高二第二学期数学期末复习卷及答案
高二第二学期数学期末复习卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合M ={−2,1，2，3}，N ={x|x(x +1)>2}，则M ∩N =( )A. ⌀B. {2,3}C. {2}D. {−2,1，2，3}2．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.793. 双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．34. “210x +<”是“|1||2|x x ->+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 直线()12:20:240l x ay l ax a y ++=+++=，，若12//l l ，则实数a 的值是（ ） A ．2或1-B ．2-或1C ．2D ．1-6. 已知在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ,N 分别为AC ,B 1C 1的中点，E ,F 分别为BC ,B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为 （ ） A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7． 已知f(x)=)0)(2cos()2sin(3πϕϕϕ<<+++x x 为偶函数，将函数f(x)的图像向右平移6π个单位得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡64-ππ，上的值域为（ ） A []23-，B. []0,2- C .[]32-， D.[]2,2- 8.已知数列{}n a 满足2122111216n n n a a a a a ++===，，，则数列{}n a 的最小项为（ ） A ．912B ． 1112C ．81812D ．10129. 已知三棱锥D ABC -2，且AB BC ⊥，2AB =，22AD BC +=三棱锥D ABC - 的表面积为（ ） A ．222+B ．223+C ．226+D ．2226+10. 10.对任意x >0，不等式2ae 2x −lnx +lna ≥0恒成立，则实数a 的最小值为( ) √e2√eC. 2eD. 12e二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，把答案填在答题卷的相应位置.11．已知cosθ=√33，则cos2θ=______，sin(θ+3π2)=______．12.在数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，已知a 2=1，a 3=6，且数列{a n +n}是等比数列，则a n =______S n =______．13. 已知向量()3,4a =，()1,2b =-，则2a b +=__________，与a 方向相反的单位向量c =__________.14．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为______，该几何体的体积为______．15.若关于x 的不等式|1||1|2x ax x -+-≥对于任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是__________.16．若圆222410x y x y +--+=关于直线l 对称，则l 被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为17. 已知函数2()220192020f x ax x =--，对任意t R ∈在区间[]1,1t t -+存在两个实数12,x x ，使12()()1f x f x -≥成立，则a 的取值范围是三.解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知tan(π4+A)=3． (Ⅰ)求sin2A +cos 2A 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积S =1，c =2，求a 的值．19.如图，已知四棱锥A −BCDE ，正三角形ABC 与正三角形ABE 所在平面互相垂直，BC//平面ADE ，且BC =2，DE =1．(Ⅰ)求证：BC//DE ；(Ⅱ)若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值．20.已知数列{a n }的前n 项和S n =a n 2+2a n4，且a n >0(n ∈N ∗).(Ⅰ)写出a 1，a 2，a 3的值，并求出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =√S n ，T n 为数列{b n }的前n 项和；求证：n 2+n 2<T n <n 2+2n 2．21.已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值.22.已知f(x)=(x2−a)e−x，g(x)=a(e−x+1)．(Ⅰ)当a=1时，判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a>−1时，记f(x)的两个极值点为x1，x2(x1<x2)，若不等式x2f(x1)≤λ[f′(x2)−g(x1)]恒成立，求实数λ的值．AB C ACB N MFEG 答案1.B2.A3.C4. C5. D6.B如图，取A 1C 1中点G ，连接GN ，GM ，由GN ∥A 1B 1，GM ∥A 1A 可得平面GMN ∥平面ABB 1A 1，从而有MN ∥平面ABB 1A 1. 又EF ⊂平面BB 1C 1C ，MN 平面BB 1C 1C=N ,且N EF ∉，由异面直 线判定定理可知直线MN 与直线EF 异面，故选B.7.A 8.D【解析】因为2212n n n a a a ++=，所以2112n n n n a a a a +++=⨯；因为121116a a ==，，所以15112216n n n n a a --+=⨯=；436321212,2,,2n nn a a aa a a ----===，以上各式相乘可得211104364362122222n n n n na a -+-----++-=⨯⨯⨯==，所以2111022n n na -+=，*n N ∈，由于21110y n n =-+有最小值20-，所以n a 的最小值为102-.9.A【解析】因为1132D ABC ADAB BC V -⎛⎫⋅⋅≥=⎪⎝⎭，AB =2ADBC ⋅≥．因为AD BC =+≥=AD BC ==时，等号成立，此时2AC =，AD =AD ⊥平面ABC ，2BD =，易得BC ⊥平面ABD ，所以三棱锥D ABC -的表面积为ABCABDACDBCDSSSS+++=11112222222⨯⨯=+． 10.【答案】D【解析】解：对任意的x >0，不等式2ae 2x −lnx +lna ≥0恒成立， 即2ae 2x ≥lnx −lna =ln xa 恒成立，∵函数y =ae x 与函数y =ln x a 互为反函数，又x >0时，2e x >2，∴原问题等价于2ae x ≥ln x a 恒成立，则2ae x ≥x ，即2a ≥xe x 在x >0恒成立， 设f(x)=xe x ，则f′(x)=1−x e x，令f′(x)=0，解得x =1，当x >1时，f(x)递减，0<x <1时，f(x)递增， 则f(x)max =f(1)=1e ， 故2a ≥1e .即a ≥12e ．11.【答案】−13 ， −√3312.【答案】3n−1−n ；3n −(n 2+n+1)2【解析】解：∵a 2=1，a 3=6，且数列{a n +n}是等比数列， ∴a 2+2=3，a 3+3=9，q =3，由等比数列的通项公式可得，a n +n =3×3n−2=3n−1， 所以a n =3n−1−n ，S n =30−1+31−2+⋯+3n−1−n ， =1−3n 1−3+n(n−1)2=3n −(n 2+n+1)2．13． 34,55⎛⎫--⎪⎝⎭14． 【答案】144cm 2 64cm 315.【答案】1a ≤-或3a ≥ 【解析】11|1||1|212|1|||2(0)x ax x a t t a t x x-+-≥⇔-+-≥⇔-+-≥>． 所以min (|1|||)(1)()1|2t t a t t a a -+-=|---|=|-≥，解得1a ≤-或3a ≥．故答案为：1a ≤-或3a ≥.16.4 由题意，直线l 过圆222410x y x y +--+=的圆心为M 1,2，则问题转化为过点M 的直线l 被圆229x y +=所截得的最短弦长，即直线l 垂直于OM 时，被圆229x y +=所截得的弦长最短，OM =4=17．{}11,0,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】存在两个实数1x ，2x ，使()()()()12max min 11f x f x f x f x -≥⇔-≥，2()220192020f x ax x =--与22y ax =的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合.因为11t x t -≤≤+且t R ∈，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于1，因此取纵坐标之差最小的状态为()()2211f x ax x =-≤≤，当0a >时，此时()()max min 201f x f x a -=-≥，故12a ≥； 当0a =时，显然符合；当0a <时，此时()()max min 021f x f x a -=-≥，故12a ≤-，故 18.【答案】解：(Ⅰ)∵tanA =tan[(π4+A)−π4]=tan(π4+A)−tanπ41+tan(π4+A)tanπ4=12，∴sin2A +cos 2A =2sinAcosA+cos 2A sin 2A+cos 2A=2tanA+1tan 2A+1=85， (Ⅱ)由(1)tanA =12可得：{ sin 2A +cos 2A =1sinA cosA =12, 且，所以sinA=√55,cosA =2√55；又S =12bcsinA =1，c =2可得b =√5； ∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =1； 所以a =1． 19.【答案】解：(Ι)证明：因为BC//平面ADE ，BC ⊂平面BCED ，且平面BCED ∩平面ADE =DE ， 所以BC//DE (Π)解法1：如图所示建立空间直角坐标系，设AB =2 各点的坐标分别为A(−1,0，0)，B(1,0，0)，C(0,√3,0)，E(0,0,√3)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,0)，所以D(−12,√32,√3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,√3) 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,√33,2√33)，所以F(−23,√33,2√33) 所以CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,−2√33,2√33)，因为面ABE 的一个法向量是OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)设CF 与平面ABE 所成的角为|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ | θ，则sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=所以sinθ=√217解法2：如图所示，延长CD ，BE 交于P ，连接PA ，延长CF 交AP 于G ，显然G 为PA 的中点， OC ⊥面ABE ，所以∠CGO 即为CF 与平面ABE 所成的角 因为OC =√3,OG =2，所以CG =√7， 所以sin∠CGO =√21720.【答案】(I)解：由题意，当n =1时，a 1=S 1=a 12+2a 14，整理，得a 12−2a 1=0， 解得a 1=0，或a 1=2，∵a n >0，n ∈N ∗，∴a 1=2．当n =2时，a 1+a 2=2+a 2=S 2=a 22+2a 24，整理，得a 22−2a 2−8=0， 解得a 2=−2(舍去)，或a 2=4．当n =3时，a 1+a 2+a 3=6+a 3=S 3=a 32+2a 34，整理，得a 32−2a 3−24=0， 解得a 3=−4(舍去)，或a 3=6． ∴a 1=2，a 2=4，a 3=6．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=a n 2+2an 4−a n−12+2an−14，整理，得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， ∵a n +a n−1>0，∴a n −a n−1−2=0，即a n −a n−1=2．∴数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴a n =2+2(n −1)=2n ，n ∈N ∗．(Ⅱ)由(I)知，S n =n(n +1)，则b n =√n(n +1)， ∵b n =√n(n +1)>n ，n ∈N ∗．∴T n =b 1+b 2+⋯+b n=√1⋅2+√2⋅3+⋯+√n ⋅(n +1) >1+2+⋯+n =n 2+n 2，另一方面，b n =√n(n +1)<n+n+12=n +12，n ∈N ∗．T n =b 1+b 2+⋯+b n=√1⋅2+√2⋅3+⋯+√n ⋅(n +1)<(1+12)+(2+12)+⋯+(n +12)=(1+2+⋯+n)+n2=n 2+n 2+n 2=n 2+2n 2， ∴n 2+n2<T n <n 2+2n 2，故得证．21．解:(1)依题意,设椭圆的方程为. 构成等差数列, , . 又,.椭圆的方程为 (5)分(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中,C 22221x y a b+=1122PF F F PF 、、∴1122224a PF PF F F =+==2a =1c =23b ∴=∴C 22143x y +=l y kx m =+C 223412x y +=得由直线与椭圆仅有一个公共点知,,化简得: 设,,(法一)当时,设直线的倾斜角为, 则,, ,,当时,,,. 当时,四边形是矩形, ,所以四边形面积的最大值为(法二), . .四边形的面积,当且仅当时,,故.所以四边形的面积的最大值为22.【答案】解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=(x 2−1)e −x ，所以f′(x)=(−x 2+2x +1)e −x ，令f′(x)=(−x 2+2x +1)e −x =0，得−x 2+2x +1=0， 所以x 1=1−√2,x 2=1+√2， 单调递增区间为(1−√2,1+√2)，01248)34(222=-+++m kmx x k l C 2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=2243m k =+11d F M ==22d F M ==0k ≠l θ12tan d d MN θ-=⨯12d d MN k-∴=22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m 1814322+=+-=2243m k =+∴0k ≠3>m 3343131=+>+m m 32<S 0=k 12F MNF S =12F MNF S 222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++222122233311m k k d d k k -+====++MN ∴===12F MNF 121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S 12)211(41622≤-+-=k 0k =212,S S ==max S =12F MNF S(Ⅱ)因为f′(x)=(−x 2+2x +a)e −x ，a >−1，所以x 1，x 2为方程(−x 2+2x +a)e −x =0化简后即x 2−2x −a =0的两相异根， 此时{x 1+x 2=2x 1x 2=−a −x i 2+2x i +a =0，所以f′(x 2)−g(x 1)=0−a(e −x 1+1)=−a(e −x 1+1)x 2f(x 1)=x 2(x 12−a)e −x 1=x 2(2x 1)e −x 1=2x 1x 2e −x 1=−2ae −x 1， 所以x 2f(x 1)≤λ(f′(x 1)−g(x 1))可以转化为−2ae −x 1≤−aλ(e −x 1+1)， 因为−x i 2+2x i +a =0,x 1∈(−∞,1)，所以上式可化为(x 12−2x 1)(λ(e −x 1+1)−2e −x 1)≤0， 化简得：(x 12−2x 1)(λ−21+e x 1)≤0， ①当a ∈(−1,0)时x 1∈(0,1)，x 12−2x 1<0， 所以λ−21+e x 1≥0恒成立， 因为此时21+e x 1∈(21+e ,1)所以λ≥1；②当a =0时x 1=0，x 12−2x 1=0， 所以※显然恒成立，即λ∈R ；③当a ∈(0,+∞)时x 1∈(−∞,0)，x 12−2x 1>0， 所以λ−21+e 1≤0恒成立， 因为此时21+e x 1∈(1,2)， 所以λ≤1；综上①②③可知：λ=1．。
高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)
高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
高二第二学期期末考试数学试题含答案(word版)
高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为π)2(-n ”时，第一步验证的n 等于( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。
根据欧拉公式可知，i e 32π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用反证法证明：“实数z y x ,,中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（ ） A ．z y x ,,中有一个大于0 B ．z y x ,,都不大于0 C ．z y x ,,都大于0 D ．z y x ,,中有一个不大于0 4．设随机变量),(~p n B X ,且 1.6Ex =,0.96Dx =,则( )A ．0.4p 4,n ==B ．0.2p 8,n ==C ．0.32p 5,n ==D ．0.45p 7,n == 5．曲线)20(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) A ．2B ．π2C ．πD ．46．已知函数x e x f x ln )(2⋅=，)(x f '为)(x f 的导函数，则)1(f '的值为（ ） A ．0 B ．1C ．eD ．2e7．给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的导函数，)(x f ''是函数)(x f '的导函数，若方程0)(=''x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.已知函数x x x x f cos sin 3)(-+=的拐点是))(,(00x f x ，则=0tan x （ ） A ．21 B ．22C ．23 D ．18．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数Λ++112112中的“…”代表无限次重复，设Λ++=112112x ，则可以利用方程x x +=112求得x ，类似地可得到正数Λ333=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．69．已知6)(x xa -展开式的常数项为15，则=a （ ）A ．1±B ．0C ．1D ．-110．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种二、填空题（每小题5分，共20分）11．设随机变量X 的概率分布列如下图，则==-)12(x P __． 12．曲线1)(+=x xe x f 在点))0(,0(f 处的切线方程为_____． 13．复数z 满足12=+-i z ，则z 的最小值是___________．14．椭圆1422=+y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 ．三、解答题（每小题10分，共50分）15．已知复数i iaz ++=1，其中i 为虚数单位，R a ∈. （1）若R z ∈，求实数a 的值；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围.16.用数学归纳法证明：当*N n ∈时，21223+++n n 能被7整除．17．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。
高二数学期末考试题及答案
高二数学期末考试题及答案Learn standards and apply them. June 22, 2023一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试卷的答题卡中．1．若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则p 的值为 A ．-2B ．2C ．-4D ．42．理已知向量a =3,5,-1,b =2,2,3,c =4,-1,-3,则向量2a -3b +4c 的坐标为A ．16,0,-23B ．28,0,-23C ．16,-4,-1D ．0,0,9文曲线y =4x -x 2上两点A 4,0,B 2,4,若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ,则点P 的坐标为A ．1,3B ．3,3C ．6,-12D ．2,43．过点0,1作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．已知双曲线222112x y a -=的离心率2,则该双曲线的实轴长为 A ．2 B ．4C ．23D ．435．在极坐标系下,已知圆C 的方程为=2cos θ,则下列各点中,在圆C 上的是A ．1,-3πB ．1,6πC ．2,34πD 2,54π6．将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是A ．312x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩B ．312x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩C ．32x x y y '=⎧⎨'=⎩D ．32x xy y'=⎧⎨'=⎩7．在方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩为参数表示的曲线上的一个点的坐标是A ．2,-7B ．1,0C ．12,12D ．13,238．极坐标方程=2sin 和参数方程231x ty t =+⎧⎨=--⎩t 为参数所表示的图形分别为A ．圆,圆B ．圆,直线C ．直线,直线D ．直线,圆9．理若向量a =1,,2,b =2,-1,2,a 、b 夹角的余弦值为89,则=A ．2B ．-2C ．-2或255D ．2或-255文曲线y =e x +x 在点0,1处的切线方程为 A ．y =2x +1 B ．y =2x -1 C ．y =x +1 D ．y =-x +110．理已知点P 1的球坐标是P 14,2π,53π,P 2的柱坐标是P 22,6π,1,则|P 1P 2|=A ．21B ．29C ．30D ．42文已知点P 在曲线fx =x 4-x 上,曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0,则点P 的坐标为A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,011．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A ,B 两点,设双曲线的左顶点M ,若点M 在以AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e 的取值范围为A ．32,+∞B ．1,32C ．2,+∞D ．1,212．从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为A ．5B ．10C ．20D 15二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．请将答案填在试卷的答题卡中．13．理已知空间四边形ABCD 中,G 是CD 的中点,则1()2AG AB AC -+=．文抛物线y =x 2+bx +c 在点1,2处的切线与其平行直线bx +y +c =0间的距离是 ．14．在极坐标系中,设P 是直线l ：cos θ+sin θ=4上任一点,Q 是圆C ：2=4cos θ-3上任一点,则|PQ |的最小值是________．15．理与A -1,2,3,B 0,0,5两点距离相等的点Px ,y ,z 的坐标满足的条件为__________．文函数fx =ax 3-x 在R 上为减函数,则实数a 的取值范围是__________．16．如图,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点,且双曲线过C 、D 两顶点．若AB =4,BC =3,则此双曲线的标准方程为_____________________．三、解答题：本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．本题满分12分双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点,且经过点15,4,求其方程．18．本题满分12分在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为：415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩t 为参数,若以O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为=2cos θ+4π,求直线l 被曲线C 所截的弦长．19．本题满分12分已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M-3,m到焦点的距离为5,求抛物线的方程和m的值．20．本题满分12分文已知函数fx=x2x-a．1若fx在2,3上单调,求实数a的取值范围；2若fx在2,3上不单调,求实数a的取值范围．理本题满分12分如图,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥面ABCD,PA=219,AB=8,BC=6,点E是PC的中点,F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．1求EF的长；2证明：EF⊥PC．参考答案一、 选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分．内为文科答案二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．13．理12BD 文32214．21-15．理2x -4y +4z =11 文a ≤0 16．x 2-23y =1 三、解答题：本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．本题满分12分解：椭圆2213627y x +=的焦点为0,3,c =3,………………………3分 设双曲线方程为222219y x a a-=-,…………………………………6分 ∵过点15,4,则22161519a a-=-,……………………………9分 得a 2=4或36,而a 2<9,∴a 2=4,………………………………11分双曲线方程为22145y x -=．………………………………………12分18．本题满分12分解：将方程415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩t 为参数化为普通方程得,3x +4y +1=0,………3分将方程2θ+4π化为普通方程得,x 2+y 2-x +y =0, ……………6分 它表示圆心为12,-12,半径为22的圆, …………………………9分则圆心到直线的距离d =110, …………………………………………10分 弦长为2211721005r d -=-=． …………………………………12分20．文本题满分12分解：由fx =x 3-ax 2得f ′x =3x 2-2ax =3xx -23a．…………3分 1若fx 在2,3上单调,则23a ≤0,或0<23a≤2,解得：a ≤3．…………6分∴实数a 的取值范围是-∞,3．…………8分 2若fx 在4,6上不单调,则有4<23a<6,解得：6<a <9．…………11分 ∴实数a 的取值范围是6,9．…………12分20．理本题满分12分解：1以A 为原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立直角坐标系,…………2分由条件知：AF =2,…………3分∴F 0,2,0,P 0,0,219,C 8,6,0．…4分从而E 4,3,19,∴EF =222(40)(32)(190)-+-+-=6．…………6分 2证明：EF =-4,-1,-19,PC =8,6,-219,…………8分 ∵EF PC ⋅=-4×8+-1×6+-19×-219=0,…………10分 ∴EF ⊥PC ．…………12分第一课件网系列资料 .。
高中高二数学下学期期末复习试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q=．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2=．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为．6．已知则满足的x值为．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q={0，2} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过理解集合的表示法化简集合P和集合Q，两集合的交集是集合P和Q中的共同的数．解答：解：∵P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，∴P∩Q={0，2}故答案为：{0，2}点评：本题考查集合的表示法、集合交集的求法．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2= 2+2i ．考点：复数代数形式的加减运算．专题：计算题．分析：根据复数减法的运算法则，当且仅当实部与虚部分别相减可求．解答：解：Z1﹣Z2=（3+4i）﹣（1+2i）=2+2i故答案为：2+2i点评：本题主要考查了复数减法的基本运算，运算法则：当且仅当实部与虚部分别相减，属于基础试题．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是“∃x∈R，sinx≥2”．考点：命题的否定．分析：根据命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题，其否定为特称命题，即“∃x∈R，sinx≥2”．从而得到本题答案．解答：解：∵命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题．∴命题的否定是存在x值，使sinx＜2不成立，即“∃x∈R，sinx≥2”．故答案为：“∃x∈R，sinx≥2”．点评：本题给出全称命题，求该命题的否定形式．着重考查了含有量词的命题的否定、全称命题和特称命题等知识点，属于基础题．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是﹣3 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简=（1+3i）i，依据使不得定义求得z的实部．解答：解：复数z=（1+3i）i=﹣3+i，故实部为﹣3，故答案为﹣3．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，以及复数为实数的条件．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为[0，π]．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减；从图中找到f′（x）≥0的区间即可．解答：解：据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减由图得到x∈[0，π]时，f′（x）≥0故y=f （x）的单调增区间为[0，π]故答案为[0，π]点评：本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减6．已知则满足的x值为 3 ．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．分析：分x≤1和x＞1两段讨论，x≤1时，得，x＞1时，得，分别求解．解答：解：x≤1时，f（x）=，x=2，不合题意，舍去；x＞1时，，=3综上所示，x=3故答案为：3点评：本题考查分段函数求值问题，属基本题．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．考点：利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先求导函数，要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，故可建立不等式，解之即可求得m的取值X围．解答：解：求导函数要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，构建函数g（x）=﹣x2+mx+2，因为函数图象恒过点（0，2），所以﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，只需m根据函数的单调递增，解得，即所求m的X围为故答案为：点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，将问题转化为﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是﹣1≤a＜7 ．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，进而验证a=﹣1与a=7时是否符合题意，即可求答案．解答：解：由题意，f′（x）=3x2+4x﹣a，当f′（﹣1）f′（1）＜0时，函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，解得﹣1＜a＜7，当a=﹣1时，f′（x）=3x2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣，当a=7时，f′（x）=3x2+4x﹣7=0在（﹣1，1）上无实根，则a的取值X围是﹣1≤a＜7，故答案为﹣1≤a＜7．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2 =8，在a=b=8时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：8点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为e2．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先利用复合函数求导法则求已知函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线斜率，进而利用直线的点斜式写出切线方程，最后求直线与坐标轴的交点，计算直角三角形的面积即可解答：解：y′=，y′|x=4=e2∴曲线在点（4，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）即y=e2x﹣e2令x=0，得y=﹣e2，令y=0，得x=2∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为×2×e2=e2故答案为e2点评：本题主要考查了导数的几何意义，求曲线在某点出的切线方程的方法，利用导数求切线方程是解决本题的关键11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．解答：解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．点评：本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是[1，5]．考点：函数最值的应用．专题：计算题；综合题．分析：根据a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得到a+c=9﹣b，并代入ab+bc+ca=24，得到ac=24﹣（a+c）b，然后利用基本不等式ac，即可求得b的取值X围．解答：解：∵a+b+c=9，∴a+c=9﹣b，∵ab+ac+bc=（a+c）b+ac=24，得ac=24﹣（a+c）b；又∵ac，∴24﹣（a+c）b，即24﹣（9﹣b）b，整理得b2﹣6b+5≤0，∴1≤b≤5；故答案为[1，5]．点评：此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，属中档题．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．解答：解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是381 ．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，由此可求出第20行第20个数．解答：解：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，∴第20行第20个数是361+20=381．故答案为：381．点评：本题给出三角形数阵，求第20行第20个数，着重考查了递归数列和归纳推理等知识点，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值X围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值X围，则命题p，q中一个为真，分类讨论后，即可得到实数a的取值X围．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；p和q中至少有一个为真命题如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞，∴＜a＜4；如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0；如果p真q真，则有0≤a＜4，且a≤，∴0≤a≤；所以实数a的取值X围为（﹣∞，4）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值X围，是解答本题的关键．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．解答：解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x0的值；（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可．解答：解：（Ⅰ）由图象可知，在（﹣∝，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．在（2，+∝）上f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∝，1），（2，+∝）上递增，在（1，2）上递减．因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1．（Ⅱ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，得解得a=2，b=﹣9，c=12．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及观察图形的能力，属于基础题．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过a=4可知y=，分别令每段对应函数值大于等于4，计算即得结论；（Ⅱ）通过化简、利用基本不等式可知y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4≥﹣a﹣4，再令﹣a﹣4≥4，计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴y=，当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4；当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8；综上所述，0≤x≤8，即若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天；（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=10﹣x+﹣a=（14﹣x）+﹣a﹣4，∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴∈[4，8]，∴y=（14﹣x）+﹣a﹣4≥2﹣a﹣4=﹣a﹣4，当且仅当14﹣x=即x=14﹣4时，y有最小值为﹣a﹣4，令﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出n n+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．解答：解：当n=1时，n n+1=1，（n+1）n=2，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=2时，n n+1=8，（n+1）n=9，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=3时，n n+1=81，（n+1）n=64，此时，n n+1＞（n+1）n，当n=4时，n n+1=1024，（n+1）n=625，此时，n n+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．证明：①当n=3时，n n+1=34=81＞（n+1）n=43=64即n n+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，k k+1＞（k+1）k成立，即：＞1则当n=k+1时，=（k+1）（）k+1＞（k+1）（）k+1=＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．点评：本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力，属于中档题．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（1）构造函数，通过研究h（x）的导数得出其单调性，从而得出其在区间[[1，e]上的值域，可以证出f（x）能被g（x）替代；（2）构造函数k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得在区间上函数k（x）为减函数，在区间（1，m）上为增函数，因此函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）大于1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）根据题意得出不等式，去掉绝对值，再根据x﹣lnx的正负转化为或，通过讨论右边函数的最值，得出实数a的X围解答：解：（1）∵，令，∵，∴h（x）在[1，e]上单调增，∴．∴|f（x）﹣g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．（2）记k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得当时，k′（x）＜0，在区间上函数k（x）为减函数，当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，即|f（x）﹣g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．∴．，由（2）知，当x∈[1，e]时，x﹣lnx＞0恒成立，∴有，令，∵=，由（1）的结果可知，∴F'（x）恒大于零，∴．②，令，∵=，∵，∴G'（x）恒大于零，∴，即实数a的X围为点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，通过分类讨论解决了不等式恒成立的问题，属于难题．。
2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题含答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．78915⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯可表示为（ ） A ．915AB ．815AC ．915CD ．815C2．从1~7这七个数字中选3个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A ．210B ．120C ．90D ．453．()91x -的展开式的第6项的系数为（ ） A ．69CB ．69C -C ．59CD ．59C -4．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t 水净化到纯净度为x %时所需费用（单位：元）为()()528480100100c x x x=<<-，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的（ ） A ．30倍B ．25倍C ．20倍D ．15倍5．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到26.147χ=．根据小概率值0.01α=的独立性检验（0.016.635x =），结论为（ ）A ．变量X 与Y 不独立B ．变量X 与Y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C ．变量X 与Y 独立 D ．变量X 与Y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.016．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X ，则()E X =（ ）A ．2B ．1C ．43D ．237．某人在11次射击中击中目标的次数为X ，若()~11,0.8X B ，若()P X k =最大，则k＝（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．108．已知函数()()1e x f x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（ ） A ．24,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．242,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．36,2e e ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对经验回归方程，下列正确的有（ ） A ．决定系数2R 越小，模型的拟合效果越好 B ．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体C ．不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值D ．残差平方和越小，模型的拟合效果越好10．甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩()()2111~,0X N μσσ>，乙地学生的成绩()()2222~,0Y N μσσ>．下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）A ．甲地数学的平均成绩比乙地的低B ．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小C ．()()90948290PX P X ≤<>≤< D ．若28σ=，则()921240.84P Y ≤<≈（附：若随机变量()()2~,0X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈）11．下列命题正确的有（ ）A ．现有1、3、7、13四个数，从中任取两个相加得到m 个不相等的和；从中任取两个相减得到n 个不相等的差，则m ＋n ＝18B ．在()()()567111x x x +++++的展开式中，含3x 的项的系数为65 C ．若(5122a b =-（a ，b 为有理数），则b ＝－29D ．02420202022202020222022202220222022C C C C C 2+++⋅⋅⋅++= 12．已知函数()()()ln 2f x x x ax a a =-+∈R 有两个极值点1x ，()212x x x <，则（ ）A ．104a <<B ．122x x +>C ．()112f x >D ．()20f x >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()3f x x =，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线的方程为______．14．将4名博士分配到3个不同的实验室，每名博士只分配到一个实验室，每个实验室至少分配一名博士，则不同的分配方案有______种．15．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是21.6r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm ，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm ． 16．已知离散型随机变量X 的取值为有限个，()72E X =，()3512D X =，则()2E X =______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取一件． （Ⅰ）求这件产品是次品的概率；（Ⅱ）已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率． 18．（本小题满分12分）若()*,0,na x a a n x ⎛⎫-∈≠∈ ⎪⎝⎭R N 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中的常数项为－20． （Ⅰ）求n ，a 的值； （Ⅱ）若()()()()220212022202220212020012202120221111a x a x x a x x a x x a x a +-+-+⋅⋅⋅+-+-=，求1232022a a a a +++⋅⋅⋅+．19．（本小题满分12分）某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是34，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为Y ，甲做完4道题后的总得分为X ． （Ⅰ）试建立X 关于Y 的函数关系式，并求()0P X <；（Ⅱ）求X 的分布列及()E X ．20．（本小题满分12分） 已知函数()e ln x m f x x +=-．（Ⅰ）若()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求证：2m ≥-时，()0f x >．21．（本小题满分12分）某公司对其产品研发的年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：（Ⅰ）求变量x 和y 的样本相关系数r （精确到0.01），并推断变量x 和y 的线性相关程度（参考：若0.75r ≥，则线性相关程度很强；若0.300.75r ≤<，则线性相关程度一般；如果0.25r ≤，则线性相关程度较弱）；（Ⅱ）求年销售量y 关于年投资额x 的线性回归方程；（Ⅲ）当公司对其产品研发的年投资额为600万元时，估计产品的年销售量． 参考公式：对于变量x 和变量y ，设经过随机抽样获得的成对样本数据为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中1x ，2x ，…，n x 和1y ，2y ，…，n y 的均值分别为x 和y ．称()()niix x y y r --=∑x 和y 的样本相关系数．线性回归方程ˆˆˆybxa =+中，()()()121ˆniii n i i x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx=-． 7.14≈．22．（本小题满分12分） 已知函数()()()sin ln 1f x a x x a =-+∈R 在区间（－1，0）内存在极值点．（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）判断关于x 的方程()0f x =在()1,π-内实数解的个数，并说明理由．参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9．BCD10．AD11．BC12．BD三、填空题（每小题5分，共20分）13．y ＝3x －2 14．36 15．6 16．916四、解答题（共70分） 17．（本小题满分10分）解：设事件B 为“取到的产品是次品”，()1,2A i =为“取到的产品来自第i 批”．（Ⅰ）由全概率公式，所求概率为()()()()()1122||P B P A P B A P A P B A =+40%5%60%4%0.044=⨯+⨯=．（Ⅱ）所求概率为()()()()()()1111||P BA P A P B A P A B P B P B ==40%5%50.04411⨯==．18．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：由题意，n ＝6． 展开式的通项()662166C C kk kkkk k a T x a x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，k ＝0，1，…，6． 令6－2k ＝0，得k ＝3．由题意，得()336C 20a -=-，即32020a -=-．解得a ＝1．（Ⅱ）解法1：()202211x x ⎡⎤=+-⎣⎦()()()()2202120220202212021220202021202220222022202220222022C C 1C 1C 1C 1x x x x x x x x =+-+-+⋅⋅⋅+-+-又()()()2202220222021202001220221111a x a x x a x x a x +-+-+⋅⋅⋅+-=，所以202201220212022202220222022202220222022C C C C C 2ii a==+++++=∑． 解法2：由（Ⅰ），知()()()2202220222021202001220221111a x a x x a x x a x +-+-+⋅⋅⋅+-=．令12x =，得2022202120202202201220221111111111222222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20222022202220220122022111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．上式两边同乘以20222，得202220222i i a ==∑．由()()()2202220222021202001220221111a x a x x a x x a x +-+-+⋅⋅⋅+-=，令1x =，得01a =．所以2022202220220121i ii i a a a===-=-∑∑．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意，X ＝4Y －2（4－Y ）＝6Y －8． 由X ＝6Y －8<0，得43Y <．所以Y ＝0，1． 所以()()()431413113001C 444256P X P Y P Y ⎛⎫⎛⎫<==+==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅱ）由题意，知3~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． X 与Y 的对应值表为：于是，()()4318014256P X P Y ⎛⎫=-===-= ⎪⎝⎭；()()31433321C 14464P X P Y ⎛⎫=-===⨯-⨯=⎪⎝⎭； ()()2224332742C 144128P X P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()3343327103C 14464P X P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()43811644256P X P Y ⎛⎫===== ⎪⎝⎭． 法1：()()()132727818241016102566412864256E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=．法2：()()()36868648104E X E Y E Y ⎛⎫=-=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分） （Ⅰ）因为()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()1e 0x m f x x +'=-≥在[)1,+∞恒成立，即1ln x m x+≥． 所以1ln ln m x x x x≥-=--． 令()ln gx x x =--，显然()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()g x 在[)1,+∞上的最大值为()()max 11g x g ==-．因此，1m ≥-． （Ⅱ）当2m ≥-时，()2e ln e ln x m x f x x x +-=-≥-．只需证明2e ln 0x x -->．证法1：令()2e ln x gx x -=-，则函数()g x 的定义域为()0,+∞．()21e x g x x -'=-．因为2e x y -=是增函数，1y x=-在()0,+∞上单调递增， 所以()21e x g x x -'=-在()0,+∞上单调递增．又因为()101e e 0g -'=-<，()e 211e e 10e eg -'=->->，由零点存在性定理，存在唯一的()01,e x ∈，使得()02001e 0x g x x-'=-=．当()00,x x ∈时，()()00g x g x ''<=，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()00g x g x ''>=，()g x 单调递增． 所以，()()0200min e ln x gx g x x -==-．由()02001e 0x g x x -'=-=，得0201e x x -=，002ln x x -=-． 于是()()00min01220g x g x x x ==+->=． 所以，()2e ln 0x gx x -=->．证法2：要证2e ln 0x x -->，即证2e ln x x x x -->-．设()21e x h x x -=-，则()21e1x h x -='-．()210e 12x h x x ->⇔>⇔>'；()102h x x '<⇔<，所以()1h x 在（0，2）上单调递减，在()2,+∞上单调递增． 所以()()11min 21h x h ==-．设()2ln h x x x =-，则()2111x h x xx-'=-=．()2001h x x '>⇔<<；()201h x x '<⇔>，所以()2h x 在（0，1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减． 所以()()22max 11h x h ==-．可见，()()12h x h x >．所以原结论成立．证法3：要证明2e ln 0x x -->，而()2e121x x x -≥+-=-，当且仅当2x =时取等号；1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．所以2e ln x x ->，即2e ln 0x x -->．注：证明2e 1x x -≥-，1ln x x -≥各得3分，给出取等的条件各得1分． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x =，6y =，52155ii x==∑，51123i i i x y ==∑，521307.5i i y ==∑．()()nniii i x x y y x y nxyr ---==∑∑=0.92=≈．因为0.75r ≥，所以变量x 和y 的线性相关程度很强．（Ⅱ）()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑21235363.35553-⨯⨯==-⨯． ˆ6 3.33 3.9a=-⨯=-． 所以年销售量y 关于年投资额x 的线性回归方程为ˆ 3.3 3.9y x =-． （Ⅲ）当x ＝6时，由（Ⅱ），ˆ 3.36 3.915.9y =⨯-=．所以研发的年投资额为600万元时，产品的年销售量约为15.9千件． 22．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：()()1cos 101f x a x x x'=--<<+． ①当1a ≤时，因为0cos 1x <<，所以()11011x f x x x'<-=<++． 所以()f x 在（－1，0）上单调递减，所以()f x 在（－1，0）上无极值点．故1a ≤不符合题意．②当a >1时，因为cos y a x =在（－1，0）上单调递增，11y x=-+在（－1，0）上单调递增， 所以()f x '在（－1，0）上单调递增．又()111,0a -∈-，111cos 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()010f a '=->， 所以存在唯一的111,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()10f x '=．当()11,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以()f x 在（－1，0）内存在极小值点1x ．满足题意．综上，a 的取值范围是()1,+∞．（Ⅱ）当02x π<<时，()()2sin 11x f x a x ''=-++单调递减．又()010f ''=>，()24022f a ππ⎛⎫''=--< ⎪⎝⎭+，所以存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ''=．当00x x <<时，()0f x ''>，()f x '单调递增；当02x x π<<时，()0f x ''<，()f x '单调递减，又()()0010f x f a ''>=->，2022f ππ⎛⎫'=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的0,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f α'=．当()0,x α∈时，()0f x '>；当,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．又当2x ππ≤<时，()0f x '<恒成立，。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)
i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。
高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)
高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。
高二下学期期末考试数学试卷和答案
高二下学期期末考试数学试卷和答案一、 选择题：(每题4分，共48分) 将答案填图在答题卡上.1．复数31ii--等于（ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2．=-⎰π20)sin (dx x （ ）A ．0 C.－23．若复数i i z -=1，则=|z |( )A ．21B ．22C ．1D ．24．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是（ ）A ．100 B ．90 C ．81 D ．725.若函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <6．在二项式5)1(xx -的展开式中，含x 3的项的系数是（ ）7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．8．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。
A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离9．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．y y y10．设31(3)n x x+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P +S =272，则n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．811．设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（ ）Ａ．p Ｂ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p -- Ｄ．(1)p p -天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试（数学理）12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。