数学物理方程复习提纲

数学物理方程复习提纲（qin,090600）(建议：复习巩固以下知识点+重温例题和作业+自主补充复习和练习)1． 振动方程的导出，非齐次项的含义。

振动方程定解条件的提法（初始条件？，第一、二、三类边值条件？）；2． 热传导方程的导出，非齐次项的含义。

热传导方程定解条件的提法（初始条件？，第一、二、三类边值条件？）；3． 拉普拉斯方程的导出，泊松方程非齐次项的含义。

拉普拉斯方程和泊松方程定解条件的提法（第一、二、三类边值条件？三种边值问题？）；4． 概念：线性（非线性）偏微分方程概念。

定解问题，混合问题，初值问题，边值问题。

Laplace 第一边值问题（狄利克雷问题？），第二边值问题（诺伊曼问题？）,适定性，适定的。

5． 线性偏微分方程的叠加原理。

二元二阶线性偏微分方程的一般形式、分类、特征方程、三种类型的标准形式及化为标准形式的方法。

6． [a, b]上带权q(x)>0的正交函数系，模，傅里叶级数及其系数的算法。

f(x)在[,]l l -上的傅里叶级数01()~(cos sin )2k k k a k x k x f x a b l lππ∞=++∑的系数的算法。

（1()cos ?l k l k xa f x dx l lπ-=⎰）f(x)在[,]l l -的傅里叶级数01(1/2)(1/2)()~(cos sin )2k k k a k x k x f x a b l lππ∞=++++∑的系数的算法。

（1(1/2)()cos ?l k l k xa f x dx l lπ-+=⎰） f(x)在[0,]l 上的傅里叶级数01()~cos 2k k a k x f x a lπ∞=+∑的系数的算法。

（02()cos ?l k k xa f x dx l lπ=⎰）（视为偶延拓到[0,]l 上？） f(x)在[0,]l 上的傅里叶级数1()~sin)k k k xf x b lπ∞=∑的系数的算法。

（02()sin ?l k k xb f x dx l lπ=⎰）f(x)在[0,]l 上的傅里叶级数01(1/2)()~cos 2k k a k x f x a lπ∞=++∑的系数的算法。

（02(1/2)()cos?l k k xa f x dx l lπ+=⎰） 7.分离变量法可解的问题((,)0u x t x l <<在上的振动,热传导,laplace矩形域边值?).8.能熟练求解：基本型()I ⎧⎪⎨⎪⎩齐方齐边非齐初（分离变量法？），基本型()II ⎧⎪⎨⎪⎩非齐方齐边齐初（固有函数法？）。

9．会解基本形()III ，方法是（？）：()()()I I II ⎧⎧⎪⎪−−−−→=+⎨⎨⎪⎪⎩⎩边界齐次化(非)齐方非齐方非齐边齐边(非)齐初非齐初。

10．记得边界条件与固有函数系的对应规律。

即（？）：(0,)0,(,)0,{sin};1()2(0,)0,(,)0,{cos};1()2(0,)0,(,)0,{sin};(0,)0,(,)0,{cos };x x x x n u t u l t x ln u t u l t x l n u t u l t x l n u t u l t x l ππππ==+==+==== 或2(()0,(0)()0,(),{sin };1()2(0)()0,{cos };1()2(0)()0,{sin};(0)()0,{cos };X x X x n n X X l x l l n X X l x l n X X l x l n X X l x l λππλπππ''+====+'==+'==''==对时 11．会解矩形域上Laplace 边值问题（把一个变量类比为时间t ，视为基本形（I ）、（II ）或（III ）？）。

会解圆域上Laplace 问题（记得(,)0,0,(,)(),u r r R u R f θθθ∆=<<⎧⎨=⎩的半通解为1(,)(cos sin )2n n n n a u r a n b n r θθθ∞==++∑，并用边值条件计算系数即可？）。

12．行波法能解哪类问题？（23,,R R R 上波动方程？）。

14．会解2(,),(,0)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u f x t x t u x x u x x ϕψ⎧=+-∞<<+∞>⎨==⎩。

（齐次的达朗贝尔公式法，或非齐次的更一般公式法？）。

15．会解2(),(,,,0)(,,,0)(,,),(,,,0)(,,)tt xx yy zz t u a u u u x y z t u x y z x y z u x y z x y z ϕψ⎧=++-∞<<+∞>⎨==⎩。

（基尔霍夫公式法，即平均值法？）。

15．会解2(),(,,0)(,,0)(,),(,,0)(,)tt xx yy tu a u u x y t u x y x y u x y x y ϕψ⎧=+-∞<<+∞>⎨==⎩。

（降维法，或泊松公式法？都要会）。

16．傅氏变换定义式及其逆变换的定义式，微分性质，卷积，卷积定理。

拉氏变换定义式，求拉氏逆变换的留数法，微分性质，延迟性质，卷积，卷积定理，记得常用的一些结果例如1[]at L e s a=-等。

17．积分变换法可解哪类问题？如何选择变换类型。

（三种类型变量取值于(0,)+∞或(,)-∞+∞的无界区域？某变量取值于(0,)+∞且该变量有足够的初值则可关于该变量作拉氏变换，关于取值于(,)-∞+∞的变量可作傅氏变换？）。

18．会用积分变换法求解类似课本例题和习题的定解问题。

19．格林函数法能解哪种类型的问题？（Laplace 方程和泊松方程第一边值问题？）20．三（二）维Laplace 方程的基本解和球（圆）对称解。

格林第一、二公式。

三维调和函数的积分表达式。

21．调和函数的性质（无流出？平均值公式？极值原理？）。

诺伊曼问题有解的必要条件及其证明，狄利克雷问题解的唯一性及其证明。

（用无流出？极值原理？） 22．区域3R Ω⊂上的格林函数。

（001(,)4MM G M M v r π=-，？，由狄利克雷问题解的唯一性可知其唯一？）。

狄利克雷问题0,|(,,)u in u f x y z Γ⎧∆=Ω⎨=⎩的解是唯一的（？），可表示为？（0()GU M uds nΓ∂=-∂⎰⎰？） 23．如何求解狄利克雷问题0,|(,,)u in u f x y z Γ⎧∆=Ω⎨=⎩[（1）找特殊狄利克雷问题00,1|4MM u in u rπΓ⎧∆=Ω⎪⎨=⎪⎩的解；(2) 0()(,,)G U M f x y z ds n Γ∂=-∂⎰⎰,001(,)4MM G M M v r π=-，？] 24．若求得了某区域上的格林函数（唯一？），则上的一切Laplace 方程和泊松方程的第一边值问题都有解（唯一？）且可表示出来？如何表示？ [(,,),|(,,)u F x y z in u f x y z Γ⎧∆=Ω⎨=⎩的解为0()(,,)GU M f x y z ds FGd n ΓΩ∂=--Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰，？] 25．点置一单位正电荷所产生的电位函数是什么？ （14MM r π？）。

26．半空间0z >的格林函数是什么？如何求得？ （001111(,)()4MM MM G M M r r π=-，镜像对称静电法） 27．球域的格林函数是什么？，如何求得？ （0001111(,)()4MM MM R G M M r r r π=-球面对称静电法待定系数求得10R q r =？）.28．球域2222{(,,)|}M x y z x y z R Ω=++<上狄利克雷问题0,|(,,)u in u f x y z Γ⎧∆=Ω⎨=⎩的通解是什么？（22200223/200()(,,)sin 4(2cos )RR r u M f R d d R r Rr ππθϕθθϕπγ-=+-⎰⎰？，泊松公式？其中00000cos (sin cos ,sin sin ,cos )(sin cos ,sin sin ,cos )γθϕθϕθθϕθϕθ=?）29．会用试探法求解一些简单的Laplace 方程第一、二边值问题（例如课本例题习题）。

30．会用试探法求解一些简单的泊松方程第一边值问题（例如课本例题习题）。

方法是？ （用试探法找泊松方程的一个特解，转化为Laplace 方程第一边值问题（即狄利克雷问题）。

注：泊松方程第一边值问题的解是唯一的（如何证？），故只要求得一个解便是全部解） 30边界条件是常数的Laplace 方程第一边值问题（即狄利克雷问题）的解是什么？为什么？（极值原理？）31．求解柱形（或圆形）域上的物理问题常归结为求解什么样的固有值问题？（222()()0(0)(1)()0,|(0)|(2)r F r rF r n F r R F R F λ⎧''++-=≤<⎪⎨⎪=<∞⎩n λ为(实)常数,为待定固有值）32．n 阶Bessel 方程？（（1）？） 33．（1）如何化为222()()0(3)x y x xy x n y ''++-=？（,()()?)x F r F y x ===34．（3）的通解？(()()();()()();()()().)n n n n n n n y x AJ x BJ x n y x AJ x BY x n y x AJ x BY x ---≠=+==+=+整数,整数,为实数,（？）35．有哪几类Bessel 函数？其定义？性质（对称性，基本递推式，图象，渐近性，零点）？（定义：为实数，阶第一类20()2()(1),!(1)v mm v m xJ x m v m ++∞==-Γ++∑阶第二类()cos ()(lim ).sin v v v vJ x v J x Y v Y v ααππ-→-=为整数时取连续化值,即取性质：1）对称性：n 偶偶n 奇奇，()(1)(),()(1)().n nn n n n J x J x Y x Y x -=---=--2)基本递推式：11()1:()1:n n n nnn n n x J n n J x x J n n J x --+-'⎧⇒-=⎪⎪⎨'⎪⇒+=-⎪⎩（n 实数）11()1:()1:n n n nnn n n x Y n n Y x x Y n n Y x --+-'⎧⇒-=⎪⎪⎨'⎪⇒+=-⎪⎩（n 实数）3）图像(0x ≥)：0123012(),(),(),()(),(),(),J x J x J x J x x Y x Y x 同一坐标系下的图像及比较.同一坐标系下Y 的图像及比较.4）渐近性质：0(),(),()?(1,0,?).(),()?(0?).n n x x x Y x x x Y x →→∞→∞→0n>0n 时,J J 时,J5)（正）零点：（无穷多正零点，第一正零点大小随阶数增大而增大，相邻阶正零点交替出现，x →∞时零点间距π→？）36．固有值问题222()()0(0)(1)()0,|(0)|(2)r F r rF r n F r R F R F λ⎧''++-=≤<⎪⎨⎪=<∞⎩的固有值和固有函数？（2(1)()())),()(2)0,)0.(),()(),1,2,()n nnm nnF r F y x AJ BY xB JF r J r mR RJ xμμλμ===+=⇒=====(n)(n)(n)m mm(n)m答(?):的通解于是固有值和固有函数为:其中为的正零点.37．Bessel函数系{()}(1,2,)nJ r mRμ=(n)m在(0,R)上带权正交？其模平方2221||()||()?2n nRJ r JRμμ+=(n)(n)mm38．傅里叶-贝塞尔级数1()()m nmf r c J rRμ∞==∑(n)m的系数是？（002221()()()()?()||()||2R Rn nmnnrf r J r dr rf r J r drR RcRJJ rRμμμμ+==⎰⎰(n)(n)m m(n)(n)mm）39．Bessel函数的应用：会用Bessel函数解柱形（或圆形）域上的物理问题，例如课本例1，例3，习题五第10题。