三角函数任意角的三角函数解读

三角函数·任意角的三角函数
教学目标
1．使学生切实掌握任意角三角函数的定义．
2．使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法．
3．使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号．
4．使学生掌握诱导公式一．
教学重点与难点
教学难点为：任意角三角函数的定义．教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一．
教学过程设计
师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切四种函数，即在图1中所示的直角三角形ABC中，∠A是锐角，∠C是直角，那么（板书）
师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已
经被推广了，我们现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角，那么任意角的三角函数是怎么定义的呢？直角三角形显然不能包含所有的角．
生：借助平面直角坐标系来定义．
师：好的．这位同学可能预习了．任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的．
设角α是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的正半轴Ox，建立直角坐标系（图2）．在角α的终边任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点O（0，0）的距离r=
余割分别规定为（板书）
师：以前我们就知道，图1中的四个比值的大小仅与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图2中，六个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边上的位置无关．
师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变量是什么？是x？是y？是r？还是角α？大家讨论一下．
生：……
师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角α确定了，就能在它的终边上取点，从而可确定x，y，计算出r的值，所以自变量应是角α．
这些函数的函数值是什么呢？
生：两个量的比值．
师：也就是说是个实数．
由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即
实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）．
也就是说，三角函数是以角（实数）为自变量，以比值为函数值的函数．
既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容——三要素入手，而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出．下面我们研究各个函数的定义域．
（这几个函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自变量是角．定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结．）
师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定义解题了．请看例1．（板书）
例1已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的六个三角函数值．
师：要求六个三角函数值，我们需要知道哪些量？
生：x，y，r．
师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了？生：只需知道其中的两个量．
师：例1中是否有咱们所需要的两个量？
生：有．x=2，y=-3．
师：好的．这道题就由你来解，你说我往黑板上写．（板书）
师：由三角函数的定义，我们知道，已知角α终边上一点的坐标就可以求六个三角函数值，若已知条件是某角的度数或弧度数，那么这个角的终边位置也是唯一确定的，其三角函数值也应是唯一的．这类题目应怎样求它的各个三角函数值呢？下面看例2．（板书）例2 求下列各角的六个三角函数值．
师：咱们先看角0的六个三角函数值怎么求．
生：没想好．
师：你觉得为什么不好求呢？
生：题目里没给出x，y的值．
师：x，y的值与所给出的角有什么关系？
生：x，y是角的终边上一点的坐标．
师：角的终边上的哪点？
生：可以任意选取．
师：那当然要使所取点的坐标越简单越好了，你打算取哪点？
生：取（1，0）点．
师：现在这道题目你会做了吗？
生：会了．
师：你说我来写在黑板上．（板书）
因此
师：这道小题会做了，下面的两道小题也就不成问题了．大家都在笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案．
（2）在角π的终边上任取一点（-1，0），x=-1，y=0，r=1，sinπ=0，cos π=-1，tanπ=0，cotπ不存在，secπ=-1，cscπ不存在；
=-1．
师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号．
我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论．当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角．现在，我们又学习了三角函数，若一类
三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了．
下面咱们先看正弦函数的函数值在各个象限内的符号．（请好学生回答）
生：对于sinα，当角α在第一象限内时，它的符号是正的，当角α在第二象限时，……
师：等等，你所说的第一条结论正确，你能不能把你的解题方法具体地告诉我们？（尽量突出这节课的主要内容．）
就是说，角α的终边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所以sinα＞0．
师：解题思路非常清楚，就是下结论前的叙述显得有点匆忙，不够确切．咱们看这样说是不是更好些？前边的就用他的说法，接着说，第
大于零，所以得出结论，sinα＞0，符号为“+”．
师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了．下面我们再把角落在第二、第三、四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下．
当角α在第三象限时，sinα的符号为“-”；当角α在第四象限时，sinα的符号也为“-”．
号与谁的符号一致？
生：与y的符号一致．
师：好的．现在正弦函数的问题咱们已经解决了，下面该确定余弦函数的函数值在各个象限内的符号了．我想，得出正确结论已经不是什么难事了．只是如果请你说，你能叙述得完整吗？另外，你还有没有别的办法解决这个问题？
的，所以cosα的符号是由x确定的，而且与x的符号相同．x是角α所在象限内的点的横坐标，所以当角α在第一象限内时，cosα的符号为“+”，当角α在第二或第三象限时，cosα的符号为“-”；而当角α在第四象限时，cosα的符号为“+”．
师：回答得很好．各个量之间的关系都说得非常清楚、准确．
生：还可以简单地记为：余弦函数值的符号与x的符号一致．
师：也对．只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚．
生：对于第一、三象限内的角，正切值为正的，因为此时x，y同号；对于第二、四象限内的角，正切值为负的，因为此时x，y异号．
师：完全正确．我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各个象限内的符号，剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就好确定了．为什么？
符号一致．
师：很好．为了便于记忆，我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中，看看这种直观、形象的方式是否适合于你？（板书）
师：现在我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的．显然，当两个角相差360°的整数倍时，它们俩的终边相同，所以它们的同一个三角函数的值相等．由此得到一组公式（公式一）．（板书）
师：这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题，转化为0°～360°（或0～2π）间的角的三角函数值的问题．（板书）
例3 确定下列各三角函数值的符号．
（教师边分析边板书）
解（1）因为250°是第三象限的角，所以cos250°＜0．
＜0．
（3）（由学生解）
因为tan（-672°10＇）=tan（-2×360°+47°50＇）=tan 47°50＇，又因为47°50＇是第一象限角，所以tan（-670°10＇）＞0．
师：下面咱们接着做例4．（板书）
例4根据条件sinθ＜0且tanθ＞0，确定θ是第几象限角．
（教师边讲边写）．
解因为sinθ＜0，所以θ在第三象限或第四象限，或θ的终边落在y轴的负半轴上．
因为tanθ＞0．所以θ在第一象限或第三象限．
由于sinθ＜0与tanθ＞0同时成立，所以θ在第三象限．
师：下面咱们小结一下这节课，这节课的主要内容是任意角三角函数的定义，通过对这一定义的学习，我们要掌握六个三角函数的定义域，要会利用定义，求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论．要知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义，当然还要掌握公式一．
作业：课本P138练习一第1，2，3，4，5，6题．其中第2，3题写在书上，其余的写在本上．
课堂教学设计说明
1．复习锐角三角函数．
2．讲解任意角三角函数的定义．
3．用列表的形式总结出各个三角函数的定义域．
4．例1是三角函数定义的最简单、直接的应用．例2是应用任意角三角函数的定义解题．
5．利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号，确定各三角函数值在每个象限的符号．
6．诱导公式一
7．例3和例4．
8．小结、作业．
为什么要采取以上步骤呢？因为本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义，而其余内容均是关于任意角三角函数的定义的应用，所以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了两道应用定义的例题，即例1
和例2．此外，三角函数与学生们以往所学过的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域．
应用三角函数的定义，可判断出三角函数在各个象限的符号．对于这点，教师觉得学生完全有能力自己完成，所以，这块知识是以教师提问学生回答，最后一起做总结的形式完成的．
诱导公式一，也是任意角三角函数定义的再次应用，有了它，我们就可以把求任意角的三角函数值问题，转化为求0°～360°（或0～2π）间角的三角函数值的问题了．。