2015年全国统一高考数学试卷文科新课标1
2015年全国高考文科数学试题及答案（全国1卷）
2015年全国高考文科数学试题及答案（全国1卷）2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ?B 中元素的个数为（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r =（A ）（-7，-4）（B ）（7,4）（C ）（-1,4）（D ）（1，4）（3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12。
2015年全国高考数学卷文科卷1及解析
2015 年全国高考数学卷文科卷 1一、选择题1．已知集合 A { x x 3n 2,n N}, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A B 中的元素个数为( )（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（A）14 斛（B）22 斛（C）36 斛（D）66 斛2．已知点A(0,1), B(3,2) ，向量AC ( 4, 3)，则向量BC ( ) 7．已知{ a n} 是公差为1 的等差数列，S n 为{a n} 的前n项和，若S8 4S4 ，则a10（）（）（）（） A ( 7, 4) (7, 4)( 1,4) (1,4)B C D3．已知复数z 满足( z 1)i 1 i ，则z （）（A）172（B）192（C）10 （D）128．函数 f (x) cos( x )的部分图像如图所示，则 f (x) 的单调递减区间为（A） 2 i （B） 2 i （C）2 i （D）2 i4．如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组（）勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）1205．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 2C : y 8x的焦点重合，A, B 是C的准线与 E 的两个交点，则AB ( ) （A）1 3(k ,k), k Z4 4（A） 3 （B）6 （C）9 （D）126．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有（B）1 3(2k ,2k ), k Z4 4委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，（C）1 3(k ,k), k Z4 4米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（D）1 3(2k ,2k ),k Z4 4试卷第 1 页，总 4 页9．执行右面的程序框图，如果输入的t 0.01 ，则输出的n （）二、填空题13．数列a中a1 2,a n 1 2a n,S n 为a n 的前n 项和，若S n 126，则nn .（）（）（）（） AB CD 12 56 1010．已知函数f (x)7543414（A）（x 1 x2 2, 1log (x1), x 12 ，且f (a)3 ，则f (6)a（）3114．已知函数f x axx1,f 12,7的图像在点的处的切线过点，则a.15．若x,y 满足约束条件x y 2 0x 2y 1 02x y 2 0****B）411．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何, 则z=3x+y 的最大值为．体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20 ，则r ( ) 16．已知F 是双曲线2y2C : x 1的右焦点，P 是C左支上一点， A 0,66 ，8当APF 周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题17．（本小题满分12 分）已知a,b,c 分别是ABC 内角A, B,C 的对边，2sin B 2sin A sin C .（Ⅰ）若 a b ，求cos B;（A）1 （B）2 （C）4 （D）8x a12 ．设函数y f (x) 的图像与y 2 的图像关于直线y x 对称，且（Ⅱ）若 B 90 ，且a 2, 求ABC 的面积.f ( 2) f ( 4) ，1 则a ( )（A） 1 （B）1 （C）2 （D） 4试卷第 2 页，总 4 页18．（本小题满分12 分）如图四边形ABCD为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE 平面ABCD ，x y w 8 2(x i x)882(w i w) ( x i x)( y i y)(w i w)( y i i 1 i 1 i 1 i 1 1.6356.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w =ix ，w =i818i1wi（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx 与y c d x ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x 的回归方程；（Ⅰ）证明：平面AEC 平面BED ；（III ）已知这种产品的年利润z 与x，y 的关系为z 0.2 y x ，根据（Ⅱ）的（Ⅱ）若ABC 120 ，AE EC, 三棱锥 E ACD 的体积为棱锥的侧面积.63，求该三（Ⅰ）当年宣传费x90 时，年销售量及年利润（Ⅱ）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？结果回答下列问题：附：对于一组数据(u ,v ) , (u2,v2 ) ，⋯⋯，(u n ,v n) , 其回归线v u 的斜1 119．（本小题满分12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了率和截距的最小二乘估计分别为：解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t ）和年利润z（单位：千元）n的影响，对近8年的宣传费x和年销售量y i i 1,2, ,8 数据作了初步处理，i得到下面的散点图及一些统计量的值. = i 1(u u)(v v)i in2(u u)ii 1，=v u3页，总4页试卷第20．（本小题满分12 分）已知过点 A 1,0 且斜率为k 的直线l 与圆C：23．（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程2 2x 2 y 3 1交于M，N两点. 2 2在直角坐标系xOy 中，直线C1 : x 2，圆C2 : x 1 y 2 1，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅰ）求C1,C2 的极坐标方程.（Ⅱ）OM ON 12，其中O为坐标原点，求MN .（Ⅱ）若直线 C 的极坐标方程为3 π4R ，设C2,C3 的交点为M , N ，求C MN 的面积.221．（本小题满分12 分）设函数2x lnf x e a x .（Ⅰ）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；（Ⅱ）证明：当 a 0 时f x 2a aln 2a.24．（本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲22．（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图AB是直径，AC是切线，BC交与点 E.已知函数 f x x 1 2 x a ,a0 . （Ⅰ）当 a 1 时求不等式 f x 1的解集；（Ⅱ）若f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.（Ⅰ）若D为AC中点，求证：DE是切线；（Ⅱ）若OA 3CE ，求ACB 的大小.试卷第 4 页，总 4 页****【解析】参考答案∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为22x y221(0)a ba b1．D，c=2，试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.考点：集合运算∵eca12，∴a4，∴22212b a c，∴椭圆E方程为22x y16121，2．A将x2代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.【解析】考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质试题分析：∵AB OB OA=（3,1），∴BC AC AB=(-7,-4)，故选A.6．B 【解析】考点：向量运算3．C1试题分析：设圆锥底面半径为r，则423r8，所以16r，所以米堆的3【解析】试题分析：∴(z1)i1i，∴z=12i(12i)(i)2i i2i，故选C.11163292体积为3()5=433考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：复数运算7．B 4．C【解析】****【解析】试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求11试题分析：∵公差d1，1解得a=1，∴2S84S4，∴8a1874(4a143)，22119a a9d9，故选B.10122概率为110，故选C.考点：等差数列通项公式及前n项和公式8．D考点：古典概型【解析】5．B【解析】2试题分析：∵抛物线C:y8xx2的焦点为（2,0），准线方程为，∴椭圆E的右焦点为（2,0），试题分析：由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以答案第1页，总8页****f (x) cos( x ) ，令2k x 2k , k Z ，解得4 41k ＜x42试题分析：∵ f (a) 3，∴当a 1时， a 1f (a) 2 2 3 ，则a 12 1，32k ，k Z ，故单调减区间为（＜4考点：三角函数图像与性质12k ，432k ），k Z ，故选 D.4此等式显然不成立，当 a 1时，l og (a 1) 3，解得 a 7 ，29．C 【解析】∴f (6 a) f ( 1) = 1 172 24，故选 A.试题分析：执行第 1 次，考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质t=0.01,S=1,n=0,m= 12=0.5,S=S-m=0.5,mm =0.25,n=1,S=0.5 ＞t=0.01,211．B【解析】是，循环，试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱执行第 2 次，S=S-m =0.25, 执行第 3 次，S=S-m=0.125,mm =0.125,n=2,S=0.25 ＞t=0.01, 是，循环，2mm =0.0625,n=3,S=0.125 ＞t=0.01, 是，循环，2的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为122 24 r r 2r r 2r 2r =2 25 r 4r =16 + 20 ，解得r=2 ，故选B.执行第 4 次，S=S-m=0.0625,mm =0.03125,n=4,S=0.0625 ＞t=0.01, 是，循2考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12．C环，【解析】执行第 5 次，S=S-m=0.03125,mm =0.015625,n=5,S=0.03125 ＞t=0.01, 是，2试题分析：设(x, y)是函数y f (x) 的图像上任意一点，它关于直线y x 对循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625, 是，循环，mm =0.0078125,n=6,S=0.015625 ＞t=0.01,2x a y a称为（y, x ），由已知知（y, x ）在函数y 2 的图像上，∴x 2 ，解得y l o g x ( ，a ) 即 f (x) log2 ( x) a ，∴2执行第7 次，S=S-m=0.0078125,mm =0.00390625,n=7,S=0.0078125 ＞2f ( 2) f ( 4) log 2 a log 4 a 1，解得a 2，故选 C.2 2t=0.01, 否，输出n=7，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算考点：程序框图13．610．A【解析】【解析】试题分析：∵a1 2,a n 1 2a n ，∴数列a n 是首项为2，公比为 2 的等比数答案第 2 页，总8 页列，【解析】∴n2(12)nS126，∴264 n12考点：等比数列定义与前n项和公式14．1【解析】试题分析：∵2f(x)3ax1，∴f(1)3a1，即切线斜率k3a1，f(1)a2a212,7又∵，∴切点为（，），∵切线过（），∴解得a 1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；a27123a1，F共线，1x y∵A0,66，F1（－3,0），∴直线AF1的方程为136615．4【解析】266960y y，解得y26或试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x y0，平移直线l，当直线l:z=3x+y过点A时，z取最大值，由0x y2=0x2y1=0解得A（1,1），y86(舍)，所以P点的纵坐标为26，∴S S S=APF AFF PFF111166662622=126.∴z=3x+y的最大值为 4.考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题考点：简单线性规划解法16．12617．（Ⅰ）【解析】14（Ⅱ）1答案第3页，总8页试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将2sin B2sin A s in C化为变得关系，结合试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC^ BD，因为BE^平面ABCD，所以AC^BE，故AC^平面BED.条件a b，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的又ACì平面AEC，所以平面AEC^平面BED余弦值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的面积.22b=ac，根据勾股定理和即可求出c，从而求出ABC3（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由D ABC=120°，可得AG=GC=2xx,GB=GD=2.试题解析：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得又a=b，可得b=2c,a=2c,22b=ac.因为AE^EC，所以在RtD AEC中，可得EG=32x.由余弦定理可得cos B2221a+c-b==.2ac4由BE^平面ABCD，知D EBG为直角三角形，可得BE=22x.22（Ⅱ）由(1)知b=ac.因为B=90°，由勾股定理得222a+c=b.由已知得，三棱锥E-ACD的体积故x=211663V AC GD BE x-=醋?=.E ACD32243故222a+c=ac，得c=a=2.从而可得AE=EC=ED=6.所以D ABC的面积为 1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力所以D EAC的面积为3，D EAD的面积与D ECD的面积均为5.18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3+25故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.【解析】考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC^BD，由BE^平面ABCD知AC^BE，算；逻辑推理能力；运算求解能力由线面垂直判定定理知AC^平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC 平面BED；（Ⅱ）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示19．（Ⅰ）y c d x适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型出来，在Rt D AEC中，用x表示EG，在RtD EBG中，用x表示EB，根据条件三（Ⅱ）y100.668x（Ⅲ）46.24棱锥E ACD的体积为63求出x，即可求出三棱锥E ACD的侧面积.【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）答案第4页，总8页令w x ，先求出建立y 关于w的线性回归方程，即可y 关于x的回归方程；∴当x =1.642=6.8 ，即x 46.24 时，z取得最大值.（Ⅲ）( ⅰ) 利用y 关于x的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利故宣传费用为46.24 千元时，年利润的预报值最大. ⋯⋯12 分率z 与x、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意结果知，年利润z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法识即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c d x适合作为年销售y关于年20．（Ⅰ）骣- +4 7 4 7琪,琪3 3桫（Ⅱ）2宣传费用x的回归方程类型.【解析】（Ⅱ）令w x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于试题分析：（Ⅰ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（Ⅱ）设M (x1, y1), N (x2, y2) ，将直8d i 1 (w w )y( y )i i108.816=82(w w)ii 1=68 ，线l 方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将x1x2, y1 y2用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及O M ON 12列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|.∴c y dw =563-68 ×6.8=100.6.试题解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为y = kx +1 . ∴y 关于w的线性回归方程为y 100.6 68w，∴y 关于x的回归方程为y 100.6 68 x . 因为l 与C交于两点，所以|2k - 3 +1|21+ k< 1.（Ⅲ）( ⅰ)由（Ⅱ）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值y 100.6 68 49 =576.6 ，解得4 - 7 4 + 7< k < .3 3z 576.6 0.2 49 66.32.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值骣-+4 7 4 7琪所以k 的取值范围是,琪3 3桫.z 0.2(100.6 68 x) x x 13.6 x 20.12，（Ⅱ）设M (x , y ), N(x , y ) .1 12 2答案第 5 页，总8页22将y=kx+1代入方程()()x-2+y-3=1,整理得当a>0时，因为2xe单调递增，a-单调递增，所以f￠(x)在(0，+￥)单调递x22(1+k)x-4(k+1)x+7=0,增.又f￠(a)>0,当b满足0a<b<且41b<时，f￠(b)<0,故当a>0时，44(k+1)7x+x=,x x=.所以1221221+k1+kf￠(x)存在唯一零点.4k(1+k)2OM?ON x x+y y=1+k x x+k x+x+1=+8 1212121221+k ,（Ⅱ）由（Ⅰ），可设f￠(x)在(0，+￥)的唯一零点为x，当()x?0，x时，00由题设可得4k(1+k)21+k+8=12，解得k=1，所以l的方程为y=x+1.f￠(x)<0;故圆心在直线l上，所以|MN|=2.当x违(x0，+)时，f￠(x)>0.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21．（Ⅰ）当a￡0时，f￠(x)没有零点；当a>0时，f￠(x)存在唯一零点.故f(x)在(0，x)单调递减，在()x0，+￥单调递增，所以当x=x0时，f(x)故f(x)在(0，x)单调递减，在()（Ⅱ）见解析取得最小值，最小值为f(x).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分a￡0与a>0考虑f x的单调性及性质，2x a a22由于02e-=0，所以f(x0)=+2ax0+aln?2a a ln.x2x a a00即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设f￠(x)在(0，+￥)的唯一零点为x，故当a>0时，2f(x)?2a aln.a根据f x的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.明其最小值不小于22a+a ln，即证明了所证不等式.a22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°【解析】2x a试题解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0，+￥)，()f￠(x)=2e-x>0.x 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=9°0，即当a￡0时,f￠(x)>0，f￠(x)没有零点；∠OED=9°0，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA3CE得，AB=23，设AE=x，由勾股定理得2BE12x，由直角三角形射影定理可得答案第6页，总8页2AE CE BE ，列出关于x的方程，解出x，即可求出∠ACB的大小. 试题解析：（Ⅰ）因为x cos , y sin ，试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴ C 的极坐标方程为cos 2 ，C2 的极坐标方程为1连结O E，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=9°0，2 2 cos 4 sin 4 0 . ⋯⋯ 5 分∴∠OED=9°0，∴DE是圆O的切线.（Ⅱ）设C E=1，AE=x, 由已知得AB=2 3， 2BE 12 x ，（Ⅱ）将=解得2 2 cos 4 sin 4，得代入41 =2 2 ， 2 = 2 ，|MN|= 1 － 2 = 2 ，2由射影定理可得，∴AE CE BE ，2 12 2x x ，解得x= 3，∴∠ACB=60°.1o因为C 的半径为1，则C2 MN 的面积2 1 sin 4522考点: 直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系=12.24．（Ⅰ）【解析】2{ x | x 2} （Ⅱ）（2，+∞）3试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1 化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将 f ( x) 化为分段函数，求出 f (x) 与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范考点: 圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理围.23．（Ⅰ）cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0 （Ⅱ）12试题解析：（Ⅰ）当a=1 时，不等式f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1| ＞1，【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C ，C2 的极坐1 等价于x 1或x 1 2x 2 11 x 1x 1 2x 2 1或x 1x 1 2x 2 1，解得标方程；（Ⅱ）将将=4 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 即可求出|MN| ，23x 2 ，利用三角形面积公式即可求出C MN 的面积.2答案第7 页，总8页所以不等式f(x)>1 的解集为2{ x | x 2} .3x 1 2a, x 1（Ⅱ）由题设可得， f (x) 3x 1 2a, 1 x a，x 1 2a, x a所以函数 f (x) 的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为2a 1A( ,0) ，3B(2 a 1,0) ，C(a, a+1) ，所以△ABC的面积为232 (a 1) .由题设得232(a1) ＞6，解得 a 2 .所以a的取值范围为（2，+∞）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法答案第8 页，总8 页。
2015年全国高考文科数学精彩试题及问题详解 新课标1
实用文档文案大全绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ?N},B={6,8,12,14},则集合A ?B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12实用文档文案大全（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k实用文档文案大全（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=实用文档文案大全（A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a= （A）-1 （B）1 （C）2 （D）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2015年江西省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅰ)
2015年江西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x |x=3n +2，n ∈N }，B={6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．22．（5分）已知点A （0，1），B （3，2），向量AC →=（﹣4，﹣3），则向量BC →=（ ） A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）3．（5分）已知复数z 满足（z ﹣1）i=1+i ，则z=（ ） A ．﹣2﹣i B ．﹣2+iC ．2﹣iD ．2+i4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110 D ．120 5．（5分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．（5分）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ）A ．172B ．192C ．10D ．128．（5分）函数f （x ）=cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．（kπ﹣14，kπ+34），k ∈zB ．（2kπ﹣14，2kπ+34），k ∈zC ．（k ﹣14，k +34），k ∈zD ．（2k −14，2k +34），k ∈z9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．（5分）已知函数f （x ）={2x−1−2，x ≤1−log 2(x +1)，x ＞1，且f （α）=﹣3，则f （6﹣α）=（ ）A ．﹣74B ．﹣54C ．﹣34D ．﹣1411．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．（5分）设函数y=f （x ）的图象与y=2x +a 的图象关于y=﹣x 对称，且f （﹣2）+f （﹣4）=1，则a=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．4二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n= ．14．（5分）已知函数f （x ）=ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））处的切线过点（2，7），则a= ．15．（5分）若x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0，则z=3x +y 的最大值为 ．16．（5分）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 28=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0，6√6）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=√2，求△ABC 的面积．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD 的体积为√63，求该三棱锥的侧面积．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w∑8i=1（x i ﹣x ）2 ∑8i=1（w i ﹣w ）2∑8i=1（x i ﹣x ）（y i ﹣y ）∑8i=1（w i﹣w ）（y i ﹣y ）46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中w i =√x i ，w =18∑8i=1wi（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y=c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z=0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1 v 1），（u 2 v 2）…..（u n v n ），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^=∑n i=1(u i −u)(v i −v)∑n i=1(u i −u)2，α^=v ﹣β^u ． 20．（12分）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM →•ON →=12，其中O 为坐标原点，求|MN |． 21．（12分）设函数f （x ）=e 2x ﹣alnx ．（Ⅰ）讨论f （x ）的导函数f′（x ）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln 2a．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=√3CE，求∠ACB的大小．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年江西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：A={x |x=3n +2，n ∈N }={2，5，8，11，14，17，…}， 则A ∩B={8，14}，故集合A ∩B 中元素的个数为2个， 故选：D ． 2．【解答】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到AB →=（3，1），向量AC →=（﹣4，﹣3），则向量BC →=AC →−AB →=（﹣7，﹣4）； 故选：A ． 3．【解答】解：由（z ﹣1）i=1+i ，得z ﹣1=1+i i =−i(1+i)−i 2=1−i ，∴z=2﹣i ．故选：C ． 4．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为110．故选：C ． 5．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点（c ，0）与抛物线C ：y 2=8x 的焦点（2，0）重合， 可得c=2，a=4，b 2=12，椭圆的标准方程为：x 216+y 212=1，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由{x =−2x 216+y 212=1，解得y=±3，所以A （﹣2，3），B （﹣2，﹣3）．|AB |=6． 故选：B ． 6．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则π2r=8，解得r=16π，故米堆的体积为14×13×π×（16π）2×5≈3209，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴3209÷1.62≈22，故选：B ． 7．【解答】解：∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴8a 1+8×72×1=4×（4a 1+4×32），解得a 1=12．则a 10=12+9×1=192．故选：B ．【解答】解：由函数f （x ）=cos （ωx +ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2πω=2（54﹣14）=2，∴ω=π，f （x ）=cos （πx +ϕ）． 再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+ϕ=π2，k ∈z ，即ϕ=π4，f （x ）=cos （πx +π4）．由2kπ≤πx +π4≤2kπ+π，求得 2k ﹣14≤x ≤2k +34，故f （x ）的单调递减区间为（2k −14，2k +34），k ∈z ，故选：D ． 9．【解答】解：第一次执行循环体后，S=12，m=14，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=14，m=18，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=18，m=116，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=116，m=132，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=132，m=164，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=164，m=1128，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=1128，m=1256，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n 值为7， 故选：C ． 10．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解； α＞1时，﹣log 2（α+1）=﹣3，∴α=7， ∴f （6﹣α）=f （﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣74．故选：A ．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：12×4πr 2+12×πr 2+12×2r ×2πr +2r ×2r +12×πr 2=5πr 2+4r 2， 又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴5πr 2+4r 2=16+20π，解得r=2， 故选：B ．12．【解答】解：∵与y=2x +a 的图象关于y=x 对称的图象是y=2x +a 的反函数， y=log 2x ﹣a （x ＞0），即g （x ）=log 2x ﹣a ，（x ＞0）．∵函数y=f （x ）的图象与y=2x +a 的图象关于y=﹣x 对称， ∴f （x ）=﹣g （﹣x ）=﹣log 2（﹣x ）+a ，x ＜0， ∵f （﹣2）+f （﹣4）=1， ∴﹣log 22+a ﹣log 24+a=1， 解得，a=2， 故选：C ．二、本大题共4小题，每小题5分. 13．【解答】解：∵a n +1=2a n ，∴a n+1a n =2，∵a 1=2，∴数列{a n }是a 1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n =a 1(1−q n )1−q =2(1−2n )1−2=2n +1﹣2=126，∴2n +1=128， ∴n +1=7， ∴n=6． 故答案为：6 14．【解答】解：函数f （x ）=ax 3+x +1的导数为：f′（x ）=3ax 2+1，f′（1）=3a +1，而f （1）=a +2，切线方程为：y ﹣a ﹣2=（3a +1）（x ﹣1），因为切线方程经过（2，7）， 所以7﹣a ﹣2=（3a +1）（2﹣1）， 解得a=1． 故答案为：1． 15．【解答】解：由约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0作出可行域如图，化目标函数z=3x +y 为y=﹣3x +z ，由图可知，当直线y=﹣3x +z 过B （1，1）时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3×1+1=4． 故答案为：4． 16．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为x−3+6√6=1与x2﹣y28=1联立可得y2+6√6y﹣96=0，∴P的纵坐标为2√6，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12×6×6√6﹣12×6×2√6=12√6．故答案为：12√6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=1k＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac=a2+14a2−a22a×12a=14．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=√2，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=√2．∴S△ABC =12ac=1．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；解：（Ⅱ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°，得AG=GC=√32x ，GB=GD=x 2，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BG ，则△EBG 为直角三角形，∴EG=12AC=AG=√32x ，则BE=√EG 2−BG 2=√22x ，∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V=13×12AC ⋅GD ⋅BE =√624x 3=√63，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×2×2×(−12)=12，即AC=√12=2√3，在三个直角三角形EBA ，EBG ，EBC 中，斜边AE=EC=ED ， ∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形， 则AE 2+EC 2=AC 2=12， 即2AE 2=12， ∴AE 2=6， 则AE=√6，∴从而得AE=EC=ED=√6，∴△EAC 的面积S=12×EA ⋅EC =12×√6×√6=3，在等腰三角形EAD 中，过E 作EF ⊥AD 于F ，则AE=√6，AF=12AD =12×2=1，则EF=√(√6)2−12=√5，∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S=12×2×√5=√5，故该三棱锥的侧面积为3+2√5．19．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（Ⅱ）令w=√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^=108.81.6=68，c ^=y ﹣d ^w =563﹣68×6.8=100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x ，（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值y ^=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii ）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值z ^=0.2（100.6+68√x ）﹣x=﹣x +13.6√x +20.12， 当√x =13.62=6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大． 20．【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程：y=kx +1，即：kx ﹣y +1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．故由√k 2+1＜1，故当4−√73＜k ＜4+√73，过点A （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1相交于M ，N 两点．（2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7=0， ∴x 1+x 2=4(1+k)1+k 2，x 1•x 2=71+k 2，∴y 1•y 2=（kx 1+1）（kx 2+1）=k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=71+k 2•k 2+k•4(1+k)1+k 2+1=12k 2+4k+11+k 2， 由OM →•ON →=x 1•x 2+y 1•y 2=12k 2+4k+81+k 2=12，解得 k=1，故直线l 的方程为 y=x +1，即 x ﹣y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径． 所以|MN |=2． 21．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=e 2x ﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x ）=2e 2x ﹣a x．当a ≤0时，f′（x ）＞0恒成立，故f′（x ）没有零点，当a ＞0时，∵y=e 2x 为单调递增，y=﹣ax单调递增，∴f′（x ）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a ）＞0，假设存在b 满足0＜b ＜ln a2时，且b ＜14，f′（b ）＜0，故当a ＞0时，导函数f′（x ）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x ）在（0，+∞）上的唯一零点为x 0， 当x ∈（0，x 0）时，f′（x ）＜0， 当x ∈（x 0+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（0，x 0）单调递减，在（x 0+∞）单调递增， 所欲当x=x 0时，f （x ）取得最小值，最小值为f （x 0），由于2e 2x 0﹣a x 0=0，所以f （x 0）=a 2x 0+2ax 0+aln 2a ≥2a +aln 2a．故当a＞0时，f（x）≥2a+aln 2a．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2√3，BE=√12−x2，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=√12−x2，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=√3∴∠ACB=60°五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C 3的极坐标方程θ=π4（ρ∈R ）代入圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 求得ρ1=2√2，ρ2=√2，∴|MN |=|ρ1﹣ρ2|=√2，由于圆C 2的半径为1，∴C 2M ⊥C 2N ，△C 2MN 的面积为12•C 2M•C 2N=12•1•1=12．六、【选修4-5：不等式选讲】 24．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1， 即{x ＜−1−x −1−2(1−x)＞1①，或{−1≤x ＜1x +1−2(1−x)＞1②，或{x ≥1x +1−2(x −1)＞1③．解①求得x ∈∅，解②求得23＜x ＜1，解③求得1≤x ＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2）．（Ⅱ）函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣a |={x −1−2a ，x ＜−13x +1−2a ，−1≤x ≤a −x +1+2a ，x ＞a ，由此求得f （x ）的图象与x 轴的交点A （2a−13，0），B （2a +1，0），故f （x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C （a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6，可得12[2a +1﹣2a−13]•（a +1）＞6，求得a ＞2．故要求的a 的范围为（2，+∞）．。
2015年高考文科数学(新课标全国卷I、II两套)试题及答案
A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)
(2)若 a 实数，且 2 + ai = 3 + i,则a = 1+ i
A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900
（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）=|x+1|-2|x-a|，则 a>0. （1） 当 a=1 时，求不等式 f（x）>1 的解集； （2） 若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.
高考总复习 仅供参考
高考总复习 仅供参考
（4）已知向量 a = (0,−1),b = (−1,2),则（2a + b）• a =
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
(5)设 Sn是等差数列{an }的前n项和，若 a1 + a3 + a5 = 3,则S5 =
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为
（A）5
（B）4
（C）3
（D）2
uuur
uuur
（2）已知点 A（0,1），B（3,2），向量 AC =（-4，-3），则向量 BC =
（A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1，4）
（3）已知复数 z 满足（z-1）i=i+1，则 z=
（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题精品解析(新课标Ⅰ卷)
2015年高考新课标Ⅰ卷文数试题解析一，选择题：每小题5分,共60分1，已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D2，已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3，已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +4，如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A）310（B）15（C）110（D）1205，已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8C y x=的焦点重合，,A B是C的准线与E的两个交点，则AB= ( )（A）3（B）6（C）9（D）12【答案】B6，《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7，已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）128，函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈9，执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）（A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12 【答案】C【解析】执行第1次，t =0.01,S=1,n =0,m =12=0.5,S =S -m =0.5,2mm ==0.25,n =1,S =0.5＞t =0.01,是，循环，执行第2次，S =S -m =0.25,2mm ==0.125,n =2,S=0.25＞t =0.01,是，循环， 执行第3次，S =S -m =0.125,2mm ==0.0625,n =3,S=0.125＞t =0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m =0.0625,2mm ==0.03125,n =4,S=0.0625＞t =0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m =0.03125,2mm ==0.015625,n =5,S=0.03125＞t =0.01,是，循环， 执行第6次，S=S-m =0.015625,2mm ==0.0078125,n =6,S=0.015625＞t =0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m =0.0078125,2mm ==0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t =0.01,否，输出n =7，故选C.【考点定位】程序框图【名师点睛】本题是已知程序框图计算输出结果问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，直到输出时，即可计算出输出结果，是常规题，程序框图还可考查已知输入，输出，不全框图或考查程序框图的意义，处理方法与此题相同.10，已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14-11，圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812，设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) （A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4二，填空题：本大题共4小题,每小题5分13，数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .14，已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .15，若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型，直线型和斜率型.16，已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+， ∴△APF 的周长为|PA |+|PF |+|AF |=|PA |+12||a PF ++|AF |=|PA |+1||PF +|AF |+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |+1||PF 最小，即P ，A ，1F 共线，∵(A ，1F （－3,0），∴直线1AF 的方程为13x =-，即3x =-代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得y =y =-舍)，所以P 点的纵坐标为∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=116622⨯⨯⨯⨯【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义，标准方程，几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路. 三，解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17，（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a 求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）14（II ）1（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a cb +=.故222a c ac +=，得c a =所以D ABC 的面积为1.【考点定位】正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理，余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -.【答案】（I ）见解析（II ）（II ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由ÐABC =120°，可得AG =GC x ,GB =GD =2x .因为AE ^EC ，所以在Rt D AEC 中，可得EG =2x .由BE ^平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得BE =2x .由已知得，三棱锥E-ACD 的体积31132E ACD V AC GD BE -=醋?=故x =2从而可得AE =EC =ED所以D EAC 的面积为3，D EAD 的面积与D ECD故三棱锥E-ACD 的侧面积为【考点定位】线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对几何体的体积和表面积问题，常用解法有直接法和等体积法.19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.6 56.3 6.8 289.8表中i w ，w =1881ii w=∑（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()ni ii n ii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ- 【答案】（Ⅰ）y c =+y 关于年宣传费用x的回归方程类型（Ⅱ）100.6y =+（Ⅲ）46.24（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.6y =+，576.60.24966.32z=⨯-=. ……9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值0.2(100.620.12 z x x=+-=-+，13.6=6.82，即46.24x=时，z取得最大值.故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分【考点定位】非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.20.（本小题满分12分）已知过点()1,0A且斜率为k的直线l与圆C：()()22231x y-+-=交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）12OM ON⋅=，其中O为坐标原点，求MN.【答案】（I）桫（II）2（II ）设1122(,),(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=, 所以1212224(1)7,.11k x x x x k k++==++ 21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k+?+=++++=++, 由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以||2MN =.【考点定位】直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,x x y y 用k 表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.21.（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x a f x e x x ¢->. 当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，a x -单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答。
2015年高考试题新课标Ⅰ卷 数学(文
5
5 5 5 5 5 10 17 10 10 22 10 17 22 10 12
与2014年相比，2015年在常规题，基本题型， 题量以及考点所占分数比例没有发生多大变化， 今年文科数学试卷难度比去年有所增加，试题 有一定的创新性，比如19题，往年考察统计与 概率知识，而今年出的是回归方程 ，这就要求 我们对新课程标准中规定了解的知识也要加强 重视。21、22、23、24解题方法灵活，这要求 同学们在牢固掌握基本知识，基本技能的同时 学会融会贯通，灵活运用。另外圆题目有三道， 不免有重复考察之嫌。这一点河北省质检组以 向考试中心提出。
x2 y2 1, 把x 2代入 16 8 椭圆方程得A（-2,-3),B(-2,3)， 所以椭圆方程为 所以 AB 6
考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有 如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积 及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米 堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高 为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积 约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
（C）3
（D）2
试题分析： 由条件知，A {2,5,8,11,14,17 }， 故 A∩B={8,14}, 故选 D. 点评：考察集合知识，基础题。
A (0,1), B (3, 2) AC ( 4, 3) 2、 已知点 ， 向量 ， 则向量 BC （
）
试题分析：设圆锥底面半径为r，则
体积为 ， 故堆放的米约为
所以米堆的
÷1.62≈22，
2015年高考全国Ⅰ卷文科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学适用地区：河南河北山西江西注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A∩B中元素的个数为（A）5（B）4（C）3（D）2（2）已知点A（0, 1）, B（3, 2）, 向量AC=（−4，−3）, 则向量BC=（A）（−7，−4）（B）（7，4）（C）（−1，4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z−1）i = i + 1，则z =（A）−2 − i （B）−2 + i （C）2 − i （D）2 +i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1, 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12, E的右焦点与抛物线C：y² = 8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个焦点，则| AB |=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6） 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周 八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在 屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分 之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米 的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆 放斛的米约有 （A ）14斛（B ）22斛 （C ）36斛（D ）66斛（7）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和. 则S 8 = 4S 4，a 10 =（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12（8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ） 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的t = 0.01，则输出的n =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知函数f (x)={2x−1−2, x≤1−log2(x+1), x>1，且f (a)= −3，则f (6−a) =（A）−74（B）−54（C）−34（D）−14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)66798(2021年整理)
2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)66798(word版可编辑修改) 2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)66798(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)66798(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷)文一、选择题：每小题5分，共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为 （A ） 5 （B)4 （C ）3 （D ）22、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C)(1,4)- （D)(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - (D ）2i +4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A) 310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A) 3 (B ）6 （C ）9 （D ）12 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？"其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题精品解析(新课标Ⅰ卷)
7、已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
8、函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（）
（A） （B）
（C） （D）
9、执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将 用k表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知， ，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ +|AF|=|PA|+ +|AF|+ ，
由于 是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+ 最小，即P、A、 共线，
∵ ， （－3,0），∴直线 的方程为 ，即 代入 整理得 ，解得 或 (舍)，所以P点的纵坐标为 ，
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是 O直径，AC是 O切线，BC交 O与点E.
（I）若D为AC中点，求证：DE是 O切线；
（II）若 ，求 的大小.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由 得，AB= ，设AE= ，由勾股定理得 ，由直角三角形射影定理可得 ，列出关于 的方程，解出 ，即可求出∠ACB的大小.
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2015年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标I ）、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的1. （ 5 分）（2015?新课标 I ）已知集合 A=｛x|x=3n+2 , n€N ｝, B=｛6 , 8, 10, 12, 14｝，则集合A nB 中元素的个数为（ ）A . 5B . 4C . 3D . 22. （ 5分）（2015?新课标I ）已知点A （ 0, 1）, B （ 3, 2）,向量匠=（-4, - 3），则向量反= （ ）A . （- 7，- 4）B . （ 7, 4）C . （- 1 , 4）D . （1 , 4）3. （ 5分）（2015?新课标I ）已知复数z 满足（z - 1） i=1+i ，则z=（）A . - 2 - iB . - 2+iC . 2 - iD . 2+i4. （ 5分）（2015?新课标I ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3个数为一组勾股数•从 1, 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数，则这 3个数构成一组勾股数 的概率为（）5. （ 5分）（2015?新课标I ）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为 -,E 的右焦点与抛物 线C : y 2=8x 的焦点重合，A , B 是C 的准线与E 的两个交点，贝y |AB|=（ ）A . 3B . 6C . 9D . 126. （ 5分）（2015?河北）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺•问：积及为米几何？ 其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ 已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A . 14 斛B . 22 斛C . 36 斛D . 66 斛 7.（5分）（2015?新课标I ）已知｛a n ｝是公差为1的等差数列；S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S 8=4S 4, 则 a 10=（ ） A . 一 B . — C . 10 D . 121151 20C.2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）2 2& （ 5分）（2015?河北）函数f （x ） =cos （ w x+ 0）的部分图象如图所示，则 f （x ）的单调D -必计，2唱，kcz9. （ 5分）（2015?河北）执行如图所示的程序框图，/ 输A J /""wi11. （5分）（2015?河北）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20 n 则r=（A . 5B . 6C . 7D . 1210. （ 5分）（2015?新课标1）已知函数f3,则 f (6 - a)=( ) A .-』B .申 c .-呈 D . -Lk[4 [a 4 [42X _1-2,X<1_Io g ( x+l ),匸>1，且 f ( a)=-如果输入的t=0.01,则输出的n=（(2k n — [),k €zC ( k 计,k+,k €z7, 2krtl m+ I(X )=）D . 8I ）设函数y=f （x ）的图象与y=2x+a 的图象关于y= - x 对称，且f a=（）D . 4二、本大题共4小题，每小题5分.13. （5分）（2015?新课标I ）在数列｛a n ｝中,a 仁2 , a n+i =2a n , S n 为｛a n ｝的前n 项和，若9=126,贝 y n= __________ .314. （5分）（2015 ?新课标I ）已知函数f （x ） =ax +x+1的图象在点（1, f （1））处的切线过 点（2, 7）,贝U a= ___________ .x+y - 2^0* - 2y+l<0，则 z=3x+3y 的最大值- y+2^0C . 4A . 1B . 212. (5分)(2015?新课标 (-2) +f (- 4) =1，则 A . - 1 B . 1C . 2=1的右焦点，P 是C 的左支上一■15. （5分）（2015?新课标I ）若x ，y 满足约束条件 k_i^E19. (12分)(2015?河北)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量 y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近 8年的 年宣传费x i 和年销售量y i (i=1 , 2,…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些 统计量的值.年请售里/土620 - 5S0 -.•灾-•540 ••520 -5M - •+S0 ——| -- 1 --- 1 ---- 1 ---- 1 -- 1——L _U 站靄轴 Q 44 羽4S表中 w i = _ .1，川=丁1(I )根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d .,哪一个适宜作为年销售量 回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (n )根据(I )的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(川)已知这种产品的年利润 z 与x 、y 的关系为z=0.2y - x .根据(n )的结果回答下列问 题： (i) 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(U 1 v 1) , ( u 2 v 2)….(u n v n ),其回归线v= a +旳的斜率和截距的最小二220. (12分)(2015?新课标I )已知过点 A (0, 1)且斜率为k 的直线I 与圆C ： (x - 2) 2+ (y - 3) 2=1交于点M 、N 两点. (1 )求k 的取值范围； (2)若广7?1=12，其中0为坐标原点，求|MN| .2x21. (12 分)(2015?新课标 I )设函数 f (x ) =e - alnx . (I )讨论f (x )的导函数f' (x )零点的个数； (n )证明：当 a > 0 时，f (x )》a+aln —.350 51 U 56年宣備费/千元S — 工（xi-Q i=lE （ wi -W ）中)(y i46.6 563 6.8 289.8 1.61=1i=l y ）-y ）1469108.8y 关于年宣传费x 的「：.£ 8E （x i -国） （y i -刀（W i - 乘估计分别为：7：'='■=卄四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 修4-1 :几何证明选讲】22. (10分)(2015?河北)如图，AB 是O O 的直径，AC 是O O 的切线，BC 交O O 于点E . (I )若D 为AC 的中点，证明：DE 是O O 的切线；(H )若 OA= :-CE ，求/ ACB 的大小.五、【选修4-4:坐标系与参数方程】23. (2015?河北)在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1: x= - 2,圆 C 2： (x - 1) 2+ (y - 2) 2=1 , 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I )求C 1, C 2的极坐标方程；(n )若直线C 3的极坐标方程为 匸弓(p€R ),设C 2与C 3的交点为M , N ，求△ C 2MN 的面积.六、【选修4-5:不等式选讲】24. (2015?河北)已知函数 f (x ) =|x+1| - 2|x - a|, a >0. (I )当a=1时，求不等式f (x )> 1的解集；(n )若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I )参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的•1. ( 5 分)(2015?新课标 I )已知集合 A={x|x=3n+2 , n€N}, B={6 , 8, 10, 12, 14}，则集 合A AB 中元素的个数为( )A . 5B . 4C . 3D . 2【分析】根据集合的基本运算进行求解.【解答】 解：A={x|x=3n+2 , n€N}={2 , 5, 8, 11, 14, 17, ••}, 则 A QB={8 , 14},故集合A AB 中元素的个数为2个， 故选：D .2. ( 5 分)(2015?新课标 I )已知点 A ( 0, 1), B ( 3, 2),向量■'''= (- 4 , - 3),则向量 1 -= ( )A . (- 7 , - 4)B . ( 7 , 4)C . (- 1, 4)D . (1 , 4)【分析】顺序求出有向线段「,然后由 宀三 求之.【选【解答】解：由已知点A ( 0 , 1), B ( 3 , 2),得到".=(3 , 1),向量r'= (- 4, - 3),则向量一「= (- 7 , - 4);故答案为：A .3. ( 5分)(2015?新课标I)已知复数z满足(z- 1) i=1+i ,则z=( )A . - 2 - iB . - 2+i C. 2 - i D. 2+i【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z- 1,进一步求得乙[丄卡-i ( ] +1、【解答】解：由(z- 1) i=1+i ,得z- 1=,丄 -------------------- ---- 1 一i ,1- I2/• z=2 - i.故选：C.4. ( 5分)(2015?新课标I)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1 , 2 , 3 , 4 , 5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A 卫B 1 c D 丄【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数,根据概率公式计算即可.【解答】解：从1, 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数，有(1 , 2, 3), (1 , 2, 4), (1, 2,5), (1 , 3, 4), ( 1, 3, 5), (1, 4, 5) ( 2 , 3 , 4) , (2 , 3 , 5), (2 ,4 , 5),(3 , 4 , 5) 共10种，其中只有(3 , 4 , 5)为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为二. iq故选：C5. （ 5分）（2015?新课标I ）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为 -,E 的右焦点与抛物 线C : y =8x 的焦点重合，A , B 是C 的准线与E 的两个交点，贝y |AB|=（ ）A . 3B . 6C . 9D . 12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标， 求出椭圆的半长轴， 然后求解抛物线的准线方程，求出 A , B 坐标，即可求解所求结果.【解答】解:椭圆E 的中心在坐标原点， 离心率为丄，E 的右焦点（c , 0）与抛物线C : ,=8x2的焦点（2, 0）重合，2 2 可得c=2 , a=4 , b 2=12，椭圆的标准方程为：.—-卜二：16 12抛物线的准线方程为：x= - 2 ,,解得 y= ±3,所以 a (- 2 , 3) , B (- 2, - 3).|AB|=6 . 故选：B .6. （ 5分）（2015?河北）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？ 其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ 已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A . 14 斛B . 22 斛C . 36 斛D . 66 斛2 2【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.懈答】解：设圆锥的底面半径为，」一r =8, 解得r=—:,•/ 1斛米的体积约为1.62立方, •••丑与.62«22,9故选：B .7. (5分)(2015?新课标I )已知｛a n ｝是公差为1的等差数列；S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S 8=4S 4, 则 a 10=( )17 |19A . — B.C . 10D . 1222【分析】利用等差数列的通项公式及其前解得a1-. 则 a 10= 故选：B .【分析】由周期求出3,由五点法作图求出 札可得f ( X )的解析式，再根据余弦函数的单 调性，求得f (X )的减区间.【解答】 解：由函数f (x ) =cos ( 3X+?)的部分图象，可得函数的周期为孚=2 (上-丄)3 4 4=2, • 3= n, f ( x ) =cos ( nc+?).故米堆的体积为 亡卄2心，【解答】解：•/ ｛a n ｝是公差为1的等差数列, S 8=4S 4, 二，—亠=4 X( 4一),n 项和公式即可得出.19& (5 分)(2015?河北)函数 f (x ) =cos(3X+ 0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调2k+丄),k€z(2k n —C . (k -鲁 k+弓),k €z,k €z2k再根据函数的图象以及五点法作图，可得g+?j k 乞即?4，f （ X ）=边（仁）■k €z , 故选：D .9. （5分）（2015?河北）执行如图所示的程序框图， 如果输入的t=0.01 ,则输出的n=（）[WI ZE L /输入//A . 5B . 6C . 7D . 12【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体后， S 」,m^, n=1，不满足退出循环的条件;2 4故输出的n 值为乙 故选：C由 2k nW x n —W2k n + n,4 求得2k宁*，故f （x ）的单调递减区间为（2k-丄,2k+E ）,4 4|n 的值, 再次执行循环体后, 再次执行循环体后, 再次执行循环体后, 再次执行循环体后, 再次执行循环体后, 再次执行循环体后, S=_, m=—，n=2,不满足退出循环的条件；4 8S —, m=—, n=3,不满足退出循环的条件;816S= S= S=m= -，n=4,不满足退出循环的条件；回m=一, n=5,不满足退出循环的条件；64m= - , n=6，不满足退出循环的条件;12SS= , m= ---------- 128 256n=7 ,满足退出循环的条件;/叫/故选：A .11. (5分)(2015?可北)圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20兀则r=()3,则 f (6 - a)=( )A . -2B .-丄C .-上D . -丄 44；【分析】 利用分段函数， 求出 a,再求 f (6 - a).【解答】 解：由题意，a*时， 2a - 1- 2= - 3,无解; a> 1 时, -log 2 ( a +1 )=-3,a =7,2=-10. ( 5分)(2015?新课标I )已知函数f (x )严-么x<l_lo g ( x+1) f 疋>1，且 f ( a)=--1 - 1a) =f (- 1) =2 1 1C . 4D . 8A . 1 【分析】 通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可.【解答】 解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，| 2其表面积为：一n +— x n 又■/该几何体的表面积为2 2nn,3 16+20 n r=2 ,2 2 2「2r X2n +2r X2叶 x n =5 n +4r , 212. (5分)(2015?新课标 (-2) +f (- 4) =1，则 A . - 1 B . 1 C . 2 【分析】先求出与y=2x+aI )设函数y=f (x )的图象与y=2x+a 的图象关于y= - x 对称，且f a=( ) D . 4的反函数的解析式，再由题意f (x )的图象与y=2x+a 的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数 【解答】解：•••与y=2x+af (x )的解析式，问题得以解决.的图象关于y=x 对称的图象是y=2x+a 的反函数，y=log2x - a (x> 0),即g (x) =log2x- a, (x>0).•••函数y=f (x)的图象与y=2x+a的图象关于y= - x对称,••• f (x) = - g (- x) = - log2 (- x) +a, x v 0,••• f (- 2) +f (- 4) =1 ,• - log22+a - log24+a=1,解得，a=2,故选：C.二、本大题共4小题，每小题5分.13. （5 分）（2015?新课标I）在数列｛a n｝中，a i=2 , a n+i=2a n, S n为｛a n｝的前n 项和，若S n=126, 贝H n= 6 .【分析】由a n+1=2a n,结合等比数列的定义可知数列｛a n｝是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解.【解答】解：T a n+1=2a n,•/ a1=2,•数列｛a n｝是a1=2为首项，以2为公比的等比数列,J+1丄• 2 =128• n+ 仁7 , • n=6.故答案为：6314. （5分）（2015 ?新课标I）已知函数f （x）=ax +x+1的图象在点（1, f （1））处的切线过点（2, 7）,贝U a= 1 .【分析】求出函数的导数，禾U用切线的方程经过的点求解即可.【解答】解：函数 f （x）=ax3+x+1 的导数为：f'（x）=3ax2+1, f（1）=3a+1 ,而f （1）=a+2,切线方程y - a- 2= (3a+1) (x - 1),因为切线方程经过(2, 7),所以7 - a-2= ( 3a+1) ( 2 - 1), 解得a=1.故答案为：1.6 .【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解, 代入最优解的坐标得答案.知(1-二(1- 2n)1-q1-2-2=12615. （5分）（2015?新课标I）若x, y满足约束条件\+y-2<0x-2yi-l<0- y+2^0则z=3x+3y的最大值为S n==2n+1\+y-2<0」x - 2y+lC^0作出可行域如图,2K _ y+2^Q2Y -V _2=0*\1/x-2y-L=Q\、\ '工宁2=0化目标函数z=3x+3y 为-j-- —,由图可知，当直线与线段BC 所在直线重合时，直线在3此时z 有最大值为 3 >0+3 >2=6 . 故答案为：6.点，A （0, 6_ ：）.当厶APF 周长最小时，该三角形的面积为 12二_.【分析】利用双曲线的定义，确定 △ APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出 △ APF 周长最小时，该三角形的面积.【解答】 解：由题意，设 F 是左焦点，则 △ APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF '|+2 彳AF|+|AF '|+2 （A , P , F'三点共线时，取等号）, 直线AF 的方程为d 舖二1与x 2-着=1联立可得,+6后y - 96=0 ,••• P 的纵坐标为2 1\•••△ APF 周长最小时，该三角形的面积为 低-占X6K2貞=1族.故答案为：12 I..三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （ 12 分）（2015?新课标 I ）已知 a,b,c 分别是△ ABC 内角 A ,B,C 的对边，sin 2B=2sinAsinC . （I ） 若 a=b , 求 cosB ; （n ）设 B=90 ° 且求厶ABC 的面积.【分析】（I ） sin 2B=2sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2=2ac ,再利用余弦定理即可得出. （II ）利用（I ）及勾股定理可得 c ,再利用三角形面积计算公式即可得出.【解答】解：由约束条件y 轴上的截距最大,16. （5分）（2015?新课标I ）已知F 是双曲线C : x 2P 是C 的左支上一242【解答】 解：（I ） ••• sin B =2S inAsinC , 由正弦定理可得：> 0,sink ginE sinC k代入可得（bk ） 2=2ak?ck ,2••• b =2ac , *•* a=b ,二 a=2c ,J由余弦定理可得：cosB=__2ac（II ）由（I ）可得：b 2=2ac , •/ B=90 ° 且 a ^2, ••• a 2+c 2=2ac ，解得 a=c= .S AABC =丄二‘:二1.18. （12分）（2015?新课标I ）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE 丄 平面ABCD .（I ）证明：平面 AEC 丄平面BED ;（H ）若/ ABC=120 ° AE 丄EC ,三棱锥E - ACD 的体积为QE ,求该三棱锥的侧面积.【分析】（I ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC 丄平面BED ;（n ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可.【解答】 证明：（I ） •••四边形ABCD 为菱形， • AC 丄BD , •/ BE 丄平面 ABCD , • AC 丄BE , 则AC 丄平面BED , •/AC?平面 AEC , •平面AEC 丄平面BED ; 解:（n ）设 AB=x ，在菱形 ABCD 中，由 / ABC=120 ° 得 AG=GC=^x , GB=GD=^ ,2 2••• AE 丄EC , △ EBG 为直角三角形,•••三棱锥E - ACD 的体积V=- 丄.j.-.L'zt• BE=解得x=2，即AB=2 ,•/ / ABC=120 °AC2=AB2+BC2-2AB?BC COS ABC=4+4 - 2逆汉（-寺）=12, 即AC= •在三个直角三角形EBA , EBG, EBC中，斜边AE=EC=ED ,••• AE丄EC, •••△ EAC为等腰三角形，贝V AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12,•AE2=6,则AE=,•从而得AE=EC=ED=•△ EAC 的面积S J二讥・] _—= - ,■| =3 ,在等腰三角形EAD中，过E作EF丄AD于F,则AE=V^|, AF=2鉱4心二1，2 2则EF=「.…-",• △ EAD的面积和△ ECD的面积均为S* •「:=..,19. （12分）（2015?河北）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费X i和年销售量y i （i=1 , 2,…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.340 •«520 -5（W - •4S0——|——| --- 1——|——| - 1——|——| -- 1——|——L年宣慣费/千元;故该三棱锥的侧面积为3+2「，.表中(I 回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(n)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(m )已知这种产品的年利润 z 与x 、y 的关系为z=0.2y - x .根据(n)的结果回答下列问 题：(i) 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(U 1 v 1) , ( u 2 v 2)r . ( u n v n ),其回归线v= a +旳的斜率和截距的最小二【分析】(I )根据散点图，即可判断出，(n )先建立中间量 w=:,，建立y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出 w ，问题得以解决；(m) (i )年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，(ii )求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出.【解答】解：(I)由散点图可以判断，y=c+d 「，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回 归方程类型；(n )令w=.,,先建立y 关于w 的线性回归方程，由于I■ =|■■1=563 - 68 0.8=100.6,因此y 关于x 的回归方程为丁=100.6+68.，,(m ) (i )由(H)知，当x=49时，年销售量 y 的预报值.=100.6+68：:> =576.6,年利润z 的预报值 =576.6 >0.2 - 49=66.32 ,(ii)根据(H )的结果可知，年利润 z 的预报值 =0.2( 100.6+68 :. ) - x= - x+13.6 - ■ +20.12 , 当」uL —=6.8时，即，x=46.24年利润的预报值最大.n"LI〕t V | _V )E i=lTl(U1丄1=1乘估计分别为： ；=46.6563 S _ 工(x i -兀) i=l6.8 289.8 1.6w i - i.'i1=11=1V )-V )1469108.8)根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d .,哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的=68,1.6所以y 关于w 的线性回归方程为 -=100.6+68w ,8 — Z (xi -j )S(yi -£ (20. (12分)(2015?新课标I )已知过点 A (0, 1)且斜率为k 的直线I 与圆C : (x - 2) 2+2(y - 3) =1交于点M 、N 两点. (1 )求k 的取值范围； (2)若广]?']=12，其中0为坐标原点，求|MN|.【分析】(1)由题意可得，直线I 的斜率存在，用点斜式求得直线 I 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值，可得满足条件的 k 的范围.(2)由题意可得，经过点 M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1 ,根据直线和圆相交的弦长公式 进行求解. 【解答】(1)由题意可得，直线I 的斜率存在，由题意可得，经过点 M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程(x - 2) 2+ (y - 3) 2=1,可得 (1+k 2) x 2 - 4 ( k+1) x+7=0 ,由 OB[?ClN =X 1?x 2+y 1?y 2=1" *4严* =12，解得 k=1 , 1+k 2故直线I 的方程为y=x+1，即x - y+仁0 .圆心C 在直线I 上，MN 长即为圆的直径. 所以 |MN|=2 .2x21. (12 分)(2015?新课标 I )设函数 f (x ) =e - alnx . (I )讨论f (x )的导函数f' (x )零点的个数；(n)证明：当 a > 0 时，f (x )》a+aln —.a【分析】(I)先求导，在分类讨论，当a 切时，当a > 0时，根据零点存在定理，即可求出;2y 1?y 2= ( kx 1+1) ( kx 2+1) =k x 1x 2+k (x 1+x 2) +14 Cl+kD7 L+k 2 ,X 1?x 2- 1+k 2二X 1+X 2= ?k 2+k?] ：1+k^1+k 22=1相交于M ,(n )设导函数f' (x )在(o , + g)上的唯一零点为 x o ,根据函数f (x )的单调性得到函 数的最小值f (x o )，只要最小值大于 2a+aln 匸，问题得以证明.a【解答】 解：(I ) f (x ) =e 2x - alnx 的定义域为(0, + ^), ••• f ' (x ) =2e 2x _ 亘.x当a 切时，f ' (x )> 0恒成立，故f ' (x )没有零点， 当a > 0时，■/ y=e 2x 为单调递增，y= - _J 单调递增，• f ' (x )在(0，+ g)单调递增， 又 f ( a )> 0，假设存在b 满足0v b v 空时，且b v2，f ' (b )v 0，4 叵 故当a > 0时，导函数f '(x )存在唯一的零点，(n )由(I)知，可设导函数f ' (x )在(0，+ g)上的唯一零点为 X 0, 当 x € (0，X 0)时，f (x )v 0，当 x € (X 0+g)时，f (x )> 0，故f (x )在(0，X 0)单调递减，在(x 0+ g)单调递增, 所欲当X=X 0时，f (x )取得最小值，最小值为 f( X 0), 由于故当 a > 0 时，f (x )丝a+aln-.四、请考生在第 22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 【选修4-1 :几何证明选讲】22. (10分)(2015?河北)如图，AB 是O O 的直径，AC 是O O 的切线，BC 交O O 于点E . (I )若D 为AC 的中点，证明：DE 是O O 的切线；(n )若 OA= 「；CE ，求/ ACB 的大小.【分析】(I )连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得 / OED=90 °可得DE 是O O 的切 线；(n)设CE=1 , AE=x ，由射影定理可得关于 x 的方程 x 2=.二 -「，解方程可得X 值， 可得所求角度.【解答】 解：(I)连接AE ，由已知得 AE 丄BC , AC 丄AB , 在 RT A ABC 中，由已知可得a 门■--一=°，x-+22叼所以f (X 0)=DE=DC , /• / DEC= / DCE , 连接0E,贝U / OBE= / OEB ,又 / ACB+ / ABC=90 ° ••• / DEC+ / OEB=90 °•••/ OED=90 ° • DE 是O O 的切线；(H )设CE=1 , AE=x ,由已知得AB=2 ：- , BE= 工 ...-,由射影定理可得AE2=CE?BE,•- X2=.-,即X°+X2—12=0 ,解方程可得X=：;• / ACB=60 °五、【选修4-4:坐标系与参数方程】23. (2015?河北)在直角坐标系xOy 中，直线C1: X= - 2,圆C2：(X - 1) 2+ (y - 2) 2=1 ,以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I )求C1 , C2的极坐标方程；(H )若直线C3的极坐标方程为0=一 ( p€R),设C2与C3的交点为M, N ,求厶C2MN 的面积.【分析】(I )由条件根据X= pcos Q , y= psin 0求得C1 , C2的极坐标方程.(H )把直线C3的极坐标方程代入p2- 辺P+4=0,求得p和p的值，结合圆的半径可得C2M丄C2N,从而求得△ C2MN的面积丄?C2M?C2N的值.2【解答】解：(I)由于X= pcos 0 , y= psin 0, • C1: X=—2 的极坐标方程为pcos 0= - 2 ,故C2： (X- 1) 2+ (y - 2) 2=1的极坐标方程为：(pcos 0 - 1) 2+ ( psin 0 - 2) 2=1,2化简可得p -( 2 pcos 0+4 psin 0) +4=0.(H)把直线C3的极坐标方程0^—( p€R)代入圆C2： (X- 1) 2+ (y - 2) 2=1 ,可得p2-( 2 pcos 0+4 p in 0) +4=0 ,求得p=2 .二,p2= . ■:,•••|MN|=| p1 - p2|=. ■:,由于圆C2 的半径为1, ••• C2M 丄C2N ,六、【选修4-5:不等式选讲】24. (2015?河北)已知函数 f (x ) =|x+1|- 2|x — a|, a >0.(I)当a=1时，求不等式f (x )> 1的解集；(n )若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于 6，求a 的取值范围.【分析】(I )当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别 求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求. (n )化简函数f (x )的解析式，求得它 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f ( X )的图象与x 轴围成的三角 形面积；再根据f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于 6,从而求得a 的取值范围.【解答】 解：(I)当a=1时，不等式f (x )> 1,即|x+1| - 2|x - 1|> 1,x _ 1 - 2a,- 1 (n )函数 f (x ) =|x+1| - 2|x - a|= 3凤十1 一- L<, 、~ K+H2a» K A且2a -1 由此求得f (x )的图象与x 轴的交点A (…「，0),■J B (2a+1, 0),故f (x )的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C (a , a+1),由厶ABC 的面积大于6, 1Q a - 1可得[2a+1 ]? (a+1)> 6,求得 a >2.z 3 故要求的a 的范围为(2, +g).-1<K<1 x+1- 2 (1 - x) >1-1-x-1-2 (1 -K ) >1x+1-2 (x-1) >1 解①求得X €?,解②求得壬V X V 1,解③求得1夯CV 2.2 4, 2).综上可得，原不等式的解集为( ①，或参与本试卷答题和审题的老师有：maths; changq; sxs123; whgcn ; qiss;沂蒙松;caoqz;翔宇老师；刘长柏；cst;吕静；lincy （排名不分先后）菁优网2016 年5 月19 日16. （5分）（2015?新课标I）已知F是双曲线C: x* 2点，A （0, 6品.当厶APF周长最小时，该三角形的面积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.217. （12 分）（2015?新课标I）已知a,b,c分别是△ ABC 内角A ,B,C 的对边，sinB=2sinAsinC . （I ）若a=b, 求cosB;（n ）设B=90 °且a^2，求△ ABC的面积.18. （12分）（2015?新课标I）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE丄平面ABCD .（I ）证明：平面AEC丄平面BED ;（n）若/ABC=120° AE丄EC，三棱锥E - ACD的体积为享求该三棱锥的侧面积.。