(八年级数学教案)角的平分线
角的平分线
八年级数学教案
知识结构
重点与难点分析：
本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理
和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。
本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的
区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，
所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证
明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没
有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。
教法建议：
整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手
段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生
直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：
（1）做好铺垫
新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在
平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线
的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的
学习
奠定了图形基础。
（2）主动获取
利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条
件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同
学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做
指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此
定理。
（3）激荡思维
在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论
得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到
是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理
的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆
命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。
（4）推向深入
进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定
理证明有关问题。教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。同
时让学生总结积累证明线段相等、角相等的常见方法。
教学目标
：
1、知识目标：
（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；
（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；
（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.
2、能力目标：
（1）通过“判断题”的练习，提高学生的辨析能力；
（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.
3、情感目标：
（1）通过自主
学习
的发展体验获取
数学
知识的感受；
（2）通过知识的纵横迁移感受
数学
的辩证特征。
教学重点
：角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。
教学难点
：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的
逆命题。。
教学用具：直尺，微机
教学方法：谈话法
教学过程
：
1、新课引入
投影显示
问题：（1）画一个角的平分线；
（2）在这条平分线上任取一点P，标出P点到角两边的距离。
（3）说出这两段距离的关系并证明。
2、定理的获得
让学生用文字语言叙述出定理的内容
角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。
强调说明：
（1）、定理的条件及结论的符号表示；
（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有角的平分线，
关键是图中是否有“垂直”。
3、运用逆向思维，导出定理的逆定理
问题：将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内
容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论用文字叙述内容，老师
作必要的提示。
逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
强调：a逆定理的作用：证明角相等
b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只
要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映
了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线
上，而绝不会漏掉一个。实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明
角相等（角平分线）
4、原命题与逆命题
a、概念
b、写出互逆命题的关键。
c、原使命与逆使命的真假性并无一定的依存关系。
5、定理的应用(投影四个例题)
例1、
已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
学生先分析，教师巡视并适当点拨。
投影显示学生的证明过程，师生共同纠正补充完善。
投影规范的书写格式:
（见书中例题）
此题设想：（1）语言要规范。例“过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、
BC、CA，垂足为D、E、F”这一段话一定要在证明中写出。
（2）几何证明中，常见“同理”二字，讲清“同理”适用的条件以免以后乱
用。
例2
、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.
求证：P在∠A的平分线上
证明：（略）
设想：（1）证明“点在线上”这类问题的解决方法
（2）“一般解题方法”的运用
（3）投影显示学生的书写步骤，检查学生
数学
语言是否规范。
例3
、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）对顶角相等；
（3）如果
，那么
；
（4）直角三角形的两个锐角互余.
例4
、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点
求证：∠BDP＝∠CDP
证明：（略）
设想：一般解题方法的教学。
6、课堂小结：教师引导学生总结
(1)角平分线的性质定理及逆定理；
(2)二定理的关系；
(3)一般解题方法
让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行
建构。
5、布置作业：
(a)书面作业P80＃9
(b)思考题：
(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.
求证：∠A+∠C＝
（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。
板书设计
：
探究活动
如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相
等，并且与两路交叉处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理
由（比例尺1：10000）。
提示：解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为
数学
问题，然后用
数学
知识解决。
解：把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交角的平分线，在角的平
分线上，从顶点量出表示实际400米长的线段便可确定学校的位置。表示实际
400米长的线段为：0.04米＝4cm
《角的平分线》教案 (同课异构)冀教版
角平分线教学目标(一)教学知识点1．证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．2．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．(二)能力训练要求1．进一步开展学生的推理证明意识和能力．2．培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．3．提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．(三)情感与价值观要求1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点1．三角形三个内角的平分线的性质．2．综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．教学难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．教学方法活动探究法教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ．设置情境问题，搭建探究平台问题1 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示尺规作图过程)．[生]三角形的三个内角的角平分线交于一点．[生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等．[师]你还可以用什么方法说明上述结论呢？[生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点．[师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢？可以类比我们学过的知识解决吗？[生]可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明．我们在证此结论时，先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上．[师]很好！下面我们就来证明：三角形三条角平分线相交于一点．Ⅱ．展示思维过程，构建探究平台[师生共析]：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE＝PF．∴PD＝PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．[师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢？[生]还证明了PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．[师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等[师]下面我们来看问题2(多媒体演示)如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可选择的地址有几处？[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．[师]你如何发现的？[生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．[生]我找到四处．(同学们很吃惊)[师]你是如何找到的？[生]除了刚刚同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如以以下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2；∠BAC、∠CBA的外角的角平分线的交点P3．因此满足条件的点共4个，分别是P、P1、P2、P3．Ⅲ．例题讲解多媒体演示[例1]如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD．分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC＝CD＋DB，CD＝4cm，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE＝CD＝4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB＝AC＋CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB＝AE＋BE，所以需证AC＝AE，CD＝BE．(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C ＝90°，DE ⊥AB ．∴DE ＝CD ＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵AC ＝BC ．∴∠B ＝∠BAC (等边对等角)． ∵∠C ＝90°， ∴∠B ＝21×90°＝45°． ∴∠BDE ＝90°－45°＝45°． ∴BE ＝DE (等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中BD ＝22DE ＝24cm(勾股定理)， ∴AC ＝BC ＝CD ＋BD ＝(4＋24)cm ． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt △ACD ≌Rt △AED (HL 定理) ∴AC ＝AE ． ∵BE ＝DE ＝CD ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋CD ．[例2]：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：(1)OC ＝OD ； (2)OP 是CD 的垂直平分线．证明：(1)∵P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴PC ＝PD (角平分线上的点到角两边的距离相等)． 在Rt △OPC 和Rt △OPD 中，OP＝OP，PC＝PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．∴OC＝OD(全等三角形对应边相等)．(2)又OP是∠AOB的角平分线，∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一〞定理)．思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？Ⅳ．课时小结本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．Ⅴ．课后作业习题1．9第1、2题Ⅵ．活动与探究如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC 平行的直线分别交AB、AC于D、E．△ABC的周长为2021年，BC的边长为704，求△ADE的周长．[过程]求△ADE的周长，即需求出AD＋DE＋AE的和，根据题意，要整体转化方可求出．首先O是△ABC中∠BAC和∠ABC的角平分线的交点，那么O 必在∠ACB的角平分线上，即OC平分∠ACB．而DE∥BC，恰好能构造出等腰三角形ODB和等腰三角形OEC，那么DB＝OD，EC＝OE，那么AD＋DE＋AE ＝(AD＋DB)＋(CE＋AE)＝AB＋AC．此题便可获解．[结果]连接OC．∵O是∠ABC和∠BAC角平分线的交点，∴OC平分∠ACB(三角形三条角平分线交于一点)．∴∠OCE＝∠OCB．又∵DE∥BC，∴∠EOC＝∠OCB(两直线平行，内错角相等)．∴∠OCE＝∠EOC∴OE＝EC(等角对等边)．同理可证OD＝DB．∴△ADE的周长为AD＋DO＋OE＋AE＝AD＋DB＋EC＋AE＝AB＋AC＝2021年－704＝1300．板书设计§1．4．2 角平分线(二)1．定理三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．2．[例]在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE ⊥AB，垂足为E．(1)CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD．分析：(略)解：(略)§27.3 过三点的圆一、课题§27.3 过三点的圆二、教学目标1.经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程.2.. 知道过不在同一条直线上的三个点画圆的方法3.了解三角形的外接圆和外心.三、教学重点和难点重点：经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程.难点：知道过不在同一条直线上的三个点画圆的方法.四、教学手段现代课堂教学手段五、教学方法学生自己探索六、教学过程设计〔一〕、新授A画圆，并考虑这样的圆有多少个？A、B画圆，并考虑这样的圆有多少个？A、B、C画圆，并考虑这样的圆有多少个？让学生以小组为单位，进行探索、思考、交流后，小组选派代表向全班学生展示本小组的探索成果，在展示后，接受其他学生的质疑.得出结论：过一点可以画无数个圆；过两点也可以画无数个圆；这些圆的圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上；经过不在同一直线上的三个点可以画一个圆，并且这样的圆只有一个.不在同一直线上的三个点确定一个圆.给出三角形外接圆的概念：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心.例：画三角形的外接圆.让学生探索课本第15页习题1.一起探究八年级〔一〕班的学生为老区的小朋友捐款500元，准备为他们购置甲、乙两种图书共12套.甲种图书每套45元，乙种图书每套40元.这些钱最多能买甲种图书多少套？分析：带着学生完成课本第13页的表格，并完成2、3 问题，使学生清楚通过列表可以更好的分析题目，对于情景较为复杂的问题情景可采用这种分析方法解题.另外通过此题，使学生认识到：在应不等式解决实际问题时，当求出不等式的解集后，还要根据问题的实际意义确定问题的解.〔二〕、小结七、练习设计P15习题2、3八、教学后记后备练习：1.一个三角形的三边长分别是，那么这个三角形的外接圆面积等于．2. 如图，有A，，Ｃ三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，那么超市应建在〔〕A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处C。
八年级数学上册《三角形的高中线和角平分线》教案、教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解和掌握三角形高、中线和角平分线的定义及其性质，能够准确识别和运用这些概念解决相关问题。
-重难点：三角形高、中线和角平分线性质的深入理解和应用。
八年级数学上册《三角形的高中线和角平分线》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解三角形的高、中线和角平分线的定义，能够准确地识别和画出这些重要线段。
-掌握在三角形中，从一个顶点向对边作垂线，这条垂线与对边的交点与顶点之间的线段称为三角形的高。
-理解中线是连接三角形一个顶点与对边中点的线段，且三角形有三条中线。
（四）课堂练习
在这一环节中，教师将设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
1.基础练习：设计一些基础题，让学生运用三角形高、中线和角平分线的性质解决问题，巩固基本概念。
2.提高练习：设计一些具有一定难度的题目，让学生在解决问题的过程中，提高逻辑推理和证明能力。
3.实际应用：结合生活情境，设计实际问题，让学生运用所学知识解决，体会数学的应用价值。
2.实践操作，深化理解：
-提供丰富的实践材料，如三角板、量角器、直尺等，让学生在操作中探索三角形高、中线和角平分线的性质。
-鼓励学生通过画图、测量、折叠等手段，亲身体验和验证几何定理。
3.分层教学，因材施教：
-根据学生的认知水平和能力差异，设计不同难度的教学活动，让每个学生都能在原有基础上得到提高。
-推荐相关阅读材料，拓宽学生的知识视野，激发他们对数学的热爱。
四、教学内容与过程
12.3《角平分线的判定》教学设计
《角平分线的判定》教学设计丰台八中王晓颖一、教材分析（一）、教材内容的地位和作用《角平分线的判定》选自北京市义务教育课程改革实验教材八年级数学（上）第十三章，是我个人根据学生的知识基础较差、认知能力不强以及思维品质不够活跃等实际情况而在教学中加以补充的一节课。
代数学作为一门学科，它的课题首要的就是研究用字母表示式子的变形规则和解方程的方法。
因此，本节课既是算术知识的延续，又为后面知识的学习起着导航作用，即：对于代数我们研究什么？如何研究？（二）、教学目标根据新《课标》要求和上述教材分析，结合学生的情况，我制定了以下教学目标：知识、能力目标：了解代数式的值的概念，知道代数式求值的书写格式，能区分易混淆语言，清楚代数式求值过程中易出错的地方，会解决简单的问题，并在此基础上应用变式训练进行拔高。
情感目标：使学生明白数学来源于生活，学习数学是为了解决实际问题，，培养学生科学的学习态度，同时通过多媒体演示激发学生探究数学问题的兴趣。
（三）、教学重点、难点教学重点：掌握角平分线的判定定理。
教学难点：角平分线判定定理的灵活应用。
二：教法、学法分析本节课涉及的知识点不多，根据课标要求，学生只需探索并证明角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
所以本节课主要有两个主要内容一个是角平分线判定定理的探索和证明，另一个就是角平分线判定定理的应用。
教师通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。
而学生在教师的鼓励引导下小结方法，克服思维定势，增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。
（一）复习引入 1.如图，若OP 平分∠AOB,PC ⊥OA,PD ⊥OB,垂足分别是C,D ，则下列结论错误的是（ ）（A ）PC=PD (B)OC=OD (B) OC=OD (D)OC=PC分析：此题让学生独立完成，说明理由，并板书：PD=PC （角平分线上的点到角两边距离相等）（二）探索交流，获得新知思考：点P 是∠AOB 中一点，PC ⊥OA 于C,PD ⊥OB 与D ，且PC=PD.点P 在什么位置上？能证明你的猜想吗？ 猜想：点P 在角平分线上.已知：点P 为错误!未找到引用源。
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时 角平分线》教学设计
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教学设计一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一节内容是北师大版八年级下册数学的重要知识点。
本节课主要介绍了角平分线的定义、性质以及作法。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，进而学会如何作一个角的平分线。
这部分内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和空间想象能力具有重要意义。
二. 学情分析在八年级下册的学生已经学习了基本的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于角平分线的概念和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要教师通过生动的实例和形象的图示，帮助学生理解和掌握角平分线的性质。
同时，学生需要通过动手操作，提高自己的实践能力，将理论知识应用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会用直尺和圆规作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到成功的喜悦。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.难点：角平分线的性质证明和作法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例和形象的图示，引导学生理解和掌握角平分线的性质。
2.实践操作法：让学生动手操作，提高实践能力，将理论知识应用到实际问题中。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、直尺、圆规、三角板等教学用品。
2.学生准备：笔记本、文具、几何模型等学习用品。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活中的实例引入角平分线的概念，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一个农业生产中的问题：如何将一个角的农田分成两个面积相等的部分？引导学生思考和讨论。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的定义和性质，让学生直观地理解角平分线。
北师大版八年级数学下册《角平分线(第2课时)》精品教案
《角平分线》精品教案操作：作出下面每个三角形的三条角平分线.锐角三角形直角三角形钝角三角形答案：锐角三角形直角三角形钝角三角形追问：你发现了什么？答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.已知：如图，在△ABC 中，角平分线BM 与角平分线CN 相交于点P ，过点P 分别作AB ，BC ，AC ，的垂线，垂足分别为D ，E ，F .求证：∠A 的平分线经过点P ，且PD ＝PE ＝PF .证明：∵BM 是△ABC 的角平分线,点P 在BM 上,且PD 丄AB ,PE 丄BC ,∴PD ＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE ＝PF ．∴PD ＝PE ＝PF .∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边学生动手画图，并认真观察所画图形，得出猜想.学生在老师的引导下进行证明.直观体会三角形三条角平分线交于一点的这一性质.证明三角形三条角平分线的性质.距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P .归纳：定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.几何语言：在△ABC 中，∵a ，b ，c 分别是BC ，AC ，AB 的垂直平分线，∴a ，b ，c 相交于点P ，且PA =PB =PC .指出：这是一个证明三条直线交于一点的又一种证明依据.练习1：在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的()A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．以上均不对答案：B例1：如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE 丄AB 垂足为E ,(1)已知CD ＝4cm ，求AC 的长；(2)求证：AB ＝AC ＋CD .（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC 丄AC ，DE 丄AB 垂足为E ，∴DE ＝CD ＝4cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).学生归纳三角形三条角平分线的性质，并尝试转化为几何符号语言.学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.学生在老师的引导下完成例题的学习.归纳三角形三条角平分线的性质，并掌握几何符号语言的表达形式.应用三角形三条角平分线的性质解决实际问题.进一步提高角平分线性质定理的应用.△CAO＝______________.答案：4:5:6归纳：三角形三条内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形连接CO ，并延长交AB 于点F ，则CF 即为∠ACB 的平分线.三角形的三条角平分线交于一点2．如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于O ，下列结论正确的是()A ．∠1>∠2B ．∠1＝∠2C ．∠1<∠2D ．不能确定∠1与∠2的大小关系答案：B3．如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点P 恰好在BC 边的高AD 上，则△ABC 一定是()A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：C拓展提高如图，BP ，CP 分别是△ABC 的外角平分线，且相交于点P .求证：点P 在∠BAC 的平分线上．证明：过点P 分别作PE ⊥AB 于点E ,PF ⊥AC 于点F ,PG在师的引导下完成问题.提高学生对知识的应用能力∵BP，CP分别是△∴PE＝PG，PG＝PF ∴PE＝PF.答案：2作业布置基础作业教材第32页习题1.10第1、2、3题能力作业教材第32页习题1.10第4题学生课下独立完成.检测课上学习效果.。
角平分线的性质教案
八年级上册数学教案角平分线的性质教案一、教学目标知识与技能1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．过程与方法1.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.情感态度与价值观1. 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；2.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
二、教学重点1、利用尺规作图作已知角的平分线。
2、角平分线的性质定理及其应用。
教学难点1、根据角的平分仪器提炼出角的尺规画法。
；2、角的平分线的性质的探究。
三、教学教法：问题情景——建立模型——解释、应用与拓展——体验成功四、教学准备：一张矩形纸片，自制作的角平分仪器，多媒体课件，学生准备尺规作图工具五、教学设计流程安排：活动 1 折纸法确定角的平分线方法：体验角平分线的简易作法，为下一部设置问题墙。
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.活动 2 探究与实验：通过探究与实验，掌握如何将一个不能折叠的角平分如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？C如图，是一个平分角仪的仪器，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE活动3 探索作已知角的平分线的方法：掌握角的平分线的做法根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C（3）作射线OC，射线OC即为所求活动4 探究角的平分线的性质：从折纸的过程探究角平分线的性质，在动手操作的过程中培养学生的几何直觉。
角的平分线的性质教案
角的平分线的性质教案1一、教学目标【知识与技能】了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。
【过程与方法】在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
【情感态度与价值观】在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣、有合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,获得解决问题的成功体验。
二、教学重难点【重点】角的平分线的性质的证明及应用。
【难点】角的平分线的性质的探究。
三、教学过程(一)导入新课1.复习角平分线的画法2.利用PPT创设情景：如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗?(二)生成新知探究做一做(学生独立完成，同组同学交流，找学生到黑板上板演.教师纠正答案)如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?试着证明你的结论.0011.jpg∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE.(三)深化新知思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?(由学生讨论汇报)(四)应用新知1.例题：解决导入中PPT的问题2.练一练：(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中PD=PE.0012.jpg(五)小结作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?作业：必做题，选做题，思考题：角平分线性质的逆命题并证明。
角的平分线的性质教案2一、教学目标【知识与技能】进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
【过程与方法】通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
12.3 角的平分线的性质(1) 人教版八年级数学上学期教案
放在角的顶点，ADBA（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.【三】巩固练习已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．拓展延伸，巩固强化知识。
【五】布置作业1.课本练习2.同步练习对应习题OCN别为点D、E.∴ PD=PE二次备课。
人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案
12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。
角的平分线的性质教案
角的平分线的性质教案教案：角的平分线的性质一、教学内容本节课的教学内容来自初中数学教材第四章“几何图形”的第二节“角的平分线”。
本节课主要讲解角的平分线的性质，包括：1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 角的平分线与角的对边相交，交点将对边分为两段，这两段长度相等。
二、教学目标1. 让学生理解角的平分线的性质，并能运用性质解决问题；2. 培养学生的观察能力、推理能力和动手能力；3. 培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
三、教学难点与重点1. 教学难点：角的平分线性质的理解和运用；2. 教学重点：角的平分线性质的推导和证明。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、直尺、圆规；2. 学具：练习本、直尺、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生拿出三角板，观察并描述三角板上的角的平分线。
2. 讲解角的平分线的定义：角的平分线是将一个角平分成两个相等角的线段。
3. 推导角的平分线性质：通过画图和逻辑推理，引导学生发现角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
4. 证明角的平分线性质：运用几何知识，引导学生证明角的平分线与角的对边相交，交点将对边分为两段，这两段长度相等。
5. 例题讲解：运用角的平分线性质解决实际问题，如：在三角形中，如何找到一个角的平分线。
6. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固角的平分线性质的理解。
7. 作业布置：布置练习题，要求学生回家后练习，巩固所学知识。
六、板书设计角的平分线的性质：1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 角的平分线与角的对边相交，交点将对边分为两段，这两段长度相等。
七、作业设计1. 题目：已知直角三角形ABC，∠C为直角，AB为斜边，求证：CD是∠ABC的平分线。
答案：略2. 题目：在三角形ABC中，AB=AC，求证：∠BAD是∠BAC的平分线。
答案：略八、课后反思及拓展延伸本节课通过角的平分线的性质的学习，让学生掌握了角的平分线的基本性质，并能运用性质解决实际问题。