渗流作用下土坡圆弧滑动有限元计算
( 南京水利科学研究院 水工研究所 , 江苏 南京 210029)
摘
要 : 分析了土坡滑动稳定性计算的条分法 及其存在问题 , 并提出了圆弧滑动的有限元法 , 以三角形单元 的渗透力 取代垂直条 块
周边的水压力 , 正确考虑了渗流方向及其力矩 的影响 , 不仅提高了计算精度 , 而且连续计算渗流与滑坡 , 使计 算过程简便迅速。 关键词 : 土坡稳定 ; 圆弧滑动 ; 垂直条分法 ; 有限元法 ; 渗透力 ; 边界水压力 中图分类号 :TV 641 文献标识码 : A 文章编号 : 1000- 4548( 2001) 06- 0746- 07 作者简介 : 毛昶熙 , 男 , 1918 年生 , 教授级高工 , 主要从事水工渗流研究。
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至略去侧边的水压力而只计算土条底部滑动面上水压 力, 并作一些土重不同取法的规定。这样不仅是很粗 略近似, 而且概念混乱不清, 不少学者指出这容易造成 错误。例如图 4 所示的滑动体, 经常在滑动面上考虑 孔隙水压力 W 的同时, 又把浸润线以下的土体按浮重 计算 , 对渗流作用力重复用了两次 ( Louis, 1977) 。经常 发生此错误的原因, 可能是在条分法中没有把上述表 面水压力与渗透力之间的转换关系交代清楚。
2
2. 1
滑坡计算的常规条分法及其存在问题
常用的条分法 关于将滑动体划分为垂直土条的计算方法 , 源于
瑞典圆弧法, 现以分析上游迎水坡的稳定性为例, 简要 介绍常用的方法。 在计算孔隙水压力情况下的坡面稳定性时 , 将渗 流流网图换算成等压线图比较方便 , 如图 1( a) 所示沿 用一般圆弧滑动试取滑动面 A B 分析其安全。每一垂 直土条所受 的作用力有 ( 图 1( b) ) : 土条的重 量 G ( 土粒和水 ) ; 底部滑动面上作用的法向力 N 与孔隙 水压力 U, N = ( - u) l , U = ul ; ! 沿滑动面作用的 切向力 T , T = ( N tan ∀+ c∀ l ) / , 为安全系数; # 土
∃ ( ∀l ) ∃ G sin ∀
( 1)
按照瑞典圆弧法费伦纽斯 ( Fellenius, 1936) 的假定, 设 土条两侧的力与土条底部滑动破坏面平行 , 则对破坏 面上的法向力没有影响。此时 N = G cos ∀- ul 代入 式( 1) 可得安全系数 =
∃ Fx =
0、 ∃ Fz =
这种等价的计算关系也可以用格林定理从数学上严格 证明 , 参看文献 [ 3] 。
流场计算方面却有其难以克服的困难, 以致必须作有 损计算精度的一些假定。为了说明存在的问题 , 还应 从渗流的作用力谈起。如图 2 所示为平行于斜坡的渗 流情况, 对于一个垂直土条所受各力处于平衡状态来 说, 土条饱和重必须与其周边各外力组成闭合的力的 多边形 , 其中 !Ex , !E z 为土条两侧边所受土压力差额 的水平和垂直分量, 由于其值很小 , 累加各土条后有抵 消趋势, 影响很小, 习惯上多不考虑以求计算简单。此 时可用下式的各力向量和来表示其平稳关系为 ( G 1∀- Gw ) + ( W1 - W 2) + U + N + T = 0 ( 4)
第 23 卷 2001 年
第 6期 11 月
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Chinese Journal of Geotechnical Engineering
Vol. 23 No. 6 Nov. , 2001
渗流作用下土坡圆弧滑动有限元计算
Finite element calculation on circular slip of earth slope under seepage action
图 3 渗流作用力的两种表示方法 Fig. 3 Two methods to express acting seepage forces
因为渗透力 F s 等价于所受浮力与作用在土条周 边各水压力的总和。显然 , 把土体单元各边上的几个 水压力转换为一个渗透力会使 问题简单得多 ( Ceder gren, 1977) , 尤其是利用计算机在求得渗流场水头分布 的同时, 连续计算渗透力进行滑坡稳定分析更为方便。 然而目前沿用的条分法仍采用土条周边的孔隙水 压力考虑问题, 由于难于正确估算 , 于是就只考虑土条 侧边水压力大小而忽略作用点所发生的力矩影响, 甚
条侧边土压力 !E x , !Ez 与水压力 !W, !Ex = E x 1 -
1
前
言
Ex 2 , !Ez = Ez 1 - E z 2 , !W = W 1 - W 2 。上述各力在平 衡状态时 , 构成一个闭合力的多边形, 如图 1( c) 所示。
堤坝岸坡的稳定性 , 从计算分析和统计数据可知 渗流的破坏作用很大, 垮坝失事有 30% ~ 40% 源于渗 流[ 1] 。因而很早就把渗流有限元计算与滑坡结合起来 编制程序研究堤坝的整体稳定性问题, 并发表交流讨 论[ 2] 。随后又经过不少堤坝计算分析, 深感目前的条 分法滑动计算, 对于非均质土坝的复杂渗流场来说 , 欲 提高精度, 实在有其无法克服 的困难, 而 且必须在水 ( 水力学) 与土( 土力学) 之间架起桥梁研究这一渗流稳 定性问题。因此再把近来对比分析条分法与有限元法 的计算成果整编此文 , 以抛砖引玉、 交流讨论。
图 4 在坝坡稳定分析中考虑渗流作用力常犯错误示意图 Fig. 4 Misuse of seepage forces in stability analysis of dam slope
又如条分法计算既然是采用土条周边水压力, 那 么在流场内就应一律取饱和土体重量, 如图 5 所示 , 若 规定在库水位以下土取浮重 ( 有些文献以及土石坝设 计规范 ) , 可知就少算了 A BCD 的水体重 , 所以 Spencer ( 1979) 指出来 , 此时应把土条底部孔隙水压 力 ( u = # h ) 改为超孔隙水压力 # ( h - h∀ ) 计算 , 来补偿这一 段水柱造成的差错; 说明这样的规定是自找麻烦徒劳 无益的, 这种在饱和渗流计算中区别对待土的容重 , 也 是对孔隙水压力的一个近似补偿 , 当偏角 ∀ 大时误差 也大。此外还经常假定土条底部的孔隙水压力在浸润 线下符合静水压力分布规律也是不正确的 , 因为渗流 场的土质分布和边界条件稍一复杂, 就会使滑坡体内 的水头分布发生急剧变化 , 特别是在库水位骤降时的 上游坡, 作这样的假定会导致严重误差。总之 , 对于这 种细而高的土条单元, 要想用一些平均水力因素来描 述它而又能求得精确的计算结果 , 自然是很 有限的。 然而 , 这些条分法的缺陷 , 将在下述的有限元法计算中 得到克服 , 即以渗透力考虑问题时 , 就不需要对土容重 作任何假定, 只需取土的有效重即可。
∃
[ ( G cos ∀- ul ) t an ∀ + c∀l ] cos ∀+ ( sin ∀ tan ∀) / G sin ∀ ∃
( 3)
条分法的公式很多, 当划分 n 个土条而取每个土 条的脱离体写其静力平衡时, 其中有 5 个未知数, 即土 条边的剪切力, 垂直侧边的力及其作用点位置 , 土条底 部的法向力以及安全系数 ; 因此 n 个土条就有 ( 4n 2) 个未知数。但静力平衡式只有 0、∃ M = 0 三式 , 总共有 3 n 个方程式, 少了( n - 2) 个 方程, 因而问题是超静定的 ( Huang, 1984) 。要想使问 题是正定的求解 , 只有对土条间交界面上的力作某些 假定使未知数减少或方程式增多。这就是一些学者给 出不同滑坡计算公式的背景。但无论假定土条间作用 力是水平的, 或是互相平行的 , 或是平行于滑动面的以 及其它常数或函数关系等 , 根据计算经验, 用简化毕肖 普法与其他复杂的方法比较, 安全系数的差别很小 , 最 大差 7% , 一般小于 2% ( Whitman and Bailey, 1967) 。 2. 2 条分法计算中的问题 条分法对于手算提供了某些方便, 但是在结合渗
图1 Fig. 1 圆弧滑动条分法示意及土条受力的图示 Sketch for circular slip of slices method and forces on slice
收稿日期 : 2001- 05- 28
第 6期
毛昶熙等 # 渗流作用下土坡圆弧滑动有 限元计算
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对于圆弧滑动面, 其安全系数为抗滑力矩与滑动 力矩之比。对于整个滑动体, 除径向力 N 及 U 没有力 矩外, 内力 !Ex , !E z , !W 的力矩 , 在取各个相邻土条 时互相抵消, 根据力矩平衡式 =
的表面水压力转换为等价的体积力 , 换句话说 , 就是把 各结点的水头值换算成各单元渗透力。这样 , 就不需 要考虑各单元体接触边界上的孔隙水压力 , 而避免了 象一般条分法计算略去土条侧边水压力的误差 , 同时 也不需要考虑边坡的外水压力 , 从而简化了力的计算。
图 5 库水位以下取土浮容重时的孔隙水压力修正 Fig . 5 Rectification of pore water pressure when buoyant weight of soil below water level of reservoir is taken
但渗流作用力的两种表示方法, 如图 3 所示任意 三角形土体单元 , 用图 3( a) 所示的体积力 ( 渗透力 F s 与静水浮力 - G w ) 和用图 3( b) 所示的周边的水压力 p 表示是等同的。这是因为水对土作用力 , F != - gradp , p + z , 故有 F = - # grad h + # gradz 。式右边为 r 两个分力: 渗透力 F s= - # grad h = # J ∀, 与浮力( 与同体 且 h= 积的水重反向 ) G w = - # gradz = - ∃ g , 则表面水压力 的合力 F 可用两个体积力 F s 与 - G w 表示。因此对于 土条上的渗流作用力就有 ( 图 2 的力的多边形 ) F s = G w + ( W 1 - W2 ) + U 重写平衡关系为 G∀ + F s + N + T = 0 ( 5) 则式( 4) 的平衡关系就可用其等价的渗透力与土体浮 ( 6)
渗流数值计算的有限单元法
渗流数值计算的有限单元法渗流问题常用的数值计算方法主要的是有限差分法和有限单元法，其中有限差分法出现较早，随着计算机和计算技术的发展，有限单元法在这一领域的应用日益广泛，并在计算复杂渗流工程问题中占有较大优势，下面简要介绍渗流问题有限单元法的基本概念。
（1）控制方程和边界条件本章介绍的渗流仅限于饱和土中的渗流，且假定渗流过程中土的孔隙比不变，即土的渗透系数不随时间变化。
前面已推导出二维渗流问题的控制方程为02222=∂∂+∂∂yhk x h k y x （3-64） 渗流问题数值计算的边界条件有两类。
第一类边界条件是给定水头边界，这种边界常出现在渗流区域与地表水的连接处。
对于这种边界上的所有点，每一时刻水头h 是给定的，即),,(),,(1t y x t y x h ϕ=Γ，1,Γ∈y x ，0>t （3-65）式中：h －边界1Γ上某点),(y x 在t 时刻的给定水头；ϕ－已知函数。
第二类边界条件是给定水流通量（流入或流出）边界，在这种类型的边界上，单位面积流入（或流出）的通量是已知的，即),,(),cos(),cos(2t y x q y n y h k x n x h k wy w x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂Γ，2,Γ∈y x ，0>t （3-66）式中：),cos(x n ,),cos(y n —边界外法线向量与坐标轴正向之间夹角的余弦；),,(t y x q —t 时刻边界2Γ上某点),(y x 处水流量，为已知函数。
除了上述两类边界条件外，渗流问题的边界条件也可以是混合边界条件，即部分边界上的水头为已知、部分边界上的流量为已知。
（2）泛函和变分式（3-64）所示微分方程在复杂的边界条件下无法得到解析解，采用数值方法计算时，首先建立h 的泛函，一定边值问题的解就是这个泛函的极小值，这个求解过程就是变分。
对二维渗流情况（图3.18），在x 方向，t d 时间内，外力在单位重量流体上所做的功的增量为*-=xx x h q dA d d （3-67） 其中，x q d 为x 方向的流量增量；*x h d 为在x 方向上的近似水头差，上标*表示近似，*x h d 可以表示为x xh h xd d ∂∂=** （3-68）图3.18 单元流体做的功则x xh q A x x d d d ∂∂-=*（3-69）由y x h k q x x d ∂∂-=*可得yk q x h x x d =∂∂-*，代入式（3-69），整理后得 x x x x q q yk xA d d d d =（3-70） 到时间0t 外力所做的总功为2d d d d d 20xx Q x x x x Q y k x q q y k x A x ==⎰ （3-71） x Q 是在某时间0t 内，水头为h 时的总渗流量y xhk Q xx d ∂∂-= （3-72） 则y x xh k A x x d d )(22∂∂=（3-73） 单位体积外力所做的功2)(2xh k a x x ∂∂=（3-74） 由于外力做功等于土体内存储的能量，设渗流的能量密度为x ω、y ω，则2)(2xh k a x x x ∂∂-=-=ω （3-75a ）2)(2yh k a y y y ∂∂-=-=ω （3-75b ）同样，在某一渗流域Ω中，忽略流体的可压缩性，其渗流能的表达式为y x y h k x h k h I y x d d )()(21)(22⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎰⎰Ω（3-76）对于非稳定渗流，存在自由水面的情况，边界上能量为⎰⎰Γ∂∂=ΓΓd cos d 2h thqh θμ，则上述渗流能为⎰⎰⎰ΩΓΓ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=2d cos d d )()(21)(22h t hy x y h k x h k h I z x θμ （3-77）)(h I 是一个泛函，求其极小值，对应的),(y x h 就是式（3-64）的解。
土石坝渗流计算中的有限元应用研究
土石坝渗流计算中的有限元应用研究华静;杨华舒【摘要】分析探讨了有限元法应用于土石坝渗流计算存在的渗流自由面迭代、单元格剖分不当、自由面边界条件转化以及不同材料交界面边界条件渗透系数选取等问题，提出了相应的解决方法。
采用该解决方法，对某堤防工程应用常规有限元软件进行了渗流计算和稳定渗流分析，得到了满意的结果% This paper analyzed the problems exist in fnite element applied in calculations of the earth dam seepage, such as free surface solution, improper cell subdivision, transformation of the free surface boundary conditions, the permeability coeffcient values at the interface of different materials and boundary conditions, and the like, put forward the corresponding solution. The method can be applied for seepage calculation and stable levee seepage analysis through adopting common general fnite element software on an embankment project, and better results were got.【期刊名称】《中国水能及电气化》【年(卷),期】2012(000)007【总页数】4页(P15-18)【关键词】土石坝;渗流计算;有限元【作者】华静;杨华舒【作者单位】红河学院工学院,云南蒙自610000;昆明理工大学电力工程学院,云南昆明650051【正文语种】中文【中图分类】TV139.14目前求解渗流场的方法有数值计算方法、模型试验方法和水力学方法。
圆弧滑动法计算
圆弧滑动法计算------------------------------------------------------------------------计算项⽬：等厚⼟层⼟坡稳定计算 1------------------------------------------------------------------------[计算简图][控制参数]:采⽤规范: 通⽤⽅法计算⽬标: 安全系数计算滑裂⾯形状: 圆弧滑动法不考虑地震[坡⾯信息]坡⾯线段数 2坡⾯线号⽔平投影(m) 竖直投影(m) 超载数1 0.000 12.300 02 20.000 0.000 0[⼟层信息]上部⼟层数 1层号层厚重度饱和重度粘聚⼒内摩擦⾓⽔下粘聚⽔下内摩⼗字板强度增⼗字板羲强度增长系全孔压(m) (kN/m3) (kN/m3) (kPa) (度) ⼒(kPa) 擦⾓(度) (kPa) 长系数下值(kPa) 数⽔下值系数1 12.300 19.800 --- 0.000 25.000 --- --- --- --- --- --- ---下部⼟层数 1层号层厚重度饱和重度粘聚⼒内摩擦⾓⽔下粘聚⽔下内摩⼗字板强度增⼗字板羲强度增长系全孔压(m) (kN/m3) (kN/m3) (kPa) (度) ⼒(kPa) 擦⾓(度) (kPa) 长系数下值(kPa) 数⽔下值系数1 10.000 19.800 --- 0.000 25.000 --- --- --- --- --- --- ---不考虑⽔的作⽤[计算条件]圆弧稳定分析⽅法: 瑞典条分法⼟条重切向分⼒与滑动⽅向反向时: 当下滑⼒对待稳定计算⽬标: 给定圆⼼、半径计算安全系数条分法的⼟条宽度: 1.000(m)圆⼼X坐标: 0.000(m)圆⼼Y坐标: 12.300(m)半径: 12.300(m)------------------------------------------------------------------------计算结果:------------------------------------------------------------------------滑动圆⼼ = (0.000,12.300)(m)滑动半径 = 12.300(m)滑动安全系数 = 0.939起始x 终⽌x li Ci 謎条实重浮⼒地震⼒渗透⼒附加⼒X 附加⼒Y 下滑⼒抗滑⼒(m) (m) (度) (m) (kPa) (度) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.000 0.946 2.206 0.95 0.00 25.00 230.09 0.00 0.00 0.000.00 0.00 8.86 107.210.946 1.892 6.631 0.95 0.00 25.00 228.71 0.00 0.00 0.000.00 0.00 26.41 105.941.8922.838 11.096 0.96 0.00 25.00 225.95 0.00 0.00 0.000.00 0.00 43.48 103.392.8383.785 15.631 0.98 0.00 25.00 221.73 0.00 0.00 0.000.00 0.00 59.74 99.573.7854.731 20.270 1.01 0.00 25.00 215.97 0.00 0.00 0.000.00 0.00 74.82 94.474.7315.677 25.053 1.04 0.00 25.00 208.56 0.00 0.00 0.000.00 0.00 88.32 88.105.6776.623 30.033 1.09 0.00 25.00 199.29 0.00 0.00 0.000.00 0.00 99.74 80.456.6237.569 35.279 1.16 0.00 25.00 187.90 0.00 0.00 0.000.00 0.00 108.52 71.537.569 8.515 40.896 1.25 0.00 25.00 173.95 0.00 0.00 0.000.00 0.00 113.89 61.318.515 9.462 47.049 1.39 0.00 25.00 156.76 0.00 0.00 0.000.00 0.00 114.74 49.819.462 10.408 54.040 1.61 0.00 25.00 135.02 0.00 0.00 0.000.00 0.00 109.29 36.9710.408 11.354 62.588 2.06 0.00 25.00 105.71 0.00 0.00 0.000.00 0.00 93.84 22.6911.354 12.300 78.673 4.85 0.00 25.00 44.38 0.00 0.00 0.000.00 0.00 43.52 4.06总的下滑⼒ = 985.172(kN)总的抗滑⼒ = 925.517(kN)⼟体部分下滑⼒ = 985.172(kN) ⼟体部分抗滑⼒ = 925.517(kN) 筋带的抗滑⼒ = 0.000(kN)。
圆弧滑动有限元土坡稳定分析
圆弧滑动有限元土坡稳定分析摘要：提出一种基于有限元应力变形计算的边坡稳定分析方法，仍假定滑动面形状为圆弧形，有限元网格由一组同心圆作为纬线，一组竖向线为经线构成。
对两相邻圆弧线所夹的弧形带分析滑动力和抗滑力，建立平衡方程，确定安全系数，其中小值安全系数对应的弧形带为可能的滑动带。
变化圆心位置用优选方法寻找最小安全系数对应的圆心，从而得出真正的滑动面。
算例分析表明，该方法计算所得安全系数与Bishop法接近，是合理的，其突出优点是由有限元计算直接得出滑面上的应力，而不须作近似的插值处理，因而应力更准确。
该方法可以考虑土的非线性变形特性，也更符合土的实际情况。
此外，用有限元计算得出位移，亦可将稳定分析和变形联系起来，为现场通过位移监测来估计边坡的稳定性提供了可能性，同时也为膨胀土边坡的稳定分析中考虑膨胀性的影响提供了可能性。
关键词：边坡稳定；有限元法；圆弧法；非线性中图分类号：TU 457文献标识码：AFinite element analysis of soil slope based oncircular slip surface assumptionAbstrct: A slope stability analysis method based on finite element analysis is developed. The slip surface is still assumed to be circular arc. The mesh of finite element consists of a family of circular arc lines and a family of vertical lines. The slip force and the resistance are analyzed for the arc belt which is between two neighbouring arc lines, and the equilibrium equation is set up. Then the factor of safety is determined. The arc belt corresponding to the smallest factor of safety is the possible slip belt. The position of circle center is changed and the circle center of real slip surface is seeked by the optimum seek method. For the real slip surface, the factor of safety is minimum. The computation examples show that the calculated factor of safety is quite close to that of Bishop’s method. And this shows that the proposed method is reasonable. The outstanding merit of the proposed method is that the stress state on slip surface can be obtained directly from finite element computation, and is more accurate. The method can reflect nonlinear deformation behavior of soil and is more close to the real situation. Besides, as one of the methods of slope stability analysis by finite element, the displacements are calculated. This offers the possibility to estimate the slope stability during construction by displacement monitor in situ. And it can also be used to analyze the slope of expansive soil in considering the influence of expansive deformation.Key words: slope stability; finite element method; circular arc method; nonlinear deformation1 引言边坡稳定分析方法一直是岩土工程中的重要研究课题。
渗流作用下土坡圆弧滑动有限元计算
的表面水压力转换为等价的体积力 , 换句话说 , 就是把 各结点的水头值换算成各单元渗透力。这样 , 就不需 要考虑各单元体接触边界上的孔隙水压力 , 而避免了 象一般条分法计算略去土条侧边水压力的误差 , 同时 也不需要考虑边坡的外水压力 , 从而简化了力的计算。
图 5 库水位以下取土浮容重时的孔隙水压力修正 Fig . 5 Rectification of pore water pressure when buoyant weight of soil below water level of reservoir is taken
毛昶熙, 李吉庆 , 段祥宝
( 南京水利科学研究院 水工研究所 , 江苏 南京 210029)
摘
要 : 分析了土坡滑动稳定性计算的条分法 及其存在问题 , 并提出了圆弧滑动的有限元法 , 以三角形单元 的渗透力 取代垂直条 块
周边的水压力 , 正确考虑了渗流方向及其力矩 的影响 , 不仅提高了计算精度 , 而且连续计算渗流与滑坡 , 使计 算过程简便迅速。 关键词 : 土坡稳定 ; 圆弧滑动 ; 垂直条分法 ; 有限元法 ; 渗透力 ; 边界水压力 中图分类号 :TV 641 文献标识码 : A 文章编号 : 1000- 4548( 2001) 06- 0746- 07 作者简介 : 毛昶熙 , 男 , 1918 年生 , 教授级高工 , 主要从事水工渗流研究。
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2. 1
滑坡计算的常规条分法及其存在问题
常用的条分法 关于将滑动体划分为垂直土条的计算方法 , 源于
瑞典圆弧法, 现以分析上游迎水坡的稳定性为例, 简要 介绍常用的方法。 在计算孔隙水压力情况下的坡面稳定性时 , 将渗 流流网图换算成等压线图比较方便 , 如图 1( a) 所示沿 用一般圆弧滑动试取滑动面 A B 分析其安全。每一垂 直土条所受 的作用力有 ( 图 1( b) ) : 土条的重 量 G ( 土粒和水 ) ; 底部滑动面上作用的法向力 N 与孔隙 水压力 U, N = ( - u) l , U = ul ; ! 沿滑动面作用的 切向力 T , T = ( N tan ∀+ c∀ l ) / , 为安全系数; # 土
渗流有限元分析理论2
h1 l
达西通过实验得出，圆筒内
的渗流量 Q 与渗流模型过水断面 面积 A 及水力坡度 J 成正比，与 Q，A h2
土壤的透水性能有关，即
h1 h2 Q Ak L
(2.8)
Q dh v k kJ A dS
(2.9)
式中：V—断面A上的平均流速，或称达西流速； J—渗透坡降，即沿流程S的水头损失率； k—渗透系数；
h x, y, z, t f x, y, z, t
1
t0 t0
(2.20)
h 流量边界： k q x, y, z, t n 2
(2.21)
不透水边界．我们认为是流量边界条件的特例，即
h 0 n
此外，还有以下定解条件：
h 混合边界： h t
有限元法对于单元应力应变的求解．只要单元位移确定，就可以利用几何方程和 物理方程就可以求单元的应力和应变。下面仍以平面四节点矩形单元为例推导单元刚
度矩阵。根据弹塑性力学中平面问题几何方程能得到单元里任何一点的应变表示式如
下：
x y Bi z
x e e y D D B S xy
（2.4）
式中[s]表示应力矩阵，[D]为弹性矩阼其表达式为
1 E D 1 2 0
vx v y vz h g n t x y z
（2.10）
式中，α—为多孔介质压缩系数；
β—为水的压缩系数；
ρ—为渗透水的密度； ρg(α+nβ) —为单位贮水量或贮存率; vx，vy，vz— 分别为渗流沿坐标轴方向的分速度。 假设水体和土体均为不可压缩的，则上述公式可转化为；
稳定渗流的有限元计算新方法
稳定渗流的有限元计算新方法
稳定渗流的有限元计算是地下水模拟中的重要问题之一。
传统的有限元计算方法在处理稳定渗流问题时往往存在数值不稳定性和精
度低下的问题。
为了解决这些问题，研究者们提出了一些新的有限元计算方法。
其中，基于稳定的低阶元素的有限元计算方法是目前广泛采用的一种方法。
该方法采用具有稳定性的低阶元素，如Mini元素、bubble 元素和Gauss点元素等，将数值稳定性和精度提高到了一个新的水平。
此外，该方法还通过使用增量式计算、时间步长控制和网格自适应等技术来进一步提高计算效率和精度。
另外，基于混合元素和间隙稳定化的有限元计算方法也是一种有效的稳定渗流计算方法。
该方法利用混合元素来处理渗流方程中的压力项和速度项，并通过间隙稳定化技术来控制数值不稳定性。
该方法不仅能够提高计算效率和精度，还能够处理非线性和非均质渗透性问题。
总之，稳定渗流的有限元计算是一个具有挑战性的问题，但随着新的计算方法的不断出现和发展，我们相信这个问题将会得到更好的解决。
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圆弧滑动计算方法[整理版]
承载能力极限状态1）根据JTJ250-98《港口工程地基规范》的5.3.2规定，土坡和地基的稳定性验算，其危险滑弧应满足以下承载能力极限状态设计表达式：/Sd Rk R M M γ≤式中：Sd M 、Rk M ——分别为作用于危险滑弧面上滑动力矩的设计值和抗滑力矩的标准值；R γ为抗力分项系数。
2）采用简单条分法验算边坡和地基稳定，其抗滑力矩标准值和滑动力矩设计值按下式计算：()cos tan ()sin Rk ki i ki i ki i ki Sd s ki i ki i M R C L q b W M R q b W αϕγα⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦∑∑∑ 式中：R ——滑弧半径（m ）；s γ——综合分项系数，取1.0；ki W ——永久作用为第i 土条的重力标准值（KN/m ），取均值，零压线以下用浮重度计算；ki q ——第i 土条顶面作用的可变作用的标准值（kPa ）；i b ——第i 土条宽度（m ）；i α——第i 土条滑弧中点切线与水平线的夹角（°）；ki ϕ、ki C ——分别为第i 土条滑动面上的内摩擦角（°）和粘聚力（kPa ）标准值，取均值；i L ——第i 土条对应弧长（m ）。
3）地基稳定性计算步骤（1） 确定可能的滑弧圆心范围。
通过边坡的中点作垂直线和法线，以坡面中点为圆心，分别以1/4坡长和5/4坡长为半径画同心圆，最危险滑弧圆心即在该4条线所包含的范围内。
（2） 作滑动滑弧。
选定某些滑动圆心，作圆与软弱层相切，则与防波堤及土层相交的圆弧即为滑弧。
（3） 进行条分。
对滑弧内的土层等进行条分，选择土条的宽度，并且对土条进行编号。
（4） 计算各个土条的自重力。
利用公式ki i i i W hb γ=计算各个土条的自重力。
（5） 计算滑弧中点切线与水平线的夹角。
作滑弧的中点切线，读出它与水平线之间的夹角，注意滑弧滑动的方向，确定夹角的正负。
（6） 确定土条内滑弧的内摩擦角与粘聚力。
土石坝渗流计算中的有限元应用研究
ＨＵＡ ｎ ＹＡＮＧ ａ ｓ ｕ Ｊ ｇ， ｉ Ｈｕ — ｈ
（．ｃｏｌｆＥ ｇｎｅｉ ， ｎｈ ｎｖｒ Ｍｅｇｉ １０ ０ Ｃ ｉ ； ．ｏｌ ｅ ｆ ｏ ｅ Ｅ ｇｎｅｉ ， ｕ ｍｎ ｎｖｒｉ ｃ ｎｅ １ ｈ ｏ ｏ ｎ ｉ ｒ ｇ Ｈｏｇ ｅＵ ｉ ｓ Ｓ ｅ ｎ ｅ ｎｚ ６ ０ ０， ｈｎ ２Ｃ ｌｇ Ｐ ｗ ｒ ｎ ｉ ｒ ｇ Ｋ ｎ ｉ Ｕ ｉ ｓｙｏ ｉ ｃ ， ａ ｅ ｏ ｅ ｎ ｇ ｅ ｔ ｆＳ ｅ
方 法 对 地 层 情 况 的 适 应 性 差 ， 过 多 的 地 层 概
化又 往 往 影 响计算 精 度 ， 因此 其应 用 受 到很
多 限制 。
渗 流 场 的模 型 试 验方 法 主 要有 砂 槽模 型 方法 和 电模 拟 方法 两 种 类 型 。 电模 拟 方 法又
收稿 日期 ：２ １－ －７ ０２０ ０ ２
ａ ｄ ｅｈ ｏ ｇ， ｕｍｉ ， ５０ １Ｃ ／ａ ｎ Ｔｃ ｎｌ ｙＫ ｎ ｎ ６０ ５， ｈ ） ｏ ｇ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ａ ｅ ｎ ｌｚ ｄ ｔｅｐ ｏ ｌｍｓｅ ｉ ｎｔ ｌｍｅ ｔ ｐ ｌ ｄ ｉ ａｃ ｌｔ ｎ ｆ ｈ ａ ｔ ａ ｓ ｅ ａ ｅ ｓ ｃ ｓｒ ｃ： ｈ ｓｐ ｐ ｒ ａｙ ｅ ｒ ｂ ｅ ｘ ｓ ｉ ｆ ｉ ｅｅ ｎ ｐ ｉ ｃ ｌ ａｉ ｓｏ ｅｅ ｒ ｄ ｍ ｅ ｐ ｇ ， ｕ ｈ ａ ｈ ｔｎｉ ｅ ａ ｅ ｎ ｕ ｏ ｔ ｈ
整体圆弧滑动法
无黏性土的土坡稳定-有渗流作用时的无粘性土土坡分析
Tf
JT N
G
稳定条件：Tf>T+J
K Tf T J
顺坡出流情况:
J w sin
K Tf G cos tan cos tan tan T J G sin J sin w sin sat tan
O
R
i
d
c
i A
da b
c
Pi+1Xi+1
Gi
Xi
Pi
b
a Ti Ni
li
条分法分析步骤I
C B
1.按比例绘出土坡剖面
2.任选一圆心O，确定滑动
面，将滑动面以上土体分成 几个等宽或不等宽土条
H
3.每个土条的受力分析
i
Ni li
1 li
Gi
cosi
i
Ti li
1 li
Gi
sin i
B
β1 β
B
4.5H
=0
>0
H 2H E
黏性土的土坡稳定-整体圆弧滑动法
稳定系数法
c
N s h
泰勒（Taylor,D.W，1937）用图表表达影响因素的相互关系:根据不同的 绘出 与Ns的关系曲线
①已知坡角及土的指标c、、，求稳定的坡高h ②已知坡高h及土的指标c、、，求稳定的坡角 ③已知坡角、坡高H及土的指标c、、，求稳定安全系数K
概述
天然土坡 人工土坡 滑坡 圆弧滑动法
坡顶
坡底
坡脚
坡角
坡高
土坡稳定分析问题
概述－天然土坡