2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
江西省南昌市第二中学2020届高三数学5月模拟考试试题文含解析
江西省南昌市第二中学2020届高三数学5月模拟考试试题 文（含解析）一､单选题(每小题5分，共12小题，共60分)1.设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A，则a =（ ） A. -3或-1或2 B. -3或-1 C. -3或2 D. -1或2【答案】C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项. 2.若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A. 2C. 1D. 【答案】B 【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a az i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212aa z i -=⇒==-，,z ==,故选B.3.若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A. -1B. 1C.【答案】A 【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．4.已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.5.在ABC 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A. 13- B.13C. 12-D.12【答案】C 【解析】 【分析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-，2AB AD DB BD PD =+=-+，2AC AD DC BD PD =+=+，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.6.如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D.【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 7.若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A. (1,2)-B. (,2)(1,)-∞-+∞C. ()2,1-D.(,1)(2,)-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min ym m x ->+即可， 142x y +=，1212x y∴+=， 则12122211121212112442248842y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅=+⨯=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28x yy x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24min yx +=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞， 故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．8.已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ）A.49B.13C.25D.310【答案】B 【解析】试题分析：运行该程序框图，第一次循环21,2x x n =+=；第二次循环()221+1=43,3x x x n =++=；第三次循环2187,4x x x n =+=+=；推出循环输出87x +，由8763x +≥得7x ≥，由几何概型概率公式可得输出的x 不小于63的概率为1071103-=，故选B.考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 9.已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()xf x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 11,2e e ⎛⎫--⎪⎝⎭B. 11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】求出0x ≤时()xf x xe =的导数，可得单调区间和极值，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位可得0x >时()f x 的图象，由题意可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．将直线()y g x =绕着()10-，旋转考虑经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，可得此时的斜率k ，结合图象可得所求范围．【详解】当0x ≤时，()xf x xe =的导数为()()1x f x x e '=+，当10x -<<时，()0f x >′，()f x 递增； 当1x <-时，()0f x <′，()f x 递减，则1x =-处()f x 取得极小值()11f e-=-， 由0x >时，()()1f x f x =-，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位，可得()f x 在0x >时的图象，如图：由方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．又()()1y g x k x ==+的图象为恒过定点()10-，的直线，当该直线经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时， 1k e=-；当该直线经过点11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，k 12e=-． 由图象可得当112k e e-<<-时，()y f x =和()y g x =的图象有两个交点． 故选：A ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能力和数形结合思想的运用，属于中档题． 10.已知函数()()231cos 0,R 22xf x x x ωωω=->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ） A .50,12⎛⎤⎥⎝⎦ B. 55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C. 50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】1cos 11()cos 222x f x x x x ωωωω+=-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+, 函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω> 5012k ∴<≤ ；（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k = ，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k 的取值范围是5511(0,][,]12612，选D . 【点睛】有关函数sin()y A x ωϕ=+求ωϕ、的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准sin()y A x ωϕ=+型，函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点，根据x 的范围求出3x πω+的范围，使其在(2,2)k k πππ+或在(2,22)k k ππππ++内，恰好函数无零点，求出ω的范围. 11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ）A.2B.2 C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】首先连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面11CC D D ，即//MH AD .再根据相似三角形得到11C HMH AD C D=，1111HH C H DD C D =，即1MH HH =.再将22PM MN +转化为PM MH +，求其最小值即可. 【详解】连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥ 所以MH ⊥平面11CC D D .因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .所以11C HMH AD C D=. 又因为11//HH DD ，所以1111HH C HDD C D=. 即11HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN 中，222MN MH HN =+.因为1HN HH ≥，所以2222212MH HN MH HH MH +≥+=.即222MN MH ≥，MN ≥.所以1PM PM MH ≥+≥.即PM 的最小值为1 故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题.12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF 与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( )1【答案】C 【解析】 【分析】先利用角平分线及12AF c =得到三角形相似，进而得到AB ，再根据角平分线定理也可得到AB ，列方程即可求出离心率．【详解】如图：由题意得：112AF F F =，所以1212F AF F F A ∠=∠， 又12F B F B =，所以1221BF F BF F ∠=∠， 又2F B 是21AF F ∠的平分线，所以122BF F AF B ∠=∠， 所以221~BAF AF F ，所以2212||AF AB F F =⋅，即2(22)||2c a AB c -=⋅，所以22()||c a AB c-=，由角平分线定理知，2112||AF AB BF F F =，则112211||BF F F AB AF +=+， 所以21122||AF AB AF F F AF =+，所以2222()2()||22222c a c c a c a AB c c a c c a c---=⋅==-+-， 故2223530310c ac a e e e +-+=⇒-+=⇒=． 故选：C ．【点睛】本题关键是利用角平分线定理得到2112||AF AB BF F F =，考查了学生计算能力，分析能力，是中档题．二､填空题(每小题5分，共4小题，共20分)13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n }的前9项之和等于_____ 【答案】90 【解析】 【分析】先利用等差数列的性质列方程组求出2a 和5a 的值，并求出1a 和公差d 的值，再利用等差数列前n 项和公式可求出数列{}n a 的前9项之和．【详解】等差数列{}n a 的公差0d >，则25a a <，由等差数列的性质可得251614a a a a +=+=，由2525251440a a a a a a+=⎧⎪=⎨⎪<⎩，可得25410a a =⎧⎨=⎩，114410a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a d ==，因此，等差数列{}n a 的前9项和为19899298902a d ⨯+=⨯+⨯=，故答案为90． 【点睛】本题考查等差数列的求和问题，求解等差数列问题时，一般常用以下两种方法： （1）性质法：序数之和相等，项的和相等；（2）基本量法：将已知条件转化为与首项、公差的方程组，求出这两个基本量，利用这两个基本量计算．灵活使用这两种方法求解等差数列的问题，能起到简化计算的作用．14.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)1000,1500)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．【答案】2400 【解析】 【分析】 确定中位数在20002500之间，设为t ，则20000.250.2500t -⨯=，计算得到答案. 【详解】根据频率分布直方图知：10.00025000.1p =⨯=，20.00045000.2p =⨯=，30.00055000.25p =⨯=.故中位数在20002500之间，设为t ，则20000.250.50.10.20.2500t -⨯=--=， 解得2400t =.故答案为：2400.【点睛】本题考查了频率分布直方图求中位数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦定理得到cos 2sin AB AM θθ⋅=，计算tan 2cos cos AC AB θθθ==，化简得到答案.【详解】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=.在AMD ∆中，902MBA θ︒∠=-，180BMA θ︒∠=-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ︒︒=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅=， 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ︒∠=∠=，由正切定义：tan 2AC θ=， 在ACB ∆中，90ACB ︒∠=，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==， ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅==. 故答案为：2.【点睛】本题考查了正弦定理和三角函数定义解三角形，意在考查学生的数形结合能力和计算能力.16.设M ，N 分别是曲线32) ()(f x x x x e =-+<与()ln (g x a x x e =≥上一点，MON△是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a的取值范围是________.【答案】20,1e ⎛⎤⎥ -⎝⎦【解析】 【分析】设32(,)M t t t -+，则(, ln )N t a t ，根据0OM ON ⋅=，得到1(1)ln ,(t t t a=+≥，构造新函数()(1)ln ,(h x x x x =+≥，求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解.【详解】由MON ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点恰好在y 轴上，可得M ，N 两点的横坐标互为相反数，设32(,)M t t t -+，则(, ln )(N t a t t ≥，由题意知0OM ON ⋅=，即223()ln 0t t t a t -++⋅=，整理得1(1)ln ,(t t t a=+≥，令()(1)ln ,(h x x x x =+≥，则1()ln 10h x x x'=++>，可得函数()h x 在)+∞上是增函数，所以1()2h t h ≥=，所以1a ≥0a <≤即实数a 的取值范围是⎛⎝⎦.故答案为：20,1e ⎛⎤⎥ -⎝⎦.【点睛】本题主要考查了向量的垂直的坐标运算，利用导数求解函数的单调性与最值，以及利用导数研究方程的有解问题的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 三､解答题(共60分)17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin a b C +=． （1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 【答案】（1）6π；（2）1n n + 【解析】 【分析】 （1）由3sin a b b cC +-=根据正弦定理可得2223b c a bc +-=，由余弦定理可得3cos 2A =，从而可得结果；（2）由（1）可得112sin a A ==，再由2a 、4a 、8a 成等比数列，列方程求得公差2d =，从而得2n a n =，则14n n a a +()11111n n n n ==-++，利用裂项相消法可得结果. 【详解】（1）由得，所以又（2）设的公差为，由（1）得，且，∴．又，∴，∴．∴∴【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） n k n ++1n k n k=+； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示：（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y (单位：百万元)与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年4月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料的使用寿命不同，现对A ，B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：经甲公司测算平均每件新型材料每月可以带来6万元收人入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A 型号材料每件的采购成本为10万元，B 型号材料每件的采购成本为12万元.假设每件新型材料的使用寿命都是整月数，且以频率作为每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的平均值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：6196ii y==∑，61371i i i x y ==∑.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑.【答案】（1）线性回归方程为ˆ29y x =+，利润为33百万元；（2）应该采购A 型新材料.【解析】 【分析】（1）根据题设的折线图中的统计数据，求得其平均数，以及回归系数ˆb和ˆa ，求得回归直线的方程，代入12x =时，即可作出预测；（2）由频率估计概率，求得每件A ，B 型新材料可产生的利润的平均值，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据题设的折线图可知，统计数据(),x y 共有6组， 即()1,11，()2,13，()3,16，()4,15，()5,20，()6,21，计算可得1234563.56x +++++==，6111961666i i y y ===⋅=∑， 所以()()()11222113716 3.516ˆ217.5n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====----⨯⨯====--∑∑∑∑，ˆˆˆ1623.59ay bx =-=-⋅=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29yx =+. 当12x =时，可得ˆ212933y=⨯+=. 故预计甲公司2020年4月份的利润为33百万元.（2）由频率估计概率，每件A 型新材料可使用1个月，2个月，3个月和4个月的概率， 分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以每件A 型新材料可产生的利润的平均值为()()()()16100.212100.3518100.3524100.1 4.1x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(万元).由频率估计概率，每件B 型新材料可使用1个月，2个月，3个月和4个月概率， 分别为0.15，0.2，0.4和0.25，所以每件B 型新材料可产生的利润的平均值为()()()()26120.1512120.218120.424120.254x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(万元).因为12x x >，所以应该采购A 型新材料.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，以及数学知识在实际生活中的应用，其中解答中认真审题，结合公式准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19.已知三棱锥A BCD -中，ABC 与BCD 均为等腰直角三角形，且90BAC ∠=，6BC CD ==，E 为AD 上一点，且CE ⊥平面ABD .（1）求证：AB CD ⊥；（2）过E 作一平面分别交AC ， BC ， BD 于F ，G ，H ，若四边形EFGH 为平行四边形，求多面体ABEFGH 的表面积.【答案】（1）证明见解析.（2）75352+ 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面ACD ，再利用性质定理，即可证得AB CD ⊥， （2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到CD AC ⊥，在Rt ACD 中，求得36AD =，进而得到6AE =13AE AD =，再利用线面平行的性质定理得到//EF CD ，进而得到四边形EFGH 为矩形，同理求得22FG =，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）由90BAC ∠=，所以AB AC ⊥， 由CE ⊥平面ABD ，AB 平面ABD ，可得CE AB ⊥，又由ACCE C =，且AC ⊂平面ACD ，CE ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，又因为CD ⊂平面ACD ,所以AB CD ⊥.（2）在等腰直角BCD ∆中，6BC CD ==，所以BC CD ⊥， 又因为AB CD ⊥，可得CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥. 等腰Rt ABC 中，由6BC =，可得32AC =， 又Rt ACD 中，6CD =，CE AD ⊥，所以2236AD AC CD =+=，而2AC AE AD =⋅，可得6AE =，故13AE AD =， 因为四边形EFGH 为平行四边形，所以//EF GH ，可得//EF 平面BCD ， 又EF ⊂平面ACD ，且平面ACD 平面BCD CD =，所以//EF CD ，由13AE AD =，可得123EF CD ==，且有13AF AC =，由CD ⊥平面ABC ，可得CD FG ⊥，进而得到EF FG ⊥，所以四边形EFGH 为矩形， 同理可得//FG AB ，且2223FG AB ==， 可得1122222AEF E S F AF =⨯⨯=⨯⨯=△，1122222BGH GF B S G =⨯=⨯⨯=△， 22242EFGHEF F SG ⨯=⨯==，5ABGF S =53AEHB S =△.所以所求表面积为75352S =++.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，严密的逻辑推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20.已知直线AB 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于(0,2)N ，M 为线段AB 的中点.（1）求点M 的纵坐标；（2）求ABN 面积的最大值及此时对应的直线AB 的方程.【答案】（1）纵坐标为1；（2）面积的最大值为2，直线AB 的方程为y x =±. 【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，得到2112x y =，2222x y =，结合斜率公式得到0AB k x =，再根据1AB MN k k ⋅=-，即可求解；（2）设AB 的方程为y kx m =+，求得21k m =-，联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点()00,M x y ，由2112x y =，2222x y =，可得()2212122x x y y -=-，()()()1212122x x x x y y -+=-，所以12120122AB y y x x k x x x -+===-，又由0020MN y k x -=-，则00021AB MN y k k x x -⋅=⋅=-，解得01y =， 即点点M 的纵坐标1.（2）设AB 的方程为y kx m =+，其中与y 轴交点为()0,P m ，AB 中点()0,1M x ， 所以001PM AB m k k x x -===-，即2201m x k -=-=-，21k m =-， 由22y kx m x y =+⎧⎨=⎩消去y ，得到2220x kx m --=，则2121248022k m x x k x x m⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，所以12AB x =-=， 又设()0,2N 到直线AB 的距离为d，则d =所以1122S AB d m m =⋅⋅=-=-因为210k m =->，所以2S ==≤=，当且仅当222m m -=+，即0m =时取等号，此时210k m =-=，即1k =±， 进而可求得直线AB 的方程为y x =±.【点睛】本题主要考查抛物线标准方程、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数()2ln 1ax bx x f x =+++(a R ∈，b R ∈). （1）当0a =时，若函数()f x 在()0,∞+上有两个零点，求b 的取值范围； （2）当0b =时，是否存在a R ∈，使得不等式()()12af x x ≤+恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）10b e-<<.（2）存在，a 的取值集合为{}1. 【解析】 【分析】（1）将0a =代入，求得函数的导数，当0b ≥时显然不成立，当0b <时，利用零点的存在定理，即可求解的结论； （2）当0b =时，设()()2ln 112a ax x x g x =+-++，由()10g =，进而条件转化为不等式()()1g x g ≤对0x >恒成立，得到()1g 是函数()g x 的最大值，也是函数()g x 的极大值，故()10g '=，当1a =时，利用导数得到不等式()()12af x x ≤+恒成立，即可求解.【详解】（1）当0a =时，()ln b f x x x =+，()11bxb x xf x +=='+(0x >)， 当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不合题意，舍去； 当0b <时，()0f x '=，1x b=-， 进而()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 依题意有10f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，1ln 10b ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，1e b ->，解得10b e -<<， 又()10f b =<，且11e b ->>，()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，进而由零点存在定理可知，函数()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点； 下面先证1ln x x e <(0x >)恒成立，令()1ln x x x e ϕ=-，则()11x e x e x exϕ-'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增，进而()()0x e ϕϕ≥=，∴1ln x x e ≥，∴1112222ln 2ln x x x x e=≤<，可得()12ln x bx f x x bx =+<+， 若120x bx +=，得21x b=， 因为1e b ->，则221e b >，即当1,x b ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，取021x b =，有12222110b f b b b⎛⎫⎛⎫<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即存在021x b=使得()00f x <，进而由零点存在定理可知()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点； （2）当0b =时，存在1a =，使得不等式()()12af x x ≤+恒成立. 证明如下：当0b =时，设()()2ln 112a a x x x g x =+-++，则()()21221a x x g a x =--+'， 依题意，函数()0g x ≤恒成立，又由()10g =，进而条件转化为不等式()()1g x g ≤对0x >恒成立，所以()1g 是函数()g x 的最大值，也是函数()g x 的极大值，故()10g '=，解得1a =.当1a =时，()()()()()23221222121x x x x xx x x x g x -++--==-+'+(0x >)， 令()0g x '>可得01x <<，令()0g x '<可得1x >. 故()g x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减. 因此()()10g x g ≤=，即不等式()()12af x x ≤+恒成立. 综上，存在且a 的取值集合为{}1.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.【答案】（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；（2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可.【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=，22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤， 当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12； 当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34.所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()|21|2|1|f x x x =-++.()I 若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；()Ⅱ若m 是()I 中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤.【答案】（1）12m -≤≤；（2）见解析【解析】 【分析】（1）求得函数()3f x ≥，因为存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，可得235m m +≤+．进而求得m 的取值范围．（2）由（1）知2m =，则332a b +=；利用公式分解()()()2332223024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，可得0a b <+；而()()()2234a b a b a b ⎡⎤++-+⎢⎥⎣⎦()314a b =+ ，因而可得2a b +≤，得证． 【详解】（1）()()212121213f x x x x x =-++≥--+=存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+235m m ∴+≤+220,m m ∴--≤12m ∴-≤≤（2）由（1）知:max |2m =332a b ∴+=()()()23322232024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫∴=+=+-+=+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而223024b a b ⎡⎤⎛⎫-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0a b∴<+①332a b ∴=+()()22a b a ab b =+-+()()()()()222334a b a b ab a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=++-≥++-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦()314a b =+()38∴+≤a ba b∴+≤②2由①②∴<+≤02a b【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式证明的综合应用，属于中档题．。
2020江西省南昌市高三二模理科数学试题及答案
1 2n1 )
3n 2n
2
1 3(1
1 2n1 )
3n 2n
2
4
3n 2n
4
…12 分
18.【解析】（Ⅰ） ABD 中， AB 4, AD 2, DAB 60o ，由余弦定理得 BD 2 3 …2 分
则 AD2 BD2 AB2 ，即 AD BD ，
…4 分
z
而 AD D1D ， BD D1D D ,故 AD 面 D1DBB1 ，
NCS20200707 项目第二次模拟测试卷
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B A A D B D C D B B C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．
2
32
30
| n | | AB |
74
21
，
7
21 即直线 AB 与平面 A1D1DA 所成角的正弦值为 7 .
………12 分
19.【解析】（Ⅰ）设 A1(a, 0), A2 (a, 0)，M (x0 , y0 ) ，
由 x02 a2
y02 b2
1，知 y02
b2 a2
( x02
a2) ，
所以， kMA1
3,1, 0)
设平面
B1BC
的法向量为
n
(x,
y,
z)
，则
n1
BB1
0
3x z 0
，
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z满足，则A. B. 1 C. D. 53.函数的部分图象大致是A. B. C. D.4.设a，b，c均为正数，且，，，则A. B. C. D.5.在中，，，则A. 4B.C. 6D.6.已知，，，均为锐角，则A. B. C. D. 17.已知某公司生产的一种产品的质量单位：千克服从正态分布现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间内的产品估计有附：若，则，A. 8185件B. 6826件C. 4772件D. 2718件8.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为的结论素数即质数，根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n的值为100，则输出k的值应属于区间A.B.C.D.9.已知，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与圆相切，切点T，且交双曲线右支于点P，若，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.10.已知函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则A. B. C. 0 D. 211.在中，G为的重心，，，则面积的最大值为A. B. C. D.12.设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为响应党中央提出的“稳疆兴疆，富民固边”战略，2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师不同姓到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为______．14.在数列中，，，记是数列的前n项和，则______．15.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足且为常数，则P点的轨迹为圆．已知圆O：和，若定点和常数满足：对圆O上任意一点M，都有，则______，面积的最大值为______．16.已知四面体ABCD中，，，，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为，，有下列结论：该四面体的外接球的表面积为，该四面体的体积为10，，，其中所有正确结论的编号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角A的大小；若，角B的平分线交AC于点D，求的面积．18.某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量．当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品．第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，求至少有1件优等品的概率；现某人决定购买80件该产品．已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X元，求X 的分布列与数学期望．19.如图，在三棱锥中，为正三角形，M为棱PA的中点，，，平面平面PAC求证：平面平面PAC；若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角的正弦值．20.已知椭圆C：的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线l与椭圆C交于，两点，其中直线l不过原点．求椭圆C的方程；设直线OA，l，OB的斜率分别为，k，，其中且记的面积为分别以OA，OB为直径的圆的面积依次为，，求的最小值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．讨论函数的单调性；当时，函数有最小值，求函数的值域．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，圆C的参数方程为为参数求l和C的普通方程；设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23.已知函数．若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围；当时，记的最小值为M，正实数a，b，c满足，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，或，．故选：B．可以求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：，，，，故选：C．化简复数，即可求出．本题考查复数的化简，考查复数的模，考查学生的计算能力，比较基础．3.答案：A解析：解：当时，，所以，排除C，D；因为时，，所以，因此排除B，故选：A．利用趋近性结合排除法即可得到答案．本题考查由函数解析式确定函数图象，解决这类题的方法一般是从单调性，奇偶性，特殊点及趋近性等角度，运用排除法求解，属于基础题．4.答案：D解析：【分析】在同一坐标系中分别画出，，，的图象，数形结合能判断三个数的大小．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：在同一坐标系中分别画出，，，的图象，与的交点的横坐标为a，与的图象的交点的横坐标为b，与的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出．故选：D．5.答案：B解析：解：如图，由得，，又，，．故选：B．可画出图形，根据即可得出，并得出，从而得出，然后进行数量积的运算即可．本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：因为，均为锐角，所以，所以，，由，所以，，所以，故选：D．因为，均为锐角，所以，所以，，由求出，再求出，代入即可．考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的公式的应用，中档题．7.答案：A解析：解：依题意，，，，质量在区间内的产品估计有件，故选：A．产品的质量单位：千克服从正态分布所以，，，代入计算即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：解：该流程图是统计100以内素数的个数，由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为；则100以内的素数个数为：．故选：B．由流程图可知其作用为统计100以内素数的个数，将代入可求得近似值，从而得到结果．本题考查了判断新定义运算的应用问题，关键是能够明确流程图的具体作用．9.答案：C解析：解：连，过作，若，则易知，，，，，所以在中，，整理得，所以渐近线方程为，即，故选：C．连，过作，结合向量共线定理和三角形的中位线定理，双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量共线定理和三角形的中位线定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题．10.答案：A解析：解：函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数在区间内的图象相切，在区间上，y的解析式为，故由题意切点坐标为，切线斜率，由点斜式得切线方程为：，即，直线过原点，，得，则，故选：A．依题意，过原点的直线与函数在区间内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得，代入所求关系式即可求得答案．本题考查直线与余弦曲线的交点，考查导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，求得是关键，考查三角函数间的关系的综合应用，属于难题．11.答案：B解析：解：由重心的性质可得：因为，所以，如图建立平面直角坐标系，以BC所在的直线为x轴，以过BC的中点D垂直于BC的直线为y轴由题意可得，，，设，由可得：，整理可得：，所以G是以为圆心，以为半径的圆，所以G到BC的最大距离为，所以的面积的最大值为，又，故选：B．由题意建立平面直角坐标系，求出G所满足的方程，可得三角形BGC的面积的最大值，再由的最大值．本题考查三角形的几何运算，及面积公式，属于中档题．12.答案：D解析：解：设，则，所以，令得，解得，所以，由题意可知，对恒成立，即对恒成立，令，则，易知在上为减函数，在上为增函数，所以，则，故选：D．先利用换元法求出的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题．本题考查函数的单调性的应用问题，属于中档题目．13.答案：解析：解：2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师不同姓到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人．基本事件总数，李老师与杨老师安排去同一个学校包含的基本事件个数．李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为．故答案为：．基本事件总数，李老师与杨老师安排去同一个学校包含的基本事件个数由此能求出李老师与杨老师安排去同一个学校的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：60解析：解：当n为偶数时，；当n为奇数时，，奇数项是公差为1的等差数列；故答案为：60．讨论n为奇或偶，得出递推式，即可知道数列的项的特征，从而求出．本题主要考查分组求和法的应用，属于基础题．15.答案：2解析：解：设点，由，得，整理得，所以解得，如右图，当或时，．故答案为：2；．画出图形，通过，求解轨迹方程，推出，然后求解三角形的面积．本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意可得此四面体放在长方体中，如图所示，，，是边长为5，，的三角形的三个内角，故，如图所示，故正确．可得，解得：，，，可得，可得O为AF与DE的交点，因为AO与AB，AC，AD所成的角分别为，，，可得，，，所以，即错误；四面体外接球的直径的平方为，所以该四面体外接球的表面积为，即正确；四面体的体积等于长方体的体积减去4个三棱锥的体积，，即错误；故答案为：．直接利用三角形的面积公式的应用，线面夹角的应用，勾股定理的应用，球与四面体之间的关系的应用求出结果，本题考查的知识要点：三角形的面积公式的应用，线面夹角的应用，勾股定理的应用，球与四面体之间的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.答案：解：由及正弦定理知，又，由余弦定理得，，；由知，又，在中，由正弦定理知：，在中，由正弦定理及，解得，故．解析：由正弦定理及其余弦定理，求出角A即可；由求出B，C，再由及，，求出AD，再求出面积．考查正余弦定理的应用，中档题．18.答案：解：由条形图可知，500件中优等品有件，优等品的频率为，用频率估计概率，抽取一件产品属于优等品的概率为，随机抽取4件产品，至少有1件优等品的概率为．当按每件1600元购买时，；当按每件1500元购买时，．；．的分布列为X 47000 39000P数学期望．解析：由条形图可知，优等品的数量为件，所以抽取一件产品属于优等品的概率为，再结合对立事件的概率和独立重复事件的概率，可得随机抽取4件产品，至少有1件优等品的概率为；当按每件1600元购买时，；当按每件1500元购买时，，再按独立重复事件的概率求出，所以，从而可得X的分布列，利用数学期望的公式即可求出．本题考查对立事件的概率、独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：证明：因为为正三角形，M为棱PA的中点，所以，又平面平面PAC，且平面平面，所以平面PAB，所以，又，且，所以平面PAC，又平面ABC，所以平面平面PAC．作AC中点O，连OP，由及可知平面ABC以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．设则，，设，则，，设平面ABC的法向量为0，，因为PQ与平面ABC所成角的正弦值为所以，即，解得即Q为AB的中点，则，设平面QMC的法向量为y，，则，即，，取，设平面AMC的法向量为，则1，则二面角的余弦值为，故．解析：证明，推出平面PAB，得到，结合，推出平面PAC，然后证明平面平面PAC．作AC中点O，连OP，以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．求出平面ABC的法向量，平面QMC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值，然后求解正弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.答案：解：由题意知，，解得，所以椭圆C的方程为．设直线l的方程为，由消去y整理得，根据题设有：且，．因为，所以，将，代入，化简得：，，．此时且，解得故，又，为定值．，当且仅当即时等号成立．综上：的最小值为．解析：利用已知条件列出方程组，求出，然后求解椭圆C的方程．设直线l的方程为，由消去y整理得，利用判别式以及韦达定理，转化表示三角形的面积，通过基本不等式求解表达式的最值即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ函数，所以；当时，，函数在区间上单调递增；当时，令，得，解得，令，得，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；Ⅱ，设，则，故在上单调递增，对于，由，，故存在，使得，即，亦即，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，则，即，则，而，即单调递增，又，故．解析：求出函数的导数，利用导数判断函数的单调性即可；从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域．该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复杂函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，难度中等．22.答案：解：圆C的参数方程为为参数：所以，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为为参数，转换为，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为代入，得到：，所以，．故解析：直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：不等式对任意的恒成立，可得，由，可得，即为或恒成立，由或，解得或；证明：由，当且仅当时，取得最小值3，即，则正实数a，b，c满足，可得，即有，同样，当且仅当取得等号，则．解析：由题意可得，即为或恒成立，再由一次函数的单调性，可得所求范围；由绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得的最小值M，再二次运用柯西不等式，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020届江西省南昌二中高三数学5月模拟考试试卷(理)
江西省南昌二中2020届高三5月模拟考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共60分．1．若z 的共轭复数为z ，()2f z i z i +=+（i 为虚数单位），则)23(i f +等于 （ ）A ．3i -B ．3i +C ．33i +D ．32i -2．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．2或-3D ．2或33．平面向量(,3),(2,1),(1,)a x b c y =-=-=v v v ，若(),//()a b c b a c ⊥-+v v v v v v则b v 与c v 的夹角为（ ）A ．0B ．4πC ．2πD ．34π4．现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100m 接力赛跑。
第一棒只能从甲、乙两人中安排1人，第四棒只能从甲、丙两人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种 5．能够使圆014222=++-+y x y x 恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值为 （ ）A ．5B ．53C ．2D ．36．若第一象限内的点),(y x A 落在经过点（6，—2）且方向向量为)2,3(-=a 的直线l 上，则3223log log t y x =-有（ ）A ．最大值23B ．最大值1C ．最小值23 D ．最小值17．在三棱锥A —BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为2、2、2A —BCD 的外接球的体积为学 （ ）AB ．C ．D ．8．在243)1(xx +的展开式中,x 的幂的指数是整数的项共有（ ）A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项9．设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若=<<-=>)01(,)1(ξξP p P 则 （ ）A ．p +21B ．p -1C ．p -21D ．p 21-10．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．给出下列函数：①()sin cos f x x x =+；②())sin cos f x x x =+；③()sin f x x =；④()f x x其中“互为生成”函数的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④11．f (x )是偶函数，且f (x )在[0，+∞]上是增函数；不等式f (ax + 1)≤f (x –2)对x ∈[12，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[–2，0]B ．[–5，0]C ．[–5，1]D ．[–2，1]12．对于任意实数a ，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间[,3]a a +上的值54出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k 可以取 （ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知52x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 .14．设三角形ABC 的BC 边上的高AD=BC ，c b a 、、分别表示角A 、B 、C 对应的三边，则bcc b +的取值范围是 ;15．已知x 、y 满足1420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩且目标函数2z x y =+的最大值为7，则最小值为______;16．给出下列命题：①．函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称.②．在R 上连续的函数()f x 若是增函数，则对任意0x R ∈均有/0()0f x >成立.③．已知函数2sin()(0,0),2y x y ωθωθπ=+><<=为偶函数其图象与直线的交点的横坐标为1212,.||,2,x x x x πωθ-若的最小值为则的值为的值为2π. ④．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.⑤．若P 为双曲线2219y x -=上一点，1F 、2F 分别为双曲线的左右焦点，且24PF =，则12PF =或6.其中正确的命题是＿＿＿＿（把所有正确的命题的选项都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数2()4sin sin ()cos242x f x x x π=++ （1）设0w >为常数，若()y f wx =在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求w 的取值范围。
2020年高考模拟试卷江西省南昌市新建二中高考(理科)数学模拟试卷 含解析
2020年高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题1．已知i是虚数单位，则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．2﹣2i2．已知集合A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|2x﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|0＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 3．若，则sin2x＝（）A．B．C．D．4．在△ABC内部任取一点M，使得△MBC的面积与△ABC的面积的比值大于的概率为（）A．B．C．D．5．等比数列{a n}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的结果s为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．37．水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米若．以水面为x轴，圆心到水面的垂线为y轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点A处开始计时，经过t秒后转到P点的位置，则点P到水面的距离h与时间t的函数关系式为（）A．B．C．D．8．设a＝0.2π，b＝logπ0.2，c＝π0.2，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（）A．360B．240C．150D．9010．如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球O1；顶部为球O2，其直径与正四面体的棱长a相等，若这样设计奖杯，则球O1与球O2的半径之比r1：r2＝（）A．1：6B．C．1：3D．11．已知圆C：x2+y2﹣8y+14＝0，直线l：mx﹣y﹣3m+1＝0与x轴，y轴分别交于A，B 两点．设圆C上任意一点P到直线的距离l为d，若d取最大值时，△PAB的面积（）A．B．8C．6D．12．已知函数，若不等式f（x）＜2仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，满足||＝1，＝（1，），若•（﹣）＝2，则与的夹角为．14．一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐a个馒头，小和尚每餐每a人吃1个馒头．若大和尚的人数用f（a）表示，则f（a）＝．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过右支上一点P作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H．若|PH|+|PF1|的最小值为4a，则双曲线C的离心率为．16．已知数列{a n}的前n项和S n满足：（n∈N*），则数列{a n}中最大项等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bc cos C+c2cos B＝2ab．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，则△ABC的面积的最大值．18．如图，多面体ABCE中，平面AEC⊥平面ABC，AC⊥BC，AE⊥CD四边形BCDE为平行四边形．（Ⅰ）证明：AE⊥EC；（Ⅱ）若AE＝EC＝CB＝，求二面角D﹣AC﹣E的余弦值．19．已知椭圆C1：（a＞b＞0）的一个焦点F与抛物线C2：y2＝4x的焦点重合，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）过焦点F的直线l与抛物线C2交于A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点，满足，求直线l的方程．20．某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的方法获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t），通过分组整理数据，得到数据的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求图中m的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值．（保留3位小数）（Ⅱ）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，问恰有2户超过2.5t的概率为多少？（Ⅲ）若按月均用水量[0.5，2.5）和[2.5，5.5]分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，每户出一人参加水价调整方案听证会．并从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间[0.5，2.5]的人数为X，求X的分布列和数学期望．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax+b．其中a，b∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）在x＝0处存在极值﹣1，且x∈（﹣1，+∞）时，f（x）+2＞k（x+1）恒成立，求实数k的最大整数．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为（1，0），若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）＝|x|+|x+1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥2；（Ⅱ）若a，b，c∈R+，函数f（x）的最小值为m，若a+b+c＝m，求证：ab+bc+ac≤．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i是虚数单位，则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．2﹣2i解：．故选：A．2．已知集合A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|2x﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|0＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}解：∵集合A＝{x|y＝ln（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|2x﹣1≤0}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}．故选：B．3．若，则sin2x＝（）A．B．C．D．解：因为，所以x为第二或第四象限的角；若x为第二象限的角，则，；若x为第四象限的角，则，；所以．故选：B．4．在△ABC内部任取一点M，使得△MBC的面积与△ABC的面积的比值大于的概率为（）A．B．C．D．解：由题意，设△MBC的面积等于，△ABC的高为h，∵△ABC的面积为S，△MBC的面积等于，△ABC的高为h，∵M到BC的距离为h；即M的轨迹是与BC的距离为h的一条直线，如图：∴M三角形ADE内∴三角形MC的面积大于的概率为（1﹣）2＝；故选：D．5．等比数列{a n}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣【解答】解∵S3＝18，a3＝6∴a1+a2＝＝12即2q2﹣q﹣1＝0解得q＝1或q＝﹣，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果s为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3解：模拟程序的运行，可得n＝1，s＝1执行循环体，s＝0，n＝2不满足条件n＞4，执行循环体，s＝2，n＝3不满足条件n＞4，执行循环体，s＝﹣1，n＝4不满足条件n＞4，执行循环体，s＝3，n＝5此时，满足条件n＞4，退出循环，输出s的值为3．故选：D．7．水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米若．以水面为x轴，圆心到水面的垂线为y轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点A处开始计时，经过t秒后转到P点的位置，则点P到水面的距离h与时间t的函数关系式为（）A．B．C．D．解：由题意，如图，过P向x轴作垂线，垂足为E，则h＝PE＝PD+1.5，∵r＝3，BO＝1.5，可得∠CBA＝∠BAO＝，∵水车的角速度ω＝＝，∴由题意可得，∠PBA＝t，可得∠PBD＝∠PBA﹣∠CBA＝t﹣，∴在△PBD中，PD＝PB sin∠PBD＝3sin（t﹣），∴点P到水面的距离h＝PD+1.5＝3sin（t﹣）+1.5．故选：A．8．设a＝0.2π，b＝logπ0.2，c＝π0.2，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：∵0＜0.2π＜0.20＝1，logπ0.2＜logπ1＝0，π0.2＞π0＝1，∴b＜a＜c．故选：C．9．五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（）A．360B．240C．150D．90解：先分类再分配第一步分两类（2，2，1）和（3，1，1），则分类方法有种；第二步分配给三名学生有种分法；由分步计数乘法原理得：种．故选：C．10．如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球O1；顶部为球O2，其直径与正四面体的棱长a相等，若这样设计奖杯，则球O1与球O2的半径之比r1：r2＝（）A．1：6B．C．1：3D．解：设内切球O1的半径r1，正四面体的高为h，利用等体积得，，所以4r1＝h，又，则，球O2的半径，所以．故选：B．11．已知圆C：x2+y2﹣8y+14＝0，直线l：mx﹣y﹣3m+1＝0与x轴，y轴分别交于A，B 两点．设圆C上任意一点P到直线的距离l为d，若d取最大值时，△PAB的面积（）A．B．8C．6D．解：直线l：mx﹣y﹣3m+1＝0，整理可得：y＝m（x﹣3）+1，所以过定点M（3，1），圆C：x2+y2﹣8y+14＝0的圆心C（0，4），半径；当MC⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，∵k MC＝﹣1，∴k l＝1，即直线l方程为x﹣y ﹣2＝0，则A（2，0），B（0，﹣2），，C到直线l的距离为，则P到直线l的最大距离，此时△PAB的面积，故选：B．12．已知函数，若不等式f（x）＜2仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：由，则由．可得，，当a＞0时，，f'（x）＜0，f（x）单调递减，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，且f（1）＝0，则f（x）＜2有两个整数解为1，2，所以，且，解得，当a＜0时，，f'（x）＜0，f（x）单调递减，且f（1）＝0，则f（x）＜2整数解有无数个，不满足题意．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，满足||＝1，＝（1，），若•（﹣）＝2，则与的夹角为120°．解：因为•（﹣）＝2﹣＝1﹣＝2，所以＝﹣1，则cos＜，＞＝＝＝﹣，即有与的夹角为120°，故答案为120°．14．一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐a个馒头，小和尚每餐每a人吃1个馒头．若大和尚的人数用f（a）表示，则f（a）＝．解：设大和尚有x人，则，即x（a2﹣1）＝100（a﹣1），当a＝1时，与生活实际不符，所以a≠1，解得，即，故答案为：．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过右支上一点P作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H．若|PH|+|PF1|的最小值为4a，则双曲线C的离心率为．解：由双曲线定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，则|PF1|＝|PF2|+2a，∴|PH|+|PF1|＝|PH|+|PF2|+2a，所以，过F2作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H，交右支于点P，此时|PH|+|PF2|+2a最小且最小值为4a，易求焦点到渐近线的距离为b即|PH|+|PF2|＝b，所以b+2a＝4a，即b＝2a，c2＝5a2，可求离心率．故答案为：．16．已知数列{a n}的前n项和S n满足：（n∈N*），则数列{a n}中最大项等于．解：已知得n≥2时，，则，即：，令，又∵，∴数列{b n}是首项，公差为1的等差数列，则b n＝n，所以，，又因为，所以a1＜a2＝a3＞a4＞…＞a n，故数列{a n}中且最大．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bc cos C+c2cos B＝2ab．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，则△ABC的面积的最大值．解：（Ⅰ）由bc cos C+c2cos B＝2ab，得c（b cos C+c cos B）＝2ab，由正弦定理知：c（sin B cos C+sin C cos B）＝2b sin A即c sin（B+C）＝2b sin A，c sin A＝2b sin A ∵sin A≠0，∴c＝2b；（Ⅱ）由余弦定理知，a2＝c2+b2﹣2cb cos A＝5b2﹣4b2cos A＝6，则；∴，即5S﹣4S cos A＝6sin A，∴，∴，解得S≤2，即△ABC的面积的最大值是2．18．如图，多面体ABCE中，平面AEC⊥平面ABC，AC⊥BC，AE⊥CD四边形BCDE为平行四边形．（Ⅰ）证明：AE⊥EC；（Ⅱ）若AE＝EC＝CB＝，求二面角D﹣AC﹣E的余弦值．解：（Ⅰ）证明：因为平面AEC⊥平面ABC，交线为AC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面AEC，BC⊥AE，又AE⊥CD，CD∩BC＝C，则AE⊥平面BCDE，EC⊂平面BCDE，所以AE⊥EC；（Ⅱ）取AC的中点O，AB的中点F，连接OE，OF，则OE⊥平面ABC，OF⊥平面AEC，以点O为坐标原点，分别以OA，OF，OE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，已知，则AC＝2，OE＝1．O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），，则，，设平面DAE的一个法向量，由得令，则x＝0，z＝2，即，平面ECA的一个法向量为，由，所以二面角D﹣AC﹣E的余弦值为．19．已知椭圆C1：（a＞b＞0）的一个焦点F与抛物线C2：y2＝4x的焦点重合，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）过焦点F的直线l与抛物线C2交于A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点，满足，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由已知椭圆的离心率，c＝1，得，则b＝1，故椭圆C1的标准方程为（Ⅱ）当直线l不存在斜率时，可求出A（1，2），B（1，﹣2），，，所以|AB|＝4，，不满足条件；当直线l存在斜率时，设直线方程为y＝k（x﹣1），代入椭圆C1方程得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＞0恒成立，设C（x1，y1），D （x2，y2），则所以，将直线l：y＝k（x﹣1），代入抛物线C2得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x3，y3），B（x4，y4），则，又因为，由，得：，所以，解得k＝±1，所以直线l的方程为x±y﹣1＝0．20．某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的方法获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t），通过分组整理数据，得到数据的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求图中m的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值．（保留3位小数）（Ⅱ）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，问恰有2户超过2.5t的概率为多少？（Ⅲ）若按月均用水量[0.5，2.5）和[2.5，5.5]分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，每户出一人参加水价调整方案听证会．并从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间[0.5，2.5]的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（0.10+0.30+0.35+m+0.05）×1＝1，解得m＝0.20，[0.5，2.5）的频率为0.1+0.3＝0.4，[2.5，3.5）的频率为0.35，∴估计该社区居民月均用水量的中位数为：2.5+×1≈2.786．平均值为：1×0.1+2×0.3+3×0.35+4×0.2+5×0.05＝2.800．（Ⅱ）用此样本频率估计概率，从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，月均用水量超过2.5t的概率为：0.35+0.2+0.05＝0.6，∴恰有2户超过2.5t的概率为P＝＝0.432．（Ⅲ）若按月均用水量[0.5，2.5）和[2.5，5.5]分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，月均用水量[0.5，2.5）中抽取：10×（0.1+0.3）＝4户，月均用水量[2.5，5.5]中抽取：10×（0.35+0.2+0.005）＝6户．从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间[0.5，2.5]的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P数学期望E（X）＝＝．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax+b．其中a，b∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）在x＝0处存在极值﹣1，且x∈（﹣1，+∞）时，f（x）+2＞k（x+1）恒成立，求实数k的最大整数．解：（Ⅰ）f'（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，f'（x）＝e x﹣a＝0，x＝lna，则x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减；x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增；综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（Ⅱ）函数f（x）在x＝0处存在极值﹣1，由（Ⅰ）知a＞0，且f'（0）＝e0﹣a＝0，f（0）＝1+b＝﹣1，所以a＝1，b＝﹣2，则f（x）＝e x﹣x﹣2；因为f'（x）＝e x﹣1＝0，x＝0，所以x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则f（x）在x＝0处存在极值f（0）＝﹣1满足题意．（不检验扣1分）由题意f（x）+2＞k（x+1）恒成立，即e x﹣x＞k（x+1），对x∈（﹣1，+∞）恒成立，即：，设，只需k＜h（x）min，因为，又令t（x）＝xe x﹣1，t'（x）＝e x+xe x＝（1+x）e x，所以t（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，因为，t（1）＝e﹣1＞0．知存在使得，即，且在（﹣1，x0）上，t'（x）＜0，h'（x）＜0，h（x）单调递减，在（x0，+∞）上，t'（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以，，即，∴，又h（0）＝1，知h（x）min∈（0，1），所以k的最大整数为0．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为（1，0），若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求的值．解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：（α为参数）．转化为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为y+x﹣1＝0．（Ⅱ）把直线x+y﹣1＝0的方程为转换为参数方程为（t为参数）．把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到，所以，t1t2＝﹣6，所以＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）＝|x|+|x+1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥2；（Ⅱ）若a，b，c∈R+，函数f（x）的最小值为m，若a+b+c＝m，求证：ab+bc+ac≤．解：（Ⅰ）f（x）≥2即|x|+|x+1|≥2，可得或或，解得x≥或x∈∅或x≤﹣，则原不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣}；（Ⅱ）证明：f（x）＝|x|+|x+1|≥|x﹣x﹣1|＝1，当且仅当x（x+1）≤0，即﹣1≤x≤0时，上式取得等号，可得函数f（x）的最小值为1，则a+b+c＝1，且a，b，c∈R+，由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca＝3（ab+bc+ca），可得3（ab+bc+ca）≤1，当且仅当a＝b＝c＝取得等号，即ab+bc+ac≤．。
江西省南昌二中2020届高三5月模拟考试(理数)
江西省南昌二中2020届高三5月模拟考试数学（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜14．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜16．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000 0震001 1坎010 2兑011 3以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．159．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．710．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2 B．C．D．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝二、填空题13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝；该段曲线的函数解析式是．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值为．三、解答题：共70分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22-23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E 与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B【分析】先求出集合A，从而找出正确选项．解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A＝{y|y≥﹣1}，又B＝{x|x≥2}∴A∩B＝{x|x≥2}＝B．故选：C．2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i【分析】把z1＝6﹣8i，z2＝﹣i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，∴＝．故选：B．3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a＝﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A 不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．4．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）【分析】题目要写出与的终边相同的角，只要在该角基础上加2π的整数倍即可，但角度值和弧度制不能混用．解：与的终边相同的角可以写成2kπ+π（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．故选：C．5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x＝1时log a（x+c）＝log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x＝0时log a（x+c）＝log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．6．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）＝，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000 0震001 1坎010 2兑011 3以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．15【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案．解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25＝17．故选：B．9．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：作出x，y满足约束条件，对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，0），此时z max＝3×2+2×0＝6，故选：C．10．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2 B．C．D．【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．解：设直线l的方程为y＝x+t，代入+y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝4×≤．故选：C．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，在（﹣2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2﹣＝﹣得，x＝0或x＝﹣3；则结合图象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故选：C．12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝【分析】由条件可设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），由向量的坐标表示可得C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，运用最大值为d+r，最小值为d﹣r，计算可得所求．解：平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2，由•＝2×2cos＜，＞＝2，可得cos＜，＞＝，sin＜，＞＝，设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），可得（x，y）•（4﹣2x，2﹣2y）＝2，即为x（4﹣2x）+y（2﹣2y）＝2，化为x2+y2﹣2x﹣y+1＝0，则C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，显然最大值为|AC|+r＝+＝；最小值为|AC|﹣r＝﹣＝；且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，显然最大值为|DC|+r＝+＝；最小值为|DC|﹣r＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b＝20；该段曲线的函数解析式是y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．．【分析】通过函数的图象，求出A，b，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（10，20）求出φ，得到函数的解析式．解：由题意以及函数的图象可知，A＝10，b＝20，T＝2（14﹣6）＝16，所以ω＝＝，函数经过（10，20）所以20＝10sin（×10+φ）+20，所以φ＝，所以函数的解析式：y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．故答案为：20；y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是{a|a＜﹣1}．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．解：∵y＝e x+ax，∴y'＝e x+a．由题意知e x+a＝0有大于0的实根，由e x＝﹣a，得a＝﹣e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＜﹣1．故答案为：{a|a＜﹣1}．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣3＝0．【分析】设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），代入椭圆方程，作差，即可求得直线的斜率，求得的直线方程；解：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则两式相减得+＝0．∵x1+x2＝2，y1+y2＝2，∴x1﹣x2+2（y1﹣y2）＝0，x+2y﹣3＝0故答案为：x+2y﹣3＝0．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值为﹣．【分析】根据图形知：O是线段AB的中点，所以+＝2，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．【解答】解∵圆心O是直径AB的中点，∴+＝2，∴（+）•＝2•，∵||+||＝3≥2，∴||•||≤，即（+）•＝2•＝﹣2||•||≥﹣，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为﹣．故答案为：﹣．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，即可求得函数解析式；（2）用五点法即可作函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期上的图象．解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω＝2．又因为当x＝时，f（x）取得最大值2．所以A＝2，同时2×+φ＝2kπ+，k∈Z，φ＝2kπ+，k∈Z，因为﹣＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）因为x∈[0，π]，所以2x+∈[，]，列表如下：π2π2x+x0 πf（x） 1 2 0 ﹣2 0 1描点、连线得图象：18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E 与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，∴AB∥EF，又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，∵BC⊥BD，FG∥BC，∴FG⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，FG⊂平面BCD，∴FG⊥平面ABD，∵AD⊂平面ABD，∴FG⊥AD，∵AD⊥EF，且EF∩FG＝F，∴AD⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴AD⊥EG，∵EG∥AC，∴AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；（2）X的可能取值为：200，300，400；求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）＝＝＝；（2）X的可能取值为200，300，400，P（X＝200）＝＝＝，P（X＝300）＝＝＝，P（X＝400）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝1﹣﹣＝；所以X的分布列为：X200 300 400P数学期望为EX＝200×+300×+400×＝350．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2＝3，即可得到椭圆方程．解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc＝0，则原点到直线的距离为d＝＝c，即为a＝2b，e＝＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|＝，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y＝k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝．x1x2＝，由M为AB的中点，可得x1+x2＝﹣4，得＝﹣4，解得k＝，从而x1x2＝8﹣2b2，于是|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝＝，解得b2＝3，则有椭圆E的方程为+＝1．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），根据y＝f'（x）的两个零点﹣3和0以及a的符号，即可解得不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）及所给已知条件可求出f（x），再利用导数即可求得函数f（x）在闭区间上的最大值；解：（Ⅰ），令g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c，因为e x＞0，所以y＝f'（x）的零点就是g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．又因为a＞0，所以﹣3＜x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，当x＜﹣3，或x＞0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x＝﹣3是f（x）的极小值点，所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以．∵f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），∴f（0）＝5为函数f（x）的极大值，∴f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值取f（﹣5）和f（0）中的最大者．而＞5，所以函数f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值是5e5．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，转换为直角坐标方程为．所以该曲线为直线．曲线C2：ρ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0．所以该曲线为以（1，0）为圆心，1为半径的圆．（2）首先把x2+y2﹣2x＝0转换为（x﹣1）2+y2＝1，利用点（1，0）到直线的距离d＝，则说明圆心在直线上，所以|AB|＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）表示出x的范围，得到关于p的方程组，求出p的值，得到，根据乘“1”法证明即可．解：（I）当p＝2时，不等式化为|x﹣2|+|x﹣1|≥4∵∴不等式的解集为（II）根据f（x）≥1得|x﹣p|≥1⇒x≤p﹣1或x≥p+1，∵f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），故，所以，∵m＞0，n＞0，∴，当且仅当m＝3，n＝4时取等号，∴m+2n≥11.。
2020年5月江西省南昌市2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题及答案
第二次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N ==∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2πC ．23πD ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A B C D 7．函数ln ()xx xf x e =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆2220x y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．B ．C ．3D ．9．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．B ．C ．D ． 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线y =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2+ D ．212．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面P AC 垂直的平面α，平面α与截面P AC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上）①2； ② ③3； ④三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江西省名校(临川一中、南昌二中)2020届高三数学5月联合考试题 理(含解析)
江西省名校（临川一中、南昌二中）2020届高三数学5月联合考试题理（含解析）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分，考试时间120分钟2.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填图在答题卡相应的位置。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =+-≤=<，则A B ⋂=（ ）A. {}31x x -≤≤B. {}01x x ≤≤C. {}31x x -≤<D.{}10x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A,B ，再求得解.【详解】{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<, 所以A B ⋂={}01x x ≤≤. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A. 5- B. 5C. 34i -+D. 34i -【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知22z i =-+，据此结合复数的乘法运算法则计算21z z 的值即可.【详解】由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D. 互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多 【答案】D 【解析】 【分析】本道题分别将各个群体的比例代入，即可。
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={12,a 2+4a,a −2}，且−3∈A ，则a =( )A. −1B. −3或−1C. 3D. −32. 复数z =1−2i 1+i+i ，则|z|=( )A. 0B. √2C. 1D. √223. 双曲线x 2m−y 23+m =1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A. 12B. 1或3C. 1+√22D. √2−124. 已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2+a 3=3，则a 4=( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. −56B. −16C. 16D. 566. 如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记∠ABP =x(x ∈[0,π2])，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴影部分)的面积为y =f(x)，则函数f(x)的图象是( )A.B.C.D.7.若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4<m2−m有解，则实数m的取值范围是()A. (−1,2)B.C. (−2,1)D.8.已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为()A. 514B. 914C. 59D. 499.已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (0,1)B. (1,+∞)C. (−1,0)D. (−∞,−1)10.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π,2π)内有零点，则ω的取值范围是()A. (14,58)∪(54,+∞) B. (0,14]∪[58,1)C. (18,14)∪(58,54) D. (18,14)∪(58,+∞)11.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则平面B1CD1到平面A1BD的距离是()A. √32B. √22C. 2√23D. 2√3312.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的平分线，则双曲线C的离心率e=()A. √5−1B. 1+√52C. 3+√52D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=10，S4=36，则公差d为______ ．14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这100人的月平均收入为______元．15.如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=√63，AB=6，BD=√6，则ADsin∠BAD=______ ．16.已知函数f(x)=x|x2−3|，若存在实数m，m∈(0,√5]，使得当x∈[0,m]时，f(x)的取值范围是[0,am]，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsinC =√3b−csinB−sinA．(1)求角A的大小；(2)若等差数列{a n}的公差不为零，a1sinA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{4a n a n+1}的前n项和S n．18.某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：x(公顷)2040506080y(°C)34445(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =1，AA 1=2，点D 是侧棱AA 1的中点． (1)证明：DC 1⊥平面BCD ； (2)求三棱锥B 1−BCD 的体积．20. 已知抛物线的方程为y 2=−8x ，设过点N(2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线相交于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点E ，求点E 的横坐标的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +2ax+1+bx(a ∈R,b ∈R)．(1)当a =0时，若函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点，求b 的取值范围；(2)当b =0时，是否存在a ∈R ，使得不等式f(x)≤a2(x +1)恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x +y −2=0，曲线C 2：{x =1+cosθy =sinθ，(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)曲线C 3：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t >0，0<α<π2)，分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，|OB||OA|取得最大值．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x−2m|−|x|，m∈N∗，且f(x)<4恒成立．(1)解关于x的不等式f(x)>1−3x；(2)若α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求证：4α+1β≥18．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了元素与集合的关系及元素的性质，属于基础题．由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a，再根据集合中元素的互异性确定a的值即可．解：由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1或−3，当a=−1时，A={12,−3,−3}，不符合元素的互异性，舍去；当a=−3时，A={12,−3,−5}，符合题意，即a=−3．故选D．2.答案：D解析：解：∵z=1−2i1+i +i=(1−2i)⋅(1−i)(1+i)(1−i)+i=−12−32i+i=−12−12i，∴|z|=√22．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题．根据双曲线的焦点且c=2，可知m+3+m=4，进而得出m的值．解：∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c=2，∴m+3+m=c2=4．。
2020年江西省高考数学模拟试卷(理科)(5月份) (含答案解析)
2020年江西省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(2+i)z=−i(i是虚数单位则z在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设全集，集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|x−1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A. {x|x≤−1或x≥3}B. {x|x<1或x≥3}C. {x|x≤1}D. {x|x≤−1}3.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()A. 2B. 4C. 8D. 164.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气．得到如下2×2列联表：夜晚天气下雨未下雨日落云里走出现255未出现2545临界值表P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828并计算得到K2≈19.05，下列小波对地区A天气判断不正确的是A. 夜晚下雨的概率约为12B. 未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为514C. 有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关D. 出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨6.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=()A. −43B. −34C. √3D. 27.已知0<a<1，则a2,2a,log2a的大小关系是()A. a2>2a>log2aB. 2a>a2>log2aC. log2a>a2>2aD. 2a>log2a>a28.在矩形ABCD中，AB=4，AD=2√2，以A，B为焦点的双曲线经过C，D两点，则此双曲线的离心率为()A. 2(√3−1)B. √3+1C. √6+√22D. √6+√229.已知函数f(x)={x 2+2x, x≤0|lgx|, x>0，则函数g(x)=f(1−x)−1的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为()A. 13B. √32C. 2324D. 242511.三棱锥P−ABC中，PA=PC=AC=2√2，BA=BC=2，平面PAC⊥平面ABC.若三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A. 8π3B. 20π3C. 32π3D. 10π12. 设f ˈ(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(2x +1)2(x −2)3的展开式中，x 2的系数等于______．14. 已知向量a ⃗ =(cos36°,sin36°)，b ⃗ =(cos24°,sin(−24°))，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．15. 三视图如图所示的几何体的全面积是______．16. {a n }是等差数列，a 4=−20，a 16=16，则|a 1|+|a 2|+⋯+|a 20|= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知点O 是△ABC 的外接圆的圆心，AB =3，AC =2√2，∠BAC =π4．(1)求外接圆O 的面积． (2)求BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值．19.2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z满足，则A. B. 1 C. D. 53.函数的部分图象大致是A. B. C. D.4.设a，b，c均为正数，且，，，则A. B. C. D.5.在中，，，则A. 4B.C. 6D.6.已知，，，均为锐角，则A. B. C. D. 17.已知某公司生产的一种产品的质量单位：千克服从正态分布现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间内的产品估计有附：若，则，A. 8185件B. 6826件C. 4772件D. 2718件8.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为的结论素数即质数，根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n的值为100，则输出k的值应属于区间A.B.C.D.9.已知，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与圆相切，切点T，且交双曲线右支于点P，若，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.10.已知函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则A. B. C. 0 D. 211.在中，G为的重心，，，则面积的最大值为A. B. C. D.12.设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为响应党中央提出的“稳疆兴疆，富民固边”战略，2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师不同姓到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为______．14.在数列中，，，记是数列的前n项和，则______．15.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足且为常数，则P点的轨迹为圆．已知圆O：和，若定点和常数满足：对圆O上任意一点M，都有，则______，面积的最大值为______．16.已知四面体ABCD中，，，，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为，，有下列结论：该四面体的外接球的表面积为，该四面体的体积为10，，，其中所有正确结论的编号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角A的大小；若，角B的平分线交AC于点D，求的面积．18.某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量．当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品．第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，求至少有1件优等品的概率；现某人决定购买80件该产品．已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X元，求X 的分布列与数学期望．19.如图，在三棱锥中，为正三角形，M为棱PA的中点，，，平面平面PAC求证：平面平面PAC；若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角的正弦值．20.已知椭圆C：的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线l与椭圆C交于，两点，其中直线l不过原点．求椭圆C的方程；设直线OA，l，OB的斜率分别为，k，，其中且记的面积为分别以OA，OB为直径的圆的面积依次为，，求的最小值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．讨论函数的单调性；当时，函数有最小值，求函数的值域．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，圆C的参数方程为为参数求l和C的普通方程；设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23.已知函数．若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围；当时，记的最小值为M，正实数a，b，c满足，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，或，．故选：B．可以求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：，，，，故选：C．化简复数，即可求出．本题考查复数的化简，考查复数的模，考查学生的计算能力，比较基础．3.答案：A解析：解：当时，，所以，排除C，D；因为时，，所以，因此排除B，故选：A．利用趋近性结合排除法即可得到答案．本题考查由函数解析式确定函数图象，解决这类题的方法一般是从单调性，奇偶性，特殊点及趋近性等角度，运用排除法求解，属于基础题．4.答案：D解析：【分析】在同一坐标系中分别画出，，，的图象，数形结合能判断三个数的大小．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：在同一坐标系中分别画出，，，的图象，与的交点的横坐标为a，与的图象的交点的横坐标为b，与的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出．故选：D．5.答案：B解析：解：如图，由得，，又，，．故选：B．可画出图形，根据即可得出，并得出，从而得出，然后进行数量积的运算即可．本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：因为，均为锐角，所以，所以，，由，所以，，所以，故选：D．因为，均为锐角，所以，所以，，由求出，再求出，代入即可．考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的公式的应用，中档题．7.答案：A解析：解：依题意，，，，质量在区间内的产品估计有件，故选：A．产品的质量单位：千克服从正态分布所以，，，代入计算即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：解：该流程图是统计100以内素数的个数，由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为；则100以内的素数个数为：．故选：B．由流程图可知其作用为统计100以内素数的个数，将代入可求得近似值，从而得到结果．本题考查了判断新定义运算的应用问题，关键是能够明确流程图的具体作用．9.答案：C解析：解：连，过作，若，则易知，，，，，所以在中，，整理得，所以渐近线方程为，即，故选：C．连，过作，结合向量共线定理和三角形的中位线定理，双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量共线定理和三角形的中位线定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题．10.答案：A解析：解：函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数在区间内的图象相切，在区间上，y的解析式为，故由题意切点坐标为，切线斜率，由点斜式得切线方程为：，即，直线过原点，，得，则，故选：A．依题意，过原点的直线与函数在区间内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得，代入所求关系式即可求得答案．本题考查直线与余弦曲线的交点，考查导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，求得是关键，考查三角函数间的关系的综合应用，属于难题．11.答案：B解析：解：由重心的性质可得：因为，所以，如图建立平面直角坐标系，以BC所在的直线为x轴，以过BC的中点D垂直于BC的直线为y轴由题意可得，，，设，由可得：，整理可得：，所以G是以为圆心，以为半径的圆，所以G到BC的最大距离为，所以的面积的最大值为，又，故选：B．由题意建立平面直角坐标系，求出G所满足的方程，可得三角形BGC的面积的最大值，再由的最大值．本题考查三角形的几何运算，及面积公式，属于中档题．12.答案：D解析：解：设，则，所以，令得，解得，所以，由题意可知，对恒成立，即对恒成立，令，则，易知在上为减函数，在上为增函数，所以，则，故选：D．先利用换元法求出的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题．本题考查函数的单调性的应用问题，属于中档题目．13.答案：解析：解：2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师不同姓到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人．基本事件总数，李老师与杨老师安排去同一个学校包含的基本事件个数．李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为．故答案为：．基本事件总数，李老师与杨老师安排去同一个学校包含的基本事件个数由此能求出李老师与杨老师安排去同一个学校的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：60解析：解：当n为偶数时，；当n为奇数时，，奇数项是公差为1的等差数列；故答案为：60．讨论n为奇或偶，得出递推式，即可知道数列的项的特征，从而求出．本题主要考查分组求和法的应用，属于基础题．15.答案：2解析：解：设点，由，得，整理得，所以解得，如右图，当或时，．故答案为：2；．画出图形，通过，求解轨迹方程，推出，然后求解三角形的面积．本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意可得此四面体放在长方体中，如图所示，，，是边长为5，，的三角形的三个内角，故，如图所示，故正确．可得，解得：，，，可得，可得O为AF与DE的交点，因为AO与AB，AC，AD所成的角分别为，，，可得，，，所以，即错误；四面体外接球的直径的平方为，所以该四面体外接球的表面积为，即正确；四面体的体积等于长方体的体积减去4个三棱锥的体积，，即错误；故答案为：．直接利用三角形的面积公式的应用，线面夹角的应用，勾股定理的应用，球与四面体之间的关系的应用求出结果，本题考查的知识要点：三角形的面积公式的应用，线面夹角的应用，勾股定理的应用，球与四面体之间的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.答案：解：由及正弦定理知，又，由余弦定理得，，；由知，又，在中，由正弦定理知：，在中，由正弦定理及，解得，故．解析：由正弦定理及其余弦定理，求出角A即可；由求出B，C，再由及，，求出AD，再求出面积．考查正余弦定理的应用，中档题．18.答案：解：由条形图可知，500件中优等品有件，优等品的频率为，用频率估计概率，抽取一件产品属于优等品的概率为，随机抽取4件产品，至少有1件优等品的概率为．当按每件1600元购买时，；当按每件1500元购买时，．；．的分布列为X 47000 39000P数学期望．解析：由条形图可知，优等品的数量为件，所以抽取一件产品属于优等品的概率为，再结合对立事件的概率和独立重复事件的概率，可得随机抽取4件产品，至少有1件优等品的概率为；当按每件1600元购买时，；当按每件1500元购买时，，再按独立重复事件的概率求出，所以，从而可得X的分布列，利用数学期望的公式即可求出．本题考查对立事件的概率、独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：证明：因为为正三角形，M为棱PA的中点，所以，又平面平面PAC，且平面平面，所以平面PAB，所以，又，且，所以平面PAC，又平面ABC，所以平面平面PAC．作AC中点O，连OP，由及可知平面ABC以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．设则，，设，则，，设平面ABC的法向量为0，，因为PQ与平面ABC所成角的正弦值为所以，即，解得即Q为AB的中点，则，设平面QMC的法向量为y，，则，即，，取，设平面AMC的法向量为，则1，则二面角的余弦值为，故．解析：证明，推出平面PAB，得到，结合，推出平面PAC，然后证明平面平面PAC．作AC中点O，连OP，以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．求出平面ABC的法向量，平面QMC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值，然后求解正弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.答案：解：由题意知，，解得，所以椭圆C的方程为．设直线l的方程为，由消去y整理得，根据题设有：且，．因为，所以，将，代入，化简得：，，．此时且，解得故，又，为定值．，当且仅当即时等号成立．综上：的最小值为．解析：利用已知条件列出方程组，求出，然后求解椭圆C的方程．设直线l的方程为，由消去y整理得，利用判别式以及韦达定理，转化表示三角形的面积，通过基本不等式求解表达式的最值即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ函数，所以；当时，，函数在区间上单调递增；当时，令，得，解得，令，得，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；Ⅱ，设，则，故在上单调递增，对于，由，，故存在，使得，即，亦即，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，则，即，则，而，即单调递增，又，故．解析：求出函数的导数，利用导数判断函数的单调性即可；从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域．该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复杂函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，难度中等．22.答案：解：圆C的参数方程为为参数：所以，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为为参数，转换为，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为代入，得到：，所以，．故解析：直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：不等式对任意的恒成立，可得，由，可得，即为或恒成立，由或，解得或；证明：由，当且仅当时，取得最小值3，即，则正实数a，b，c满足，可得，即有，同样，当且仅当取得等号，则．解析：由题意可得，即为或恒成立，再由一次函数的单调性，可得所求范围；由绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得的最小值M，再二次运用柯西不等式，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。