关于一类广义非线性拟变分不等式

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关于一类广义算子隐向量变分不等式的解

解（ＯＩＶＩ，得到解的存在性．ＧＶ）
关键词：向量变分不等式；Ｆｎｒｗｅ不动点定理；广义半连续；Ｃ伪单调算子ａ— ｏｄｒＢ－
中图分类号：Ｏ１７５７．２文献标识码：Ａ文章编号：１０．３５２０）６００．５０６０７（０８０．０７０
找ｆＸ使 ∈ 满（一，）Ｃｆ．到ｏＸ，足，，０（） ∈ （）ｏ
由此可见，（ＧＯＩＶＶＩ的确是其它几种算子向量变分不等式解的全面推广．）模仿上面的单调性和连续性，本文定义丁：ｘＥ如下：
并且在向量值最优化问题等多方面得到应用【】３．最近，Ａ．ｍｏｏ和ＪＫｌｍｂｎ在ＢｎｃＤｏｋｓ．ｏｕａａａｈ空
间中讨论了算子向量变分不等式解（ＶＩＯＶ）问题，并通过ＫＫ定理得到了解的存在性【．接着Ｍ８】ＳＫｍ和ｗ．ｉ９．ｕＫＫｍ［在集值映射下将其推广，得到了广义算子向量变分不等式解（ＯＶ）本１ＧＶＩ：文在此基础上将其推广，得到全新的广义算子隐向量变分不等式解（ＩＶＩ，用不动点定理得ＧＯＶ）
ｃ（）Ｆ．（，）ｌ ≠ ＬＸｙ是ｘ到Ｙ所有线性算成的Ｘ的连续子组空间，：２（）一个重函ｘＬ’是多ＥＦ
数，：（，）Ｘ× Ｆ是一数．被称ＬＥＦ × Ｘ个函于是为：
（）称为关于是广义Ｃ一单调，如果对任意，Ｉ伪Ｙ∈Ｘ，］Ｓｘ，满足： ∈Ｔ

广义向量隐拟似变分不等式解的存在性

收稿日期：０２— ４—１．２１０６
一
基金项目：辽宁省博士启动基金（ｏ２０１９）Ｎ：０７０７．作者简介：陶佳（９６一）女，１８，渤海大学硕士研究生，从事变分不等式（最优化理论与应用）研究通讯作者：ｏ４７ａｏ．ｎｔｊ２＠ｙｈｏｃ．ａｉ
—
，
＜Ｎ（ｘＴ）叼ｈｙ，（）Ａ，ｘ，（（）ｇｘ）＞＋Ｆ（（）ｇｘ）一Ｆ（（，（）∈ ｅｘ，ｈｙ，（）ｇ）ｇ）（）Ｖｙ∈ Ｋ
若（（）ｇｘ）＝ｈｙｇｘ，，ｈｙ，（）（）一（）ＶＹ∈Ｋ则ＧＩＶＩ简化为下面的广义向量隐拟变分不等式，ＶＱＬＰ
问题（记为ＧＩＶＰ：简ＶＱＩ）找到 ∈Ｋ满足
＜Ｎ（ｘＴ）（）一ｇ）＞＋Ｆ（）ｇ）Ａ，ｘ，ｙ（（ｙ，（）一Ｆｇ）ｇ）（，（（，（）ＥＰ）ＶｙＥＫ
这个问题曾被Ｋａ【ｈｎ８考虑和研究．ＶＱＩＧＩＶＰ是许多著名向量和标量混合拟变分不等式的推广．
关键词：ＶＱＬＰＫＭ定理；ＧＩＶＩ；Ｋ锥
中图分类号：２４文献标志码：文章编号：６３— ５９２１）２— １６— ４０２Ａ１７０６（０２００１０
０引言
向量变分不等式（Ｖ）ＶＩ首次在有限维欧几里德空间 … 中引入．随后，Ｖ被推广到无穷维空间ＶＩ．

一类变分不等式的随机步长收缩算法

分类号：ＡＭＳ２０）０３；０３；５０（０９Ｃ０９Ｃ３６Ｋ５０
中图分类号：２言
假设日是一具有范数和内积（・的实Ｈｉｅｔ间，Ｆ是日到其自身的映射，是日中・），ｌｒ空ｂ
程的理论，即
ｕ是Ｖ（，）解错＝尸［一（］＞０ＩＫ的ＦＫＵＦ），，
这里是Ｈ到Ｋ的投影算子，即
（２）
（）ｒＫｎｌＩＶ＝ａｇ ∈ Ｉｍ乱一Ｉ，ｕ∈Ｈ・
投影收缩算法就是基于上述不动点理论来求解变分不等式的一种方法，很多参考文献的数值试验证明了投影收缩算法是求解一类变分不等式问题的高效算法．何炳生［Ｉ５提出了投影１ｌ２】收缩算法的三个基本不等式，并在交替方向法和增广拉格朗日法等方面做了大量工作．孙德锋［＿１在研究外梯度法的基础上给出一类广义非线性互补问题的投影收缩算法，其数值试验结７果表明了不仅对线性情形有效而且对非线性情形也同样有效．石超峰等［］出了一个求解一１提８般大规模９单调变分不等式的预估一正算法，该算法每个步长的选取只要计算一次投影，从一校
这里ｆｘｚ一／，ａｙＹ一／是单调函数，和分别为衄（）：Ｒ” （）：Ｒ和集；那么对ＶＩＦＫ）（，的约束加入拉格朗日乘子 ∈Ｉ，则得到其等价格式Ｒ中的非空闭凸
叫＝ｃ，Ｔ∈Ｑ，，
｛）Ｖ（ｆＩ∈ 三Ｘ）Ｑ＇，ｘ。－＋Ｏ二）＞－，ｘＡ叫ＴＴｃ（（

几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理

大庆石油学院学报第31卷第1期2007年2月JOURNAL OF DAOING PETROLEUM INSTITUTEVol.31No.1Feb.2007收稿日期：20060908；审稿人：刘成仁；编辑：任志平基金项目：国家自然科学基金项目（10272034）作者简介：樊涛（1981-），女，博士生，主要从事本构理论及变分原理方面的研究.几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理樊涛1，梁立孚1，周利剑2（1.哈尔滨工程大学建筑工程学院，黑龙江哈尔滨 150001； 2.大庆石油学院土木建筑工程学院，黑龙江大庆 163318）摘要：非线性非保守系统弹性力学的广义变分原理不仅在有限元法和其它近似计算方法中得到广泛应用，而且可以方便地求得非线性非保守系统弹性力学问题的精确解.按照广义力和广义位移之间的对应关系，将几何非线性非保守系统弹性力学中的基本方程乘上相应的虚量，然后积分并代数相加，并考虑到体积力和面积力均为伴生力，建立了几何非线性非保守系统弹性力学中的三类变量的广义拟变分原理，进而将其退化为两类变量的广义拟变分原理和经典拟变分原理.关键词：几何非线性；非保守系统；弹性力学；拟变分原理中图分类号：O34 文献标识码：A 文章编号：10001891（2007）01012006各种自然现象和过程（含力学现象）通常由一组数理方程（偏微分方程、积分-微分方程或积分方程）及初边值条件描述，但人们通过长期的探索研究，发现这些现象和过程常常使系统的某一整体量（泛函）取驻值或极值，因而又可以用相应的变分原理描述.变分原理既体现了数学形式上的简洁优美，又体现了物理内容上的丰富深刻，更具有工程应用上的价值，代表了数学与物理的交融与贯通，以及理论与实用的结合与统一.特别是自20世纪60年代起，有限元法的兴起与蓬勃发展，使作为其主要理论基础的变分原理又重新焕发了青春，取得了长足的发展［1-6］.但是，关于非线性系统和非保守系统变分原理的研究较少.非线性系统方面，BUFLER H 提出了放松连续性要求的非线弹性广义变分原理［7］；OGDEN R W 也在非线弹性变分原理方面作了研究［8］；钱伟长建立了几何非线性理论最小位能原理、余能原理和2种广义变分原理［9］；郭仲衡建立了非线性弹性理论变分原理的统一理论［10］；梁立孚利用“凑合法”推导了有限位移理论的各级变分原理［11］；郑泉水提出了非线性弹性理论的泛变分原理［12］.非保守系统方面，以Leipholz 为代表，提出广义自共轭的概念，建立了广义的Hamilton 原理，给出了著名的Leipholz 杆模型；刘殿魁等提出了弹性非保守系统的一般拟变分原理［13］；黄玉盈建立了非保守系统自激振动的拟固有频率变分原理［14］；梁立孚等建立了非保守系统两类变量的广义拟变分原理，并应用第一类两类变量广义拟余能原理，给出同时求解一个典型的伴生力非保守系统的内力和变形两类变量的计算方法［15］.非保守系统变分原理，一是建立非保守系统的广义变分原理困难，二是应用非保守系统的广义变分原理解决实际科学和工程问题困难.拟采用文献［15，16］的方法，建立几何非线性非保守系统弹性力学中的三类变量的广义拟变分原理，进而将其退化为两类变量的广义拟变分原理和经典拟变分原理.1 三类变量的广义拟变分原理给出几何非线性弹性力学的基本方程，其中平衡条件为［（!I]+U I ，]）S ]K ］，K + F I=0，在V 中，（!I ，]+U I ，]）S ]K N K - P I=0，在S "上{，（a ）（b ）·021·几何条件为E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l2U I ，J U I ，K =0，在V 中，U I - U I =0，在S U 上{，（c ）（c ）本构方程为S JK =D JKMN E MN ，在V 中，（e ）或E JK =C JKMN S MN ，在V 中，（f ）式中：!IJ 为Kroncker 符号；S JK 为Kirchhoff 应力张量分量；E JK 为Green 应变张量分量；U I 为初始构形中的位移分量； F I为体力分量； P I为面力分量；D JKMN为几何非线性时Lagrange 描述下的弹性系数张量分量；CJKMN为几何非线性时Lagrange 描述下的柔度系数张量分量；N K 为法向矢量分量；“，”为对空间坐标变量的导数；S "为力边界；S U 为位移边界；V 为空间域.根据广义力和广义位移的对应关系，将式（a ~e ）乘上相应的虚量，然后积分并代数相加，可得皿V｛［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K + F I ｝!U I +（E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l 2U I ，J U I ，K ）!S ()JK c V +皿V（S JK-D JKMN E MN ）!E JK c V -lS "［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I］!U I c S +lS U（U I- U I ）!［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］c S =0.（l ）利用S JK 的对称性，并应用散度定理，得-l2皿V（U J ，K +U K ，J +U I ，J U I ，K ）!S JK c V =-皿V!IJ+U I ，J ）U I ，K!S JK -l2U I ，J U I ，K !S []JK c V =皿V-U I ，K!［（!IJ+U I ，J）S JK］+U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JK c V =-皿V｛U I!［（!IJ+U I ，J ）S JK ］｝，K c V +皿VU I!［（!IJ+U I ，J）S JK］，K+U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JKc V =-l S "+S UU I!［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］c S +皿VU I!［!IJ+U I ，J ）S JK ］，K +U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JK c V .（2）将式（2）代入式（l ），得皿V｛U I!［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K !U I +U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S JK +E JK !S JK +S JK !E JK -D JKMN E MN !E JK + F I !U I ｝c V -lS "｛（!IJ +U I ，J）S JK N K !U I +U I !［（!IJ +U I ，J ）S JK N K ］- P I !U I｝c S -l S UU I !［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］c S =0.（3）式（3）可进一步表示为!皿V｛［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I+l 2U I ，J U I ，K S JK +E JK S JK -l2D JKMN E JK E MN+ F I U I ｝c V -!l S "［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I ］U I c S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］c S -皿VU I! F Ic V -l S "U I! PIc S =0.（4）将式（4）简记为·l 2l ·第l 期樊涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理!"3-!O -!P =0，（5）式中："3=皿V ｛［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I + F I U I +l 2D JKMN E JK E MN ｝d V -lS#［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I ］U I d S -l S UU I ［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］d S ；!O =皿VU I! FId V ；!P =l S #U I! P Id S .如果应用Green 定理，得皿V［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K!U I d V =l S #+S U（!IJ+U I ，J ）S JK N K !U I d S -皿V（!IJ +U I ，J ）S JK !U I ，Kd V =l S #+S U（!IJ+U I ，J）S JK N K !U I d S -皿VS JK !l 2U J ，K+l 2U K ，J +l2U I ，J U I ，()K d V .（6）将式（6）代入式（l ），并改变泛函中各项的符号，可得皿V［S JK !l 2U J ，K +l 2U K ，J +l 2U I ，J U I ，()K +l 2U J ，K+l 2U K ，J +l2U I ，J U I ，()K !S JK -E JK !S JK -S JK !E JK +D JKMN E MN !E JK - F I !U I］d V -l S #PI!U Id S -l S U｛（!IJ+U I ，J ）S JK N K !U I +U I !［（!IJ +U I ，J ）S JK N K ］- U I !［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］｝d S =0.（7）式（7）可进一步表示为!｛皿V l 2D JKMN E JK E MN -S JK E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J _l 2U I ，J U I ，()K - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI- U I ）（!IJ +U I ，J）S JKN Kd S ｝+皿VU I! F Id V +l S #U I! P Id S =0.（8）将式（8）简记为!$3+!O +!P =0，（9）式中：$3=皿Vl 2D JKMN E JK E MN -S JK E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l 2U I ，J U I ，()K - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI-U I ）（!IJ +U I ，J ）S JK N K d S .这里将式（5）称为几何非线性非保守系统弹性力学三类变量的广义拟余能原理，将式（9）称为几何非线性非保守系统弹性力学三类变量的广义拟势能原理.由式（5）和式（9）可得"3+$3=0.（l0）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（l0）均成立.2 三类变量的广义拟变分原理的退化令式（4）精确满足式（f ），经整理可将式（4）退化为!皿Vl 2C JKMNS JK S MN +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I+l 2U I ，J U I ，K S JK + F I !U {}I d V -!lS #［（!IJ+U I ，J ）S JK N K - P I ］U I d S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］d S -皿VU I! F Id V -l S #U I! PId S =0.（ll ）·22l ·大庆石油学院学报第3l 卷 2007年将式（11）简记为!"21-!O -!P =0，（12）式中："21=皿V 12C JKMNS JK S MN +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I + F I U I +12U I ，J U I ，K S {}JK d V -lS #［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I］U Id S -l S UU I［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］d S .令式（8）精确满足式（f ），经整理可将式（8）退化为!｛皿VS JK12U J ，K+12U K ，J+12U I ，J U I ，()K -12C JKMN S JK S MN- F I U []I d V -l S #PIU Id S -lS U（U I- U I）（!IJ+U I ，J）S JKN K d S ｝+皿VU I! F Id V +l S #U I! PId S =0.（13）将式（13）简记为!$21+!O +!P =0，（14）式中：$21=皿VS JK12U J ，K+12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12C JKMN S JK S MN - F I U []I d V -l S #P I U I d S -lS U （U I - U ）（!IJ +U I ，J）S JK N K d S .式（12）和式（14）是以Kirchhoff 应力张量和位移为变量的、几何非线性非保守系统弹性力学两类变量的不完全广义拟变分原理.这里将式（12）称为几何非线性非保守系统弹性力学第一类两类变量的广义拟余能原理，将式（14）称为几何非线性非保守系统弹性力学第一类两类变量的广义拟势能原理.由式（12）和式（14）可得"21+$21=0.（15）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（15）均成立.如果令式（4）精确满足式（e ），经整理可将式（4）退化为!皿V12D JKMNE JK E MN +［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN ］，K U I+12U I ，J U I ，K D JKMN E MN + F I U {}I d V -!lS #［（!IJ+U I ，J ）D JKMN E MN N K - P I ］U I d S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K ］d S -皿VU I! F Id V -l S #U I! PId S =0.（16）将式（16）简记为!"22-!O -!P =0，（17）式中："22=皿V｛12D JKMNE JK E MN +［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN ］，K U I +F I U I +12U I ，J U I ，K D JKMN E MN ｝d V -lS#［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN N K - P I］U I d S -l S UU I ［（!IJ+U I ，J）D JKMN E MN N K ］d S .令式（8）精确满足式（e ），经整理可将式（8）退化为!｛皿VDJKMNE MN 12U J ，K +12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12D JKMN E JK E MN - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（U I- U I ）（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K d S ｝+皿VU I! FId V +l S #U I! PId S =0.（18）将式（18）简记为·321·第1期樊涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理!"22+!O +!P =0，（19）式中："22=皿VDJKMN E MN 12U J ，K +12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12D JKMN E JK E MN - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI-U I ）（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K d S .式（17）和式（19）是以Green 应变张量和位移为变量的、几何非线性非保守系统弹性力学两类变量的不完全广义拟变分原理.这里将式（17）称为几何非线性非保守系统弹性力学第二类两类变量的广义拟余能原理，将式（19）称为几何非线性非保守系统弹性力学第二类两类变量的广义拟势能原理.由式（17）和式（19）可得$22+"22=0.（20）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（20）均成立.令式（4）精确满足式（a ），（b ），（f ），经整理可将式（4）退化为!皿V12C JKMN S JK S MN+12U I ，J U I ，K S ()JK d V -l S UU I （!IJ+U I ，J）S JK N K d []S -皿VU I! F Id V -l S #U I! P Id S =0.（21）将式（21）简记为!$1-!O -!P =0，（22）式中：$1=皿V12CJKMN S JK S MN+12U I ，J U I ，K S ()JK d V -lS UU I （!IJ +U I ，J ）S JK N K d S .式（22）的先决条件为式（a ），（b ），其为几何非线性非保守系统的拟余能原理.令式（8）精确满足式（c ）和式（d ），可将式（8）退化为!皿V12D JKMNE JK E MN -F I U ()Id V -l S #PIU Id []S +皿VU I! FId V +l S #U I! P Id S =0.（23）将式（23）简记为!"1+!O +!P =0，（24）式中："1=皿V12DJKMNE JK E MN -F I U ()Id V -l S #PIU Id S .式（24）的先决条件为式（c ），（d ），其为几何非线性非保守系统的拟势能原理.参考文献：［1］ ODEN J T ，REDDY J N.Variationai method in theoreticai mechanics ［M ］.New York ：Springer-Veriag ，1983.［2］ WASHIZU K.Variationai method in eiasticity and piastisity ［M ］.New York ：Pergamon Press ，1982.［3］胡海昌.弹性力学的变分原理及其应用［M ］.北京：科学出版社，1981.［4］钱伟长.变分法和有限元［M ］.北京：科学出版社，1980.［5］ ABOBCK/7H ，AIPEEB H ，IEPylA A .BapIaIIO lpI IIl T OpII lp -IOCTI I T OpII O OJO K［M ］.MaCKBa ：HAyKA ，1978.［6］郭仲衡.非线性弹性理论［M ］.北京：科学出版社，1980.［7］ BUFLER H.Generaiized variationai principies with reiaxed continuity reguirements for certain noniinear probiems with an appiication to noniin-·421·大庆石油学院学报第31卷 2007年ear eiasticity［J］.Computer Methods in Appiied Mechanics and Engineering，1979，19（2）：235-255.［8］OGDEN R W.A note on variationai theorems in noniinear eiastostatics［J］.Math.Proc.Camb.Phii.Soc.，1975（77）：609-615.［9］钱伟长.大位移非线性弹性理论的变分原理和广义变分原理［J］.应用力学和数学，1988，9（1）：1-11.［10］郭仲衡.非线性弹性理论变分原理的统一理论［J］.应用数学和力学，1980，1（1）：11-29.［11］梁立孚，章梓茂.推导弹性力学变分原理的一种凑合法（续）［J］.哈尔滨船舶工程学院学报，1985，6（4）：1-12.［12］郑泉水.非线性弹性理论的泛变分原理［J］.应用数学和力学，1984，5（2）：205-216.［13］刘殿魁，张其浩.弹性理论中非保守问题的一般拟变分原理［J］.力学学报，1981（6）：562-570.［14］黄玉盈，王武久.弹性非保守系统的拟固有频率变分原理及其应用［J］.固体力学学报，1987（2）：127-136.［15］梁立孚，刘殿魁，宋海燕.非保守系统的两类变量的广义拟变分原理［J］.中国科学（G辑），2005，35（2）：201-212.［16］梁立孚，胡海昌.一般力学中三类变量的广义变分原理［J］.中国科学（A辑），2000，30（12）：（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（1130-1135.（上接第119页）式中：!2=121-!+"2!2+"!+!#$其中式（16）和式（18）是分式形式的椭圆函数解，是其它方法没有得到过的$式（9），（10），（11），（13），（15），（16），（18）是常微分方程式（4）的所有可能的解$把相应的具体参数代入解的表达式中，即可写出2+1维Bousenisg方程式（1）的精确行波解$2 结束语利用3阶多项式完全判别系统，求得了2+1维Bousenisg方程的大量精确行波解，其中包括有理函数型解、三角函数周期解、Jacobi椭圆函数双周期解，这些解中有一些是从未得到过的.更重要的是，式（4）的全部精确解得以求出.参考文献：［1］范恩贵，张鸿庆.非线性耦合标量场方程的精确解［J］.物理学报，1998，47（7）：1064-1070.［2］闫振亚，张鸿庆.一类非线性演化方程的显式行波解［J］.物理学报，1999，48（1）：1-5.［3］王心宜，越南.耦合标量场论中的新孤子解［J］.物理学报，1991，40（3）：359-364.［4］WANG X Y，XU B C，TAYLOR P L.Exact soiiton soiutions for a ciass of coupied fieids eguation［J］.Phys Lett A，1993，173（1）：30-32.［5］王明亮，白雪.齐次平衡原则与BTs［J］.兰州大学学报，2000，36（3）：12-17.［6］关伟，张鸿庆.求解非线性方程的双曲函数法［J］.高校应用数学学报（A辑），2001，16（2）：163-168.［7］李志斌，张善卿.非线性波方程准确孤立波解的符号计算［J］.数学物理学报，1997，17（1）：81-89.［8］张鸿庆，范恩贵.2+1维kadom tsev-petviashviii方程的Backiund变换和精确解［J］.大连理工大学学报，1997，37（6）：624-626.［9］刘成仕，杜兴华.耦合Kiein-Gordon-Schrodinger方程的新的精确解［J］.物理学报，2005，54（3）：1039-1044.［10］LIU Cheng-shi.Traveiing wave soiutions of tripie Sine-Gordon eguation［J］.Chinese Physics Letters，2004，21（12）：2369-2371.［11］ZHENG C L，CHEN L .A generaiized mapping approach and new traveiing wave soiutions to（2+1）-dimensionai Bousenisg eguation.［J］.Commu.in Theor.Phys.，2004，41（5）：671-674.·521·第1期樊涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理。

变分不等式的一些求解方法及其应用

变分不等式的一些求解方法及其应用
变分不等式是指当一个不等式的右端是一个可变的函数时，可以用变分不等式来研究这个函数的最大值或最小值。

它是一种重要的数学工具，可用于解决许多复杂的优化问题。

一般来说，变分不等式的求解方法可以分为两大类：一类是利用函数的极值，另一类是利用凸函数的性质。

利用函数极值的求解方法比较常见，它主要是利用变分不等式的右端函数的极值点来求解变分不等式。

另一种求解方法是利用凸函数的性质，即使用凸函数的拉格朗日乘子技术来求解变分不等式，这一类方法可以求解更复杂的变分不等式。

变分不等式的应用非常广泛，可以用来解决许多复杂的优化问题。

例如，可以用变分不等式来求解最优化问题，最小化损失函数，最大化收益函数等。

此外，变分不等式还可以用于方程组的求解，比如求解热力学系统的状态方程，求解结构力学问题的弹性方程等。

总之，变分不等式是一种重要的数学工具，它可以用来解决许多复杂的优化问题，广泛应用于热力学、力学、经济学等领域。

广义变分不等式的三步投影算法

，
Ｖ（，（）ｇ）ｇＹ ∈
收稿日期：００— ６—１修回日期：００— ７— ０２１００；２１０２．作者简介：龚黔芬（９７一）女，ｌＩ１７，ＩＪ梓潼人，士，师，事算法及计算机应用研究￣Ｉ硕讲从
定义３称映射：日为ｇ—ｒ一强单调，果存在常数ｒ，得＜Ｔ日一如＞０使ｘ—Ｔ，（ｙｇ）一Ｙｇ（）＞≥ｒ
ｌ（ｌ）～（）ｌ，ｇ）ｇＹｇｇｙＩＶ（，（）∈
定义４称映射：一日为ｇ— ／日Ｏ一强制，如果存在常数＞，得＜ＴＴ，（０使ｘ— ｙｇ）一（）＞≥ 『一ｇＹｌ
文章编号：６２— ５Ｘ（００００５０１７０８２１）６— ５８— ４
广义变分不等式的三步投影算法
龚黔芬
（重庆工商大学计算机与信息工程学院，重庆４０６）００７
摘要：利用变分不等式和不动点问题的等价关系，出了一个新的求解广义变分不等式的三步投影给算法；该算法在现有的两步迭代算法基础上，用校正方法建立了第三步迭代公式；利最后在适当条件下证明
其中，
Ａ＝。６。，ｎ＝。Ａ）．ｌｒ。ｎ＝（＇ｌｉｎ￣ａＪ
…
０
２迭代算法
引理２对一个给定的 ∈ ｇｕ ¨ Ｈ，（）∈Ｋ为广义变分不等式问题（）１的解，当且仅当ｇ１（，１）：Ｐｇ）（

Hilbert空间中的广义非线性混合拟变分包含

证明
Ｘ＝Ｊ（）ＹＰ．［一ｐＹ）ｍＡ（］Ｙ＝Ｊｎ．［一＾（）￣（）ＸＰｙＸ］Ｂ
设Ｘ， ∈Ｋ是问题（．）Ｙ１１的解，则
利用算法２１．，我们有
ｌ一ｘｌ＝ｌ（ａ）ｋＭ．［Ａ（］１ＸｌＸｌｌ１一ｋｘ＋ａ（）Ｙ一０ｙ）一（一ａ）一ａＪ（）ＹＪｋＭ．［一０ｙ）ｌＡ（］ｌ
【关键词】变分包含；预解算子；迭代方法【中图分类号】１７９【Ｏ７．１文献标识码】【Ａ文章编号】６３１９（０７０．４．３１７．８１２０）３０２００积＜，＞的实Ｈｌｅｔ间， “ 示Ｈ中所有非空子集所成的幂集，Ｈ）ｌｌ与・・ｉｒ空ｂ２表Ｃ（是Ｈ中所有非空紧闭子集的全体，Ｋ是Ｈ上的非空闭凸集。设Ｍ，：一２是两个极大单调映象，，： —Ｋ是非线性单值映象。我们考虑如下广义非线性混合拟ＮＫｎＡＢＫ变分包含组问题：ｘＹ找， ∈Ｋ使得
０∈ｘＹ一＋ｐＹ）＋ｐｘ）Ａ（Ｍ（０∈ＹｘＢ（Ｎ（一＋Ｙ）＋ｘ）（．）１１
其中ｐ，＞０是任意给定常数。＞０Ｈａｇ和Ｔｎ已经讨论了该变分包含组解的灵敏性分析。本文利用极大单调映象的预解式技术和辅助ｕｎａ原理技术，构造了这类广义非线性混合拟变分包含组解的两步迭代算法，证明了其解的存在性以及由算法并生成的迭代序列的收敛性。由于Ｍ是极大单调映象，我们可以定义映象Ｍ的预解算子：

几何非线性非保守系统弹性动力学两类变量的广义拟变分原理的应用

素法和其它近似计算方法中得到广泛应用，而且可以方便地求得非线性非保守系统弹性动力学问题的精确解。文章
应用几何非线性非保守系统弹性动力学中的第一类两类变量广义拟余能原理，究了一个典型的非保守动力学系统研边值问题的动态特性，并给出同时求解一个典型的几何非线性非保守系统的内力和变形两类变量的计算方法。关键词：几何非线性；非保守系统；弹性动力学；拟余能原理
内力和变形两类变量的计算方法。
性理论变分原理的统一理— 论；梁立孚等利用“ 凑合
法” ，推导出有限位移理论的各级变分原理［５１。郑泉
水提出了非线性弹性理论的泛变分原理［６１。非保守系统方面，国外以Ｌｉｈｌ为代表，提ｅｐｏｚ出广义自共轭的概念，建立了广义的Ｈａｌｎ原ｍｉｏｔ理，给出了著名的Ｌｉｈｌ杆模型。我国学者也作ｅｏｐｚ
计算方法ｔ９］。在弹性动力学的变分原理方面罗恩和邢京堂分别做了大量的工作［－。】１ｏ３１刘殿魁等对非保守系统拟变分原理和广义拟变分原理在近似计算中的应用做了系统的研究用；罗恩对几何非线性保守系统弹性动力学变分原理和广义变分原理在近似计算中的应用做了系统的
第４期
樊
涛等：几何非线性非保守系统弹性动力学两类变量的广义拟变分原理的应用
考虑如图１所示的悬索桥，设其有如图２的单
。＝
（

Banach空间中含H-增生算子的广义非线性混合拟变分包含

（２）严格增生的，如果＝Ｙ时，有
Ｈ（Ａ，Ｂ）＝ｍａｘｉＬｓａＥＡｄ（，），ｓｕ￣ｄ（Ａ，）ｊＪ
对任意ｄ（，Ｂ）＝ｎｆｌ０一ｂｌｌ，ｄ（Ａ，ｂ）＝ｉｎｆｌｌ口一ｂｌｌ
沈介绍了一类非常重要的变分包含如下：假设Ｅ是一实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｇ，Ｔ，Ｓ：Ｅ一凹（Ｅ）为三个集值
ｇ为常数，且ｑ＞１。特别地为普通对偶映射，Ｊｑ＝
ｌＪ，对所有 ∈Ｅ，Ｊｑ（）为单值映射，当Ｅ为严格凸的。
ｌｉ
￡＿ ÷ ｏｔ
映射，Ｐ，ｇ：ＥＥ为两个单值映射， Ⅳ（・，・）：ＥＸＥ — Ｅ为非线性算子，Ａ（・，・）：Ｅ×Ｅ一２关于第一变元的Ｈ．增生映射，求 ∈Ｅ， ∈Ｇ（）， ∈Ｔ（＿）， ∈Ｓ（），使得
２０１３年１１月
Ｂａｎａｃｈ空间中含Ｈ一增生算子的广义非线性混合拟变分包含
杨鑫波
（重庆第二师范学院数学与信息工程系，重庆４０００６７）摘要：利用预解算子技巧建立了一个新的迭代算法，求解了一类在ｑ一一致光滑的Ｂａｎａｃｈ空间中含Ｈ一增生映射的广义非线性混合拟变分包含，并对结果进行了收敛分析。关键词：Ｈ一增生映射；ｑ一一致光滑的Ｂａｎａｃｈ空间；变分包含；迭代算法

Hilbert空间中g-框架新的不等式

Hilbert空间中g-框架新的不等式
朱凤娟;黄永东
【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)003
【摘要】G-框架是经典框架概念的发展与延拓,借助算子理论和范数性质,建立了Hilbert空间中g-框架和Parseval g-框架的一些新的不等式,这些结论在结构和形式上异于已有不等式.
【总页数】4页(P253-256)
【作者】朱凤娟;黄永东
【作者单位】北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川 750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川 750021
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.Hilbert C*-模中g-框架的新的等式和不等式 [J], 相中启;张慧慧
2.Hilbert空间中一类新广义非线性变分不等式组问题 [J], 罗静;隆建军
3.Hilbert空间中的g-框架 [J], 程令营;陶常利
4.Hilbert空间中框架不等式的新形式 [J], 相中启;袁邓彬;张慧慧
5.Hilbert空间中一类新的随机集值隐拟变分不等式 [J], 周武;宋建成
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一
容易证明
ｌ（－（ＩＩｘＧＹｌＧ））：
ｌ２＋｛（ｍ＋［－）ｐ（，十卜１）ｇ）Ｊ（ｍ－Ｎｘ】０一－ｐｇＡ）－
（，｛一一）【一）（缈＋，Ｉ１）（，＋（ Ⅳ 一Ｊ＋ｇｇ一，）】ｌ｝≤
显然是单值非扩张映射。定义２一个映射ｇ：Ｈ被称为强单调的和利普希兹连续的，如果存在正常数，满足．，
（，—）， —Ｉ一 ≥．ｖＩｌ
Ｉ一ＩｌｖＶｙＩｌｕｌｘｅ ≤￣－ｌ，Ｈ，
ｌｙ－ｐＮＡ，）ＮＡ，） — ）８（Ｂ）ＮＡ，） ≤ Ｉｌ２（（Ｂ一（Ｂ，＋ Ⅳ ，一（ＢＩｘｌ－ｘｘｙｘｘｙ￣ｙ＋ｐｌ（，）ＮＡ，）一ｐｌ—ｌ口一ｌｌ２ｃＡＢ一（Ｂｌ２ｄｘｙ＋ｙ ≤ ｌｌｘｘＮｙｘｌｌｌ（２（－ｓ＋口）ｌ１ｐｄｃ口ｐ－）一Ｉ
式：找出 ∈Ｈ满足
ｆ∈Ⅳ（（）．＋（ — （），］（））（）ｃｇ
收稿日期：２１—８２０１０ — ２作者简介：巩娟（９４）１６－，女。辽宁昌图人，副教授。
第４期
巩娟：关于一类广义非线性拟变分不等式
２７６
［４１１－
使用预解算子技术建立了与该广义非线性拟变分不等式等价的不动点问题，使用这一等价性和Ｂｎｅａａｈ不动点定理，提出了两种迭代算法，给出了带有极大单调映射的广义非线性拟变分不等式的解的存在性和
。
唯一性定理，证明了由算法产生的序列的收敛性。本文的结果推广和改进了［２１１，中的若干结果。－４
（（，一（，，—）一ｌ￣，一（，ｌ，－ｌＶ，ｚＨＮＡｚＮＡｚ ≥ ｃｘ）ｙ）ｌｚＮＡｚｌｙ，Ｙ ∈ Ｎ）ｙ）＋ｌｌｘ，ｌｘ
类似地可以定义关于 Ⅳ在第二变元的利普希兹连续性。引理ｌ设 ∈（，和Ｐ＞０为常数，则下列陈述是等价的：０ｌ】
（）义非线性拟变分不等式（）１广１有惟一解 ∈Ｈ；（）２存在 ∈Ｈ，满足
＝ｍ４［ｒ＋（ｇ—ｍｕｐＡ，ｕ＋ｐ】） — Ｎ（ｕＢ）ｆ
其中＝（＋ｐｗ）Ｉ一为预解算子。
依靠引理Ｉ，建立并分析下面的迭代算法，以便找到非线性拟变分不等强单调，系数为ａ假设Ｗ：．Ｈ２为极大映射，如果存在常数Ｐ满足
０１２１２＋ｇ一，２（一口）Ｐｐｂ（１＝ — ４ — ，（＋）、一ｐｄ口＋ｔｏ）．ｌ＋ｅ，
则广义非线性拟变分不等式（）１有惟一解 ∈Ｈ，由算法１定义的序列｛。）强收敛于 “ ．
证明了由算法产生的序列收敛性，其结果推广了某些已知结果。
关键词：非线性拟变分不等式；迭代算法；收敛性；预解算子
中图分类号：Ｏ１７９７．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１７－２１０１０．２６０６４３６（１）４０６－４２
ＳｕｙｏｐｃｆｃＶｅｓｏｆｎｒｌｅｎｉｅｒｔｄｆｅｉｒｉｎｏＳｉＧｅｅａｉｄＮｏｌａｚｎ
１预
备
设一实ｉｒ间范为Ｉ，积（）Ｉ表为个的Ｈｂｔ，数ｆ内为・，代上恒映，，，ＢＨ＿，ｌ空ｅ．Ｉｌ，・的等射ｇＡ： ÷ ，
Ｎ：Ｈ－Ｈ为映射。设Ｗ： × Ｈｘ ÷ Ⅳ ２为极大单调映射。ｖ，考虑下面广义非线性拟变分不等ｆｅＨ
Ｖｏ．１Ｎｏ４１，．３
Ａｕ．０１ｇ２１
关于一类广义非线性拟变分不等式
巩娟
ｌ２０）１００（辽宁职业学院，辽宁铁岭
摘
要：引进了一种新的广义非线性拟变分不等式，使用预解算子技术建立了与其等价的不动点问题。利用
这一等价关系，提出了两种迭代算法，并证明了带有极大单调映射的广义非线性拟变分不等式的解的存在性定理，
ＡｂｔａｔＡｅｖｒｉｎｏｅｅａｏｌｅｒｑａｉａｉｔｎｌｉｅｕｌｉｓｗａｎｒｄｃｄＢｙｓｒｃ：ｎｗｅｓｏｆｇｎｒｌｎｉａｕｓ－ｒａｉａｎｑａｉｅｓｉｔｕｅ．ｎｎｖｏｔｏｕｉｇｔｅｔｃｎｑｅｏｓｌｅｔｐｒｔｒｔｅｐｏｌｍｎｔｅｆｘｄｐｉｔｑａａｕｓｅｔｂｉｈｄｓｎｈｉｕｆｅｏｖｎｅａｏ，ｈｒｂｅｏｅｏｎｓｉｅｕｌｌｅｗａｓｌｅ．ｈｅｒｏｈｉｎｖａｓＷｉｕｈｅｕｖｌｎｅｔｉｅｅｔｔｒｔｅａｇｒｔｍｓｗｅｅｎｔｎｙｓｇｅｔｄｂｔｌｏｔｅｓｌｔｎｈｔｓｃｑｉａｅｃ，ｗｏｄｆｒｎｅａｉｌｏｉｉｖｈｒｏｌｕｇｓｅ，ｕｓ，ｏｕｉｏａｈｏｅｉｔｎｅｔｅｒｍｎｔｅｇｎｒｌｎｎｉｅｕｓ－ａｉｔｎｌｉｅｕｌｉｓｗｉｘｍｕｏｏｏｅｘｓｅｃｈｏｅｏｅｅｏｌａｑａｉｒａｉａｎｑａｉｅｔｍａｉｍｍｎｔｎｈａｎｒｖｏｔｈｍａｐｎｓＷａｒｖｄＴｅｃｎｅｇｎｅｆｒｓｑｅｃｅｅｔｄｂｅａｇｒｈｓｗａｅｉｅ。ｅｐｉｇｓｐｏｅ．ｈｏｖｒｅｃｏｅｕｎｅｇｎｒｅｙｔｌｏｉｍｓｖｒｄＴａｈｔｉｆｈｃｎｌｉｎｅｅｙｈｖｏｕａｉｅｕｅｆｎｗｎｃｎｌｓｏｓｏｃｕｏｓｈｒｂａｅｐｐｌｚｄａｎｍｂｒｏｏｃｕｉｎ．ｓｒｏｋ
证明设，为日中任意元素，定义映射Ｇ：－ＨｙＨ－）
２８６
辽宁工业大学学报（自然科学版）
第３卷ｌ
Ｇ）（＋｛一ｇｒｘ【 — ）ｐ（，＋厂，ｘ（＝１）（— ）（ｍｘＮＡ）】Ｖｅ一ｅ＋ｇ — ｘｊＨ
定义３设：ＨＨ，Ｎ：ｘＨＨ为映射，称｜Ｈ７＼，（）１关于第一变元为利普希兹连续，如果存在常量＞０满足
Ｉ（ｚＮｙ）ｌｙ，ＹＥＩｘ）（ｚＩｌｌＮ，－，ｌｘＩ， ≤ｓ－，ＺＨ
（）２关于在第一变元强单调，如果存在常量ｃ０ ≥ 和ｄ≥ ０满足
第３卷第４期ｌ
２０ｌ１年８月
辽宁工业大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｉｏｉｇＵｉｅｉｆｅｔｌｇ（ｔｒｌｃｅｃｄｔｎｏｒａＬａｎｎｎｖｒｔｏＴｃｍｏｏｙＮａｕａＳｉｅｉｏ）ｏｓｙｎＥｉ
定理１设ＡＢｇ，：－为利普希兹连续，系数分别为口ｂＰｇ：ｇ一，为强单调，系数为，，，ｍＨ－－－），，，，ｌ
ｍ关于ｇ松弛单调，系数为．设Ｎ： × 假
关于第一、二变元为利普希兹连续，第系数分别为ｆｋ，，
Ｋｅｒｓｎｎｉｅｒｕｓ— ａｉｔｎｌｎｑａｉｅ；ｔｒｔｅａｇｒｔｍ；ｏｖｒｅｃ；ｙｗｏｄ：ｏｌａａｉｒｉａｅｕｌｉｓｉａｉｌｏｈｃｎｅｇｎｅｎｑｖａｏｉｔｅｖｉｒｓｌｅｔｐｒｔｒｅｏｖｎｅａｏｏ
ＱｕｓＶｒａｏａｅｕｌｅａｉａｉｔｎｌｎｑａｉｓ－ｉＩｉｔ
ＧＯＮＧｕａＪｎ
（ｉｏｉｇＶｃｔｎｌｏｌｅＴｉｌｇ１２０，ｉａ）Ｌａｎｎｏａｉａｌｇ，ｅｉ１００ＣｈｎｏＣｅｎ
其中 ∈（，为常量，Ｅ￣ｇ和ｍ是利普希兹连续的且ｇ一是强单调的，由此Ｏ１】ｈ：
ｌ（，＋ —）＜一，（９］ｌｙ－一一）（ｍｌｌ２ｐ）￣ —ｌｇ，ｇｙｈ．＋ｌ１ｌ￣＋ｘ
注意
ｌ Ⅳ ，一（，）＝ — 【（）ＮＡＢ］ — ｙｘｌ
算法１设ｇｍ，Ｂ：，Ａ，ＨＨ，Ｎ：ｘＨ－Ｗ：－，ｆ∈Ｈ．定 ∈ ，按照下面的迭代Ｈ９Ｈ，Ｈ９２给
格式算计序列｛。）：＞
肘＝１）ｄ．（ｍ【 — ）一ＮＡｕ＋】 ≥ ｌ（－｛一 — ）＋（ｍｐ（，】０一ｔｌｇｕ１ｌｇｕｕＢ），
其｛）。［ｌ任序满 ∑６＝－．中ｃｏ】意列足１－＞，为ｔｏｏ
ｎ＝０
算法２设ｇｍ，Ｂ：－Ｈ，Ｎ： × ，，Ｈ－－－） Ⅳ