2015~2016学年度第一学期期末复习试卷高二数学试题及参考答案
2015-2016年河北省唐山市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+5=0B．∀x∈R，x2+2x+5≠0C．∀x∉R，x2+2x+5=0D．∀x∉R，x2+2x+5≠03．（5分）设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β4．（5分）“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）椭圆的焦距与短轴长相等，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1 7．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A．（5+）πcm2B．（5+2）πcm2C．（6+）πcm2D．（6+2）πcm29．（5分）已知△ABC在平面α内，直线CD⊥平面α，P是平面α内的一个动点，设P到直线AB的距离为d1，P到直线CD的距离为d2，若d1=d2，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线10．（5分）过点P（2，3）作圆（x+4）2+（y+1）2=9的切线PA，PB，切点分别是A，B，则直线AB的方程为（）A．6x+4y+19=0B．4x﹣6y+19=0C．6x﹣4y+19=0D．4x+6y﹣19=011．（5分）已知A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），下列命题正确的是（）A．若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为椭圆B．若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线C．椭圆+=1上任意一点M（长轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣D．双曲线﹣=1上任意一点M（实轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣12．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AD1所成的角为30°，且与平面C1D1C所成的角为60°，则这样的直线l的条数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中的横线上.13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是．14．（5分）若直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，则实数a=．15．（5分）三棱锥D﹣ABC的四个顶点在同一球面上，AC⊥AB，△DBC是边长为4的正三角形，若平面ABC⊥平面DBC，则该球的表面积为．16．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF1|=3|MF2|，则此双曲线的离心率是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1=0有实数根，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．19．（12分）如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2，BC=2，直线DA ⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．（1）求证：直线BD⊥平面OCE；（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．21．（12分）如图，在棱长为a的正方形OABC﹣O1A1B1C1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；（Ⅱ）当三棱锥B1﹣EFB的体积取得最大值时，求二面角B﹣B1E﹣F的正切值．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．2015-2016学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y﹣3=0可化为y=﹣x+3，∴直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，又∵0≤α＜π，∴α=，故选：C．2．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+5=0B．∀x∈R，x2+2x+5≠0C．∀x∉R，x2+2x+5=0D．∀x∉R，x2+2x+5≠0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+5≠0．故选：B．3．（5分）设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β【解答】解：由l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，知：在A中：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中：若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中：若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中：若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．4．（5分）“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行时，a（a+1）﹣2×3=0，解得a=﹣3或a=2（两直线重合，应舍去），充分性成立；当a=﹣3时，直线﹣3x+3y+1=0与直线2x﹣2y+1=0平行，必要性成立；∴“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的充要条件．故选：C．5．（5分）椭圆的焦距与短轴长相等，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的焦距与短轴长相等，∴2c=2b，即b2=c2椭圆方程中的a，b，c之间的关系是a2=b2+c2，把b2=c2代入a2=b2+c2中化简得：=，即=所以椭圆的离心率为：故选：C6．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，所以双曲线方程为，故选：A．7．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A．（5+）πcm2B．（5+2）πcm2C．（6+）πcm2D．（6+2）πcm2【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体上部分为圆锥体，下部分为圆柱体；且圆锥体的高为2，底面圆半径为1，所以圆锥的母线长为=，所以圆锥的侧面积为π•1•=π；又圆柱的底面半径为1，高为2，所以圆柱的侧面积为2π•1•2=4π，底面圆面积为π•12=π；所以该几何体的表面积为S=π+4π+π=（5+）π（cm2）．故选：A．9．（5分）已知△ABC在平面α内，直线CD⊥平面α，P是平面α内的一个动点，设P到直线AB的距离为d1，P到直线CD的距离为d2，若d1=d2，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【解答】解：由题意，在平面α内，P到直线AB的距离等于P到点C的距离，∴动点P的轨迹是抛物线．故选：B．10．（5分）过点P（2，3）作圆（x+4）2+（y+1）2=9的切线PA，PB，切点分别是A，B，则直线AB的方程为（）A．6x+4y+19=0B．4x﹣6y+19=0C．6x﹣4y+19=0D．4x+6y﹣19=0【解答】解：设圆心为O，则O（﹣4，﹣1），∴直线OP的斜率k==．∵OP⊥AB，∴直线AB的斜率k′=﹣．故选：A．11．（5分）已知A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），下列命题正确的是（）A．若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为椭圆B．若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线C．椭圆+=1上任意一点M（长轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣D．双曲线﹣=1上任意一点M（实轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣【解答】解：∵A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），∴|AB|=4，若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为线段AB，故A错误；若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线的左支，故B错误；依题意可知A（2，0），B（﹣2，0）是椭圆+=1顶点，M是椭圆椭圆+=1上任意一点，设坐标为M（2cosα，），∴MA、MB的斜率分别是k1=，k2=∴k1k2=×==﹣，故C正确；依题意可知A（2，0），B（﹣2，0）是双曲线=1的项点，椭圆+=1焦点，M是双曲线﹣=1上任意一点，设坐标为M（2sect，tant），∴MA、MB的斜率分别是k1=，k2=，∴k1k2=×=，故D错误．故选：C．12．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AD1所成的角为30°，且与平面C1D1C所成的角为60°，则这样的直线l的条数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：在平面C1D1C内，以点D为圆心，半径为AD画圆，则点A与此圆上的点的连线满足：与平面C1D1C所成的角为60°．所以满足l与直线AD1所成的角为30°有且只有2条，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中的横线上.13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）．【解答】解：抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．14．（5分）若直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，则实数a=2．【解答】解：∵直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，∴2（a﹣3）+a×1=0，解得a=2．故答案为：2．15．（5分）三棱锥D﹣ABC的四个顶点在同一球面上，AC⊥AB，△DBC是边长为4的正三角形，若平面ABC⊥平面DBC，则该球的表面积为．【解答】解：AC⊥AB，BC=4∴△ABC的外接圆的半径为2，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（2﹣h）2，∴R=，∴球O的表面积为4πR2=．故答案为：．16．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF1|=3|MF2|，则此双曲线的离心率是．【解答】解：设双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=|MF2|==b，cos∠MOF2===，在△MOF1中，|MF1|2=|MO|2+|OF1|2﹣2|MO|•|OF1|•cos∠MOF2=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，由|MF1|=3|MF2|，可得3a2+c2=9b2=9（c2﹣a2），即有c2=a2，即e==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1=0有实数根，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真，则有△=4m2﹣4≥0，解得m≤﹣1或m≥1，当p为假时有﹣1＜m＜1．…（3分）若命题q为真，则有1＜＜4，即解得0＜m＜15．…（6分）因为“﹁q”为假命题，“p∧q”为假命题，所以q为真命题，p为假命题．…（8分）于是由解得0＜m＜1．故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．…（10分）18．（12分）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，0），（0，3）…（3分）所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点（2，2），圆的半径是，于是圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．…（6分）（2）圆心C到直线2x﹣y+2=0的距离d=…（9分）|AB|=2=…（12分）19．（12分）如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2，BC=2，直线DA ⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．（1）求证：直线BD⊥平面OCE；（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，OE⊂平面ABE，∴AD⊥OE；∵AE=BE，AO=BO，∴AB⊥OE，又AB∩AD=A，∴OE⊥平面ABCD，于是OE⊥BD；∵==，∴∠COB=∠ADB，而∠ADB+∠ABD=90°，则∠COB+∠ABD=90°，于是∠OMB=90°，即BD⊥OC；又OE∩OC=O，故直线BD⊥平面OCE．…（6分）（2）在线段BD上存在点F，使直线AF∥平面OCE．过A作AF⊥BD，垂足F，由（Ⅰ）知AF∥OC，OC⊂平面OCE，AF⊄平面OCE，可得直线AF∥平面OCE．Rt△DAB内，由勾股定理知BD=，另有cos∠ADB===，Rt△DAF内，DF=DAcos∠ADB=．…（12分）20．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l的方程为x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+6与抛物线y2=4x得y2﹣4my﹣24=0，显然△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣24，x1x2=36可得•=x1x2+y1y2=12．…（6分）=|OM|•|y1﹣y2|=3=12=12，（2）S△OAB∴m2=4，m=±2．那么直线l的方程为x+2y﹣6=0和x﹣2y﹣6=0…（12分）21．（12分）如图，在棱长为a的正方形OABC﹣O1A1B1C1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；（Ⅱ）当三棱锥B1﹣EFB的体积取得最大值时，求二面角B﹣B1E﹣F的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，以B为原点，BA、BC、BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B﹣xyz设AE=BF=m （0≤m≤a），则E（0，a﹣m，0），C1（a，0，a），A1（0，a，a），F（m，0，0），…（2分）∴=（m，﹣a，﹣a），=（﹣a，a﹣m，﹣a），…（4分）∴•=﹣am﹣a2+am+a2=0，∴A1F⊥C1E．…（6分）=S△BEF•BB1=m（a﹣m）≤，解：（Ⅱ）∵BB1⊥平面EFB，∴V B1﹣EFB取最大值．…（8分）当且仅当m=时，V B1﹣EFB此时，E（0，，0），F（，0，0），B 1（0，0，a）=（0，，﹣a），=（，0，﹣a）设平面B1EF的一个法向量为=（x，y，z），则有，即令x=2，则y=2，z=1，得=（2，2，1），取平面BB1E的一个法向量=（1，0，0），则cos＜，＞==…（10分）二面角B﹣B1E﹣F的正切值为．…（12分）22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，那么|MN|==•=，y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，线段MN中点H的坐标为（，），那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得D（，0），|DH|==，则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），于是∈（0，）．。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
【数学】2015-2016年高二上数学期末试卷与答案
南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。
【精品】2015-2016年江苏省苏州市高二上学期数学期末试卷与答案
2015-2016学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．（5分）若直线l经过两点A（1，2），B（3，4），则l的倾斜角为．2．（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为．3．（5分）已知两条直线l1：4x+3y+3=0，l2：8x+6y﹣9=0，则l1与l2的距离是．4．（5分）函数y=sinx的图象在点（π，0）处的切线方程为．5．（5分）一质点的运动方程为s=t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t=3秒的瞬时速度为．6．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x2+a在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则实数a 的值为．7．（5分）将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为2的半圆，则原来的圆锥的高为．8．（5分）在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．9．（5分）关于直线a，b有下列四个命题：①过直线a有且只有一个平面β．使b∥β；②过直线a有且只有一平面β．使b⊥β；③在空间存在平面β，使得a∥β，b∥β；④在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β．其中，正确的命题的序号是（把所有正确序号都填上）．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），直线l：x+y﹣4=0．点B（x，y）是圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各个顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若tan∠F1BO=，则直线CD的斜率为．13．（5分）如图，一根长为2米的竹竿AB斜靠在在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下段点A从距离墙角O点1米的地方移动到米的地方，则AB的中点D经过的路程为米．14．（5分）函数f（x）=a x﹣xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题.：本大题共6小题，共计９０分．15．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额s（万元）与改造投入资金x（万元）之间满足s=x2﹣x3+x ﹣xln（ax）（1≤x≤60），当x=10时，s=102，景点新增毛收入f（x）（万元）为门票新增额扣除改造投入资金．（1）求y=f（x）的解析式；（2）若将定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x（万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率（参考数据：ln5=1.61）18．（16分）如图，圆O：x2+y2=8内有﹣点P（﹣1，2），AB为过P且倾斜角为135°的弦．（1）求AB的长；（2）若圆C与圆O内切又与弦AB切于点P，求圆C的方程．19．（16分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R为常数．（1）当a=1时，试判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若存在x1∈[1，2]，∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．附加题21．（10分）求函数f（x）=ln+x的最小值．22．（10分）求与圆C：x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程．23．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是PA，PD，AB的中点．（1）求直线AH与平面EFH所成角的大小；（2）求二面角H﹣EF﹣A的大小．24．（10分）已知抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）．（1）求抛物线的方程；（2）设F是抛物线的焦点，直线l；y=kx+b（k≠0）与抛物线相交于A，B两点，记AF，BF的斜率之和为m，求常数m，使得对于任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．2015-2016学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．（5分）若直线l经过两点A（1，2），B（3，4），则l的倾斜角为．【分析】设l的倾斜角为θ，可得：tanθ==1，α∈（0，π）．解出即可得出．【解答】解：设l的倾斜角为θ，可得：tanθ==1，α∈（0，π）．∴θ=．故答案为：．2．（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为1．【分析】抛物线的标准方程为x2=2y，故p=1，即它的焦点到准线的距离为1．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=2y，故p=1，即它的焦点到准线的距离为1，故答案为1．3．（5分）已知两条直线l1：4x+3y+3=0，l2：8x+6y﹣9=0，则l1与l2的距离是．【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可．【解答】解：两条直线l1：4x+3y+3=0，l2：8x+6y﹣9=0，化为直线l1：8x+6y+6=0，l2：8x+6y﹣9=0，则l1与l2的距离是：=．故答案为：．4．（5分）函数y=sinx的图象在点（π，0）处的切线方程为x+y﹣π=0．【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：函数y=sinx的导数为y′=cosx，在点（π，0）处的切线斜率为k=cosπ=﹣1，即有在点（π，0）处的切线方程上午y﹣0=﹣（x﹣π），即为x+y﹣π=0．故答案为：x+y﹣π=0．5．（5分）一质点的运动方程为s=t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t=3秒的瞬时速度为6m/s．【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求质点的运动方程为s=t2+10的导数，再求得t=3秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度【解答】解：∵质点的运动方程为s=t2+10∴s′=2t∴该质点在t=3秒的瞬时速度为2×3=6故答案为6m/s6．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x2+a在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则实数a 的值为2．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是f（0）=a=2即可．【解答】解：f′（x）=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，∴f（x）max=f（0）=a=2，故答案为：2．7．（5分）将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为2的半圆，则原来的圆锥的高为．【分析】通过圆锥的侧面展开图的弧长，就是圆锥底面圆的周长，求出圆锥的底面半径，利用母线、半径、高满足勾股定理，求出圆锥的高．【解答】解：一个圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π底面半径：r=1所以圆锥的高是：=，故答案为：．8．（5分）在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．【分析】先求出边AC的长，在利用双曲线的定义，求出离心率．【解答】解：由题意知，AB=2c，又△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，∴AC=2c，∵双曲线以A，B为焦点且过点C，由双曲线的定义知，AC﹣BC=2a，即：2c﹣2c=2a，∴=，即：双曲线的离心率为．故答案为．9．（5分）关于直线a，b有下列四个命题：①过直线a有且只有一个平面β．使b∥β；②过直线a有且只有一平面β．使b⊥β；③在空间存在平面β，使得a∥β，b∥β；④在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β．其中，正确的命题的序号是③（把所有正确序号都填上）．【分析】在①中，当a，b相交时不成立；在②中，当a∥b时不成立；在③中，在空间至少存在一个平面β，使得a∥β，b∥β；在④中，当a∥b时不成立．【解答】解：在①中，若a，b相交，由过直线a没有平面β．使b∥β，故①错误；在②中，若a∥b，由过直线a没有平面β．使b⊥β，故②错误；在③中，在空间至少存在一个平面β，使得a∥β，b∥β，故③正确；在④中，当a∥b时，在空间存在平面β，使a⊥β，b⊥β，故④错误．故答案为：③．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），直线l：x+y﹣4=0．点B（x，y）是圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是．【分析】线段DE的最大值等于圆心（1，0）到直线AD：x﹣y+2=0的距离加半径，由此可得结论．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0的圆心坐标为（1，0），半径为；根据题意，线段DE的最大值等于圆心（1，0）到直线AD：x﹣y+2=0的距离加半径，∵圆心（1，0）到直线AD：x﹣y+2=0的距离为=∴线段DE的最大值为故答案为：．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各个顶点都在一个半径为r的球面上，球心O 在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是4π．【分析】根据圆的性质求出△ABC的面积，代入体积公式分别计算棱锥和球的体积．【解答】解：∵球心O在AB上，∴AC⊥BC，AB=2r，∴BC==．∵SO⊥底面ABC，∴V棱锥=S△ABC•OS==．∵V球=，∴=4π．故答案为4π．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若tan∠F1BO=，则直线CD的斜率为．【分析】由正切函数的意义，可得3b=4c，可设b=4t，c=3t，a=5t，设出D的坐标，代入椭圆方程，求得k BD•k CD=•=﹣，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：tan∠F1BO=，可得=，可设b=4t，c=3t，a==5t，设D（m，n），即有+=1，即为=﹣，B（0，b），C（0，﹣b），即有k BD•k CD=•==﹣=﹣，===﹣，由k即有k CD=．故答案为：．13．（5分）如图，一根长为2米的竹竿AB斜靠在在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下段点A从距离墙角O点1米的地方移动到米的地方，则AB的中点D经过的路程为米．【分析】点D的路径是：以点O为圆心，1为半径的圆弧，其圆的方程为：x2+y2=1．利用直角三角形的边角关系可得：当OA=1时，∠OAD=60°=∠DOA；当OA′=时，∠D′A′O=30°=∠D′OA′，可得∠DOD′=．利用弧长公式即可得出．【解答】解：点D的路径是：以点O为圆心，1为半径的圆弧，其圆的方程为：x2+y2=1．当OA=1时，∠OAD=60°=∠DOA；当OA′=时，∠D′A′O=30°=∠D′OA′，∴∠DOD′=．∴=m．故答案为：．14．（5分）函数f（x）=a x﹣xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则实数a的取值范围是[，1）．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值即可，利用构造法进行求解．【解答】解：函数的导数f′（x）=a x lna﹣lna=lna•（a x﹣1），∵0＜a＜1，∴lna＜0，由f′（x）＞0得lna•（a x﹣1）＞0，即a x﹣1＜0，则x＞0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lna•（a x﹣1）＜0，即a x﹣1＞0，则x＜0，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1，当x=1，则f（1）=a﹣lna当x=﹣1，则f（﹣1）=a﹣1+lna，则f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，设g（a）=a﹣﹣2lna，则g′（a）=1+﹣=（﹣1）2＞0，则g（a）在（0，1）上为增函数，则g（a）＜g（1）=1﹣1﹣2ln1=0，即g（a）＜0，则f（1）﹣f（﹣1）＜0，即f（1）＜f（﹣1），即函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=a﹣1+lna，若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则f（﹣1）=a﹣1+lna≤e﹣1，即+lna≤e﹣1，设h（a）=+lna，则h′（a）=﹣+=﹣（）2+，∵0＜a＜1，∴＞1，∴当h′（a）＜h′（1）=0，即h（a）=+lna在0＜a＜1上为减函数，由+lna=e﹣1得a=．则+lna≤e﹣1等价为h（a）≤h（），即≤a＜1，故答案为：[，1）．二、解答题.：本大题共6小题，共计９０分．15．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【分析】（1）先求直线AC的方程，然后求出C的坐标．（2）设出B的坐标，求出M代入直线方程为2x﹣y﹣5=0，与直线为x﹣2y﹣5=0．联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程．【解答】解：直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣11=0，解方程组得则C点坐标为（4，3）．设B（m，n），则M（，），，整理得，解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），y﹣3=（x﹣4），即6x﹣5y﹣9=0．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额s（万元）与改造投入资金x（万元）之间满足s=x2﹣x3+x ﹣xln（ax）（1≤x≤60），当x=10时，s=102，景点新增毛收入f（x）（万元）为门票新增额扣除改造投入资金．（1）求y=f（x）的解析式；（2）若将定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x（万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率（参考数据：ln5=1.61）【分析】（1）通过将x=10、s=102代入s=x2﹣x3+x﹣xln（ax）整理、计算可知a=，进而计算可得结论；（2）通过记g（x）=，计算可知g（x）=x﹣x2﹣lnx+ln10（1≤x≤60），通过求导、根据函数的单调性计算即得结论．【解答】解：（1）将x=10、s=102代入s=x2﹣x3+x﹣xln（ax）（1≤x≤60），得：102=102﹣10+10﹣10ln（10a），即a=，∴s=x2﹣x3+x﹣xln（x）（1≤x≤60），∴y=f（x）=s﹣x=x2﹣x3﹣xln（x）（1≤x≤60）；（2）记g（x）==x﹣x2﹣ln（x），则g（x）=x﹣x2﹣lnx+ln10（1≤x≤60），令g′（x）=﹣x﹣===0，可知x=1或x=50，列表如下：由上表可知，g（50）是极大值，也是最大值，g（x）max=g（50）=51﹣25﹣ln5=26﹣1.61=24.39，答：当投入资金50万元时，改造资金的收益最高，最高效益率为24.39．18．（16分）如图，圆O：x2+y2=8内有﹣点P（﹣1，2），AB为过P且倾斜角为135°的弦．（1）求AB的长；（2）若圆C与圆O内切又与弦AB切于点P，求圆C的方程．【分析】（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．（2）设圆C的圆心为（a，a+3），则=2﹣，求出a，即可求圆C的方程．【解答】解：（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1），圆心0（0，0）到直线AB的距离为d=，则|AB|=2=，∴AB的长为．（2）过P与直线AB垂直的直线方程为y﹣2=x+1，即y=x+3，设圆C的圆心为（a，a+3），则=2﹣，∴a=﹣，∴圆心为（﹣，），半径为，∴圆C的方程为（x+）2+（y﹣）2=．19．（16分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【分析】（I）根据椭圆的特征可得当点P在点（0，b）时，△APB面积的最大，结合题中的条件可得a、b与c的关系进而得到答案．（II）设点P的坐标为（x0，y0），由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2），可得点D与BD中点E的坐标，联立直线与椭圆的方程得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，进而表示出点P的坐标，结合点F坐标为（1，0），再写出直线PF的方程，根据点E到直线PF的距离等于直径BD的一半，进而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为，F（c，0）．由题意知解得，c=1．故椭圆C的方程为，离心率为．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．由得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．设点P的坐标为（x0，y0），则．所以，．因为点F坐标为（1，0），当时，点P的坐标为，点D的坐标为（2，±2）．直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2=1与直线PF相切．当时，则直线PF的斜率．所以直线PF的方程为．点E到直线PF的距离=．又因为|BD|=4|k|，所以．故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R为常数．（1）当a=1时，试判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若存在x1∈[1，2]，∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求导数f′（x），当a=1时判断导数f′（x）的符号即可；（2）由g（x）在其定义域内为增函数，知对∀x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分离出参数a后转化为求函数的最值即可；（3）当a=2时，g（x）=2x﹣﹣5lnx，求出函数的导数，由g′（x）=0，得x的值，从而得到函数的单调性，所以在（0，1）上，g（x）max=g（），由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣，得f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a=1时，f′（x）=＞0（x＞0），f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）由已知得，g（x）=ax﹣﹣5lnx，其定义域为（0，+∞），g′（x）=．因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g'（x）≥0，即ax2﹣5x+a≥0，则a≥．而=≤，当且仅当x=1时，等号成立，所以a≥；（3）当a=2时，g（x）=2x﹣﹣5lnx，g′（x）=，由g′（x）=0，得x=或x=2．当x∈（0，）时，g′（x）≥0；当x∈（，1）时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，g（x）max=g（）=﹣3+5ln2，而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，所以有，∴，∴，解得m≥8﹣5ln2，所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．附加题21．（10分）求函数f（x）=ln+x的最小值．【分析】求出函数的导数，确定函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：f（x）的定义域是（﹣，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）最小值=f（x）极小值=f（）=﹣ln2．22．（10分）求与圆C：x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程．【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴．【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x（x≠0），若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0，x＜0．23．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是PA，PD，AB的中点．（1）求直线AH与平面EFH所成角的大小；（2）求二面角H﹣EF﹣A的大小．【分析】（1）以{}为正交基底向量建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线AH与平面EFH所成角的大小．（2）求出平面HEF的一个法向量和平面AEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角H﹣EF﹣A的大小．【解答】解：（1）以{}为正交基底向量建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0），=（1，0，0），=（0，1，0），=（1，0，﹣1），设平面EFH的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设直线AH与平面EFH所成角为α，则sinα=|cos＜＞|==，∴直线AH与平面EFH所成角的大小为．（2）由（1）知平面HEF的一个法向量为=（1，0，1），平面AEF的一个法向量为=（1，0，0），cos＜＞==，∵二面角H﹣EF﹣A为锐二面角，∴二面角H﹣EF﹣A的大小为．24．（10分）已知抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）．（1）求抛物线的方程；（2）设F是抛物线的焦点，直线l；y=kx+b（k≠0）与抛物线相交于A，B两点，记AF，BF的斜率之和为m，求常数m，使得对于任意的实数k（k≠0），直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）将y=ax2，化为标准方程为x2=，利用抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程，即可求得抛物线C的方程；（2）直线方程与抛物线方程联立，得x2﹣4kx﹣4b=0．利用韦达定理及直线AF，BF的斜率之和为m，可得直线l：y=kx+，进而令xk2﹣（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直线l过定点．【解答】解：（1）将y=ax2，化为标准方程为x2=，∴抛物线C的准线方程为：y=﹣．∵抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为y=﹣1，∴﹣=﹣1，解得a=．∴抛物线C的方程是x2=4y．（2）F（0，1），设A（x1，），B（x2，），由，得x2﹣4kx﹣4b=0．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，△=16k2+16b＞0．k AF+k BF=+==．…∴b=．∴直线l：y=kx+．令xk2﹣（mx+y+1）k+my=0对任意的k（k≠0）恒成立．则，解得．所以m=0，直线l过定点（0，﹣1）．。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
2015-2016年河北省邯郸市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案答案
2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＞ab B．ab＜b2C．＞D．＞2．（5分）“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2＜0B．∀x∈R，x2﹣2≤0C．∃x0∈R，x﹣2＜0D．∃x0∈R，x﹣2≤03．（5分）在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，则a15=（）A．20B．25C．45D．754．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y+1=0D．x+2y﹣1=0 6．（5分）“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4B．4C．﹣2D．29．（5分）经过点（3，﹣）的双曲线﹣=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．410．（5分）若函数f（x）=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A．4B．9C．18D．8111．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．12．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（）A．（0，]B．[，]C．[，]D．[，1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）已知=（2，3，1），=（x，y，2），若∥，则x+y=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．15．（5分）已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t 小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t=．16．（5分）对于正整数n，设曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a n}的前n项和为S n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}，公差为2，的前n项和为S n，且a1，S2，S4成等比数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac （1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．20．（12分）如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE ∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥BD；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若（m+3）x﹣x2e x+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为时，求直线l的方程．2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＞ab B．ab＜b2C．＞D．＞【解答】解：∵a＞b＞0，∴a2＞ab，ab＞b2，，b2＜a2即．故选：A．2．（5分）“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2＜0B．∀x∈R，x2﹣2≤0C．∃x0∈R，x﹣2＜0D．∃x0∈R，x﹣2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，x﹣2≤0，故选：D．3．（5分）在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，则a15=（）A．20B．25C．45D．75【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，∴，解得a1=﹣3，d=2，∴a15=﹣3+14×2=25．故选：B．4．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，∴由正弦定理可得：b===．故选：B．5．（5分）函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y+1=0D．x+2y﹣1=0【解答】解：函数的导数为f′（x）=+1，则f′（1）=1+1=2，即切线斜率k=2，则函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故选：A．6．（5分）“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2+x+m=0无实根⇔△=1﹣4m＜0，⇔m．∴“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：结合函数图象，根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反，从图象上可看出符合条件的有3点，故选：A．8．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【解答】解：设等比数列{a n}是公比为q的递增的等比数列，由a2a4=16，可得a1a5=16，又a1+a5=17，解得或（不合题意，舍去），即有q4=16，解得q=2（负的舍去）．故选：D．9．（5分）经过点（3，﹣）的双曲线﹣=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．4【解答】解：点（3，﹣）在双曲线﹣=1上，可得﹣=1，又渐近线方程为y=±x，一条渐近线方程为y=x，可得=，解得a=，b=1，可得c==2，即有焦距为2c=4．故选：D．10．（5分）若函数f（x）=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A．4B．9C．18D．81【解答】解：f′（x）=4x3﹣2ax﹣b，若f（x）在x=1处有极值，则f′（x）=4﹣2a﹣b=0，∴2a+b=4，∴9a+3b=32a+3b≥2=18，当且仅当9a=3b时“=”成立，故选：C．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则D（0，0，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），B（1，1，0），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，1，0），设平面A1BD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），设直线DC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==．∴直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值为．故选：C．12．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（）A．（0，]B．[，]C．[，]D．[，1）【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，即有（λ+1）t=2a①由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（λ2+1）t2=4c2，②由②÷①2，可得e2=，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有==2（﹣）2+，由≤λ≤2，可得≤m≤3，即≤≤，则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值．即有≤e2≤，解得≤e≤．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）已知=（2，3，1），=（x，y，2），若∥，则x+y=10．【解答】解：∵=（2，3，1），=（x，y，2），且∥，∴==，解得x=4，y=6；∴x+y=10．故答案为：10．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣2．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（，）时，直线的截距最大，z取最小值﹣2，故答案为：﹣2．15．（5分）已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t=．【解答】解：设轮船的速度为v，则AB=v，PA=AC=v，∴BC=（﹣1）v，∴t==．故答案为：．16．（5分）对于正整数n，设曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a n}的前n项和为S n=2n+2﹣4．【解答】解：∵y=x n（2﹣x），∴y'=2nx n﹣1﹣（n+1）x n，∴曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣（n+1）2n=﹣2n，切点为（2，0），∴切线方程为y=﹣2n（x﹣2），令x=0得a n=2n+1，∴S n==2n+2﹣4，故答案为：2n+2﹣4．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}，公差为2，的前n项和为S n，且a1，S2，S4成等比数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1））由a1，S2，S4成等比数列得．化简得，又d=2，解得a1=1，故数列{a n}的通项公式…（5分）（2）∵∴由（1）得，∴=…（10分）．18．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac （1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵（a+c）2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴∵B∈（0，π），∴；（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，解得，，满足a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的面积S=×2×6=6．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为，由抛物线的定义可知（2分）解得p=4（3分）∴C的方程为y2=8x．（4分）（2）由（1）得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F（2，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则（6分）两式相减．整理得∵线段AB中点的纵坐标为﹣1∴直线l的斜率（10分）直线l的方程为y﹣0=﹣4（x﹣2）即4x+y﹣8=0（12分）20．（12分）如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE ∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥BD；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB=AC，F为BC的中，∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF⊂底面ABC，∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC⊂面BCD，∴AF⊥面BCD，又BD⊂面BCD，∴AF⊥BD．…（4分）解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系如图，∴B（2，0，0），D（0，2，2），E（0，0，1），，，设面BED的一个法向量为，则，令z=2得x=1，y=﹣1，∴，又面ABE的一个法向量为，∴，∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若（m+3）x﹣x2e x+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极值2，∴，解得，∴f（x）=﹣x3+3x…（5分）（Ⅱ）∵（m+3）x﹣x2e x+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，∴（m+3）x﹣x2e x+2x2≤﹣x3+3x⇔m≤xe x﹣x2﹣2x于任意的x∈（0，+∞）成立设h（x）=xe x﹣x2﹣2x，则h′（x）=e x+xe x﹣2x﹣2=（x+1）（e x﹣2），令h′（x）=0解得x=ln2，且当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0；当x＞ln2时，h′（x）＞0，∴h（x）=xe x﹣x2﹣2x在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴，∴m≤﹣（ln2）2．22．（12分）曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为时，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）由题意可得，，整理得，则曲线C的方程为；（Ⅱ）当l斜率不存在时，l方程为x=1，此时l与C的交点分别为，，即有，则，由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x﹣1），由，得，，∴．设O到l的距离为d，则，∴，解得k=±1．综上所述，当△ABO面积为时，l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．。
2015-2016年河南省新乡市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）若命题“p∨q”为真，“¬p”为真，则（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真2．（5分）不等式3x﹣2y﹣6＜0表示的区域在直线3x﹣2y﹣6=0的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2B．C．3D．24．（5分）等差数列{a n}中，若a2+a8=15﹣a5，则a5的值为（）A．3B．4C．5D．65．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+ 6．（5分）已知△ABC的周长等于20，面积等于10，a，b，c分别为△ABC 内角A，B，C的对边，∠A=60°，则a为（）A．5B．7C．6D．87．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞08．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4B．C．D．89．（5分）已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．10．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）12．（5分）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为．14．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=．15．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为．16．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若，则k=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．19．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知曲线C上的点到直线x=﹣2的距离比它到点F（1，0）的距离大1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）做斜率为k的直线交曲线C于M，N两点，求证：+为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值，（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线交椭圆于A，B 两点，求△OAB面积的最大值．2015-2016学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）若命题“p∨q”为真，“¬p”为真，则（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真【解答】解：由题意可知：“p∨q”为真命题，∴p、q中至少有一个为真，∵¬p为真，∴p、q全为真时，p且q为真，即“p且q为真”此时成立；当p假、q真，故选：D．2．（5分）不等式3x﹣2y﹣6＜0表示的区域在直线3x﹣2y﹣6=0的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方【解答】解：取坐标原点，可知原点在直线3x﹣2y﹣6=0的左上方，∵（0，0）代入，得3x﹣2y﹣6=﹣6＜0，∴3x﹣2y﹣6＜0表示的区域在直线3x﹣2y﹣6=0的左上方．故选：C．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2B．C．3D．2【解答】解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：D．4．（5分）等差数列{a n}中，若a2+a8=15﹣a5，则a5的值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由题意得，a2+a8=15﹣a5，所以由等差数列的性质得a2+a8=2a5=15﹣a5，解得a5=5，故选：C．5．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+【解答】解：由题意，====；故选：A．6．（5分）已知△ABC的周长等于20，面积等于10，a，b，c分别为△ABC 内角A，B，C的对边，∠A=60°，则a为（）A．5B．7C．6D．8【解答】解：在△ABC中，由题意可得，a+b+c=20，∵S=bcsin60°=10，∴bc=40，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120，解方程可得，a=7．故选：B．7．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：∃x0∈R，x﹣x+1＞0，故选：C．8．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4B．C．D．8【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选：C．9．（5分）已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆的焦点坐标F（0，±），∴设椭圆方程为，且，解得a=2，c=，∴b==1，∴椭圆方程为．故选：A．10．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①正确，课本例题的结论；②正确，同垂直与一条直线的两个平面平行；③正确，由m⊥α，m∥n得，n⊥α，又因n⊂β，所以α⊥β．④不对，由线面平行的性质定理得，当m⊂β时成立；否则不一定成立．即正确的有①②③．故选：D．11．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=1∴∴当公比q＞0时，；当公比q＜0时，．∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故选：D．12．（5分）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（）A．B．C．D．【解答】解：约定AB=6，AC=BC=，由余弦定理可知cos45°==；解得CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF==，∴二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为11．【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（2，3），B（1，0），C（0，1）将三个代入得z的值分别为11，4，1直线z=4x+y过点A （2，3）时，z取得最大值为11；故答案为：11．14．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=15．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a9=﹣1+8×2=15．故答案为：15．15．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为．【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），B（0，1，0），=（﹣1，1，﹣1），平面BB1C1C的法向量=（1，0，0），设直线A1B与平面BB1C1C所成角为θ，则sinθ===．∴直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为．故答案为：．16．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若，则k=．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵=3，∴y1=﹣3y2，∵e=，设a=2t，c=t，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为x=sy+t，代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2sty﹣t2=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，﹣2y2=﹣，﹣3=﹣，解得s2=，k=．故答案：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．18．（12分）在△ABC中，bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=acosB，由正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB，故有tanB=，∴B=．（Ⅱ）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，解得a=，c=2a=2．19．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n==n2+2n．（Ⅱ）b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+==．20．（12分）已知曲线C上的点到直线x=﹣2的距离比它到点F（1，0）的距离大1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）做斜率为k的直线交曲线C于M，N两点，求证：+为定值．【解答】（Ⅰ）解：因为动点P到直线x=﹣2的距离比它到点F（1，0）的距离大1，所以动点P到直线x=﹣1的距离与它到点F（1，0）的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y2=4x．（Ⅱ）证明：直线y=k（x﹣1）与抛物线方程联立，可得y2﹣y﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），y1+y2=，y1y2=﹣4，∴+=+====1，∴+为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分）又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分）（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（﹣1，，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；…（7分）设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由得：，令y=1，则x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；则•=1，∴cos＜＞===，…（11分）由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值，（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线交椭圆于A，B 两点，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）由题设知a=2，e=，∴c=，故b2=4﹣3=1．因此，a=2，b=1；（2）由（1）可得，椭圆C的方程为．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得x2﹣2mx+m2﹣1=0．从而有，x1+x2=，x1•x2=，因此，|AB|====，点O到直线l的距离d=，∴×|AB|×d=×|m|，因此，（5﹣m2）×m2≤•（）2=1．又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]．当5﹣m2=m2，即m2=，m=±时，S△OAB取得最大值1．。
5—16学年上学期高二期末考试数学(扫描版)(附答案)
2015～2016学年度第一学期期末质量调研测试高二数学评分标准一、填空题1. 22.03. 14. 65. 46. 137. 2 8.y x =± 9. 11 10. 11 11.-9]∞（， 12. 2 13.[1,3]- 14.314提示：设,OM m ON n ==，则22111m n+=， 所以2222222114(4)()PN m n m n m n =+=++下略 二、解答题15.（1）1581641681681701711791821708x +++++++==………………………4分 (2) 甲班的样本方差为()()()22221[(158170)1641701681701681708-+-+-+- ()()()()2222170170171170179170182170]=51.75+-+-+-+- ……………………9分 （3）设抽中的两名同学中至少有1人身高超过176cm 的事件为A ；从乙班8名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有9个基本事件；所以109)(=A P ；…………………………………………………………………………13分 故抽中的两名同学中至少有1人身高超过176cm 的概率为109…………………………14分 16.（1）椭圆C 的标准方程为221167x y += ………………………………………………6分 （2）1212221281436PF PF PF PF PF PF +=⎫⇒⋅=⎬+=⎭…………………………………………10分 所以12PF F ∆的面积为12172S PF PF =⋅=……………………………………………14分 17.（1）若q 为真命题，则231030a a -+<，133a ∴<<……………………………5分 （2）若p 为真命题，则2(1,),'()3210x f x x ax ∀∈+∞=-+≥即1(1,),3+20x x a x ∀∈+∞-≥ 令1()32g x x a x =+-，由于21'()30g x x=->在(1，＋∞)上恒成立 所以1()32g x x a x=+-在(1，＋∞)上递增，从而()42g x a >- 所以4202a a -≥⇒≤……………………………………………………………11分 因为“p 且q ”为真命题， 所以123a <≤………………………………………………………………………14分 18.(1)'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+ ……………………………………4分 2cos 0x +> ,'()00,'()00f x x f x x ∴>⇒><⇒<所以单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞…………………………6分（2）由（1）可知随着x 的变化，'(),()f x f x 的变化如下：当x →+∞或x →-∞时，()f x →+∞（如无说明，也不扣分）．．．．．．．．．．．所以曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点时，b 的取值范围为(1,)+∞………………………………………………………11分（3）不等式可化为2()1()f x f ππ>-=因为()f x 是偶函数，故由（2）中表格可知不等式的解集为(,)(,)ππ-∞-+∞ ………………16分19.（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,)Q Q Q x y ，代入椭圆方程整理得 22222Q Q b y b x a -=-，所以222122212Q Q Q Q Q Q y b y b y b b k k x x x a -+-===-=- 所以222a b =………………………………………………………………4分又24,2c c =∴=，从而222248a b b a =-=∴=故椭圆C 的方程为22184x y += ………………………………………6分（2）椭圆C 的左准线方程为4,x =-所以点P 的坐标(4,0)-，显然直线l 的斜率k 存在，所以直线l 的方程为(4)y k x =+。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
2015-2016年河南省南阳市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式x＜x2的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件3．（5分）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．04．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°5．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8=（）A．6B．12C．18D．97．（5分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为（）A．120°B．90°C．60°D．30°8．（5分）已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能9．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；③△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件；④若p∨q为真命题，则p、q均为真命题．A．0B．1C．2D．310．（5分）已知b＞a＞0，ab=2，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣2）11．（5分）已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）过点A（﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点P1、P2，若|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，则实数p的值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．14．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若棱长AB=3，则点B到平面ACD1的距离为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b=2，c=2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．18．（12分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，BC=，M是AD的中点，N是B1C1中点．（1）求证：NA1∥CM；（2）求证：平面A1MCN⊥平面A1BD1；（3）求直线A1B和平面A1MCN所成角．19．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．21．（12分）设{a n}是正数组成的数列，前n项和为S n且；（Ⅰ）写出数列{a n}的前三项；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式，并写出推证过程；（Ⅲ）令，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式x＜x2的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：不等式x2＞x，移项得：x2﹣x＞0，因式分解得：x（x﹣1）＞0，可化为：或，解得：x＜0，或x＞1，则原不等式的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．故选：D．2．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若a＞1且b＞1时，a+b＞2成立．若a=0，b=3，满足a+b＞2，但a＞1且b＞1不成立，∴“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．0【解答】解：∵抛物线的标准方程为，∴，准线方程为，令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即故选：B．4．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选：B．5．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选：B．6．（5分）已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8=（）A．6B．12C．18D．9【解答】解：由题意可得等差数列的前13的和S13===39解之可得a7=3，又a6+a8=2a7故a6+a7+a8=3a7=9故选：D．7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为（）A．120°B．90°C．60°D．30°【解答】解：以D为原点，建立如图所示的空间直线坐标系D﹣xyz，设正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为2，则G（0，0，1），B（2，2，0），B′（2，2，2），E（1，2，0），∴，，∵=﹣2+0+2=0，∴，∴异面直线GB与B′E所成的角为90°．故选：B．8．（5分）已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能【解答】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得，消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根据韦达定理得：x1x2=﹣1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到•=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB为直角三角形．故选：A．9．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；③△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件；④若p∨q为真命题，则p、q均为真命题．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，正确；②若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，正确；③△ABC中，由正弦定理可得，因此sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此sinA＞sinB是A＞B的充要条件，正确；④若p∨q为真命题，则p、q只要有一个为真命题即可，因此不正确．综上可得：正确的命题个数为3．故选：D．10．（5分）已知b＞a＞0，ab=2，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵b＞a＞0，ab=2，∴b＞＞a＞0．则==f（b），f′（b）==，可得：b∈时，函数f（b）单调递增；b∈时，函数f （b）单调递减．因此f（b）在b=+1时取得最大值，∴f（b）≤=﹣4．∴的取值范围是（﹣∞，﹣4]．故选：A．11．（5分）已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴，且．两式相减得．再由斜率公式得：k1k2=．∵|k1|+|k2|根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知∴故选：B．12．（5分）过点A（﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点P1、P2，若|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，则实数p的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设l的参数方程为，代入抛物线方程整理得t2+（﹣2p﹣8）t+32+8p=0．∴|AP1|•|AP2|=|t1•t2|=32+8p．又|P1P2|2=（t1+t2）2﹣4t1t2=8p2+32p，|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，∴8p2+32p=32+8p，即p2+3p﹣4=0．∴p=1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为2．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±即3x±ay=0∵双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，∴a=2故答案为：214．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于1．【解答】解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k==1．故答案为：1．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若棱长AB=3，则点B到平面ACD1的距离为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（3，3，0），A（3，0，0），C（0，3，0），C1（0，3，3），D1（0，0，3），=（﹣3，3，0），=（﹣3，0，3），=（0，3，0），设平面ACD1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），∴点B到平面ACD1的距离：d===．故答案为：．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．【解答】解：由已知可得等式：（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A=；在△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得：4+bc=b2+c2≥2bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bc•sinA=×=，故答案为：，．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b=2，c=2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．【解答】解：∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．∴结合A+B+C=π，可得B=．（1）∵，c=2，∴由正弦定理，得sinC===．∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C=，从而A=π﹣B﹣C=．因此，△ABC的面积为S==×=．（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．∴由正弦定理，得b2=ac又∵根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，∴a2+c2﹣ac=ac，整理得（a﹣c）2=0，可得a=c∵B=，∴A=C=，可得△ABC为等边三角形．18．（12分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，BC=，M是AD的中点，N是B1C1中点．（1）求证：NA1∥CM；（2）求证：平面A1MCN⊥平面A1BD1；（3）求直线A1B和平面A1MCN所成角．【解答】证明：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则B（，1，0），A（，0，1），D1（0，0，1），C（0，1，0），M（，0，0），N（，1，1），∴=（，﹣1，0），=（，﹣1，0），∴=，∴NA1∥CM；（2）∵=（，1，﹣1），=（0，1，1），=（，﹣1，0），∴•=0+1﹣1=0，•=0，∴D1B⊥MN，D1B⊥CM，又MN∩CM=M，∴D1B⊥平面A1MCN，又D1B⊂平面A1BD1，∴平面A1MCN⊥平面A1BD1．（3）由（2）得B到平面A1MCN的距离为d==1，A1B=，∴直线A1B和平面A1MCN所成角的正弦值为=，∴直线A1B和平面A1MCN所成角为．19．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．【解答】（I）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此时PF=，即在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．21．（12分）设{a n}是正数组成的数列，前n项和为S n且；（Ⅰ）写出数列{a n}的前三项；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式，并写出推证过程；（Ⅲ）令，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵n=1时可得，∴a 1=2把n=2代入可得a2=6，n=3代入可得a3=10；（Ⅱ）8S n=a n2+4a n+4 (1)8S n+1=a n+12+4a n+1+4 (2)（2）﹣（1）得8a n+1=a n+12﹣a n2+4a n+1﹣4a n（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣4）=0∵a n+1+a n＞0∴a n+1﹣a n﹣4=0a n+1﹣a n=4∴{a n}是以2为首项，4为公差的等差数列．a n=a1+（n﹣1）d=4n﹣2（III）∴T n=b1+b2+…+b n==．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．【解答】解：（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（0，1）．设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，∴，，解得，．而点M在椭圆C1上，∴，化为，联立，解得，故椭圆的方程为．（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2．设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，把y=kx代入，可得，x2＞0，y2=﹣y1＞0，且．，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF +S△AEF===≤=．当且仅当时上式取等号．∴四边形AEBF面积的最大值为．。
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2015~2016学年度第一学期周考试卷高二数学试题一、选择题1.在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p 是“甲射中目标”，q 是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为（ B ）A ． p q ∨B ．p q ∨（￢）（￢）C ．p q ∧（￢）（￢）D ． p q ∨（￢）2.不等式x x ->+21031的解集是 （A ） A ．{|}x x x <->1132或 B ．{|}x x -<<1132 C ．{|}x x >12 D ．{|}x x >-133.命题“若ABC ∆有一内角为π3，则ABC ∆的三内角成等差数列”的逆命题( D ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题的否命题同为假命题 C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题4.（文）曲线y x x =-+323在点,)12（处的切线方程为 （ A ） A ． y x =+35 B ． y x =-+35 C ． y x =-31 D ．y x =2 （理）空间向量,a b ，||,||a b ==48，设,a b θ〈〉=，a b ⋅=-16，则θ=（C ）A.︒30 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒1505.{|||,},{log ,}A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈2111“x A ∈”是“x B ∈”的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 6.等差数列{a }n 满足:a a a +=296,则S =9（ B ） A .-2 B ．0 C ．1 D ．27.已知点(,)-23A 在抛物线:C y px =22的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ C ）A ．-43 B ．-1 C ．-34 D ．-128.已知抛物线:=28C y x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且A K A F =2，则AFK ∆的面积为(B )Ａ.4 Ｂ.8 Ｃ.16 Ｄ.329.已知等差数列{}n a 的公差d =0，且,,a a a 139成等比数列，则a a a a a a ++++1392410的值是( C )A ．1514B ．1213 C ． 1316 D ． 151610.曲线(,)x y a b a b-=>>2222100的两个焦点为,F F 12、若P 为其上一点，且||PF PF =122,则双曲线离心率的取值范围为（ B ） A.(,)13 B.(,]13C.(,)+∞3D.[,)+∞311.已知等比数列{}n a 中a =21，则其前3项的和S 3的取值范围是(D )A.(]-∞-,1 B.()(),,-∞+∞01 C.[),+∞3 D. (][),,-∞-+∞1312.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c 若a b bc -=223，sin sin C B =23，则A =( A )A.︒30 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒150 二、填空题13.命题“若ab ≠0，则a ≠0或b ≠0”的逆否命题是 若a =0且b =0，则ab =0 . 14.已知数列{a }n 的前n 项和为n n S =-31，则它的通项公式为n a = n -⨯123 .15.已知P 为椭圆x y 2212516＋＝上的一点，,M N 分别为圆()x y 2231＋＋＝和圆()x y 2234-＋＝上的点，则||||PM PN ＋的最小值为____7____．解析 由题意知椭圆的两个焦点,F F 12分别是两圆的圆心，且||||PF PF 1210＋＝，从而|PM|＋|PN|||||PM PN ＋的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7||||PF PF 12127＋－－＝. 答案 716.过点,)11（作曲线y x =3的切线，则切线方程为 x y x y =+=3203410－－或－ . 三、解答题 17.设p ：实数x 满足.x ax a a <<224300－＋，q ：实数x 满足.x x x x ≤>2260280－－或＋－且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设:{|}.p A x x ax a a =<<224300－＋，{|}{|}.B x x x x x x x x =≤>=<->-226028042－－或＋－或 p q ⌝⌝ 是的必要不充分条件 q p ∴是的必要不充分条件A B ∴⊂a a a ⎧∆=-<∴⎨<⎩22161200或a a ≥-⎧⎨<⎩320或a a ≤-⎧⎨<⎩40 解得[,)(,)a ∈--∞-2043.18.已知数列{}n a 中，a =11，前n 项和n n n S a +=23． （1）求,a a 23，以及{}n a 的通项公式；（2）设n nb a =1，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）当n =2时，a a a ++=122223，解得a =23. 当n =3时，a a a a +++=1233323，解得a =36. n n n S a +=23 n n n S a --+∴=1113两式相减，得n n n n n a a a -++=-12133整理，得n n a n a n -+=-111由累积法，可得n a n a +=111又a =11()n n n a +∴=12n n b a =1 ()()n b n n n n ∴==⨯-++211211n n n T b b b b -=++⋅⋅⋅++121[]n n n n =⨯-+-+⋅⋅⋅+-+--+11111112122311 ()nn n =⨯-=++122111.19.过点(4,1)P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度.解：显然，AB 不会垂直x 轴，即AB 的斜率存在，设为k ，(,),(,)A x y B x y 1122，(,)P x y 00则y x =2118；y x =2228两式相减，得y y x x -=-2212128()y y y y x x +-=-121212()()8()即y y k y k +⨯==12042y =01 k ∴=4所以，AB 所在直线方程为()y x -=-144即x y --=4150将抛物线方程代入直线方程中，得y y --=22300，所以,y y y y +=⋅=-1212230根据弦长公式，得||[()]().AB y y y y k =++-=+=21212211714412031171620.已知数列{},(,,)n n n n a a a a n -==+-=11533123 中且 （1）试求,a a 23的值；（2）若存在实数,{}n n a λλ+3使得为等差数列，试求λ的值.解（1） 依a =15可知：a =223，a =395 （2） 设.n n n ab λ+=3若{}n b 是等差数列，则有b b b =+2132即 a a a λλλ+++⨯=+321232333 ()()()λλλ+=+++211235959327解得λ=-12事实上，[()][()]n n n n n n nn n n n a a b b a a +++++++---=-=-+=-+=11111111111223131113333 因此,存在λ=-12,可使{}n n a λ+3成为首项是32,32可使成为首项是,公差是1的等差数列.21.（本小题14分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,，其中c =2， 又向量(,cosC)m =1，(cosC,)n =1)，m n ⋅=1． （1）若A =︒45，求a 的值； （2）若a b +=4，求ABC ∆的面积. 解：m n ⋅=1 cos cos C C ∴⨯+⨯=111解得cos C =12，(,)C π∈0 C π∴=3（1）根据正弦定理，得sin sin c A a C ⋅⋅===22262332（2）又由a b +=4及C π=3得cos c a b ab C =+-2222()c a b ab =+-223所以ab =-2443解得ab =4sin ABC S ab C ∆==⨯⨯=1134322222.（文）（本小题14分）椭圆()x y a b a b+=>>222210与直线x y +=1交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求a b +2211的值； （2）若椭圆的离心率e 满足e ≤≤3232，求椭圆长轴的取值范围． 解：将直线方程y x =-1代入椭圆方程()x y a b a b+=>>222210中，得()()a b x a x a b +-+-=222222210因为直线与椭圆有两个交点,P Q ，设(,),(,)P x y Q x y 1122，所以(),a a b x x x x a b a b -+==++2221212222221()()()()b a y y x x x x x x a b-∴=--=-++=+2212121212221111且 ()()a a b a b ∆=-+->422224410即a b +>221 ，a a b >+>22221解得a ∴>22① OP OQ x x y y ⊥∴+=12120 即()()a b b a a b a b--+=++22222222110 整理，得a b+=22112（2）e ≤≤3232 c a ∴≤≤3232，即c a ≤≤221132 又由a b +=22112，得a b a a -=-=222211212即a b a =-22221 c a ∴≤≤221132可变为b a ∴≤-≤2211132所以 a a a -∴≤-≤2221121132解得a ≤≤5622② 由①②得a b a a a =+>+=22222111122 解得a >1 ③综上，a ≤≤5622（理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n n S a λλ=+-1，其中,λ≠-10；（1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比，()q f λ=，数列{}n b 满足*,()(,)n n b b f b n N n -==∈≥11122，求数列{}n b 的通项公式； （3）记λ=1，记()n n nC a b =-11，求数列{}n C 的前n 项和n T . 解：（1）由()()()n n n n S a S a n λλλλ--=+-⇒=+-≥11112相减得：,(),{}n n n n n n a a a a n a a λλλλ--=-+∴=≥∴+1121数列是等比数列 （2）(),n nn n n b f b b b b λλλ--=∴=⇒=+++1111111， {},;()n nn n b b b ∴=∴=+-=+111121211是首项为公差为的等差数列n b n ∴=+11（3）,(),()()n n n n nn a C a n b λ--==∴=-=111111122时， ()()()n n T n -∴=++++21111123222①()()()()n n T n =++++23111112322222② ①－②得：()()()()()n nn T n -=+++++-2311111111222222，()()()()()(())()n n n n n T n n -∴=+++++-=--2311111111112122222222，所以：(())()n nn T n =--1141222。