抽样理论与方法：分层随机抽样
抽样调查方法
抽样调查方法抽样调查是社会科学研究中常用的一种数据收集方法，通过对样本进行调查和研究，来推断总体的特征和规律。
在实际调查中，选择合适的抽样方法对于研究结果的准确性和可靠性至关重要。
本文将介绍几种常见的抽样调查方法，并对它们的特点和适用范围进行简要分析。
一、简单随机抽样。
简单随机抽样是最基本的抽样方法之一，其特点是每个样本被选中的概率是相等的，且相互独立。
这种方法适用于总体中各个个体的特征分布均匀的情况，操作简单，且具有较好的代表性。
但是在总体分布不均匀或者样本容量较大时，可能会导致抽样误差较大，需要较大的样本容量来保证结果的可靠性。
二、分层抽样。
分层抽样是将总体按照某种特征分成若干层，然后在每一层中进行简单随机抽样，最后将各层的样本组合在一起，形成最终的样本。
这种抽样方法可以有效控制样本的代表性，保证各个层次的特征都能得到充分的反映。
但是在实际操作中，需要提前了解总体的分层情况，并对各层样本的比例进行合理的确定，操作相对复杂一些。
三、整群抽样。
整群抽样是将总体分成若干个群体，然后随机抽取其中的若干个群体作为样本。
这种方法在总体分布不均匀，且群体内部差异较大的情况下比较适用，可以减小抽样误差，提高调查效率。
但是需要注意的是，群体内部的差异也可能会影响样本的代表性，需要根据实际情况进行合理的选择。
四、系统抽样。
系统抽样是按照一定的规则从总体中选择样本，例如每隔若干个个体进行抽样。
这种方法操作简单，适用于总体有序排列的情况，且样本容量较大的情况下比较有效。
但是需要注意的是，如果总体的周期性规律与抽样规则相吻合，可能会导致样本的偏倚，需要进行合理的调整。
综上所述，不同的抽样调查方法各有特点，适用于不同的调查对象和研究目的。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的抽样方法，并结合其他调查技术和分析方法，以确保研究结果的准确性和可靠性。
同时，对于抽样调查过程中可能出现的偏倚和误差，也需要进行合理的控制和修正，以提高研究的科学性和实用性。
抽样技术-分层随机抽样概述
19
W1
N1 N
200 2850
0.07018
f1
n1 N1
10 200
0.05
1 n1
y1 n1 i1 y1i 39.5
s12
1 n1 1
n1 i 1
y1i y1 2 1624.722
同理，求得： y2 105
s22 2166.667
y3 165
2020/3/10
17
性质3：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：
V Yˆ
v Yˆ
L
N
2 h
v
yh
h1
L h1
N
2 h
1 fh nh
s
2 h
2020/3/10
18
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样 单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层 按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位： 元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及其 95%的置信区间。
Wh
Nh N 第 h 层的
层权
fh
nh Nh
第 h 层的
抽样比
Yh
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
第 h 层的
总体均值
yh
1 nh
nh i1 yhi
第 h 层的
样本均值
6
记号
Yh
yh
S
2 h
s h2
公式
Nh
Yhi NhYh
i 1
代表的含 义
第 h 层的
分层随机抽样的原理和应用
分层随机抽样的原理和应用1. 简介分层随机抽样是一种常用的抽样方法，它通过将总体划分为不同的层级，然后在每个层级中进行随机抽样，从而得到具有代表性的样本集合。
这种抽样方法可以有效减小抽样误差，提高样本的代表性，广泛应用于统计调查、市场调研、社会调查等领域。
2. 原理分层随机抽样的原理是将总体划分为若干个层级，使得同一层级内的个体相对相似，而不同层级之间的个体有一定差异。
在抽样时，首先从每个层级中随机选择一部分个体作为样本，然后合并这些样本得到最终的抽样结果。
分层随机抽样的具体步骤如下： 1. 将总体划分为若干个层级，可以按照地域、年龄、性别、收入等因素进行划分。
2. 确定每个层级的样本大小，样本大小可以根据层级的重要性和总体特征进行确定。
3. 在每个层级中进行随机抽样，可以使用随机数表、计算机程序或抽奖方式进行抽样。
4. 将每个层级的样本合并，得到最终的样本集合。
3. 应用分层随机抽样在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些应用示例：3.1 统计调查在进行统计调查时，人们通常希望从总体中抽取一部分样本，然后通过分析样本数据来推断总体的特征。
分层随机抽样可以保证样本的代表性，使得样本数据能够准确反映总体特征。
例如，政府机关在进行人口普查时，通常会将人口按照地域、年龄等因素进行划分，然后在每个层级中进行抽样调查。
3.2 市场调研在市场调研中，分层随机抽样可以帮助企业了解目标消费群体的特征和需求，从而制定相应的市场营销策略。
例如，一家公司想要了解某个地区不同年龄段消费者对某种产品的喜好程度，可以将该地区的消费者按照年龄划分为不同层级，然后在每个层级中进行抽样调研。
3.3 社会调查在社会调查中，分层随机抽样可以用来收集广泛的意见和观点，了解不同群体的态度和看法。
例如，一项社会调查想调查不同职业人群对某个社会问题的看法，可以将人群按照职业划分为不同层级，然后在每个层级中进行抽样调查。
4. 优缺点分层随机抽样的优点在于： - 提高样本的代表性，可以准确反映总体特征； -减小抽样误差，提高样本数据的可靠性； - 适用性广泛，可以应用于各种不同的调查和研究。
【抽样调查】分层随机抽样
【抽样调查】分层随机抽样第2部分：分层随机抽样⽬录概述分层随机抽样的思路：当N ,n 都较⼤，总体单元之间的差异也较⼤时，简单随机抽样会出现⾼成本、低精度情形，解决⽅法是将总体划分为若⼲个⼦总体、减少总体单元之间的差异。
假设在各个⼦总体内已经满⾜实施简单随机抽样的条件，则可以在各个⼦总体内独⽴地进⾏简单随机抽样，再将各个⼦总体参数的估计值进⾏加权，得到总体参数的估计。
分层抽样的概念：层：如果⼀个包含N 个单位的总体可以分成不重不漏的L 个⼦总体，即每个单元必定属于且仅属于⼀个⼦总体，则这样的⼦总体称为层。
有N 1+⋯+N L =N 。
分层抽样：在每⼀层中独⽴进⾏抽样，总的样本由各层样本组成，总体参数⼜按照各层样本参数的汇总作出估计。
有n 1+⋯+n L =n 。
分层随机抽样：每层的样本，都独⽴地按照简单随机抽样进⾏，这样的分层抽样称为分层随机抽样。
符号规定：h ：层。
从⽽N h 代表第h 层的单位总数，n h 代表第h 层的样本数。
i ：层内单位号。
从⽽Y hi 代表第h 层第i 个总体单元，y hi 代表第h 层第i 个样本单元。
W h ：层权，即W h =N h N 。
f h ：层内抽样⽐，即f h =n hN h 。
¯Yh,Y h,S 2h：层内总体参数（均值、总值与⽅差）。
¯y h ,y h ,s 2h：层内样本参数（样本均值、样本总值与样本⽅差）。
简单估计量分层抽样⾸先根据各层的样本，计算出各层均值¯Y h的适当估计值ˆ¯Y h ，然后再使⽤总体层权加权平均，得到总体均值¯Y 的估计，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ˆ¯Y h =1N L∑h =1N h ^¯Y h .对于分层随机抽样，每⼀层的ˆ¯Y h就是h 层的样本均值¯y h ，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ¯y h =1N L∑h =1N h ¯y h .注意这⾥的线性形式。
抽样技术-分层随机抽样概述
抽样技术-分层随机抽样概述介绍在实际调查和研究中，我们往往无法对所研究的总体进行全面调查，而需要通过抽样的方式来获取一局部样本数据。
而抽样技术是统计学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们从总体中选择样本，通过对样本进行分析和研究，得出对总体的结论。
分层随机抽样是抽样技术中的一种常用方法，它将总体按照一定的特征进行分组，然后从每个组中随机选择一局部样本进行调查。
这种方法可以提高样本的代表性，使得样本更能够反映总体的情况。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样包括以下几个步骤： 1. 第一步，确定抽样的总体。
需要明确需要研究的总体是什么，例如某个地区的人群、某家企业的员工等等。
2. 第二步，将总体进行分层。
根据需要研究的特征，将总体进行分组，例如按照性别、年龄、职业等特征进行分层。
3. 第三步，确定每层的样本大小。
根据实际情况和研究的要求，确定每个分层的样本大小，使得每个分层的样本能够充分反映该层的特征。
4. 第四步，进行随机抽样。
在每个分层中，通过随机抽样的方式选择样本。
常用的随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样等。
5. 第五步，收集数据并进行分析。
通过对样本进行调查和数据收集，得到研究所需的数据。
然后可以进行数据分析和统计，得出对总体的结论。
分层随机抽样的优势分层随机抽样相比于其他抽样方法，具有以下优势： 1. 提高样本的代表性。
通过将总体进行分层，可以保证每个分层中都有足够数量的样本，从而使得样本更能够代表总体的特征。
2. 控制误差。
由于每个分层中的样本都是随机选择的，因此可以在一定程度上控制抽样误差，提高调查结果的准确性和可信度。
3. 适用性广泛。
分层随机抽样可以适用于各种调查和研究场景，无论是人口统计学调查、市场调研还是医学研究等，都可以采用这种抽样方法。
分层随机抽样的局限性分层随机抽样虽然具有很多优势，但也存在一些局限性： 1. 难以应对动态总体。
如果总体的分层特征随着时间的推移发生变化，那么分层随机抽样可能无法准确反映总体的情况。
分层随机抽样
抽样均按简单随机抽样进行，求全市年 平均户收入的估计及其 90%的置信区间。
解： 计算层权： W1=N1/N=0.137, W2=N2/N=0.863。 (1) y st W1 y1 W2 y 2 0.137 15180 0.863 9856 10585.39
(2)求v( y st )
6 第 h 层抽样比为：
nh fh Nh
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值与总量的估计
（一）对总体均值与总量的估计 1 对一般分层抽样：
ˆ WY ˆ, Y hh st
h 1 L
ˆ Y ˆ Y st h
h 1
L
ˆ , 则： ˆ NY 如果每个Y h h h ˆ ˆ Y NY
s( y st ) v( y st ) 142.312 1 90%, 1.645 全市年户均收入Y 的90%的置信区间为 10585.39 1.645 142.312，即： [10351.29元， 10819.49元]
二、对总体比例（成数） 的估计
1 成数 P 或总数 A 的估计: 层比例 Ph=Ah/Nh , Qh=1－Ph 层样本比例 ph=ah/nh , qh=1－ph Ah 与 ah 是第 h 层总体及样本中具有 所研究特征的单元数。
st st
2 对一般的分层抽样：
ˆ 是Y 的无偏估计， 若Y h h ˆ (Y ˆ )也是Y (Y )的无偏估计： 则Y
st st
由于各层的抽样是相互独立的，因此： ˆ ) V( W Y ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y h h h st
h 1 h 1 L L
ˆ ) V (Y ˆ) V (Y st h
抽样技术分层随机抽样
抽样技术：分层随机抽样引言在数据分析中，抽样是一种常见的技术，用于从总体中选择一部分样本进行研究和分析。
抽样的目的是获得对总体的准确、可靠的估计，同时降低研究成本和时间。
然而，在实际应用中，总体往往是复杂多样的，包含不同属性或特征的子群体。
这时，分层随机抽样就是一种有效的抽样技术，可以提高抽样的精确性和代表性。
本文将介绍分层随机抽样的概念、步骤和应用。
什么是分层随机抽样?分层随机抽样是一种按照总体的分层结构进行抽样的方法。
总体根据某种特征或属性被划分为若干层，然后从每一层中随机选择一部分样本，构成最终的样本集。
这种抽样方法能够充分考虑总体内部的差异，保证样本对总体的代表性和准确性。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样一般包括以下几个步骤：步骤1：总体划分层首先，需要根据某种特征或属性将总体划分为若干层。
层与层之间应具有较大的差异，而层内部的差异应尽可能小。
步骤2：确定每层的样本量和抽样比例根据抽样的目标和总体的特点，可以确定每一层的样本量。
通常情况下，样本量应当足够大，以获得准确的统计结果。
同时，需要确定每一层的抽样比例，比例应考虑到层内部的差异和样本数量。
步骤3：随机抽样在每一层内，根据抽样比例，从层内随机选择样本。
随机抽样可以保证样本的无偏性和代表性。
步骤4：组成样本集将每一层内抽取的样本进行组合，形成最终的样本集。
样本集应能够反映总体的属性和特征。
分层随机抽样的优点相比于简单随机抽样和系统抽样，分层随机抽样具有以下优点：提高估计的精确性分层随机抽样可以将总体划分为若干个层，然后分别从每一层抽取样本。
这样做有助于充分考虑总体内部的差异，提高估计的精确性。
降低误差由于分层随机抽样将样本分布在不同层中，可以降低抽样误差和估计误差，从而提高研究结论的可靠性。
保证样本的代表性分层随机抽样能够从每一层中抽取样本，使样本更具代表性。
这样可以在不损失总体属性和特征的情况下，降低样本的偏差。
分层随机抽样的应用分层随机抽样在社会调查、市场研究、医学研究等领域有着广泛的应用。
分层随机抽样(优秀经典公开课课件)
若采用抽签法或随机数法会出现什么结果？
[提示] 抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性．
题吗？
为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问
[提示] 有．可分不同群体抽取．
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表．现从中抽取一个容量为 20
的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物
油类与果蔬类食品种数之和是( )
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
A．7
B．6
C．5
D．4
解析 由已知可得抽样比为：40＋102＋030＋20＝51， ∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10＋20)×51＝6. 答案 B
[规律方法]
分层随机抽样的步骤
[触类旁通] 2．一批产品中有一级品 100 个，二级品 60 个，三级品 40 个，用分层随机 抽样法从这批产品中抽取一个容量为 20 的样本．请利用分层随机抽样的方法抽 取，写出抽样过程．
解析 第一步，确定抽样比，因为 100＋60＋40＝200，所以22000＝110， 第二步，确定各层抽取的样本数，一级品： 100×110＝10，二级品：60×110＝6， 三级品：40×110＝4. 第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本． 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
[触类旁通] 1．(多选题)下列问题中，不适合用分层随机抽样抽取样本的是( ) A．从 10 名同学中抽取 3 人参加座谈会 B．某社区有 500 个家庭，其中高收入的家庭 125 个，中等收入的家庭 280 个，低收入的家庭 95 个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容 量为 100 的样本 C．从 1000 名工人中，抽取 100 名调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
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i 1 Nh Nh
第h层样本 y h y hi yh 1 y hi n h i1
i 1 nh nh
Nh nh 1 1 2 2 2 2 Sh （ Y Y ） s （ y y ） h h h N h 1 i1 hi n h 1 i1 hi
层 居民 户总 数 1 200 样本户奶制品年消费支出 1 10 2 40 3 0 4 110 5 15 6 10 7 40 8 80 9 90 10 0
2
3 4
400
750 1500
50
180 50
130
60
80
0 0
100
140 20
55
60 30
பைடு நூலகம்
160
85
160
300 30
170
220 25
260 110 35 15
4.2
简单估计量及其性质
对总体均值或总值的估计：
设总体分为 L层，以h表示层的编号， h1 ， 2， ，L
总体（N） N1， ，N L 样本（n） n1， ，n L
N
i 1 L
L
h
N n
n
i 1
h
N h / N Wh 层权
总体第h层有N h 个总体单元：Yh1， ，Yhi， ，YhNh 第h层样本有nh 个样本单元：y h1， ，y hi， ，y hnh
200 39.5 400 105 750 165 1500 24 209650 ˆ 的方差V( Y ˆ )的估计： ( 2)Y
2 1 fh 2 ˆ v( Y ) v( N y st ) N h s h 5.39 108 nh h 1 L
^
Y 的方差V( y st )的无偏估计： v( y st ) Wh
2 h 1 L
1 fh 2 sh nh
例3.２ 调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民 户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为４ 层，每层按简单随机抽样抽取１０户，调查数据如下， 估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。 样本户奶制品年消费支出
h1 h1
^
L
^
L
^
1 fh 2 y st的方差为V（y st） Wh V（y h） Wh Sh nh h 1 h 1
L 2 L 2
^
Y 的方差V( y st )的估计： v( y st ) Wh
2 h 1 L
1 fh 2 sh nh
且为V（y ）的无偏估计。
二、分层抽样的适用场合 不仅需要估计总体参数，也需要估计各层参数。 便于管理，按现成的地理分布或行政划分来分层。 希望样本中能包含各个部分，以增加代表性。 把一个内部差异很大的总体分成几个内部比较相似的 子总体（层）进行分层抽样，可以提高估计量的精度。 如果有极端值，也可以把它们分离出来形成一层。即 “层间方差大，层内方差小”。 三、进行分层抽样时，应注意的方面 层内抽样设计的选择。 分层变量的选择。 各层样本量的分配，样本总量的确定。 层数。 层的分界。
200 180 25 10
解：
2 y 1 39.5 s1 1624.722
y 2 105 各层样本均值及方差为： y 3 165 y 4 24
s2 2 2166.667 s2 3 8205.556 2 s4 193.333
ˆ Nh y h (1)Y
h 1
L
Y的置信度为1 的置信区间为： y st u1 s( y st ), y st u1 s( y st ) 2 2
2.总体总和Y的估计： ˆ Y ˆ h Nh Yh Nh y h Y
h 1 h 1 h 1 2 1 fh 2 ˆ ˆ 方差V（Y） V（Yh） N h V（y h） N h Sh nh h 1 h 1 h 1 L L 2 L L L ^ L
例4.1 总体由1000人组成，按以往的收入情况将总体分成 两层：第一层（高收入层），20人；第二层（低收入 层），980人。从第一层随机抽取2人，调查上月收入， 得数据（单位：元）1200及1600；从第二层随机抽取8人， 调查上月收入，得数据（单位：元）220、230、180、 320、400、340、280、360。估计这1000人上月平均收入。 解： ˆ1 Y ˆ 2 N1 y 1 N 2 y 2 Y ˆ Y W1 y 1 W2 y 2 N N 20 980 1400 291.25 313.43 1000 1000 对比：
1200 1600 220 360 y 513 10
一、分层抽样中，
若对任一层，假设为第h层，都有 Y h N Y h ， Y Yh
h 1 L
ˆ ˆ Y ˆ h Nh Y (1)Y h
h 1 h 1
L
L
ˆ） ˆ ） V（Y ˆ h） N h 2 V（Y 方差V（Y h
h 1 h 1
L
L
ˆ ( 2) Y st
ˆ Y
h 1
L
h
N
L Nh ˆ ˆ Yh Wh Y h N h 1 h 1 L
L
ˆ ） W 2 V( Y 方差V（Y h ˆh) st
h 1
^
分层随机抽样, 则 Y h 的简单估计为y h
1.Y的无偏简单估计Yst 为：y st Wh Yh Wh y h , Yst 记为y st
分层随机抽样
4.1
概述
一、分层抽样（stratified sampling)、分层随机抽样 (stratified random sampling) 分层抽样：将容量为N的总体分成L个不相重叠的子总 体，子总体的大小分别为N1、 N2、… NL，皆已知，且
N
i 1
L
h
N
则每个子总体就称为层。从每层中独立地进行抽样， 这样的抽样方法称为分层抽样。 分层随机抽样：在分层抽样中，如果每层中的抽样都 是简单随机抽样，则这样的分层抽样称为分层随机抽 样。