沪科版八年级数学下册17.2 一元二次方程的解法(1)》课件
2.再在方程的两边同加一次项系数一半的平方；
3.开平方法解出方程的根。
作业:
1.p25课内练习1、2 2.习题17.2第1、2、3题
方程的两边都加上36,得
x2+12x+36=-9+36 即 (x+6)2=27.
∴x+6= 27 或x+6=- 27
解得 x1=-6＋3 3 ,x2=-6－3 3
你能总结出配方法的步骤吗?
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程在时，添 上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？
b x+ 2
)
2
常数项是一次项系数的一半的平方
例1、用配方法解下列一元二次方程 （1） x -4x-1=0
解： （1）移项，得
x -4x=1
2
2
（2）2x -3x-1=0
（2）先把x2的系数变为1
2
配方，得 x -4x+4=1+4
x + 3 2 9 x2+6x+___=(________) x + 5 2 25 x2+10x+___=(________)
b 2 ( ) 2 x + bx + 2 =(
1 x - 1 2 x2-2x+___=(________)
x - 2 2 4 x2-4x+___=(________)
x - 3 2 9 x2-6x+___=(________) 25 x - 5 2 x2-10x+___=(____ 5 x 6 0
2
(2) x 4 3 x 11
2
(3) －x2＋4x－3=0 （4）x2-8x-4=0
一、形如x2=a(a≥0)的方程,用开平方法.
二、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边 是一个非负常数然后用开平方法求解,这种解一元二次 方程的方法叫做配方法. 配方法解一元二次方程的基本步骤： 1.先把常数项移到方程的另一边；
---配方法
尝试着解下列方程：
1、x2-4=0;
解： x2=4, ∴x1=-2, x2=2.
2、(x+1)2-25=0.
解: (x+1)2=25, ∴x+1=5,或x+1=-5. ∴x1=-6, x2=4.
2 一般地,对于形如x =a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得x1 =
a,x2 = -
a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
解下列方程：
1、x2=4 3、x2-16=0； 5、(x+3)2=100
2、x2－3=0； 4、x2 =0;
解下列方程:
(1)3x - 48 = 0
\
2
(2) (2 x - 3) = 7
2
解：（1）移项得3x² =48，得x² =16
x1 = 4,x2 = -4 7
（x-2） =5
2
2
3x 1 x - =0 2 2 3x 1 2 = 移项得 x 2 2
2
\
x - 2 = 5,或x - 2 = - 5
\ x1 = 5 + 2,x2 = - 5 + 2
下面过程试着自己独立 解决，与同学进行交流
（补充）例
解:移项，得
用配方法解方程x2＋12x+9=0
x2+12x=-9
（2）由方程的得 2 x - 3 = ?
\
3+ 7 3- 7 x1 = ,x2 = 2 2
你能用开平方法解下列方程吗?
x2+2x-1= 0
显然我们不能直接通过开平方来解 这个方程，那怎办呢？
下面对方程x2+2x-1= 0进行变形
把常数项移到等号的右边，得 x2+2x= 1 对等号左边配方，得 x2+2x+1=1+1 即 （x+1）2=2 这是直接开平方得 x 1 2 所以原方程的根是 x1 2 1, x2 2 1 考虑到上节中问题一的实际情况，这里只能取
x1 2 1 0.41
把一元二次方程的左边配成一个完全
平方式,右边为一个非负常数,然后用
开平方法求解,这种解一元二次方程的方法
叫做配方（completing the square）法.
填一填
添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式
1 x + 1 2 x2+2x+___=(________) x + 2 2 4 x2+4x+___=(________)
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沪科版八年级数学下册_17.2 一元二次方程的解法
(3) x2 － 2x+3=0； (4) － 3x2 － 5x+2=0.
感悟新知
解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步 知3－练
骤求解 .
解： (1) a=2， b= － 7， c=4，
求b2－4ac的值时，
b2 － 4ac= (－ 7) 2 － 4×2×4=17 ＞ 0. 若代入的字母值是
代入求根公式，得
(2) 2x2 － 7x － 6=0，∵ a=2， b= － 7， c= － 6，
∴
b2
－
4ac=97>0.
∴
x1=
7+
4
97，
x2=
7
－ 4
97.
感悟新知
知5－练
(3) 因式分解，得［ ( 3x+2 ) － 3］［ ( 3x+2 ) － 5］ =0， 即( 3x － 1 ) ( 3x － 3 ) =0.
－ x=
(
－7)± 2×2
17，负数，则需将其用
括号括起来，不能
∴
x1=7+
4
17
，
x2=7
－ 4
17 .
漏掉“－”号.
感悟新知
(2)方程可化为 3x2－2 3 x+1=0. a=3， b=－2 3 ， c=1， b2－4ac= ( －2 3 ) 2－4×3×1=0.
代入求根公式，得 x= 2
3± 2×3
0=
33.
∴ x1=x2= 33.
知3－练
感悟新知
(3) a=1， b=－2， c=3，
知3－练
b2－4ac=(－2) 2－4×1×3=－8<0. 方程无实数根 .
17.2一元二次方程的解法---公式法
这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0且 b2-4ac ≥ 0）的求根公式。
有了以上的求根公式，要解一个一元二次
方程，只要把它整理为一般形式，确定出a、 b、c的值在b2-4ac ≥0的前提下，把a、b、c 的值代入求根公式，得到：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤
课堂作业：
必做题：课本31页习题17.2 第4题（1）、（2）
选做题：第4题（3）、（4）
课外作业：基训17.2（三）
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 2、解方程：
（1）2x2+7x-4=0
（2） x 2 3 2 3 x
巩固练习
用公式法解下列方程： （1）x2-7x-18=0
（2）2x2-9x+8=0;
（3）9x2+6x+1=0; （4）16x2+8x=3.
小结：本节课你有哪些收获？
1、求根公式 : b b2 4ac
x 2a
移项配方，得
aa
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac
即：
x2
b a
x
b 2a
2
c a
沪科版八年级数学下册一元二次方程的解法-公式法课件
例 1 解方程： x 7 x 18 0
2
解：
a 1 b 7 c 18
2 b2 4ac （ 7 ） 4 1 （ 18 ） 121﹥0
7 121 7 11 x 21 2
∴
x1 9 x2 2
例 2 解方程： x 2 3 2 3 x
例 3 解方程： x 21 3 x 6
解： x 3 x 2 6 x 6
2
3 x 7 x 8 0
2
3x 7x 8 0
2
a 3、 b= - 7、 c= 8 2 2 b 4ac （ 7 ） 4 3 8 49 96 - 47 0
一元二次方程的解法
公式法(1)
回顾与复习
一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系 数）; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2 b b 4ac 2 2 . b 4ac 0 . 当b 4ac 0时, 它的根是 : x 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解： a 5，b 4，c 12
移项：把常数项移到方程的右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
2021年沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法配方法》公开课课件
x22x10为什么加
等式基本性质1 1?
X2+2x-1＝0 x22x111
变
这(种x方程1怎)样2 解？2
形 为
(x 1) 2 (x 1) 2
x1 2 1, x2 2 1
mxn 2 p 的形式（p为非负常数）。
理一理
例1: 用配方法解方程
x28x10
解: (1)x28x10
x2 8x1
17.2 一元二次方程的解法 配方法
平方根的概念：x2 aa0
x a
解方程
x2 25
x 5
这种解方程方法叫 直接开平方法
?思 考
把此方程“降 次”，转化为 两个一元一次
2x 12 5 a a0 的形式相似。
2x 15 和 2x 15
x1
51 2 ,x2
51 2
。2021年2月6日星期六2021/2/62021/2/62021/2/6 • 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年2月2021/2/62021/2/62021/2/62/6/2021 • 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/2/62021/2/6February 6, 2021
么关系?
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方;
右边:所填常数等于一次项系数一半。
(1)
x2
2x
12
_____
(x
_1__)
2
(2)
x2
8x
42
_____
(
x
_4__)
2
(3)
y2
5
y
（_
5 _2
2
_）_
_
(
y
沪科版2018八年级(下册)数学第十七章一元二次方程 全章课件
第17章 一元二次方程
你学过的方程类型有哪些？试举例说明。 1.一元一次方程 5 2.二元一次方程
4
3.三元一次方程
（1）某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为 100t，计划2011年无公害蔬菜产量比2009年翻一 番（即200t），要实现这一目标，2010年和2011 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 分析：设这个增长率为x，根据题意得
(1)5 x 10; (3) x 160;
2
(2)9 x 4 x 6 1 2 (4) y 0 y
2
(5)3 x y 6; (7)ax 4 x 0
2
(6)4 x 6 x 3x 4 x
2
2
提示：（1）都是整式方程， （2）只含有一个 未知数 ， （3）未知数的最高次数是 2。
20 32
x
若设小路的宽是xm， 那么横向小路的面积为 32x 2，纵向小路的面积 ____m 是 2×20x m2,两者重叠的 面积是 2x2 m2.由于花坛 的总面积是570m2， 根据题意，列出方程
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 整理以上方程可得： x2-36x＋35=0 （4 ）
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
4.将下列方程写成一般形式，并分别指出它们的二次 项系数、一次项系数和常数项：
(1) x 5 x 7
2
(2)6 y 6 y
2
(3)( x 2)( x 3) 1
x 4 ( x 2)
2 2
2
2）（x-2）(x+3)=8
沪科版数学八年级下册17.一元二次方程的解法课件(1)
沪科版数学八年级下
第17章 一元二次方程
17.2
一元二次方程的解法
第1课时
直接开平方法、配方法
知识回顾
平方根定义
一个数x的平方等于p，这个数x叫做a
的平方根
即
x²=p（p≥0）
则x叫做a的平方根，表示为：
x p
讨论： 下列方程是一元二次方程吗？
(1)x2
5
2
-1
2
49
（2）x
（3）x
你能利用平方
根定义解求出
这些方程的解
吗？
解：
(1)x
x=
2
5
5
(2)
x
2
-1
∴ 方程无解
0
（3）x²=
∴ x=±7
新知讲授
例1、解方程
x 4 0
2
x 4
解：先移项，得： 2
因此：
可见，上面的
2
x 4 实际
上就是求4的平
方根。
x 4 2
利用平方根定义解一元二次方
程的方法叫做直接开平方法。
2
已知关于x的一元二次方程方程 mx n p p 0
求出方程的解
解：（1）直接开平方，得：
mx
n
p
p
整理得：
x
p n
m
0
提升练习
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x p p 0 或
2
mx n
2
p p 0;
根据平方根的定义，要特别注意：由于负
3 16 x 49 0;
5x 5
2
第17章 一元二次方程
17.2
一元二次方程的解法
第1课时
直接开平方法、配方法
知识回顾
平方根定义
一个数x的平方等于p，这个数x叫做a
的平方根
即
x²=p（p≥0）
则x叫做a的平方根，表示为：
x p
讨论： 下列方程是一元二次方程吗？
(1)x2
5
2
-1
2
49
（2）x
（3）x
你能利用平方
根定义解求出
这些方程的解
吗？
解：
(1)x
x=
2
5
5
(2)
x
2
-1
∴ 方程无解
0
（3）x²=
∴ x=±7
新知讲授
例1、解方程
x 4 0
2
x 4
解：先移项，得： 2
因此：
可见，上面的
2
x 4 实际
上就是求4的平
方根。
x 4 2
利用平方根定义解一元二次方
程的方法叫做直接开平方法。
2
已知关于x的一元二次方程方程 mx n p p 0
求出方程的解
解：（1）直接开平方，得：
mx
n
p
p
整理得：
x
p n
m
0
提升练习
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x p p 0 或
2
mx n
2
p p 0;
根据平方根的定义，要特别注意：由于负
3 16 x 49 0;
5x 5
2
沪科版八下数学17.2一元二次方程的解法课件
（1）x +8x 7 0
2
（2）x2 5x 2 0
（3） 2x2 +5x 1 0
（4） 3x2 -5x 2 0
2)2
谢
谢
观
再
见
看
2
5x 1 0
(4)3x
2
6x 1 0
小结
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
同样由（x+h)²=k(k≥0) 得 x + h = ± ，
x₁= − ℎ, x₂= − − ℎ
二、配方法 ：
先把原一元二次方程的左边配成一个
完全平方式，然后用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
知识巩固
例2： 用配方法解一元二次方程：
(1）x²-4x-1=0
(2) 2x²-3x-1=0
解：（1）移项，得x 2 4x 1
配方，得x 2 2 2x +22 1+22
（2）直接开平方得：x-1=±2， ： ₁ = 3， ₂ = −1
（3）原式化为：(x+2)²=16，直接开平方得： x+2=±4 ：
₁ = 2， ₂ = −6
结 论
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
3.变形：等号左边写出完全平方式
4.开平方：利用开平方的定义直接开平方
2
（2）x2 5x 2 0
（3） 2x2 +5x 1 0
（4） 3x2 -5x 2 0
2)2
谢
谢
观
再
见
看
2
5x 1 0
(4)3x
2
6x 1 0
小结
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
同样由（x+h)²=k(k≥0) 得 x + h = ± ，
x₁= − ℎ, x₂= − − ℎ
二、配方法 ：
先把原一元二次方程的左边配成一个
完全平方式，然后用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
知识巩固
例2： 用配方法解一元二次方程：
(1）x²-4x-1=0
(2) 2x²-3x-1=0
解：（1）移项，得x 2 4x 1
配方，得x 2 2 2x +22 1+22
（2）直接开平方得：x-1=±2， ： ₁ = 3， ₂ = −1
（3）原式化为：(x+2)²=16，直接开平方得： x+2=±4 ：
₁ = 2， ₂ = −6
结 论
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
3.变形：等号左边写出完全平方式
4.开平方：利用开平方的定义直接开平方
沪科版八年级下册17.一元二次方程的解法课件
负数不可以作为被开方数. （4）什么叫做开平方运算？
求一个数平方根的运算叫做开平方运算。
直接开平方法 根据平方根的意义你能解下列方程吗？
（1）x2=9，
解（1）∵x是9的平方根
∴x＝±3 ∴原方程的根为： x1=3，x2 =－3
（2）x2=2
（2）∵ x就是2的平方根 ∴x= 2
∴原方程的根为：
(3) 5 (2x+3)2-25=0；
总结：用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
1.化：把一元二次方程转化为x2 = p(p≥0）或 (mx+n)2 = p(p≥0）的情势。
2.开平方：直接开平方，把一元二次方程降次转化 为两个一元一次方程。 3.写根：解一元一次方程，得到一元二次方程的两 个根。
作业
x1= 2 ，x2= 2
归纳直接开平方法
什么是直接开平方法解一元二次方程？
像解x2=9，x2=2这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
叫做直接开平方法。
典例精析 解形如x2=p（p≥0）的方程 例1: 解下列方程:
(1) x2-9=0； (2) 3x2－9=0.ห้องสมุดไป่ตู้
注意：先把方程转化成x2 = p（p≥0） 的情势再开平方写根
练习1 直接开平方法解下列方程：
（1）5m2 125 (2)2x2 1 0 2 (3)16x2 25 0
将方程转先化成
x2 = p
(p≥0）的情势, 再开平方，写根。
典例精析 解形如(mx+n)2=p(p≥0）的方程
例2 ：解下列方程:
（1）(2x+3)2=25； (2) (2x+3)2-25=0；
练习2：课本23页练习
求一个数平方根的运算叫做开平方运算。
直接开平方法 根据平方根的意义你能解下列方程吗？
（1）x2=9，
解（1）∵x是9的平方根
∴x＝±3 ∴原方程的根为： x1=3，x2 =－3
（2）x2=2
（2）∵ x就是2的平方根 ∴x= 2
∴原方程的根为：
(3) 5 (2x+3)2-25=0；
总结：用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
1.化：把一元二次方程转化为x2 = p(p≥0）或 (mx+n)2 = p(p≥0）的情势。
2.开平方：直接开平方，把一元二次方程降次转化 为两个一元一次方程。 3.写根：解一元一次方程，得到一元二次方程的两 个根。
作业
x1= 2 ，x2= 2
归纳直接开平方法
什么是直接开平方法解一元二次方程？
像解x2=9，x2=2这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
叫做直接开平方法。
典例精析 解形如x2=p（p≥0）的方程 例1: 解下列方程:
(1) x2-9=0； (2) 3x2－9=0.ห้องสมุดไป่ตู้
注意：先把方程转化成x2 = p（p≥0） 的情势再开平方写根
练习1 直接开平方法解下列方程：
（1）5m2 125 (2)2x2 1 0 2 (3)16x2 25 0
将方程转先化成
x2 = p
(p≥0）的情势, 再开平方，写根。
典例精析 解形如(mx+n)2=p(p≥0）的方程
例2 ：解下列方程:
（1）(2x+3)2=25； (2) (2x+3)2-25=0；
练习2：课本23页练习
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法(1)》公开课课件
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/232021/7/232021/7/232021/7/23
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
用配方法解下列方程:
(1) x2 5x 6 0
(2) x2 4 3x 11
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第1课时)优课件
像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或 （x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的 意义求解
例1 解下列方程 （1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解:（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项， 2 即此一元二次方程的根为：x1=
2 ，x2= 2
什么叫直接开平方法？
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?
(x h)2 k
方程可化为一边是 _含_未__知__数__的__完_全__平__方__式__, 另一边是___一_个__常__数____,那么就可以用直接开 平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或 （x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的 意义求解
例1 解下列方程 （1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
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我们，还在路上……
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解:（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项， 2 即此一元二次方程的根为：x1=
2 ，x2= 2
什么叫直接开平方法？
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?
(x h)2 k
方程可化为一边是 _含_未__知__数__的__完_全__平__方__式__, 另一边是___一_个__常__数____,那么就可以用直接开 平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。