二重积分计算法

如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
如果D是Y型区域 y1(y)xy2(y), cyd, 则
f (x, y)d
d
[
y 2(y)
f
(x, y)dx]dy
.
D
c y1(y)
(4)计算二次积分.
解：
eb2x2 dxdy
a
dx
b a
x
eb2
x2
dy
0
0
D
b a xeb2x2 dx 1 (ea2b2 1)
a0
2ab
若先对x再对y就求不出来
【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围 成的立体的体积.
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2y2R2及x2z2R2. 所求立体的体积为
V 8 R2 x2 d
1 2
i2
qi
1 2
(2i
i
)i
qi
i
(i
2
i)
i
qi
q . iii
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
【例1】计算 xyd ，其中D是由直线 y 1, x 2 D 及y x所围成的区域。
外层积分的上、下限均为常数；内层积分上、下 限只能是外层积分变量的函数或常数，不能与内层积 分变量有关。
⑶两种特殊情形
若D {(x, y) | a x b, c y c}则积分顺序可交换
f (x, y)dxdy=
b
dx
d f ( x, y)dy=
d
dy
a
f (x, y)dx
a
c
c
b
D
若f ( x, y) g ( x) h( y)
g(x)h( y)dxdy=
b
dx
d g ( x)h( y)dy=[
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
axb,则称区域D为X型区域.
x0
x0
直线 x x0 (a x0 b)与D的边界至多有两个交点
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
先对x后对y
的二次积分
来自百度文库
★注意：
⑴积分区域的形状：对于X—型（或Y—型）
直线 x x0 (a x0 b)与D的边界至多有两个交点 直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
⑵积分限的确定
对于X—型（Y—型）区域D，用直线x=x(y=y)由 下至上（由左至右）穿过D，穿入（出）点为对应积 分的下（上）限。
二重积分的计算法 ——化二重积分为两次定积分 一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
一、直角坐标系下二重积分的计算
①积分区域D为X—型区域 ②积分区域D为Y—型区域 ③积分区域D 既是X—型，也是Y—型 ④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型
①积分区域D为X—型区域
如果区域D可以表示为不等式j1(x)yj2(x),
,
y)
y)
为z曲f(x边, y的)为曲顶边, 以梯区形域. D为底的曲顶柱体的体积.
❖二重积分的计算
如果D是X型区域 D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}, 则
f (x, y)d
上式也可D以记为
b
[
j 2 ( x)
f (x, y)dy]dx .
a j1(x)
先对y后对x
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2dy
00
提示 由对称性, 所求体积是第一卦限部分体积的8倍.
第一卦限部分是以区域D {(x, y)|0 y R2 x2,0 x R} 为底
为底, 以曲面z R2 x2 顶的曲顶柱体.
【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围 成的立体的体积.
解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2y2R2及x2z2R2.
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域i的面积为
i
1 2
(i
i
)2
qi
1 2
i2
qi
iiqi
,
其中 表示相邻两圆弧的半径的平均值. i
提示
i
1 2
(i
i
)2
qi
的二次积分
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
如果D是Y型区域 D{(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd}, 则
f (x, y)d
d
[
y 2(y)
f
(x, y)dx]dy
D
c y1(y)
d
dy
y 2 ( y)
f
(x, y)dx
.
c y1(y)
所求立体的体积为
V 8 R2 x2 d
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2dy
00
R
8 [
0
R2 x2 y]0 R2 x2 dx
8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
.
曲顶柱体体积为
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为
A(x0)
j 2 (x0 ) j1(x0 )
f (x0, y)dy
【例2】计算 xyd ，其中D是由直线 y x 2
D
及抛物线 y2 x 所围成的区域。
【例3】计算 y 1 x2 y2d，其中D是由直线
D
y 1, x 1 及 y x所围成的区域。
★注意积分次序的选择
【例4】求 eb2x2 dxdy
D
其中
D
{(x,
y)
|
0
y
b
x, 0
x
a}
a