四川省棠湖中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

2018年秋期末四川省棠湖中学高一年级期末考试数学试题

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1.已知集合，集合，则下列结论正确的是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

运用列举法，化简集合，求得交集，即可判断正确结论

【详解】

则，则

显然不对，

故选

【点睛】本题主要考查了集合的运算以及集合的包含关系判断及应用，属于基础题。

2.若，且，则是（）

A. 第一象限角

B. 第二象限角

C. 第三象限角

D. 第四象限角

【答案】C

【解析】

，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，

，，同时满足，则的终边在三象限。

3.下列函数中哪个与函数相等

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【详解】A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．

B．函数的定义域为R，，

所以两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．

C．函数的定义域为R，y＝|x|，对应关系不一致．

D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．

故选：B．

【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数，属于基础题．

4.设则的值为（）

【答案】C

【解析】

试题分析：因,故应选C．

考点：分段函数的求值．

5.若角的终边过点，则等于（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

角的终边过点，则，所以.

故选C.

6.下列说法不正确的是（）

A. 方程有实根函数有零点

B. 有两个不同的实根

C. 函数在上满足，则在内有零点

D. 单调函数若有零点，至多有一个

【答案】C

【解析】

A．根据函数零点的定义可知：方程f（x）=0有实根?函数y=f（x）有零点，∴A正确．

B．方程对应判别式△=9-4×（-1）×6=9+24=33＞0，∴-x2+3x+6=0有两个不同实根，∴B正确．

C．根据根的存在性定理可知，函数y=f（x）必须是连续函数，否则不一定成立，比如函数f(x)＝满足条件f（-1）?f（1）＜0，但y=f（x）在（-1，1）内没有零点，∴C错误．

D．若函数为单调函数，则根据函数单调性的定义和函数零点的定义可知，函数和x轴至多有一个交点，∴单调函数若有零点，则至多有一个，∴D正确．

故选C．

7.函数的部分图像如图所示，则的值分别是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由图象和函数的周期公式可得ω，代入点的坐标结合角的范围可得值．

【详解】由图象可得函数的周期T满足T（），

∴T＝π，∴ω2，

∴f（x）＝2sin（2x+），

又函数图象经过点（，2），∴2sin（）＝2，

∴＝2kπ，∴＝2kπ，k∈Z

∵| |，∴当k＝0时，

故选：B．

【点睛】本题考查三角函数的图象和解析式，数形结合是解决问题的关键，属中档题．

8.若，则＝

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

由题意：，

据此可得： .

本题选择A选项.

9.已知，，且均为锐角，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

均为锐角，

，

，

故选

10.将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的解析式为：，

再向左平移个单位得到函数为

令，解得

故函数的对称轴为

结合选项可得函数图象的一条对称轴为

故选

点睛：这是一道关于三角函数对称轴以及三角函数平移的题目，解答本题的关键是掌握三角函数的平移规律。由函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，向左平移个单位可得，再由余弦函数的对称性即可解答。

11.若实数满足，则关于的函数图象的大致形状是( )

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．

详解：∵，

∴f（x）=（）|x﹣1|

其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，

又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，

对照选项，只有B正确．

故选：B．

点睛：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.

12.定义域为R的偶函数满足对任意的，有且当时，

，若函数在上恰有六个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

令，则，所以，所以，即函数的周期为，由此可画出函数和的图像如下图所示.由图可知，，故.

点睛:本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查利用函数的奇偶性与周期性来画函数图像的方法，考查了数形结合的数学思想方法.由于题目一开始给定函数为偶函数，且给出函数一个表达式，根据这个表达式，利用赋值法，可求得函数的周期，在根据题目给定区间函数的解析式，画出函数图像，根据图像来求的取值范围.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数的最大值为__________．

【答案】 3；

【解析】

试题分析：由题，，则最大值为3.

考点：三角函数的性质及最值问题.

14.已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为

_______________ .

【答案】

【解析】

【分析】

对称轴为x=，函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间[1，3]上是单调函数，得≤1，或≥3求解即可

【详解】∵函数f（x）=2x2﹣kx+1

∴对称轴为x=，

∵函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间[1，3]上是单调函数，

∴≤1或≥3，

即k≤4或k≥12，

故答案为：（﹣∞，4]∪[12，+∞）．

【点睛】本题考查了二次函数的单调性，对称性，难度不大，属于容易题，关键是确定对称轴．

15.燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度与耗氧量之间满足函数关系.若两岁燕子耗氧量达倒个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，耗氧量达到__________单位．

【答案】320

【解析】

因为，因此

16.关于函数有以下四个命题：

①对于任意的，都有；②函数是偶函数；

③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；

④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形．其中正确命题的序号是

__________．

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

①根据函数的对应法则，可得不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；

②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；

③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质可判断；

④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三点恰好构成等边三角形，即可判断．

【详解】①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，

∴当x为有理数时，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，即不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①正确；

②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数，故②正确；

③由于非零有理数T，若x是有理数，则x+T是有理数；

若x是无理数，则x+T是无理数，

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，

f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确；

④取x1，x2＝0，x3，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，

∴A（，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

故答案为：①②③④．

【点睛】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．

三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17.（1）计算

（2）已知，求的值。

【答案】（1）4; (2)-1.

【解析】

试题分析：（1）利用指数和对数运算公式，可求得值为.（2）已知条件可化为，要求解的式子上下同时除以，可转化为只有的式子，由此求得值为.

试题解析：

（1）原式=

=2+1+1=4

(2)解法一：

=

= -1

解法二：

==-1

18.已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标(其中

).

0 2 0 0

(Ⅰ) 请写出函数的最小正周期和解析式；

(Ⅱ) 求函数的单调递增区间；

(Ⅲ) 求函数在区间上的取值范围.

【答案】（I）最小正周期为，；（II）；（III）. 【解析】

【分析】

（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得它的周期．

（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．

（Ⅲ）利用正弦函数的定义域和性质，求得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

【详解】(I),

即, 所以.

又, ,

将代入, 有，即.

因为所以，因此，即.

故.

(II)因为函数的单调增区间为，

所以令，

即，

解得，

所以的增区间为.

(Ⅲ)因为，所以有，

所以当即时，函数取得最大值，

当当即时，函数取得最小值，

所以函数在上的取值范围为

【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+）的部分图象求解析式，由函数图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点中的点求出的值；考查了正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．

19.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；

（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；

（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，利用判别式小于0即可求实数k的取值范围．

【详解】（Ⅰ）因为定义域为的函数是奇函数，

所以.

（Ⅱ）因为当时，，

所以.

又因为函数是奇函数，所以.

所以.

综上，

（Ⅲ）由得.

因为是奇函数，

所以.

又在上是减函数，所以.

即对任意恒成立.

令，则.由，解得.

故实数的取值范围为．

【点睛】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．

20.据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格（元）和时间（天）的关系如图所示．

（1）求销售价格（元）和时间（天）的函数关系式；

（2）若日销售量（件）与时间（天）的函数关系式是,问该产品投放市场第几天时，日销售额（元）最高，且最高为多少元？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过讨论t的范围，求出函数的表达式即可；（Ⅱ）先求出函数的表达式，通过讨论t的范围，求出函数的最大值即可．

解：（Ⅰ）①当0≤t＜20，t∈N时，

设P=at+b，将（0，20），（20，40）代入，得解得

所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．

②当20≤t≤30，t∈N时，

设P=at+b，将（20，40），（30，30）代入，解得

所以 P=﹣t+60（20≤t≤30，t∈N），）

综上所述

（Ⅱ）依题意，有y=P?Q，

得

化简得

整理得

①当0≤t＜20，t∈N时，由y=﹣（t﹣10）2+900可得，当t=10时，y有最大值900元．

②当20≤t≤30，t∈N时，由y=（t﹣50）2﹣100可得，当t=20时，y有最大值800元．

因为 900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．

考点：函数解析式的求解及常用方法．

21.已知，若在上的最大值为，最小值为，令

.

（1）求的函数表达式；

（2）判断函数的单调性，并求出的最小值.

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】

解：(1) 函数的对称轴为直线, 而

∴在上……2分

①当时，即时，

②当2时，即时，

……7分

(2)

. ……10分

22.已知函数，对于任意的，都有, 当时，，且. ( I ) 求的值；

(II) 当时，求函数的最大值和最小值；

(III) 设函数，判断函数g(x)最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围.

【答案】（I）；（II）；（III）当时，函数最多有个零点.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；

（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；

（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x2﹣2|x|﹣m）＝0＝f（0），根据单调性可得x2﹣2|x|﹣m＝0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m∈（﹣1，0）．

【详解】（I）令得，得.

令得，

令得

(II)任取且，则，

因为，即，

令

则.

由已知时，且，则，

所以，，

所以函数在R上是减函数，

故在单调递减.

所以，

又，

由，得，

，

故.

(III) 令代入，

得，

所以，故为奇函数.

∴

=

=

，

令,即，

因为函数在R上是减函数，

所以，即，

所以当时，函数最多有4个零点.

【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，关键是利用函数的性质及赋值法解决问题，属于难题．