闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程正解的存在性
一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程正解的存在性李红英;廖家锋【摘要】研究一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程{-(a+b∫Ω▽u^2dx)Δu=u^5-2s/(x^s)+λu^q, x∈Ω,u=0, x∈■Ω,其中Ω■R3是一个有界开区域且边界■Ω光滑,0∈Ω,a,b≥0且a+b> 0,λ> 0,0<q<1,0≤s<1。
利用变分方法,获得该问题正解的存在性结果。
【期刊名称】《中国科学院大学学报》【年(卷),期】2019(036)001【总页数】4页(P11-14)【关键词】Kirchhoff型方程;Hardy-Sobolev临界指数;正解;变分法【作者】李红英;廖家锋【作者单位】[1]西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;[1]西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;[2]遵义师范学院数学学院,贵州遵义563006;【正文语种】中文【中图分类】O175.25考虑如下带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程(1)其中Ω⊂3是一个有界开区域且边界∂Ω光滑,0∈Ω,a,b≥0且a+b>0,λ>0,0<q<1,0≤s<1。
6-2s是Hardy-Sobolev临界指数。
2012年,Liu和Sun[1]研究如下问题(2)其中:4<p<6-2s,0<q<1,a,b,λ>0。
当λ>0充分小时,结合变分方法和Nehari方法,他们获得问题(2)的2个正解的存在性。
随后,他们继续研究问题(2),当-1<q<0时,结合变分方法和Nehari方法也获得2个正解,详见文献[2]。
文献[3]研究一类奇异非线性Kirchhoff型问题,结合Ekeland变分原理和一些分析技巧,获得正解的存在唯一性结果。
一个自然的问题:问题(1)是否也存在正解?事实上,当s=0时,Sun和Liu在文献[4]中获得问题(1)正解的存在性,并提出一个公开问题:如何证明第2个正解的存在性?据查阅文献所知,这个开问题至今尚未解决。
变分不等式的几类求解方法
定义215 设 X 为 R 的非空闭凸集, G 为 n 阶正定阵, u ∈R , 记 u = ( u u ) , u
1 2
1 2
G
=
(u Gu ) , 如 u 满足: u ∈X , u - u G = m in{ x - u G x ∈X }, 则称 u 为向量 u 关于模 u 3 . G 在 X 上的投影, 记为 u = P X G ( u ) ; P X ( u ) 表示向量 u 在 X 上的投影
n 1 = {1, …, m }, 为连续可微凹函数, h j ( x ) = a T j x - b j : R →R , j ∈J
性函数, 即 h ( x ) 为仿射线性函数. 关于 V IP (X , F ) 和非线性规划 (N P ) 之间的关系, 有 定理 2111 [ 2, 4, 5 ] ( 1) 如 F ( x ) 为某个实值函数 f ( x ) : Rn →R1 的梯度 f ( x ) , 则 V IP (X ,
n ( 2) 如 X = Rn + = { x ∈R x ≥0}, 则 V IP (X , F ) 等价于 N CP ( F ).
在许多实际应用问题中, V IP (X , F ) 的可行集 X 为闭凸集, 且具有以下结构形式 0 n ( 2. 8) X = X = {x ∈ R g ( x ) ≥ 0, h ( x ) = 0}, 其中 g ( x ) = ( g 1 ( x ) , …, g m ( x ) ) T , h ( x ) = ( hm + 1 ( x ) , …, hm + r ( x ) ) T , g i ( x ) : Rn →R1 , i ∈ I
高校应用数学学报 第 1 4 卷A 辑第 2 期
解变分不等式的一种投影算法
一
、
引 言 及 预 备 知 识
０
文【］ 维 欧 氏空问 中提 出 了一种解 变分 不等 式 的投影 算 １ 在 法 。通过 向 ＱｎＨ 投影得 到了收敛到变分不等式解集 ｓ 中某一解
其中最后一个不 等式由 Ｆ的伪单调性可得 ， 而对任意的正 整数 从
ｋ 从而都有 Ｓ Ｈ｝ ， ｎＱ。
的点列 ｛ ｝其中Ｈ ， 是一个能严格的分离解集 ｓ 与 的超平面。
文 明了这 种向超 平面投 影的算法理论上具有较长的步长 ， ・ 说 从而优于 其他投影算法 ， 本文通过引入 Ｆ（） ｘ 来构造超平面 。从而对该算法做 了 推广 ， 并证 明了其收敛性 。 是一个 有限维欧 氏空间 ， 的内积和范 数分别定 义为 （， ） 它 ・ ・ 和 Ｑ是 Ｒ 中一闭凸集 ， Ｆ是 尺 到 尺 的连续伪单凋映象 ， Ｑ ） ” ” Ｐ （ 为 点 向 Ｑ的投影， 考虑变分不等式 问题如下 。
，
］ Ｉ１ 可 Ｆ ） ） ｌ ） Ｔ （ ） 得＾ ） ＾ （ ， ） ｌ ｉ ２式 ｌ ． Ｉ ￣ （ ＝ （ ｒ ｒ ｚ （ （
定理２ ： ． 映像Ｆ连续且在Ｑ １ 上伪单调，ｚ｝ ｛ 是算法２ 生成的一 ． １ 个无穷点列， Ｉ，２ 若Ｖ（ （的解集Ｓ≠ 则｛ 收 Ｆ ） ， ，｝ 敛到 ｚ － 解集ｓ 中 一点。
其中 一） ， ， 是使得 ｍ在（． 中成立 的最小 非负 整数 。 ２１ ）
若
々 ０ 由算法 ２１ ２１ ， ． 中（．知 ）
（（ （／ｒ ） ） ｄ（ｌ 令 Ｆ ｙ（ ， ） ｌ ， 一 岛 ） ｒ ＜ ｒ ｌ ）（ ｘ。
ｌ一 ＋Ｉ 一 ¨ １ ｚ２
广义变分不等式的三步投影算法
Ｖ （ ，（ ） ｇ ） ｇ Ｙ ∈
收 稿 日期 ：０ ０— ６—１ 修 回 日期 ：０ ０— ７— ０ ２１ ０ ０； ２１ ０ ２ ． 作 者 简介 ： 龚黔 芬 （９７一） 女 ， ｌＩ １７ ， ＩＪ 梓潼 人 ， 士 ， 师 ， 事算 法 及 计 算 机 应 用研 究 ￣ Ｉ 硕 讲 从
定义 ３ 称 映射 ： 日 为 ｇ—ｒ一强 单 调 ， 果 存 在 常 数 ｒ ， 得 ＜Ｔ 日一 如 ＞０ 使 ｘ—Ｔ ， （ ｙ ｇ ）一 Ｙ ｇ（ ）＞≥ｒ
ｌ（ ｌ ）～ （ ）ｌ ， ｇ ） ｇ Ｙ ｇ ｇ ｙ Ｉ Ｖ （ ， （ ）∈
定义 ４ 称 映射 ： 一日为 ｇ— ／ 日 Ｏ一强制 ， 如果存 在常数 ＞ ， 得 ＜Ｔ Ｔ ， （ ０使 ｘ— ｙ ｇ ）一 （ ）＞≥ 『 一 ｇＹ ｌ
文章编号 ：６ ２— ５ Ｘ（ ０ ０ ０ ０ ５ ０ １７ ０ ８ ２ １ ）６— ５ ８— ４
广 义 变 分 不 等 式 的 三 步 投 影 算 法
龚 黔 芬
（ 重庆工商大学 计算机与信息工程学院 ， 重庆 ４０ ６ ） ０ ０７
摘 要 ： 利用变 分不等式 和不动点 问题 的 等价 关 系， 出 了一 个 新 的求 解广 义 变 分不 等式 的三 步投 影 给 算法； 该算法在现 有 的两步迭代 算法基础 上 ， 用校 正 方法建 立 了第三 步迭 代公 式 ； 利 最后在 适 当条 件 下证 明
其中，
Ａ ＝。 ６ 。，ｎ＝。 Ａ ） ． ｌｒ 。ｎ ＝ （ ＇ｌｉ ｎ ￣ ａ Ｊ
…
０
２ 迭 代算 法
引理 ２ 对一个 给定 的 ∈ ｇ ｕ ¨ Ｈ， （ ）∈Ｋ为 广义 变 分不 等 式 问题 （ ） １ 的解 ， 当且仅 当 ｇ １ （， １ ）：Ｐ ｇ ） （
半正定单调变分不等式的预测校正算法
足：
n n A∗ ∈ S + ， < F ( A∗ ), A − A∗ >= 0 ∀A ∈ S +
在 IR
n
中，变分不等式问题 VI ( F , Ω ) [3]即为： 找向量 u ∈ Ω 满足
∗
(u − u ∗ )T F (u ∗ ) = 0 ∀ u ∈ Ω. Ω ⊆ IR
n
(1.2)
为了书写方面，在下面的文章中假定
设 B = A − βF ( A) ，代入到 (2.1) ， 根据(2.2)， 得到
(2.3)
< E ( A, β) − βF ( A), PK [ A − βF ( A)] − A∗ >= 0 ∀A ∈ S n ∀β > 0
又因为 F 是单调的， 所以得到 < βF ( PK [ A − βF ( A)]) − F ( A∗ ), PK [ A − βF ( A)] − A∗ >= 0 ∀A ∈ S n , ∀β > 0 记
≥ 2 ห้องสมุดไป่ตู้ < E ( A , β ), D ( A , β ) > − α
+ + || A − A G (α ) − α D ( A , β ) || 2
|| D ( A , β ) || 2
+ + 2 α < A − AG (α ) − E ( A , β ), E ( A , β ) − β F ( A ) >
+ 2 ∗ 2 + 2
因此，
θG
(α ) ≥ || A − A
∗
|| − || A − α G ( A , β ) − A || +
一般线性互补问题解的存在性研究
一般线性互补问题解的存在性研究孙艳波;殷洪友【摘要】The solution to general linear complementary problem is equivalent to that of varia-tional inequalities. Based on the H-S theorem, the existence of solution to general linear com-plementary problem is proved. We also prove that when the matrix is diagonally dominant one, the solution to feasible linear complementary problems is definite.%线性互补问题的解与变分不等式问题的解是等价的。
基于变分不等式H-S定理给出了一般线性互补问题解的存在性定理。
并证明了当矩阵M为对角占优矩阵时，对于可行的线性互补问题解是存在的。
【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】4页(P1-4)【关键词】线性互补;变分不等式;解的存在性;对角占优矩阵【作者】孙艳波;殷洪友【作者单位】南京航空航天大学金城学院，南京211156;南京航空航天大学理学院，南京211156【正文语种】中文【中图分类】O221.1互补问题是一类新的数学模型，此模型的应用非常广泛，比如经济学中的NASH 均衡问题，力学中的接触问题，物理学中的障碍和自由边界问题，还可应用与研究燃料油的加工提炼问题，最优控制问题以及生态系统的稳定问题等.互补问题作为线性规划与二次规划的推广，当今已发展成为数学规划理论中的一个独立分支，所以它的解的存在性研究与算法研究受到了研究者的重视.线性互补问题是指：求z∈Rn，使其中M∈Rn×n,q∈Rn，记为Lcp(M,q).线性变分不等式是指：求解一向量使得记为LVI(M,q).两者关系的最初研究出现在文献[1]中.互补问题的解与变分不等式问题的解是等价的.基于这一事实，变分不等式的解的存在性定理可以被用来研究互补问题解的存在性.对于非线性问题解的存在性关系可参阅文献[2].本文基于变分不等式H-S定理给出了一般线性互补问题解的存在性定理.并证明了当矩阵M为对角占优矩阵时，对于可行的线性互补问题解是存在的.定理1 z*是线性互补问题的解的充要条件是z*为线性变分不等式的解.证明必要性设z*是线性互补问题的解，即则∀，有即z*为线性变分不等式的解.充分性设z*为线性变分不等式的解，则∀，将y=z*+x代入(3)有即，另一方面将y=0,y=2z*代入(3)有因此z*是线性互补问题的解.Hartman-Stampacchina给出了一个著名的线性变分不等式问题解的存在定理. 定理2(简记为H-S定理)[3] 设M∈Rn×n，D⊆Rn是紧凸集，则∀q∈Rn，存在x*∈D，使这一定理是本文线性互补问题解的存在定理的基础.本文约定：Lcp(M,q)的可行集记为：如果F≠Ø，则称Lcp(M,q)可行；如果F≠Ø且存在x0∈F使Mx0+q>0，则称Lcp(M,q)严格可行.引理1 设D⊆Rn是凸集，y∈Rn,u∈D，如果存在常数r>‖v‖，使其中‖·‖是Rn上任意向量范数，则证明已知u∈D且‖u‖<r，则将yt代入(4)，有从而定理3 设M∈Rn×n，‖·‖是Rn上的任意向量范数，q∈Rn，如果存在和常数r>‖u‖，使则Lcp(M,q)有解x*且‖x*‖r.证明根据已知条件，存在和常数r>‖u‖，使令‖x‖r}，则Dr是紧凸集，根据H-S定理，存在x*∈Dr使如果‖x*‖<r根据引理1有因此x*是Lcp(M,q)的解且‖x*‖<r.如果‖x*‖=r，由(5)和(6)有且再根据引理1，有于是由(7)和(9)，有即x*是Lcp(M,q)的解，且显然‖x*‖=r.定理4 设M∈Rn×n,q∈Rn，如果存在和常数r>‖u‖，使则Lcp(M,q)有解x*且‖x*‖<r.证明设r}，则Dr是紧凸集，根据H-S定理，存在x*∈Dr，使假设‖x*‖=r，则由(10)，存在指标i，使构造向量如下:则，由(11)得到这与(12)相矛盾.因此‖x*‖<r，根据引理1和(11)，有即x*是Lcp(M,q)的解且‖x*‖<r.定义1[4] 设M=(mij)∈Rn×n，如果则称M是对角占优矩阵；如果则称M是严格对角占优矩阵.注：此处对角占优矩阵的定义与一般教材定义的不同，此处只考虑对角元为非负的情况.定理5 设M=(mij)∈Rn×n是对角占优矩阵，则对于给定的使得Lcp(M,q)可行的q，Lcp(M,q)有解.证明已知M对角占优，则∀,当时，有≥≥0设q∈Rn，必存在，使令r>2‖u‖，并定义函数其中e=(1,1,…,1)T∈Rn，则当且‖x‖=r，有x≠u，令则xk>uk，于是≥=(xk-uk)[M(x-u)+g(m)(u)]k≥根据定理有解x(m)且‖x(m)‖<r，即由于有界，所以存在收敛的子序列，不妨设x(m)→x*，则即x*是Lcp(M,q)的解.【相关文献】[1] COTTLE R W,GIANNESSI F,LIONS J L. Variational Inequalities and Complementarity Problems: theory and applications[M].New York:Wiley,1980:222-223.[2] 张立平，韩继业，徐大川.变分不等式问题的解的存在性[J].中国科学，2000(10):89-93.[3] 韩继业，修乃华，戚厚铎. 非线性互补理论与算法[M].上海：上海科技出版社，2006.[4] 陈景良，陈向晖. 特殊矩阵[M].北京：清华大学出版社，2001.。
一类微分方程解的存在性的集值方法
也 即
（ ）Ｅ （ ． Ｄ ）
则 ｙ （）在 上 以 Ｌ为周 期 ． 。ｆ
证 明 取 Ｘ — Ｃ ６ ｂ ］ 作 △一 ［ ， ［ ， ＋Ｌ ， ｆ ］上 的
函 数
ｆ， ｒ 一 ｒ ）一 ｒ ， （ ｒ ｌｄ Ｆ。 Ｅ （， ， Ｃ ｄ） 一 Ｃ ， 一 ．
对 “∈ Ｅ ， ］分 三种情 形加 以讨 论 ． ｃｄ
情 形 １ 当 一 ｆ ， 时 有
显见 Ｔ “ （ ）非 空 ， “ ｃ 且 Ｔ（ ）有 界 ． Ｔ（ ） ｎ， Ｍ
可 以证 明 Ｔ（ ）为 闭集． “ 事实 上 ， 若设
一 ｚ （ ６＋ Ｌ） ∈ Ｔ（ ， ） 一 “ ， ｏ
Ｔ ： Ｄ （ ）一 Ｄ （ ） “ 甜 ，
必存 在 ｚ Ｅ Ｄ（ ） 得 甜 使
Ｔ （ ｚ）一 ｚ，
也 即
Ｔ （ ）￡ ｚ （）一 Ｉ—ｇ（， （） ｄ ＋ “ ｓｘ ｓ） ｓ
Ｊｂ
Ｆ（ ）一 ｛ “ ： １ ｚ Ｅ Ｄ（ ） Ｔ （ ）一 ） ｊ ． ｚ ≠ ２ 『
●
程 ｚ （ ＋ ｇ ｔｚ ￡ ）一 ０的解 的存 在 性 及 解 的性 质 等 问题 ． 幻 （ ， （）
关 键 词 微 分 方 程 ； 值 映 象 ； 动 点 集 不
中 图 分 类 号 Ｏ１ ５ ８ ７ ． 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ － ３ ９ ２ １ ） ３ ０ ０ — ４ ０ ８１ ９ （ ０ ２ ０ —０ １０
在 ｚＥ Ｘ， 得 ｚＥ Ｑ（ ）若 ｚ △， ｒ ）Ｅ ０ 使 ｚ． 则 （ Ａ， 由定理 的假 设 条件 可得
Ｑ（ ）一 Ｔ（ （ ） ｚ ｒｚ ） Ａ，
Banach空间半直线上奇异脉冲积分-微分方程初值问题解的存在性和唯一性
维普资讯
５４ ０
工
程
数
学
学
报
第 ２ 卷 ４
下成为一 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间，且 Ｐ ＣＪＥ ｃＰ ［ Ｅ 。 Ｆ ［ 】 ＣＪ 】 ， ， 考虑一阶奇异脉冲积分微分方程 Nhomakorabea值 问题
｛毫 ｔ ・ 一ｃ ＝． ≤ 。 ２ ２ Ｖ 。 ＝ ｔ ． Ｅ ； Ｊ ， ｃ
文章编￣： ０—０ ５２０）３００—８ １ ５３８ （０７０—５３０ ０
Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间半直线上 奇异脉 冲积分一 分方程 微
初 值 问题解 的存 在性和 唯一性牢
赵成 龙 刘衍胜 ，
ｆ．济南工程职业技术学院数理教研 室，山东 ２ ０ ０ １ ５２０ ２ ．山东师范大学数学科学学院 ，济南 ２ ０ １ ） ５ ０ ４ 摘 要：本文在更广泛 的情况下 ，利用 Ｓ ｄ ｖｋｉ ａ ｏ ｓｉ 不动 点定理研究 了 Ｂａ ａ ｈ空间 中半直线上一类非线性 ｎｃ 奇异脉冲积分． 微分方程初 值问题解 的存在性和唯一性，推广并改进 了已有文献中的相关结果。 关键词 ： 脉冲积分． 微分方程 ；存在性和唯一性；紧性测度
成为一 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间。令
Ｐ Ｃ Ｆ［ 容易看出 Ｐ ＣＪＥ 在范数 Ｆ ［ １ ，
＝
Ｐ【 Ｃ
ｓ ： ｕｐ ＋
㈣
＜∞１ ＋）
ＩｌＦ： ｐ ｌｌ ｕ ｘＰ
收稿 日期： ０５０－６ 作者简介：赵成龙（９ ２ 月生１ ２０—７０． １７ 年５ ，男，硕士． 研究方向：非线性微 分方程 基金项 目：国家 自然科学基￣（０７ １ １： 山东省 自然科 学基￣ （ ０６ ２） ｔ１５ １１ ） Ｙ２０ Ａ ２．
性奇异混合方程初值问题进行研究，尤其是非线性项无界的情况 。本文采用与文【５ 不同的 １】 ．
一类算子方程最小最大耦合拟解的存在性
N x =ห้องสมุดไป่ตู้A ( x , x)
( P)
在巴拿赫空间中的耦合拟解的存在性 ,其中 N 为一非线性
算子. 本文在文[ 3 ] 的基础上 ,进一步讨论了方程 ( P) 在巴
拿赫空间中的最小最大耦合拟解的存在性.
设 E 为一实巴拿赫空间 , P 为 E 中的锥 “, ≤”是 P
诱导的偏序. 现在 ,我们定义 E ×E 上的范数
( 3) 如果 N x1 ≤N x2 , Πx1 , x2 ∈D0 ,则有 x1 ≤x2 ; ( 4) G( D) 中 的任一 全 序子集 是 相对 弱紧 的 , 其中 G( x, y) > (λI + T) - 1 [λA ( x, y) + T u ] 且 u = N x , Π ( x , y)
中图分类号 :O177
文献标识码 :A
文章编号 :167121785 (2008) 12 - 0019 - 02
2003 年 ,冯育强等[1 ] 讨论了算子方程 N x = A x 在完
备度量空间和巴拿赫空间 (Ba nach sp ace) 中的可解性. 另 外 ,段华贵等[2] 讨论了算子方程 x = A ( x , x) 的耦合拟解问 题. 作者利用半序的方法 ,研究以下一类算子方程[3]
(i) H 为锥 P 诱导的偏序上的单增算子 ; (ii) 方程 H ( x , y) = B( x, y) 有解 ( x3 , y3 ) Ζ ( x3 , y3 ) 为
方程 N x = G( x, y) 的耦合解 ;
(iii ) 方 程 H ( x, y) = B ( x , y) 的 最 小 解 为 方 程 N x = G ( x, x) 的最小最大耦合解.
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１ 引言
令 【是 Ｒ ２ Ⅳ上的一个具 Ｃ 边界 ｒ 的有界域， 。 ０ ２≤Ｐ＜∞ 且用 表示闭凸集 ｛ 札∈
≥ ０ａ ． Ｑ ． 文主要考虑 如下非线性 半变分 不等式问题 ： ．在 上 本 ｅ 寻找 ｉ∈Ｋ 使得 ｔ
注．．． 由文献 ［ 中命题 ３的证明过程， １１ ７ ］ 可以得到
（ 一ｕ ≥０ 这个结论对 于证 明问题 （） “ ，， ） ． １ 是重要的．
∈Ｏ （）使得对于所有的 ＂∈Ｋ， ￣ｉ ｔ 有
２ 预备 知识
本节将复 习关于定义在 闭凸集上的局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ函数的非光滑临界点理论的一些定义、基本结 论和 Ｃａｋ ｌ ｅ广义次微分 的一些性质． ｒ
半变分不等式是一 种新型 的变分 表达形式，当我们在研 究一些物理学和工程学方 面的问题 时， 会 处理 一些 非光滑 非凸的能量泛 函， 时就会遇到 半变分不等式 ．具有光滑位势函数的广义变分不等式 这 已经有许 多作者 以不 同的方法研 究过 ， 如文献 ｆ ５ 中， １ １ 分别用分歧法， 拓扑度以及变分法研 究了对应 变分 不等 式解 的存在性 和解 的分歧 ．本文所考虑 的问题 （） １ 是带有 非光滑 非凸的位势 函数， 我们不是
ｚ— ｚＭ ｏ ÷
．
函数 ｈ一 。 ｈ 是连续 的、次线性 的， （；） 这样 由 Ｈ ｈ — ａａｈ定理 可知， 。 ・是一个非空 凸 ａ ｎＢ ｎｃ （； ）
的、 紧的集合的支撑函数 （ ： ｘ ｚ ） ∈Ｘ （ ，） （；） ∈ ）这里假设 是一个 自 ：Ｘ ｈ ≤ ｈ Ｖｈ ，
反的 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间且 Ｋ ∈Ｘ 是 一个非 空的、闭凸集． 给定一个局部 Ｌｐｃ ｉ 函数 ： — Ｒ， ｉｓｈｔ ｚ Ｋ 对于 Ｘ∈Ｋ， 们定义 我
ｒ （） ｎ ｐ ＠ ， —Ｙ ： ｎ ｘ ＝ｉｆｕ ｛ ｓ ） Ｙ∈Ｋ，Ｊ ｌ ， ） ｌ ｘ一 ｌ ＜１ Ｘ ∈ａ （）
收稿 日期： ０ ９１—８ ２０ —２１ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （０ ７１３； １４ １１） 浙江省 自然科学基金 （ ００ ０） Ｙ７８０ ８
第 ４ 期
常高， 闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性 等：
３３ ９
令 ｘ 是一个 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间且
ｋ＞０使得满足
应用分歧法和拓扑度法， 而应用文献 【 ７ 中的定义在闭凸集上的局部 Ｌ ｓ ｉ 函数的非光滑临界点 ６ ］ ｉｃｔ ｐ ｈｚ
理论 ．
引用如下文献 ［ 中 Ｋ ｒ ｓ和 Ｐ ｐｇｏｇ ｕ的定理， ７ 】 ｙｉ ｉ ｔ ａ ａｅｒｉ ｏ 这个定理将是我们研究问题 （） １ 的ｔ
√ ｌ，一 ｕＤｖ ｕ ｘ ／“一“Ｊ ｕ ｚ 叫 — ） ，Ｖ ∈ ／Ｄ １ ・（— ） — １ ｌ 。（— ） ≥／ （ ｕ ｘ Ｋ “ Ｄ ｄ Ｉ ｆ ｄ ｄ ｕ
ｆ ２ Ｉ ２ ｔ【 ，２
（ １ ）
第 １ 卷第 ４期 ３
２１年 １ ０ １ ２月
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬＹＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ Ｉ ＯＮＡＬ Ｓ ＡＰＰＬＩ Ｉ ＣＡＴＡ
Ｖｏ ，３ Ｎ ｏ ４ ｌ ． ｌ ．
Ｄ ｅ ．２０１ ｃ． １
ＤＯＩ：０ ７４Ｓ ． １６ ． １． ３ ２ １． ２ ／ＰＪ １０２ １ ０９ ３ ． ０ ０ 文章编号 ：１０—３７２１）４ ３２０ ０９１２ （ １ — ９—６ ０ ００
定理 １１ 如果 是 一个 自反的 Ｂ ｎｃ ．． ａ ａｈ空间， （） ｎＫ 且 乱是 在 Ｋ 上的一个临界点． ＝ｉｆ “
是一 个非空的 、闭 凸集， ： — Ｒ Ｋ
是一个局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ的、下有界 的且在 上满足非光滑 ｃ 一条件 的函数， 么存在 “ ∈ Ｋ 使得 那
闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性
常 高，沈 自飞
浙江师范大学 数理与信息工程学院，金华 ３ １０ ２０４
摘要： 考虑一类定义在闭凸集上的非线性半变分不等式 问题， 通过运用闭凸集上的临界点理论、Ｃｌｒｅ ａ ｋ
次微分性质以及非光滑紧性条件等， 得到了这类半变分不等式解的存在性．
是它的拓扑对偶空间， （・来表示 ， ） 用 ・） ， 的对偶括号． 称
函数 ： — Ｒ 是局部 Ｌｐｃｉ Ｘ ｉｓｈｔ ｚ的， 如果对 于每个 ｚ∈Ｘ 都能找到 Ｘ的一个领域 和一个常数
（）≤ ｌ ｌ（ 一 ｌ ｌ 一ｚ， ） ｌ ｌ
Ｖ ， ∈Ｕ Ｙ
其 中， ∈ 。【 ， ∈Ｏ ， ） ． ｏ 这里 的 １ Ｗ （）叫（） ｊｘ （）ａｅ ｎＱ． ２ ． 是带有 Ｄｉｃｌ 边界条件 的负 ｐＬ ｐａｉ ｒ ｈｅ ｉ ｔ －ａｌｃ ｎ ａ
的第一特征值 （ （ Ａ ， 即： ｐ 一
微分或 Ｃａｋ ｌ ｅ次微分． ｒ
（ ） ； ｊｘｉｘ） Ｑ ） Ｏ （，（） 被称为是局部 Ｌｐｃｉ 函数 ｉ— ｊ ，） ） ｔ ｉｓ ｔ ｈｚ ｔ （ ｕ 的广义次 ｘ
我们知道一个 函数 在 的有界子 集上是 Ｌｐｃ ｉ ｉｓｈｔ ｚ连续的， ， 则 它是局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ的且如果
ｄｍＸ ＜＋。 么这两 个性 质是等价 的． ｉ 。那 如果 ： — Ｒ是 连续 凸的， 么 是局部 Ｌｐｃｉ Ｘ 那 ｉｓｈｔ ｚ的． 给 定 一个 局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ函数 ： 一 ：我们定义它在 ∈Ｘ 处， Ｘ ， 沿着方 向 ｈ∈Ｘ 的广义方 向导数 （； ： ｌ ｐ ｚ ） ｉ ｕ ｍ