七年级数学思维探究(22)角(含答案)

毕达哥拉斯（约公元前580——前500），古希腊数学家．他既是哲学家、数学家、又是天文学家，创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派．他提出了“万物皆数”的著名论断，被誉为西方理性数学的创始人．毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是毕达哥拉斯的一大贡献，他还首创地圆说，认为日、月、星都是球体，悬浮在太空之中．22．角解读课标角也是一种最基本的几何图形，它在现实生活中随处可见．张开的剪刀、纵横交错的公路、钟面上的时针和分针等都给我们以角的形象．角既可以看作有公共端点的两条射线组成的图形，又可看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．与角相关的知识有： 1．角平分线的概念； 2．角的分类；3．互余、互补等数量关系角．类似于解与线段相关的问题，解与角相关的问题时，往往用到相关概念、分类与讨论、代数式的思想等知识方法．问题解决例1 把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到'70AOB ∠=︒，则'B OG ∠=_______．DOG ABCC'B'试一试 折痕OG 两旁的部分能互相重合，即OG 为'BOB ∠平分线，这是解本例的关键． 例2 如图，A 、O 、B 在一条直线上，AOC BOC ∠=∠，若12∠=∠，则图中互余的角共有（ ）． A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对21DOABCE试一试 从互余的概念入手，应注意等量代换，避免漏掉互余的角．例3 如图，已知2BOC AOC ∠=∠，OD 平分AOB ∠，且19COD ∠=︒，求AOB ∠的度数．试一试 设AOC x ∠=，建立方程，用代数方法计算．DABC例4 将一副三角板的两三角板如图放置，OM 平分AOC ∠，ON 平分DOC ∠． （1）将45︒三角板绕O 点旋转（30︒角的三角板不动），求MON ∠的大小．（2）若将30︒角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论是否变化？（直接写出结论，不必说明理由）试一试 三角板绕O 点旋转过程中，有下列情形：OA 与OB 重合，OA 在COB ∠内部，COB ∠包含在AOD ∠内部，故分类讨论是解本例的关键．30°45°DOAB C例5 已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．图①DO ABC E图②DOA B C E（1）如图①，若30AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图①中的DOE ∠绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置． ①探究AOC ∠与DOE ∠的度数之间的关系；②在AOC ∠的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定AOF ∠与DOE ∠的度数之间的关系，并说明理由．分析与解 对于（3）②，为方便设DOE x ∠=，AOF y ∠=，将条件等式变形为只含x ，y 的等式． （1）15︒ （2）2DOE α∠=（3）①12DOE AOC ∠=∠．②左边2424DOE AOF x y =∠-∠=-，右边()22901802BOE AOF x y x y =∠+∠=︒-+=︒-+， 即241802x y x y -=︒-+，得45180x y -=︒， 45180DOE AOF ∠-∠=︒∴．钟表上的角度例6 在0时到12时之间，钟面上的时针与分针在什么时候成60︒的角？试尽可能多地找出答案，又秒针与时针共有几次成60︒的角？分析与解 直觉作答或近似估计，可得到一些答案，而通过方程可使我们找到问题全部的解． 而列方程解答，又有几种不同的解题策略： （1）分别对两个整点之间的答案列出方程求解； （2）在上述某础上寻找规律求出全部解；（3）将问题看成圆周追及问题．设分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为112，将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时（从0时开始）开始同向而行，要求使两者相距10个单位长度所用的时间．设从0时开始，过x 分钟后分针与时针成60︒的角，此时分针比时针多走了n 圈()0,1,2,3,,11n =，则601012x x n -=+，或605012xx n -=+， 解得()12601011x n =+或()12605011x n =+． 分别令以0n =，1，2，3，…，11，即得本题的所有22个解（精确到秒）：0:54:33，2:00:00，3:05:27，4:10:55，5:16:22，6:21:49，7:27:16，8:32:44，9:38:11，10:43:38，11:49:05；1:16:22，2:21:49，3:27:16，4:32:44，5:38:11，6:43:38，7:49:05，8:54:33，10:00:00，11:05:27，0:10:55．在12小时内，秒针相对于时针走了60121719⨯-=圈，所以秒针与时针共有71921438⨯=次成60︒的角．数学冲浪 知识技能广场1．一个角的余角比它的补角的13还少20︒，则这个角是________．2．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．（1）若145AOD ∠=︒，则BOC ∠=________． （2）若AOD BOC ∠=4∠，则AOC ∠=___________．DABC3．如图，AOB ∠是钝角，OC 、OD 、OE 是三条射线，若OC OA ⊥，OD 平分AOB ∠，OE 平分BOC ∠，那么DOE ∠的度数是_________．DOABCE4．如图，O 是直线AB 上一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分BOD ∠，则图中彼此互补的角有________对．DOABCE5．在时刻8:30，时钟上的时针与分针之间的夹角为（ ）． A ．85︒ B ．75︒ C ．70︒ D ．60︒6．如图所示的44⨯的方格表中，设ABD α∠=，DEF β∠=，CGH γ∠=，则（ ）． A ．βαγ<< B ．βγα<< C ．αγβ<< D ．αβγ<<DGHABCEF7．如图，A 、O 、B 在一条直线上，1∠是锐角，则1∠的余角是（ ）．A ．1212∠-∠B ．132122∠-∠C ．()1212∠-∠D ．()1213∠+∠OAB128．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在'D 、'C 的位置．若65EFB ∠=︒，则'AED ∠等于（ ）．A ．70︒B ．65︒C ．50︒D ．25︒D'C'FEDCBA9．如图，已知OB 、OC 、OD 为AOE ∠内三条射线． （1）图中共有多少个角？（2）若OB 、OC 、OD 为AOE ∠四等分线，且图中所有锐角的和为400︒，求AOE ∠的度数； （3）若89AOE ∠=︒，30BOD ∠=︒，求图中所有锐角的和．OECBAD10．如图，两个形状、大小完全相同的含有30︒、60︒的三角板如图①放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转．图①CBANMD图②FE C B AP NMD图③D MNPAC（1）试说明：90DPC ∠=︒；（2）如图②，若三角板PAC ∠的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转一定角度，PF 平分APD ∠，PE 平分CPD ∠，求EPF ∠；（3）如图③，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速为3/s ︒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速为2/s ︒，在两个三角形旋转过程中（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），问CPDBPN∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．思维方法天地11．以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使:5:4AOC BOC ∠∠=，若15AOB ∠=︒，则AOC ∠的度数是__________．12．在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针成直角的时刻是________． 13．如图，在33⨯的网格中标出了1∠和2∠，则12∠+∠=________．2114．如图，45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，那么不大于90︒的角有________个，它们的度数之和是_______．DOAB CE15．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于（ ）．A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒CBA16．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE AB ⊥于点O ，OF 平分AOE ∠，11531'∠=︒，则下列结论中不正确的是（ ）．A ．245∠=︒B ．13∠=∠C ．AOD ∠与1∠互为补角 D ．1∠的余角等于7531'︒DOA BCEF12317．如图是一个33⨯的正方形，则图中1239∠+∠+∠++∠的和等于（ ）． A ．270︒ B ．315︒ C ．360︒ D ．405︒987654321BA18．如图，OB 、OC 是AOD ∠的任意两条射线，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若MON α∠=，BOC β∠=，则表示AOD ∠的式子是（ ）．A ．2αβ-B ．αβ-C ．αβ+D ．以上都不正确D OMNAB C19．如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC 、OD 、OE 、OF ，使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，试探究AOF BOD ∠+∠与DOF ∠的关系，并说明理由．DO A BC EF20．如图①，点O 为直线AB 上一点．过O 点作射线OC ，使120BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．图①CBAMO 图②OMA BC图③C BA NMO（1）将图①中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图②，使一边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：直线ON 是否平分AOC ∠?请说明理由；（2）将图中的三角板绕点O 按每秒6︒的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直线ON 恰好平分AOC ∠，求t 的值；（3）将图①中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图③的位置，使ON 在AOC ∠的内部．请探究：AOM ∠与NOC ∠之间数量关系，并说明理由．应用探究乐园21．（1）时钟在2点15分时，时针和分针的夹角是多少度？（2）晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是6点多，时针与分针成90︒角，散完步后回家，小明又看了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90︒角，问小明外出多少分钟？22．已知150AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内的一条射线，射线OD 平分AOC ∠，射线OE 平分BOD ∠． （1）若AOD EOC ∠=∠（如图①），求AOD ∠的度数； （2）设()50AOD αα∠=≠︒，求AOD BOECOE∠-∠∠的值．DABCE图①OAB备用图AB备用图角答案问题解决例1 ()()111''180'1807055222B OG BOB AOB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．例2 B 90AOC BOC ∠=∠=︒，12∠=∠，COD AOE ∠=∠．例3 2BOC x ∠=，3AOB x ∠=，32AOD x ∠=，由AOD AOC COD ∠-∠=∠，得3192x x -=︒，解得38x =︒，故338114AOB ∠=⨯︒=︒．例4 （1）在旋转的过程中，12MON AOD ∠=∠这一关系不变，从而22.5MON ∠=︒． （2）略数学冲浪1．75︒ 2．（1）35︒；（2）54︒ 3．1452DOE AOC ∠=∠=︒4．6 5．B 6．B 7．C 8．C 9．（1）有10个角；（2）80AOE ∠=︒；（3）416︒． 10．（1）略（2）30EPF ∠=︒，设CPE DPE x ∠=∠=，CPF y ∠=．（3）设运动时间为t 秒，则2BPM t ∠=，1802BPN t ∠=︒-，302DPM t ∠=︒-，3APN t ∠=，18090CPD DPM CPA APN t ∠=︒-∠-∠-∠=︒-．90118022CPD t BPN t ∠︒-==∠︒-∴，为定值．11．若射线在AOB ∠的内部，则820'AOC ∠=︒；若射线OC 在AOB ∠的外部，则75AOC ∠=︒． 12． 10点23811分或11点101011分 设10点30分以后，过x 分钟，时针与分针的夹角为90︒，由60.513590x x -=-或60.513590x x -=+得2811x =或104011． 13．45︒ 通过拼补计算14． 10；450︒ 15．A 16．D17．D 沿AB 作对折时，上、下图形能够重合，得19264890∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒． 18．A19．90COE BOE ∠+∠=︒，45DOF ∠=︒，135AOF BOD ∠+∠=︒，从而3AOF BOD DOF ∠+∠=∠． 20．（1）ON 平分AOC ∠； （2）10t =或40；（3）30AOM NOC ∠-∠=︒ 21．（1）22.5︒（2）由题意得：18060.590x x -+=，61800.590y y --=， 解得41611x =，14911y =，148491632111111y x -=-=．即小明出去了83211分钟． 22．（1）30AOD ∠=︒（2）如图①，当50α<︒时，原式31501503115031503αααα-︒︒-===︒-︒-；如图②，当50α>︒时，原式31503150131503150αααα-︒-︒===-︒-︒．O ED CBA图①ABCDEO图②。