（ｃｏｌｆｔｅｔｓｎｆｒｔｎＣｉａｓＮｏｍｌｎｖｒｔ，ａｃｏｇＳｃｎｎ３０２ＣｉａＳｈｏＭａｍａｃａｄｎｏｍａｉｈｎｔｒａＵｉｅｓｙＮｎｈｎ，ｉｈａ７０，ｈ）ｏｈｉＩｏＷｅｉ６ｎ
ｃｒｅｐｏｉｇｒｓｌｓｏｒｓｎｄｎｅｕｔ．Ｋｅｒｓｖａｉｔｏｌｉｅａｉｆｘｅｉｔｍｏｏｏｅｍａｐｎｎｎｘｎｓｖｅｍａｐｎｓｒｎｏｖｒｅｃｙｗｏｄ：ｒａｉｎａｎｑｕｌｙ；ｔｉｄｐｏｎ；ｎｔｎｐｉｇ；ｏｅｐａｉｐｉｇ；ｔｏｇｃｎｅｇｎｅ
ｓｒｎｏｖｒｅｃｈｏｅｉｐｏｅａｅｎａｐｏｏｅｅａｉｅａｇｒｈ，ｉｈｅｔｎｓａｄｉｒｖｓｔｅｔｇｃｎｅｇｎｅｔｅｒｍｒｖｄｂｓｄｏｒｐｓｄｉｒｔｌｏｉｍｗｈｃｘｅｄｎｏｓｔｖｔｍｐｏｅｈ
定义３映射Ｔ：［Ｋ称为强单调的，如果
ＫＰｋ￣Ｉ）（（，定义＝（＋，ｅ（ “ ＫＶＨ。非线性变））ｕ
（ＬＩ求ｂＨ，ＮＶ）／满足“ Ｋｕ使得： ∈ ∈ （１
（ —ｖ一）ｌ～『ＴＴ甜ｌｌ，∈ ．ｕ，，
一
（１１）．（２１）．
ｌ一Ｉｌ— ｘＩｌｙ ≥ ＋ｌｌ
定理２．１设Ｋ∈ ，（，：Ｈ，尸）Ｈ（）Ｔ是单调
的且满足ｋ— ｉｓｈｔ连续的，Ｓ：ＬｐｃｉｚＫ２为非扩
引理１设Ｃ是一实Ｈｌｅｔ间中之一非空ｔｉｒ空ｂ
第３２卷第３期
２１年０１５月
、０．２，１ＮＯ３３．
Ｍａｙ２１０１
井冈山大学学报（自然科学版ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ＪｕｎｌｏｉｇａｇｈｎＵｎｖｒｉＮａｒｌＳｉｎｅｏｒａｆＪｇｎｓａｉｅｓｙ（ｔａｃｃ）ｎｔｕｅ
定义６设是实Ｈｌｒ空间，尸Ｈ，ｉｅｂｔＫ∈ ，（）ｆ）
∈ 是给定的点。如果存在Ｚ∈ 使得ＨＫ
（）一，＝ｎ（一）（Ｘ＋１一
＝＝
），
ｌ１＝～－ｌＺ．ｒｌｖ，－Ｉａｕｌ／ｉｌｎ
ＡＬ（
。
＋１＝
，
Ｖ胛＝０１２ … ．．．。
其中｛ｃ】，∈０／，％∈０］）【６，口（１）６，ｋ【ｃ，，ｃ【１。 ∈０），
利用上述算法，可以得到儿个（ＶＩ的强收ＮＬ）解
敛定理。
（一， — ）Ｙ０
集值映射ＳＫ２。设｛ｃＨ，∈ ，强、：｝Ｘ｛｝
弱收敛于分别用符号ｘ－ｘ，－－＞
分不等式问题即为
的，如果存在 ∈ ，使得Ｒ
来表示。设
Ｉ一ｌ尼一ｌＬ ∈ ｌｌｌｖ，／Ｋ ≤ｌＩ．ｖ
ｚ＝（一）（（一Ｔ．，ｘ＋１ｓｘＺｙ））
＝＝
Ｖ＝，２令＝（，，０，…。１，（一）），
｛（）ｚｅｌ—ｌｚ：－ｌｅ， ∈ ｌｌ￣ｌ｝｛（）一，Ｘ）ｚ：ｚ —ｎｏ ∈ （），
Ｘｏ ∈ ・
因Ｑ＝ｚ（）一，－ｎ），｛∈ ：ｚＸ０（Ｘ）
ｊＸ—，一，Ｖ ∈ 。ｊｎｚ）０ｚ！ｕ（
由（．有Ｘ＝口１）ｎ尸Ｈ１。
＝（（一）
），
第１证明Ｆ（）ＩＫ（））Ｊ步，ＳＮＶ（ｕ，ｃｃＩＴ，
ＳＴＲｏＮＧＣｏＮＶＥＲＧＥＮＣＥＴＨＥｏＲＥＭＦｏＲＳｏＭＥＳｏＬＵＴＩＮｏｏＦ
ＮＯＮＬＮＥＩＡＲＡＲＩＩＶＡＴＯＮＡＬＩＮＥＱＵＡＬＩＹＴ
ＴＮａｕ，ＨＥＺｏｇｑａＡＨｕ－ｎｊｈｎｕｎ
Ａｂｓｒｃ：ＷｅｓｕｙｈｏｖｒｎｅｏｅｓｌｔｏｆｓｍｅｎｎｉｅｒｖｒａｉｎｌｉｑａｉｙｉｌａｐａｅＡｔａｔｔｄｔｅｃｎｅｇｅｃｆｔｏｕｉｎｏｏｏｌｎａａｉｔｏａｎｅｕｌｔｎＨｉｈｂｅｓｃ．
（一Ｙ一，一＝ＸＴ．ｆＹｎ．）（一一＋一，）（
），
＝（（一）
Ｚ＝＋１））ｎ（一（一
＝
ｌ一ＩＩ一Ｉ２，＝ “ 一Ｉ（～）Ｉ＋
一
＝Ｚ（）一ｌｌ—ｌ ∈ ：ｚｋｅ，１－１＜ｌ｝｛（）一，Ｘ）ｚ：ｚ —ｎ０ ∈ （），
并推广了引文中相应的结果。
关键词：变分不等式；不动点；单调映象；非扩张映象；强收敛定理中图分类号：０１７１７．９文献标识码：ＡＤＯ：．６￣ｉｎ１７— ０５０１３０Ｉ０３９．ｓ．６４８８．１．．１１９ｓ２００
定义４映射Ｓ：［Ｋ２为非扩张映射，如称
（， ≥ ，Ｖ ∈ （。Ｔｖ）０ｖＫｕｕ一１
￣ｌ一ｌｌｖＶ，∈ ｌ ≤ ｌｕＫ．ｓ．一Ｉｖ，
收稿日期：２１— ２２；修改日期：２１０ —０００１～８叭 — ４２基金项目：四川省教育厅重点课题基金项目（７Ａ１３０Ｚ２）作者简介：谭华军（９５）男，四川重庆人，硕士生，主要从事非线性分析研究（－ｉｃｈｔ＠１３ｃｒ：１８一，Ｅｍａｌｑａｊ６．ｎ：ｈｏ）｝ｑ：９５）何￣（５一，男，四川南充人，教授，主要从事非线性分析研究（— ｉｌｇｉｎｈｎｈｉ２．ｍ）１Ｅｍａ：ｉｊｓａｓｕ＠１６ｏ．ｌｎａｃ