高等数学-D12_5幂级数的应用PPT课件
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幂级数经典课件
收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
2024年度高一数学《幂函数》PPT课件
举例
(2x)^3 = 2^3 × x^3 = 8x^3；(3a^2b)^4 = 3^4 × a^(2×4) × b^4 = 81a^8b^4
17
复杂表达式化简技巧
利用幂的性质进行化简
如a^(m+n) = a^m × a^n，a^(m-n) = a^m ÷ a^n等
注意运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算；有括号 时，先算括号里面的
2024/3/24
5
幂函数图像与性质
幂函数性质
当a>0时，幂函数在其定义域内是增函数；
2024/3/24
当a<0时，幂函数在其定义域内是减函数；
6
幂函数图像与性质
当a=0时，幂函数为常数函数； 幂函数的值域为[0，+∞)，即所有非负实数。
2024/3/24
7
幂函数与指数函数关系
联系
幂函数和指数函数都是常见的 初等函数，它们在数学和实际 应用中都有广泛的应用。
2024/3/24
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
28
易错难点剖析及注意事项
01
指数取值范围
在幂函数中，指数a可以取Hale Waihona Puke 意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
2024/3/24
图像
一个抛物线
性质
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对称轴为 x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2024/3/24
11
三次幂函数
(2x)^3 = 2^3 × x^3 = 8x^3；(3a^2b)^4 = 3^4 × a^(2×4) × b^4 = 81a^8b^4
17
复杂表达式化简技巧
利用幂的性质进行化简
如a^(m+n) = a^m × a^n，a^(m-n) = a^m ÷ a^n等
注意运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算；有括号 时，先算括号里面的
2024/3/24
5
幂函数图像与性质
幂函数性质
当a>0时，幂函数在其定义域内是增函数；
2024/3/24
当a<0时，幂函数在其定义域内是减函数；
6
幂函数图像与性质
当a=0时，幂函数为常数函数； 幂函数的值域为[0，+∞)，即所有非负实数。
2024/3/24
7
幂函数与指数函数关系
联系
幂函数和指数函数都是常见的 初等函数，它们在数学和实际 应用中都有广泛的应用。
2024/3/24
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
28
易错难点剖析及注意事项
01
指数取值范围
在幂函数中，指数a可以取Hale Waihona Puke 意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
2024/3/24
图像
一个抛物线
性质
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对称轴为 x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2024/3/24
11
三次幂函数
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
第四节幂级数的应用ppt课件
n 0(1)n 2n 1 2221 n3 (x1)n, x(1,3)
常用已知和函数的幂级数
(1)n 0xn1 1x, x(1,1)
(2) xnex,
n0n!
x( , )
(3 )n 0 ( 1 )n(2 x n 2 n 1 1) !six ,nx (, )
(4)n 0(1)n(x 2n 2n ) !co x,sx (, )
742函数展开成幂级数则级数在收敛区间内收敛于f讨论进化心理学综合了进化生物学的各种理论和当代心理学的研究法则主张用进化论的视野来看待和研究人格问题为人格心理学核心概念的建构提供了一个系统的框架
7.4 幂级数的应用
7.4.1 泰勒级数
上节问题
xn
1
,
n0 1x
x(1,1).
幂级数在其收敛域内以 f (x)为和函数.
0x
3 3 !5 5 !7 7 !
因为
r3
1 77!
1 104,
3000
所以, 取前三项作为积分的近似值
0 1sx ixn d x131 3 !51 5 !0.9461
(n11)!111
1 n 1 1 10 4.
66! 4320 77! 35230
故,取n7,
e112 1!3 1! 7 1!2.7183
例13 利用 s ixnxx3计s算 i9n0的近似值, 并估计
3!
误差.
解
sin90
s
in
1 3,
20 20 620
例12 计算 e的近似,使 值其误差不 10超 4. 过
解 ex1x1x2 1xn ,
2 !
n !
令x1, 得 e111 1,
2! n!
经典高等数学课件幂级数演示文稿
a xn 在 n
x x0( x0 0)
处收敛，
n0
则它在满 足不等式 x x0 的一切x处绝对收敛.
(2)如果级数
a xn 在 n
x
x0 处发散，则它在满足不等式
n0
x x0 的一切x处发散.
简记: (1)若 an xn在x0收敛,当 x x0 时, an xn绝对收敛.
n0
n0
(2)若 an xn在x0发散,当 x x0 时, an xn发散.
当 1 x2 1, 即 x 2
当 1 x2 1, 即 x
2
第二十二页，共25页。
2 时，级数绝对收敛, 2 时，级数发散,
R
2
22 22
例3.
求幂级数
n1
x
2
n1
的收敛区间及收敛域.
2n
因为原级数的收敛区间为 ( 2, 2 ).
当x
2时， 级数为
1
, 级数发散,
n1 2
当x
2
时，
级数为
1,
级数发散,
n1 2
所以原级数的收敛域为: ( 2, 2 ).
23
第二十三页，共25页。
23
例4.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径.
故直接由
lim
u (x) n1
lim
[ 2(n 1)] ! [ (n 1) ! ]2
x 2( n1)
n0
(, x0 ) ( x0 , )内的任何x都使幂级数 an xn发散.
n0
在原点与收敛点之间不可能有发散点.
几何说明:
绝对收敛
发散
高数同济六版课件D12_5幂级数的应用
e x i y e x (cos y i sin y ) e x
( x, y R)
作业x P291 cos(1),(3); 2(2)；r ei ; 4(2) 1 i sin 3(1),(3) r z iy
2013-8-6 高数同济六版
第七节 第六节 目录 上页 下页 返回 结束
例6.
解: 根据初始条件, 设所求特解为
代入原方程, 得
比较同次幂系数, 得
故所求解的幂级数前几项为
2013-8-6 高数同济六版
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2. 二阶齐次线性微分方程问题
②
定理: 设 P(x), Q(x) 在 (－R, R ) 内可展成 x 的幂级数,
则在－R < x < R 内方程 ② 必有幂级数解:
1 1 (1 ) 3 1 (1 ) 5 1.6094 ln 5 2 ln 2 2 9 9 3高数同济六版5 9 2013-8-6
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例3. 利用 误差.
求
的近似值 , 并估计
(弧度)
解: 先把角度化为弧度 9
π π 1 π 3 1 π 5 1 π 7 sin ( ) ( ) ( ) 20 20 3! 20 5! 20 7 ! 20 1 π 5 r2 ( ) 1 (0.2) 5 1 105 5! 20 3 120 π π 1 π 3 sin ( ) 0.157080 0.000646 20 20 3! 20 3 5 7 x x x .15643 0 sin x x 3! 5! 7 !
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3 (1 14 3
( x, y R)
作业x P291 cos(1),(3); 2(2)；r ei ; 4(2) 1 i sin 3(1),(3) r z iy
2013-8-6 高数同济六版
第七节 第六节 目录 上页 下页 返回 结束
例6.
解: 根据初始条件, 设所求特解为
代入原方程, 得
比较同次幂系数, 得
故所求解的幂级数前几项为
2013-8-6 高数同济六版
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2. 二阶齐次线性微分方程问题
②
定理: 设 P(x), Q(x) 在 (－R, R ) 内可展成 x 的幂级数,
则在－R < x < R 内方程 ② 必有幂级数解:
1 1 (1 ) 3 1 (1 ) 5 1.6094 ln 5 2 ln 2 2 9 9 3高数同济六版5 9 2013-8-6
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例3. 利用 误差.
求
的近似值 , 并估计
(弧度)
解: 先把角度化为弧度 9
π π 1 π 3 1 π 5 1 π 7 sin ( ) ( ) ( ) 20 20 3! 20 5! 20 7 ! 20 1 π 5 r2 ( ) 1 (0.2) 5 1 105 5! 20 3 120 π π 1 π 3 sin ( ) 0.157080 0.000646 20 20 3! 20 3 5 7 x x x .15643 0 sin x x 3! 5! 7 !
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3 (1 14 3
高等数学课件--D125幂级数的应用
π
1 2
0
ex2dx
2 π
012n0(1)n
x2n n!
dx
2 (1)n π n0 n!
1 2
x
2n
d
x
0
2 (1)n πn0n!(2n1)
2
1
2n
1
2020/6/3
同济版高等数学课件
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2
1 2
ex2
dx
π0
1 π 122 1 3241 52!261 73 !
2020/6/3
同济版高等数学课件
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例4. 计算积分
1 π
12ex2 dx 的近似值,
0
精确到
10 4
.
(取
1 π
0.5641)9
解: ex2 1 ( x 2 ) ( x 2 ) 2 (x2 )3
1!
2!
3!
(1)n x2n ( x)
n0
n!
2
幂级数解法 本质上就是 待定系数法
y xx0 y0
其 f(x 中 ,y )是 x x 0及 y y 0的多 . 项式
设所求解为
y y 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 an(xx0)n ①
代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 a1,a2,,an,
由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.
故
ln 1xln 1 (x)ln 1 (x)
1x
2x1x31x5 (1x1)
35
令 1 x 2 得 x 1 , 于是有
1 x
3
2020/6/3
ln 22 1 31 33 1 31 53 1 57 13 1 7 同济版高等数学课件
1 2
0
ex2dx
2 π
012n0(1)n
x2n n!
dx
2 (1)n π n0 n!
1 2
x
2n
d
x
0
2 (1)n πn0n!(2n1)
2
1
2n
1
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2
1 2
ex2
dx
π0
1 π 122 1 3241 52!261 73 !
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例4. 计算积分
1 π
12ex2 dx 的近似值,
0
精确到
10 4
.
(取
1 π
0.5641)9
解: ex2 1 ( x 2 ) ( x 2 ) 2 (x2 )3
1!
2!
3!
(1)n x2n ( x)
n0
n!
2
幂级数解法 本质上就是 待定系数法
y xx0 y0
其 f(x 中 ,y )是 x x 0及 y y 0的多 . 项式
设所求解为
y y 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 an(xx0)n ①
代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 a1,a2,,an,
由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.
故
ln 1xln 1 (x)ln 1 (x)
1x
2x1x31x5 (1x1)
35
令 1 x 2 得 x 1 , 于是有
1 x
3
2020/6/3
ln 22 1 31 33 1 31 53 1 57 13 1 7 同济版高等数学课件
幂函数课件ppt课件
课程总结回顾
幂函数的基本概念
回顾幂函数的基本定义，以及幂函数的图像和性质。
幂函数的运算规则
复习幂函数的加减乘除运算规则，以及幂函数运算的实例。
幂函数的实际应用
强调幂函数在生活和科学领域中的应用，如物理学、工程学、统 计学等。
对未来学习的展望和规划
深化对幂函数的理解
学习更高阶的数学理论
通过更多实例和习题，深化学生对幂函数 的理解和掌握。
幂函数乘法
$(x^m \times x^n) = x^{m+n}$
幂函数除法
$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
幂函数的复合运算
复合幂函数
将多个幂函数进行复合运算，如：$((x^2+1)^3-2x^4)$
复合幂函数的运算顺序
先算括号内的幂函数，再乘除，最后加减
幂函数的求导与微分运算
金融和投资
在金融和投资领域，幂函数被用于描述股票价格的变化和收益率的 计算。
计算机科学
在计算机科学中，幂函数被用于高效计算大数和进行快速幂运算。
幂函数在物理学中的应用
描述放射性衰变
幂函数被用于描述放射性衰变的 过程，即原子核自发地转变为其
他原子核的过程。
描述药物代谢
在药理学中，药物的代谢过程通 常可以用幂函数来描述。
幂函数例子
如$y = 2^x$、$y = x^2$等均为幂函数。
幂函数的性质
奇偶性
当底数为正数时，幂函数为偶函 数；当底数为负数时，幂函数为
奇函数。
增减性
当指数为正数时，幂函数随着自变 量的增加而增加；当指数为负数时 ，幂函数随着自变量的增加而减小 。
零点
当指数为整数时，幂函数的零点为 该整数的负一次方。
幂级数-PPT
n0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级 数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级 数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.
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第五节
第十二章
函数幂级数展开式的应用
一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 三、欧拉公式
2021/2/12
同济版高等数学课件
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一、近似计算
例1. 计算 5 240 的近似值, 精确到 104.
35 243
解:
5
240
5
243 3
3(1
1 34
)
1 5
3
1
1 5
1 34
2
1 2
ex2
dx
π0
1 π
1
2
1 2
3
24
1 5
2!
26
1 7
3!
欲使截断误差
rn
1 π
n!(2n
1 1)
22n
104
则 n 应满足 π n!(2n 1) 22n 104
n4
取 n 4, 则所求积分近似值为
2
1 2
e
x
2
dx
π0
1 π
1
1 22
3
24
1 5
2!
26
1 7
3!
2021/2/12
具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如
ln
5
2
ln
2
2
1 9
1 3
(1)3 9
1 5
(1)5 9
பைடு நூலகம்
1.6094
2021/2/12
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例3. 利用 sin x x x3 , 求 sin 9的近似值 , 并估计 3!
误差.
解:
先把角度化为弧度
9
代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 a1, a2,, an,
由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.
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例6. 求方程 y x y2 满足 y x0 0的特解.
解: 根据初始条件, 设所求特解为
y a1x a2 x2 an xn
sin x x 0.1x53 643x5 x7 3! 5! 7!
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例4. 计算积分
1 π
1 2
e
x
2
dx
的近似值,
精确到
104
.
0
(取
1 π
0.56419 )
解: ex2 1 (x2 ) (x2 )2 (x2 )3
二、微分方程的幂级数解法
1. 一阶微分方程的情形 d y f (x, y) dx
幂级数解法 本质上就是 待定系数法
y xx0 y0
其中 f (x, y) 是 x x0 及 y y0 的多项式.
设所求解为
y y0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n ①
π 9 180
π 20
(弧度)
sin π π 1 ( π )3 1 ( π )5 1 ( π )7 20 20 3! 20 5! 20 7! 20
r2
1 ( π )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 105 3
sin π π 1 ( π )3 0.157080 0.000646 20 20 3! 20
1 4 52 2!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
r2
3
1 52
4 2!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
1 4 54
9 14 4!
1 316
(1
x)m
51243m0x5123(4m21(!m2315!1813)114x)2
1 81
81m1(m2
1) (m20n65.513)118x0n 141 811
1!
2!
3!
(1)n x2n ( x )
n0
n!
2
π
1 2
e
x
2
d
x
0
2 π
1 2
0
(1)n
n0
x2n n!
dx
2 (1)n π n0 n!
1 2
x
2n
d
x
0
2 π
n0
(1) n! (2n
n
1)
1 22n1
2021/2/12
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故
ln1 x ln(1 x) ln(1 x)
1 x
2 x 1 x3 1 x5
35
令 1 x 2 得 x 1 , 于是有
1 x
3
(1 x 1)
2021/2/12
ln
2
2
1 3
1 3
1 33
1 5
1 35
1 7
1 37
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在上述展开式中取前四项,
x
3! 5! 7!
(2n 1)!
1sin x dx 1 1 1
(1)n
0x
3 3! 5 5! (2n 1) (2n 1)!
r3
1
1
0.3104
7 7! 35280
2021/2/12
1 0.055同5济6版高等0数.学0课0件167 0.9461
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n!
3 0.00741 2.9(9216 x 1)
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例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 104.
解:
已知 ln(1
x)
x
x2
x3
x4
用此式求 ln2 计算量大
(1 x 1)
234
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1 x 1) 234
说明: 在展开式
ln1 x 2 x 1 x3 1 x5
1 x
35
中,令 x 1 ( n为自然数) , 得 2n 1
ln
n
1 n
2
1 2n
1
1 3
(1 2n
)3 1
1 5
( 1 )5 2n 1
ln(n
1)
ln
n
2
1 2n 1
1 3
(1 2n
)3 1
1 5
(1 2n
)5 1
代入原方程, 得
a1 2a2 x 3a3x2 4 a4 x3 5a5x4 x (a1x a2 x2 a3x3 )2 x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
比较同次幂系数, 得
a1 0,
a2
1, 2
a3 0,
0.5同2济0版5高等数学课件
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例5.
计算积分
1
0
sin x
x
dx
的近似值,
精确到 104.
解: 由于lim sin x 1, 故所给积分不是广义积分.
x0 x
若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间
上连续, 且有幂级数展开式 :
sin x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
r4
2
1 9
1 39
1 11
1 311
1 13
1 313
2 311
1
1 9
(1)2 9
2 311
1
1
1 9
1 4 39
1 0.2 104 78732
ln 2
2
1 3
1 3
1 33
1 5
1 35
1 7
1 37
0.6931
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第十二章
函数幂级数展开式的应用
一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 三、欧拉公式
2021/2/12
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一、近似计算
例1. 计算 5 240 的近似值, 精确到 104.
35 243
解:
5
240
5
243 3
3(1
1 34
)
1 5
3
1
1 5
1 34
2
1 2
ex2
dx
π0
1 π
1
2
1 2
3
24
1 5
2!
26
1 7
3!
欲使截断误差
rn
1 π
n!(2n
1 1)
22n
104
则 n 应满足 π n!(2n 1) 22n 104
n4
取 n 4, 则所求积分近似值为
2
1 2
e
x
2
dx
π0
1 π
1
1 22
3
24
1 5
2!
26
1 7
3!
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具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如
ln
5
2
ln
2
2
1 9
1 3
(1)3 9
1 5
(1)5 9
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例3. 利用 sin x x x3 , 求 sin 9的近似值 , 并估计 3!
误差.
解:
先把角度化为弧度
9
代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 a1, a2,, an,
由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.
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例6. 求方程 y x y2 满足 y x0 0的特解.
解: 根据初始条件, 设所求特解为
y a1x a2 x2 an xn
sin x x 0.1x53 643x5 x7 3! 5! 7!
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例4. 计算积分
1 π
1 2
e
x
2
dx
的近似值,
精确到
104
.
0
(取
1 π
0.56419 )
解: ex2 1 (x2 ) (x2 )2 (x2 )3
二、微分方程的幂级数解法
1. 一阶微分方程的情形 d y f (x, y) dx
幂级数解法 本质上就是 待定系数法
y xx0 y0
其中 f (x, y) 是 x x0 及 y y0 的多项式.
设所求解为
y y0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n ①
π 9 180
π 20
(弧度)
sin π π 1 ( π )3 1 ( π )5 1 ( π )7 20 20 3! 20 5! 20 7! 20
r2
1 ( π )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 105 3
sin π π 1 ( π )3 0.157080 0.000646 20 20 3! 20
1 4 52 2!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
r2
3
1 52
4 2!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
1 4 54
9 14 4!
1 316
(1
x)m
51243m0x5123(4m21(!m2315!1813)114x)2
1 81
81m1(m2
1) (m20n65.513)118x0n 141 811
1!
2!
3!
(1)n x2n ( x )
n0
n!
2
π
1 2
e
x
2
d
x
0
2 π
1 2
0
(1)n
n0
x2n n!
dx
2 (1)n π n0 n!
1 2
x
2n
d
x
0
2 π
n0
(1) n! (2n
n
1)
1 22n1
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故
ln1 x ln(1 x) ln(1 x)
1 x
2 x 1 x3 1 x5
35
令 1 x 2 得 x 1 , 于是有
1 x
3
(1 x 1)
2021/2/12
ln
2
2
1 3
1 3
1 33
1 5
1 35
1 7
1 37
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在上述展开式中取前四项,
x
3! 5! 7!
(2n 1)!
1sin x dx 1 1 1
(1)n
0x
3 3! 5 5! (2n 1) (2n 1)!
r3
1
1
0.3104
7 7! 35280
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1 0.055同5济6版高等0数.学0课0件167 0.9461
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n!
3 0.00741 2.9(9216 x 1)
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例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 104.
解:
已知 ln(1
x)
x
x2
x3
x4
用此式求 ln2 计算量大
(1 x 1)
234
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1 x 1) 234
说明: 在展开式
ln1 x 2 x 1 x3 1 x5
1 x
35
中,令 x 1 ( n为自然数) , 得 2n 1
ln
n
1 n
2
1 2n
1
1 3
(1 2n
)3 1
1 5
( 1 )5 2n 1
ln(n
1)
ln
n
2
1 2n 1
1 3
(1 2n
)3 1
1 5
(1 2n
)5 1
代入原方程, 得
a1 2a2 x 3a3x2 4 a4 x3 5a5x4 x (a1x a2 x2 a3x3 )2 x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
比较同次幂系数, 得
a1 0,
a2
1, 2
a3 0,
0.5同2济0版5高等数学课件
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例5.
计算积分
1
0
sin x
x
dx
的近似值,
精确到 104.
解: 由于lim sin x 1, 故所给积分不是广义积分.
x0 x
若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间
上连续, 且有幂级数展开式 :
sin x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
r4
2
1 9
1 39
1 11
1 311
1 13
1 313
2 311
1
1 9
(1)2 9
2 311
1
1
1 9
1 4 39
1 0.2 104 78732
ln 2
2
1 3
1 3
1 33
1 5
1 35
1 7
1 37
0.6931
2021/2/12
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