最新高二下学期第三次月考数学(理)试卷

一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)

1.已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(R B)∩A＝( )

A. {x|－2≤x<1}

B. {x|－2≤x≤2}

C. {x|1

D. {x|x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】

先解一元二次不等式得集合A,再求函数定义域得集合B,最后根据集合补集以及交集定义求结

果.

【详解】集合A＝{x|12}，

则(?R B)∩A＝{x|1

【点睛】集合的基本运算的关注点

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的

前提．

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

2.设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据纯虚数概念判断充要关系.

【详解】当a＝0，且b＝0时，a＋b i不是纯虚数；若a＋b i是纯虚数，则a＝0.

故“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件.

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“?”

为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用?与非?非，?与非?非，?与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若?，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

3.已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为( )

A. [，＋∞)

B. [，2)

C. (，3)

D. [，2)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据抽象函数定义域求法以及对数真数大于零、分母不为零、偶次根式下被开方数非负列方程组，解得定义域.

【详解】由题意得．选D.

【点睛】求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.

4.下列命题中，假命题为( )

A. 存在四边相等的四边形不是正方形

B. z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数

C. 若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1

D. 对于任意n∈N＋，都是偶数

【答案】B

【解析】

【分析】

举空间四边形可得A为真，举反例可得B为假，利用反证法可得C为真，根据二项式系数性质可得D为真.

【详解】空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A为真命题；令z1＝1＋b i，z2＝3－b i(b∈R)，显然z1＋z2＝4∈R，但z1，z2不互为共轭复数，B为假命题；假设x，y都不大于1，则x＋y>2不成立，故与题设条件“x＋y>2”矛盾，假设不成立，故C为真命题；C＋C＋…＋C＝2n为偶数，故D为真命题．排除A，C，D，应选B.

【点睛】判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明成立；

要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.

5.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )

A. 0.954

B. 0.628

C. 0.477

D. 0.977

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正态分布性质可得P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)，代入即得结果.

【详解】若ξ～N(μ，σ2)，则μ为其均值，图象关于x＝μ对称，σ为其标准差．

∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023，

故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.954.故选A.

【点睛】正态分布下两类常见的概率计算

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.

(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.

6.有如下几个结论：①相关指数R2越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好；②回归直线方程：，一定过样本点的中心：③残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；④在独立性检验中，若公式，中的|ad-bc|的值越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越强．其中正确结论的个数有（）个．

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相关指数定义、残差平方和含义可得①为真，根据回归直线方程特征可得②为真，根据

残差点含义可得③为真，根据卡方含义可得④为真.

【详解】相关指数R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好；

回归直线方程：，一定过点；

若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则选用的模型比较合适；

在独立性检验中，若公式，中的|ad-bc|的值越大，则越大，“两个分类变量有关系”的可能性越强．选D.

【点睛】相关指数R2越大，残差平方和越小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域，则模型的拟合效果越好；在独立性检验中，若回归直线方程：

，一定过点.

7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析：因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，所以在上单调递减，,解得,故选C.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数单调性的性质.

8.由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

略在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，

由解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），

利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:

故答案为A.

9.已知的展开式中含的项的系数为，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析：根据所给二项式可得，展开式的通项为

，展开式中含的项的系数为，所以，所以，所以，解得，故选C.

考点：二项式定理的应用.

10.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( )

A. 96

B. 114

C. 128

D. 136

【答案】B

【解析】

【分析】

先确定分配名额，再对应学校，最后根据分步计数原理求结果.

【详解】不同的名额分配方法为（1，2，15），（1，3，14），…,（1，8，9）；（2，3，13），（2，4，12），…,（2，7，9）；…,(5,6,7)，共种方法，再对应分配给学校有,选B.

【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

11.已知命题p“”，若命题P为假，则a的取值范围为（）

A. R

B. (-，-2）

C. （-，-2]

D. （-，-1]U[2,+)

【答案】A

【解析】

【分析】

先求命题p为真时a的取值范围，再求补集得结果.

【详解】若命题p为真，则，

因此若命题P为假，则a的取值范围为R，选A.

【点睛】求为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果.

12.若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

解：不等式即：恒成立，

令，则，

结合函数的定义域和单调性可知：；

令，则，

在区间上，有：，

且的函数值恒正，

据此绘制函数的大致图象，数形结合可得：实数的取值范围是 .

本题选择B选项.

点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单

调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的

定义：作差、变形，由的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒

成立问题．

二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)

13.已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a，则的值为________．

【答案】2

【解析】

，则，解得，所以．

14.已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

【答案】8

【解析】

试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为

；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可

令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符

合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得. 考点：导函数的运用.

【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．

视频

15.已知，则f(x)的解析式为____________.

【答案】f(x)＝

【解析】

试题分析：令，解得代入，得

故．

考点：函数的表示方法．

【方法点睛】本题考点是函数的表示方法——解析式法，求解析式的方法是换元法求解析式，此特征为先令内层函数为，再用表示出，然后代入原函数求出函数的解析式，换元法求解析式常用来求已知复合函数的表达式求外层函数表达式的题．

16.已知a>1，函数f(x)＝，g(x)＝x＋＋4，若x1∈[1，3]，x2∈[0，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的取值为__________.

【答案】a=17

【解析】

【分析】

先分别求函数f(x)，g(x)值域，再根据两值域之间包含关系列不等式，解得a的值.

【详解】f(x)＝＝a＋.因为a>1，所以f(x)在[1，3]上是增函数，所以函数

f(x)的值域为[(a＋1)，(3a＋1)]．由g(x)＝(x＋1)＋＋3≥2＋3＝9，

当且仅当(x＋1)＝，即x＝2∈[0，3]时，取等号，即g(x)的最小值为9.

又g(0)＝13，g(3)＝，

所以g(x)的最大值为13.

所以函数g(x)的值域为[9，13]．

由题意知，[9，13]，

即解得a＝17.

因为a>1，所以a＝17符合．

【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即

的值域包含于的值域；的值域与

的值域交集非空。

三、解答题(共7小题,共80分)

17.已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．

(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

【答案】（1）{a|－3≤a≤5} （2）0

【解析】

试题分析：（1）由数轴可知实数a的取值范围，注意数形结合在集合运算中应用（2）一个

充分但不必要条件，从集合角度理解就是取充要条件的一个真子集，本题答案有无数个，例

如a＝0是M∩P＝{x|5

试题解析：（1）由M∩P＝{x|5

－3≤a≤5；

（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

考点：集合运算，充要关系

18.已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求：

(1) 展开式中二项式系数最大的项；

(2) 展开式中系数最大的项．（结果可以以组合数形式表示）

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）先根据末三项的二项式系数的和等于121，求n，再根据二项式系数性质求最大项，（2）根据二项式展开式通项公式得项系数，再根据相邻项关系列不等式组，解得系数最大的项的项数，最后根据二项式展开式通项公式得项.

【详解】(1) 由已知得＝120，则n(n－1)＋(n－1)＋1＝120，即n2＋n －240＝0，解得n＝15，所以，展开式中二项式系数最大的项是T8＝(3x)7和T9＝(3x)8．

(2)Tr＋1＝(3x)r，设≤1，则≤1，即≤0，解得r≤12，同理，由≥1解得r≥11，所以展开式中系数最大的项对应的r＝11、

12，即展开式中系数最大的项是T12＝(3x)11和T13＝(3x)12．

【点睛】二项式系数最大项的确定方法

①如果是偶数，则中间一项(第项)的二项式系数最大；

②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.

19.用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？

(1)比21034大的偶数；

(2)左起第二、四位是奇数的偶数．

【答案】（1）30（2）39（3）8

【解析】

试题分析：（1）合理分类或分步，做到不重不漏；

（2）正难则反，注意间接法的应用．

试题解析：

(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；

当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有C A＝12个五位数；

当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有C A＝12个五位数；

当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；

当末位数字是4，而首位数字是3时，有A＝6个五位数；

故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．

(2)可分为两类：末位数是0，个数有A·A＝4；末位数是2或4，个数有A·C＝4；

故共有A·A＋A·C＝8个满足条件的五位数．

20.2017年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立68周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是.

(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；

(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列和均值．【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）先根据条件求北京大学志愿者人数，再根据古典概型概率公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.

【详解】(1)记“至少有1名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x名，1≤x<6，那么P(A)＝1－＝，解得x＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．

记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B，则P(B)＝＝，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是.

(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n

＝2，于是

P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2，

∴P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝.

所以ξ的分布列为

E(ξ)=2/3

【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.

21.函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x+1)＋f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答案】（1）0（2）偶函数（3）{x|－≤x<－或－

【解析】

【分析】

（1）利用赋值法求结果，（2）利用赋值法，结合奇偶性定义进行证明，（3）根据赋值法得f(16×4)＝3，再利用单调性化简不等式为0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64,最后解不等式得结果.

【详解】(1)令x1＝x2＝1，

有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数，证明如下：

令x1＝x2＝－1，

有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.

由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，

变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.

解得－≤x<－或－

∴x的取值范围是{x|－≤x<－或－

【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

22.设函数f(x)＝ (a∈R)．

(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线

方程；

(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．

【答案】（1）3x－e y＝0（2）

【解析】

【分析】

（1）先根据极值定义得a的值，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先求导数，解得导函数零点，根据条件得零点与3的关系，解分式不等式得a的取值范围．

【详解】解(1)对f(x)求导得

f′(x)＝

＝，

因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.

当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝ (x－1)，化简得3x－e y＝0.

(2)由(1)知f′(x)＝.

令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，

由g(x)＝0解得x1＝，

x2＝.

当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；

当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；

当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．

由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－，

故a的取值范围为.

【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.