二重积分计算法
第十章第二节_二重积分的计算法
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
0902二重积分的计算法-1
b ϕ2( x) f ( x , y )dy ; = dx a ϕ1 ( x )
∫
∫∫ f ( x , y )dσ ∫
D
d ϕ2 ( y) f ( x , y )dx . = dy c ϕ1 ( y )
∫
［混合型］ 混合型］ （在积分过程中要正确选择积分次序） 在积分过程中要正确选择积分次序） 积分次序
y
A(x)
a
x
y = ϕ2 ( x)
b
x
D
y = ϕ1( x)
b ϕ ( x) ∴ ∫∫ f ( x , y )dσ =∫a dx ∫ϕ 2( x ) f ( x , y )dy . ……二次积分公式 ? 1 二次积分公式
D
◆如果积分区域为：c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ). 如果积分区域为：
π
练习1 练习 改变下列积分的积分次 序
∫
1 2 x− x2 2 2− x dx f ( x , y )dy + dx f ( x , y )dy . 0 0 1 0
∫
∫
∫
解 积分区域如图： 积分区域如图：
y = 2− x
原式 = ∫0 dy ∫
1
2− y
2
y = 2x − x2
1− 1− y
f ( x , y )dx.
1
o
1
x
2.设f ( x , y )在D上连续 , 其中 D是由直线 y = x , y = a及x = b (b > a )所围成的闭区域 , 证明 :
(1)∫
b x dx a a
∫ f ( x , y )dy = ∫
b b dy y a
第九章第2节二重积分的计算(1)
y + dy y ∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy
D D
dσ
D
x
o
x x + dx
1
x
直角坐标系下的计算公式
a 如果积分区域为： 如果积分区域为： ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ).
y = ϕ2 ( x )
y = ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )
f ( x , y )dy
4
如果积分区域为： 如果积分区域为：
c ≤ y ≤ d , ϕ 1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ).
d
d
x = ϕ1 ( y )
D
x = ϕ2 ( y)
x = ϕ1 ( y )
D
c
c
x = ϕ2 ( y)
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫
π
例4. 求 ∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1)为顶点的三角形.
解 Q∫ e
− y2
dy 无法用初等函数表示
∴ 积分时必须考虑次序
∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy = ∫ dy ∫ x e
0 0
1
y
2 − y2
dx
=∫ e
0
1
− y2
y ⋅ dy = − 3
2 2 2
2
2
2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为
R
o x
R2 −x2
x2 + y2 = R2
z = R2 − x2 0 ≤ y ≤ R2 − x2 (x, y) ∈D: 0 ≤ x ≤ R
二重积分速算的方法
二重积分速算的方法
二重积分速算的方法包括以下几种：
1. 矩形分割法：将积分区域分割成若干个小矩形，然后对每个小矩形进行逼近。
利用小矩形的面积及其对应的函数值进行计算，然后将所有小矩形的面积和加起来就是要计算的二重积分的近似值。
当分割的小矩形越多，计算结果越精确。
2. 二重积分的限定积分式：如果给定的二元函数f(x,y)在积分区域上连续，那么可以通过限定积分式来计算二重积分。
限定积分式的计算方法与一元函数的定积分计算类似，先固定y的取值范围，然后对x进行积分，然后再对y进行积分。
这种方法在一定条件下可以简化计算。
3. 极坐标系下的计算：对于一些特殊的积分区域，采用极坐标系来进行计算会更加简便一些。
极坐标系下的二重积分计算要比直角坐标系下简化，通过极坐标系变换，一些复杂的二重积分可以变得相对简单。
4. 曲线坐标系的变换：对于一些不规则的图形，采用曲线坐标系的变换可以将原来的二重积分变换成更简单的形式。
对于xy平面上的椭圆区域，可以通过变换将其变成标准的二重积分形式，然后再进行计算。
5. 数值方法：对于一些难以解析求解的二重积分，可以采用数值方法进行近似计算。
例如，蒙特卡洛方法、有限差分法等。
这些方法通过随机抽样或数
值逼近的方式得到积分的结果，虽然精度可能不如解析方法，但在一些特定情况下仍具有一定的实用价值。
总的来说，选择哪种方法要根据具体的问题和条件来决定。
在应用二重积分速算方法时，需要注意其适用范围和限制条件，以确保计算的准确性和可靠性。
8.2 二重积分的计算法
ϕ1(θ) ≤ r ≤ϕ2(θ),α ≤θ ≤ β
表 ( 图 来 示如 )
中 数 其 函 ϕ1(θ),ϕ2 (θ) 区 [ 在 间α, β]上 续 连 。
O
r =ϕ2(θ)
D
β
r =ϕ1(θ)
α
x
10
D:ϕ1(θ) ≤ r ≤ϕ2(θ)
α ≤θ ≤ β
D
r =ϕ2(θ)
D
r =ϕ2(θ) r =ϕ1(θ)
o x
(2)从极点出发的一族射线：θ=常数， 从极点出发的一族射线： 常数 常数， 从极点出发的一族射线 个小区域（ 把D分成 n个小区域（如上图） 分成 个小区域 如上图）
8
面积元素
∆σi ∆θi ∆r i
d σ = r d rd θ
dσ
x
o
∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )r d rdθ
D
D
注意：dσ = dxdy ≠ dx ⋅ dy
9
2、如何化为两次单积分 、 积分顺序：一般是先积 后积 积分顺序：一般是先积r后积θ 定限的方法：依D的特点： 定限的方法： 的特点： 的特点
D
r =ϕ2(θ)
(1) 极 在 外 点 D
β
O
α
r =ϕ1(θ)
x
设 分 域 可 不 式 积 区 D 用 等
z
V = ∫∫ R2 − x2dσ 1
= ∫ [∫
0
R 0
D R
R2 −x2
0
R2 − x2dy] dx
2 2
o R x
y
R
y
= ∫ [ R2 − x2 y]0 R −x dx
二重积分的计算小结
二重积分的计算小结在数学中，二重积分是一种用来计算平面上曲线下的面积的方法。
它是定积分的扩展，可以用于计算更加复杂的形状的面积，例如圆形、椭圆形和弧形等。
在本文中，我们将详细介绍二重积分的计算方法，并提供一些重要的应用案例和技巧。
同时，我们还将讨论二重积分的性质以及它与其他数学概念的关系。
设 $f(x,y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的实函数，将闭区域 $D$ 分成许多小的矩形区域，其中第 $i$ 个小矩形的面积为 $\Delta A_i$，选择任意一点 $(x_i^*, y_i^*)$ 作为该矩形的代表点，则二重积分的近似值可以表示为：$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta A_i$$其中，$n$ 是划分区域时小矩形的个数，$\Delta A_i$ 是第 $i$ 个小矩形的面积。
当划分的小矩形越来越小，并且代表点 $(x_i^*, y_i^*)$ 在每个小矩形内部时，这个近似值将趋近于一个常数，即二重积分的值。
我们用符号 $\iint_D f(x,y) dA$ 表示二重积分的值，其中 $dA$ 表示对面积的微元。
接下来，我们将介绍几种计算二重积分的方法。
一、二重积分的计算方法1. 矩形法（Riemann和）：将区域 $D$ 划分为若干个小的矩形区域，计算每个矩形的面积和函数值，并将它们相加得到近似值。
2. 二次积分法（Fubini定理）：根据 Fubini 定理，我们可以将二重积分转化为两个一重积分的乘积：$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy\right) dx$$3. 极坐标法：当区域 $D$ 的形状具有旋转对称性时，使用极坐标计算二重积分可以更加简便。
通过转化为极坐标系，并利用极坐标下的Jacobian 行列式，可以将原二重积分转化为对一重积分的积分。
4. 线性代换法：对于不规则区域，我们可以通过线性代换将其转换为规则区域，然后再进行计算。
二重积分的计算法
O
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1
结束
2
y
一、曲顶柱体体积的计算-几何意义
y 2 ( x) 设曲顶柱体的底为 1 ( x) y 2 ( x) y D ( x, y ) 2 a xb
任取 截面积为 故曲顶柱体体积为(元素法) 平面 截柱体的
1
z f ( x , y ) z
y 2 ( x) 设曲顶柱体的底为 1 ( x) y 2 ( x) y D ( x, y ) 2 a xb
任取 截面积为 平面 截柱体的
1
z f ( x , y ) z
D
O
z
a x0 b x y 1 ( x)
z f ( x0 , y )
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
O a
y c
y 1 ( x)
D
x 2 ( y)
x
bx
D1 D3
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂, 可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域, 则
f1 ( x, y )
f 2 ( x, y ) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效.
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说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域, 则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
二重积分的计算公式
二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。
在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。
本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。
一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。
设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。
则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。
2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。
换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。
设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。
二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。
例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。
2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。
例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。
二重积分在极坐标下的计算法
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .