高中数学竞赛标准教材(共18讲)

第一章 集合与简易逻辑

一、基础知识

定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且

定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或

定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合

},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞

定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：

（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；

（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =

【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈

（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有

.)(111B C A C B A C ⊆

定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。

定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。

二、方法与例题

1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1 设},,{2

2Z y x y x a a M ∈-==，求证：

（1）)(,12Z k M k ∈∈-；

（2）)(,24Z k M k ∈∈-；

（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈

[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-

（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-

（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=

22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(

（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）。

2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B 。

例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足

B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）。

【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；

再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则

B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈。所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =

3．分类讨论思想的应用。

例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若

C C A A B A == ,，求.,m a

【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，

因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3。 因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m

综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m 。

4．计数原理的应用。

例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数。

【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。

（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有10242

10=个，非空真子集有1022个。

5．配对方法。 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值。

【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12

-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若

有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12

-≥n k 。综上，12-=n k 。

6．竞赛常用方法与例问题。 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=

C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，

需要xy 此结论可以