《余角和补角》
《余角、补角》 教案
情感目标：在共同活动中培养数学兴趣和合作学习能力，在探索过程中形成实事求是的态度和勇于探索的精神.
教学重点：余角和补角的概念和性质，教学时可运用文字语言、图形语言、符号语言三结合的训练方法强调概念的本质特征，突出教学重点。
教学难点：关于余角和补角的性质的应用常常需要说理，或综合运用代数知识，特别是用代数的方法来计算角的度数，由于学生缺乏经验，是教学中的难点。
可通过由浅入深、讨论比较、归纳小结等方法及变化训练突破上述难点。
教学方法：1教法分析： 针对初一学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，采用启发式、发现法教学等教学方法，让学生始终处于主动学习的状态，课堂上教师起主导作用，让学生有充分的思考机会，使课堂气氛活泼，有新鲜感。
2学法指导： 在教师的启发下，让学生成为行为主体。
正如新《数学课程标准》所要求的，让学生“观察、动手实践、自主探索、合作交流 ”。
教学设备：多媒体投影（展示学习网站和多媒体课件）
教学过程：
【活动1】
设置情境，引出新知：
如果将斜塔看成一条OA ，在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子B ，画出直线OB ，测出了∠AOB =85°
(1）斜塔OA 倾斜了多少度？
（2）斜塔OA 与OB 所成的另外一个角是多少度？
引出概念，并指出学生易犯的错误，并指出余角和补角是相互的。
学生活动: 【欣赏图片——风景、建筑】
【观察、思考、自主解决问题】
【活动2】
1、 下列各角哪些互为余角，哪些互为补角？
2判断题：(1)若, ∠1+∠2+∠3=180°则，∠1，∠2，∠3互为补角，（ ）
教学目标:
知识目标：1、理解互为余角、互为补角的概念;
2、在探索中理解余角、补角的性质，并能够运用其解决特定的数学问题 能力目标：
1、尝试从实际情境中处理信息，在观察、猜想、说明过程中体会数学思考过程的层次性和表述的严谨性;
2、通过两角度数的特殊值确定两角的关系;
3、几何中数与形的特殊对应关系. 尝试从实际情境中处理信息、形成数学思想，渗透代数方法解决几何问题的方法。
170︒150︒120︒100︒80︒60︒
30︒10︒
(2)互为余角、互为补角的两个角一定有公共顶点.（ ）
3、30°20′的余角和补角分别是多少？
4、一个锐角的补角是它的余角的3倍，求这个角.
学生活动: 【学生思考、讨论后举手发言】
【动笔计算】
30°20′余角=90°-30°20′=59°40′.
30°20′补角=180°-30°20′=149°40′.
若一个角为x 度，则它的余角为
（90-x ）度，它的补角为（180-x ）
【思考、小组讨论】
解：设这个角为x 度，则它的余角为（90-x ）度，它的补角为（180-x ）度
列方程：3（90-x ）=180-x x =45°
答：这个角为 45°
【活动3】多媒体动画演示
【提问】你能有一句话归纳出你发现的结论吗？
学生活动: 【学生观察、讨论、猜想、并从中发现余角、补角的性质. 】
结论：同角（等角）的余角相等.同样：同角（等角）的补角相等
【活动4】
在下列图形中找特殊的数量关系：
学生活动:【观察、讨论】 【活动5】创始情境
1、一些图形是由如下 的三角板模型抽象而来的. 一副三角板本身就蕴含着相等和互余，用一副三角板还能构造出其它一些图形，其中蕴含着相等、互余或者是互补的角，请大家动手尝试，构造设计一些这样的图形.
4321O D C
B A 321O
C
D B
A
【多媒体展示】例如
2、 让学生解决生活中的桌球实例中的问题。
学生活动: 【思考、动手操作、小组交流、上台 展示成果】
【思考、动手操作、小组交流】
【活动6】设问：本节课你有哪些收获？
学生活动: 【思考、举手发言、补充完善】
【活动7】【布置作业】课堂作业：《数学补充习题》p 82
课后作业：预习余角与补角(二)---方向角
学生活动: 【当堂巩固练习】 A
C。
2024年人教版初中七年级数学上册《余角和补角》精彩教案
2024年人教版初中七年级数学上册《余角和补角》精彩教案一、教学内容本节课选自2024年人教版初中七年级数学上册第四章《角的性质与分类》中的第4.3节“余角和补角”。
详细内容包括：1. 理解余角的定义及性质；2. 理解补角的定义及性质；3. 学会计算余角和补角；4. 掌握余角和补角的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：让学生掌握余角和补角的定义，能够熟练计算余角和补角；2. 过程与方法：培养学生运用余角和补角的性质解决问题的能力；3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队协作精神。
三、教学难点与重点1. 教学重点：余角和补角的定义及其性质；2. 教学难点：余角和补角的计算及应用。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器；2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）请两名同学到讲台前演示：用三角板拼出两个互补的角；（2）引导学生观察并思考：什么是余角？什么是补角？2. 新知讲解（1）余角的定义：如果两个角的和等于90°，则这两个角互为余角；（2）补角的定义：如果两个角的和等于180°，则这两个角互为补角；（3）余角和补角的性质：互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
3. 例题讲解（1）找出互为余角和互为补角的例子；（2）计算给定角度的余角和补角。
4. 随堂练习（1）判断题：找出互为余角和互为补角的角；（2）计算题：计算给定角度的余角和补角。
5. 小组讨论（1）讨论余角和补角的性质；（2）讨论如何运用余角和补角解决实际问题。
六、板书设计1. 余角和补角2. 定义：余角：两个角的和等于90°；补角：两个角的和等于180°。
3. 性质：互为余角的两个角的和为90°；互为补角的两个角的和为180°。
4. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目（1）找出下列角的余角和补角：a. 30°b. 60°c. 120°（2）已知一个角的补角是80°，求这个角的度数。
《余角和补角》PPT课件(华师大版)
如果两个角的和等于90°，我们就说 这两个角互为余角．
如果两个角的和等于180°（平角）， 就说这两个角互为补角，即其中一个 角是另一个角的补角．
1.一个角是70°30′，求它的余角和补角． 2.一个角的补角是它的3倍，这个角多少度？ 3.一个角是钝角，它的一半是什么角？
例3 如图，∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，那么 ∠2与∠3相等吗？为什么？
角共有 （ ）对. C
E
2
D
1
A
O
B
5.一个锐角的补角与它的余角的关系？
6.如果∠1+ ∠ 2=90°， ∠ 2+ ∠ 3=90°，那 么∠ 1与∠ 3之间的关系是_______
7.若∠ 和∠ 互 为余角，则∠ 和∠ 的
补角之和等于_____
8.若一个角的余角与它的补角的和是 210°，则这个角等于_____
练习
如图，要测量两堵围墙所形成的角AOB的度 数，但人不能进入围墙，如何测量？
A B
∠AOB=180°-α
Oα
例题： 点Ａ，Ｏ，Ｂ在同一条直线上，
射线ＯＤ，ＯＥ分别平分∠ＡＯＣ和∠ＢＯ
Ｃ，图中有哪些互余的角？
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｏ
Ｂ
随堂练习
1 .下列叙述正确的是（ ） . A . 40°与60 °的角互为余角 B . 110 °与90 °的角互为补角 C . 10 °、20 °、60 °的角互为余角 D . 120 °与60 °的角互为补角
余角和补角
2
1
2
1
Байду номын сангаас
2
1
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角．
《余角和补角》
在计算过程中，如果两个角度相加等于90度或180度，那么他们的补角就是90度或180度。
03
余角和补角的应用
在几何学中的应用
01
02
03
角度计算
在几何学中，余角和补角 的概念被广泛应用于角度 的计算，如证明平行线、 三角形内角和定理等。
三角形内切圆
余角和补角的概念与三角 形内切圆的性质密切相关 ，如内切圆的半径与三角 形各边的关系。
多边形内角和
多边形的内角和与外角和 的计算也涉及到余角和补 角的概念。
在物理学中的应用
光学
在光学中，反射定律、折射定 律等都与余角和补角有关。例 如，反射角等于入射角，入射
角的补角是反射角的余角。
力学
在力学中，余角和补角的概念可以 用于解决一些与角度变化相关的物 理问题，如物体运动的角度、力的 方向等。
计算方法
通过已知的一个角的度数，可以计算出它的余角的度数。方法是做减法，即已 知角减去90度。
例子
如果一个角是45度，则它的余角是90度减去45度，即45度。
余角的特殊情况
• 余角的特殊情况包括：余角的补角相等、余角与补角的和相等 、余角与补角的差相等。这些性质在解决几何问题时非常有用 。
02
补角
《余角和补角》
2023-11-09
目录
• 余角 • 补角 • 余角和补角的应用 • 余角和补角的实验 • 余角和补角的练习与巩固
01
余角
定义与性质
定义
如果两个角的度数之和为90度，则称这两个角互为余角。其 中一个角叫做另一个角的余角。
性质
余角的性质包括：等大、互补、反向延长线相交于一点。
余角的计算
04
人教版七年级数学上册《余角和补角》课件
因为∠1+∠2= 90° ，
°
∠3+∠4= 90 ，
且∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
等角的余角相等.
探索新知
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,那
么∠2=∠4吗？
∠2=∠4.
如何证明？
探索新知
已知：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,
求证：∠2=∠4.
证明：因为∠1与∠2互补，
如果两个角的和等于180º（平角），就说这
两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
性质：同角（等角）的余角相等.
同角（等角）的补角相等.
作业：
1. 完成习题4.3中第8，
9题；
2.完成练习册本课时的
习题。
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjyX)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjyX/recruitment/home/admin
方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西
45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔
方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
D
西
北40° B
45°
O
●
东
60°
10°
●
A
巩固练习
练习1. 已知∠α＝53°27′, ∠α与∠β互为余角，求∠β的度数
.
解： 因为∠与∠互为余角（已知）,
所以∠ + ∠ = 90°（余角定义）,
所以∠ = 90°－∠.
因为∠＝53°27′,
′
所以∠ = 90°－∠＝90°－53°27
七年级数学上《余角和补角》知识解析
《余角和补角》知识解析课标要求：1. 理解余角、补角、互余、互补等概念，在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角。
理解余角（补角）与互余（互补）的区别和联系，会求已知角的余角或补角.2.理解余角（补角）的性质，并能用它解决相关问题。
会用方程的思想方法求有关角的度数.3．理解互余（及互补）两角的等式表示方法，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.知识结构：内容解析：本节课主要学习余角、补角概念，余角、补角的性质，方位角. 余角和补角是在学习了角的度量及角的比较与运算的基础上，对角的数量关系作进一步探讨，在后面学习对顶角相等及平行线的判定和性质时即将用到，并为今后证明角的相等提供一种依据和方法.另外教材在此已开始对学生提出“简单说理”的要求，为以后推理证明题作准备.方位角的知识学生在小学就有所了解，但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的位置是学生不熟悉的.方位角的知识在“解直角三角形”等内容有广泛的应用，并且为今后学习平面直角坐标系、极坐标等知识奠定基础.教学重点：1. 理解余角、补角的概念，会求已知角的余角或补角.2. 理解余角（补角）的性质，会用性质及建立方程的思想方法求有关角的度数. 教学难点：1.理解余角（补角）的性质，会用性质及建立方程的思想方法求有关角的度数.2. 理解互余（及互补）两角的等式表示方法.教法导引：现代教学论认为数学应加强学生的数学活动，如果能让学生在“做数学”的过程中获得知识和技能，掌握基本数学思想和规律，那将是课堂教学中最理想的境界，也是新课程改革的一个重要目标。
根据以上认识，我的教学思路是：老师的“教”体现在创设情境，激发兴趣，组织探索，引导发现。
学生的“学”体现在操作讨论，探索发现，归纳结论。
另外针对发展学生的逻辑推理能力，教学时注重让学生发表自己的见解，引导学生用数学语言表达自己的思考过程。
本节课主要采用“教师创设问题情境—学生自主探索与小组合作交流—概括明晰”的教学思路，把探索知识的主动权完全交给学生．通过问题情境的设置，激发学生的学习兴趣，营造师生间民主、和谐的学习氛围和每个学生平等参与学习的机会．这种合作学习的方式，使得全体学生都能在横向交流中各尽所能，取长补短，各有所获，共同发展．在教学中，要关注概念的实际背景与形成过程，采用直观导入的方法，借助直观形象，让学生能够理解概念并初步学会应用．并给学生提供探索和交流的空间，使数学活动不是单纯地依赖、模仿与记忆，而是一个生动活泼、积极主动和富有个性的过程，围绕本节课所学的知识，设置有现实意义的具有挑战性的问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验。
《余角、补角》 讲义
《余角、补角》讲义一、引入在我们的日常生活和数学学习中，角是一个非常常见且重要的概念。
今天，我们要来深入了解一下角的两种特殊关系：余角和补角。
二、什么是余角如果两个角的和是直角（90°），那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”。
比如说，一个角是 30°，那么它的余角就是 60°，因为 30°＋ 60°＝90°。
余角的性质很有趣。
首先，同角的余角相等。
什么意思呢？就是如果角 A 和角 B 互余，角 A 和角 C 也互余，那么角 B 就等于角 C。
其次，等角的余角相等。
比如角 D 等于角 E，角 D 的余角是角 F，角 E 的余角是角 G，那么角 F 就等于角 G。
我们来看一个例子：已知∠1 ＝ 25°，∠2 是∠1 的余角，求∠2 的度数。
因为∠1 和∠2 互余，所以∠2 ＝ 90°∠1 ＝ 90° 25°＝ 65°。
三、什么是补角如果两个角的和是平角（180°），那么称这两个角“互为补角”，简称“互补”。
例如，一个角是 120°，那么它的补角就是 60°，因为 120°＋ 60°＝180°。
补角也有类似的性质。
同角的补角相等，等角的补角相等。
举个例子：若∠3 ＝ 50°，∠4 是∠3 的补角，求∠4 的度数。
因为∠3 和∠4 互补，所以∠4 ＝ 180°∠3 ＝ 180° 50°＝ 130°。
四、余角和补角的应用在实际生活中，余角和补角有很多应用。
比如在建筑设计中，工程师需要考虑角度的关系，确保结构的稳定性。
在测量中，也会用到余角和补角的知识来计算角度。
在数学题目中，常常会出现这样的问题：一个角的补角比它的余角大多少度？我们来计算一下。
设这个角的度数为 x°，它的余角是（90 x）°，它的补角是（180 x）°。
《余角和补角》精品教案精品
《余角和补角》精品教案精品一、教学内容本节课选自《初中数学》八年级下册第四章《角度与三角》，具体内容包括余角和补角的定义、性质及计算。
重点章节为4.3节和4.4节，详细内容如下：1. 余角的定义及性质；2. 补角的定义及性质；3. 求解余角和补角的计算方法。
二、教学目标1. 让学生掌握余角和补角的定义，了解它们之间的关系；2. 培养学生运用余角和补角的性质解决实际问题的能力；3. 提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：余角和补角的性质及计算方法；2. 教学重点：余角和补角的定义，以及它们在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、多媒体课件；2. 学具：三角板、量角器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例（如剪刀、三角板等）引出余角和补角的概念，激发学生兴趣；2. 新课导入：讲解余角和补角的定义，以及它们之间的关系；3. 例题讲解：求解具体角的余角和补角，并说明计算方法；4. 随堂练习：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学；6. 课后作业布置：布置具有代表性的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 定义：余角：两个角的和等于180°的两个角；补角：两个角的和等于90°的两个角。
2. 性质：余角的性质：同角的余角相等，互余角的和为180°；补角的性质：同角的补角相等，互补角的和为90°。
3. 计算方法：求解余角：180° 已知角度；求解补角：90° 已知角度。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列角的余角和补角：40°，70°，120°；（2）已知一个角的余角是50°，求这个角的度数；（3）已知一个角的补角是30°，求这个角的度数。
2. 答案：（1）余角分别为：140°，110°，60°；补角分别为：50°，20°，30°；（2）这个角的度数为130°；（3）这个角的度数为60°。
《余角和补角》 知识清单
《余角和补角》知识清单一、余角的定义如果两个角的和是直角（90°），那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”。
其中一个角是另一个角的余角。
例如，若∠A ＋∠B ＝ 90°，则称∠A 与∠B 互余，∠A 是∠B 的余角，∠B 也是∠A 的余角。
二、补角的定义如果两个角的和是平角（180°），那么称这两个角“互为补角”，简称“互补”。
其中一个角是另一个角的补角。
比如，若∠C ＋∠D ＝ 180°，则∠C 与∠D 互补，∠C 是∠D 的补角，∠D 也是∠C 的补角。
三、余角和补角的性质1、同角的余角相等比如，∠A 的余角是∠B，∠A 的余角还有∠C，那么∠B ＝∠C。
这是因为∠A ＋∠B ＝ 90°，∠A ＋∠C ＝ 90°，所以∠B ＝ 90°∠A，∠C ＝ 90°∠A，从而∠B ＝∠C。
2、等角的余角相等若∠E ＝∠F，∠E 的余角是∠G，∠F 的余角是∠H，那么∠G ＝∠H。
因为∠E ＋∠G ＝ 90°，∠F ＋∠H ＝ 90°，又因为∠E ＝∠F，所以 90°∠E ＝ 90°∠F，即∠G ＝∠H。
3、同角的补角相等比如，∠K 的补角是∠L，∠K 的补角还有∠M，那么∠L ＝∠M。
由于∠K ＋∠L ＝ 180°，∠K ＋∠M ＝ 180°，所以∠L ＝ 180°∠K，∠M ＝ 180°∠K，进而∠L ＝∠M。
4、等角的补角相等若∠N ＝∠P，∠N 的补角是∠Q，∠P 的补角是∠R，那么∠Q ＝∠R。
因为∠N ＋∠Q ＝ 180°，∠P ＋∠R ＝ 180°，且∠N ＝∠P，所以180°∠N ＝ 180°∠P，即∠Q ＝∠R。
四、余角和补角的计算1、已知一个角求它的余角如果已知一个角的度数为α，那么它的余角的度数就是90° α。
《余角和补角》公开课省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
B
小结
两角间旳 数量 关系
互余
互补
1 2 90 1 2 180 (1 90 2) (1 180 2)
相应 图形
性质
同角或等角旳 余角相等
同角或等角旳 补角相等
注意点
1 互余、互补是两角之间旳数量关系，只 与他们旳度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中旳角是成对出现旳。
3 角 旳余角是90 ，补角是180 ,
同一种锐角旳补角比余90角。大 90 。
4 只有锐角才有余角。
5 同角旳余角（补角）相等； 等角旳余角（补角）相等。
E
西 C
F
北 D 45° 45°
O
B南
（1）正东，正南，正西，正北 射线OA OB OC OD
H（2）西北方向:_射__线__O_E___ 西南方向:_射__线__O_F____ 东 A
45° 27°37′ (90 x)°
∠α旳补角
175° 135° 117°37′ ( 180-x)°
已知一种角旳补角是它旳3倍,这个角是多度?
解:设这个角为x°, 则这个角旳补角是(180－x)° 由题意得180－x=3x 解得 x = 45 则这个角旳度数为45°
变式训练: 已知一种角旳补角是这个角旳余角旳4倍,求这个 角旳度数
图中给出旳各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
2、两个角旳和等于180°（平角），就说这两个角互为 补角，简称互补，即其中一种角是另一种旳补角。
2 1
几何语言表达为： 假如∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角
∠1=180° -∠2
图中给出旳各角，那些互为补角？
初中数学七年级上册《余角和补角》课件
知识点 1 余角和补角 【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？ (2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于 90°的角→答案 (2)利用余角的性质找相等的角
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°. 又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°， 所以∠3+∠4=90°. 所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互 余. (2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角： 方位角是以_正__北__、_正__南__方向为的两角一定相等.( × ) (2)两个小于90°的角一定互余.( × ) (3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°( √ ) (4)相等且互补的两个角分别等于90°.( √ ) (5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.( × )
2.余角和补角的性质： 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4 有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 所以∠1+∠2=_1_8_0_°__，∠3+∠4=_1_8_0_°__， 所以∠2=_1_8_0_°__-_∠__1_，∠4=_1_8_0_°__-_∠__3_， 又因为∠1=∠3，所以_∠__2_=_∠__4_.
数学人教版七年级上册
4.3.3 余角和补角
1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用. 2.正确地根据方位角确定方向.